初中数学浙教版九年级下册2.2 切线长定理 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·杭州月考）如图，P为圆O外一点， 分别切圆O于 两点，若 ，则 （ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA=5，
∴PB=PA=5，
故答案为：D.
【分析】由切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等”可求解.
2．（2019·醴陵模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠P＝50°，则∠PAB的度数为（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点
∴PA=PB
∴∠PAB=∠PBA
∵∠P＝50°
∴∠PAB＝65°
故答案为：C
【分析】先运用圆的切线长定理可以得到：PA=PB，再利用等腰三角形的性质即可求出∠PAB的度数.
3．（2020九下·北碚月考）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PA＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（ ）
A．1.5 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OD，如图所示
∵PC切⊙O于D
∴∠ODP＝90°
∵⊙O的半径为1，PA＝AO，AB是⊙O的直径
∴PO＝1+1＝2，PB＝1+1+1＝3，OD＝1
∴由勾股定理得：PD＝
∵BC⊥AB，AB过O
∴BC切⊙O于B
∵PC切⊙O于D
∴CD＝BC
设CD＝CB＝x
在Rt△PBC中，由勾股定理得：PC2＝PB2+BC2
即
解得：x＝
即BC＝
故答案为：D
【分析】连接OD，根据切线的性质求出∠ODP＝90°，根据勾股定理求出PD，证明BC是⊙O的切线，根据切线长定理得出CD＝BC，再根据勾股定理求出BC即可.
4．如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠ABO=20°，则∠C的度数是（ ）
A．70° B．50° C．45° D．20°
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，
∴∠OBC=90°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠ABO=20°，
∴∠BOC=40°，
∴∠C=50°．
故选B．
【分析】由BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，得到∠OBC=90°，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ABO=20°，由外角的性质得到∠BOC=40°，即可求得∠C=50°．
5．（2020九上·南京月考）如图，AB，BC，CD，DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB＋CD的值是（ ）
A．14 B．12 C．9 D．7
【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，
∴可以假设切点分别为E、H、G、F，
∴AF＝AE，BE＝BH，CH＝CG，DG＝DF，
∴AD＋BC＝AF＋DF＋BH＋CH＝AE＋BE＋DG＋CG＝AB＋CD，
∵AD＝2，BC＝5，
∴AB＋CD＝AD＋BC＝7，
故答案为：D.
【分析】根据切线长定理，可以证明圆的外切四边形的对边和相等，由此即可解决问题.
6．（2020九上·梅河口期末）如图， 、 、 是 的切线， 、 、 是切点， 分别交 、 于 、 两点.如 ，则 的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．75°
【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA、OE、OB，所得图形如下：
由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，
∵AO=OE=OB，
∴△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），
∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，
∴∠COD= ∠AOB，
∵∠APB=40°，
∴∠AOB=140°，
∴∠COD=70°．
【分析】连接OA、OB、OE，由切线的性质可求出∠AOB，再由切线长定理可得出∠COD= ∠AOB，可求得答案．
7．（2020九上·诸城期末）如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点 为60°角与直尺交点，点 为光盘与直尺唯一交点，若 ，则光盘的直径是（ ）．
A． B． C．6 D．3
【答案】A
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，如下图所示：
由切线长定理知 ，
∴ ，
在 中，
∴
∴光盘的直径为 ，
故答案为：A．
【分析】设三角板与圆的切点为C，连接 ，由切线长定理得出 、 ，根据 可得答案．
8．（2019·台州）如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4-
【答案】A
【知识点】切线的性质；解直角三角形的其他实际应用；切线长定理
【解析】【解答】解：设AB、AC的切点分别为D、E，连结OD、OE，如图，
∵AB、AC与⊙O相切于点D、E，
∴AD=AE，∠ODB=∠OEC=90°，
又∵△ABC是边长为8的等边三角形，
∴AB=AC=BC=8，∠B=60°，
∴BD=CE，
∵OD=OE，
∴△ODB≌△OEC（SAS），
∴OB=OC= BC=4，
在Rt△ODB中，
∴sin60°= ，
即OD=OBsin60°=4× =2 ，
∴⊙O的半径为2 .
故答案为：A.
【分析】设AB、AC的切点分别为D、E，连结OD、OE，根据切线的性质和切线长定理得AD=AE，∠ODB=∠OEC=90°，由等边三角形性质得AB=AC=BC=8，∠B=60°，等量代换可得BD=CE，根据全等三角形判定SAS得△ODB≌△OEC，再由全等三角形性质得OB=OC=4，在Rt△ODB中，根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案.
9．（2020·杭州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=4，以AB为直径在矩形内作半圆，DF切该半圆于点E，点F在边BC上．设BF=x，y=tan∠CDF，则（ ）
A．x2+4xy=4 B．x -4xy=4 C．xy=4 D．xy+x =4
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠C=90°，AB=CD=4，
在Rt△CDF中，
∴CF=4y
∵以AB为直径在矩形内作半圆，DF切该半圆于点E，点F在边BC上，
∴AD=DE=BC=BF+CF=x+4y，EF=BF=x，
∴DF=DE+EF=x+4y+x=2x+4y，
在Rt△CDF中，
CD2+CF2=DF2
∴42+（4y）2=（2x+4y）2
解之：x2+4xy=4
故答案为：A
【分析】利用矩形的性质可求出CD的长，利用锐角三角函数的定义可证得CF=4y；再利用切线长定理可证得AD=DE，BF=EF，再用含x，y的代数式表示出DF的长，然后利用勾股定理建立关于x，y的方程，整理可得答案。
二、填空题
10．（2020九上·大丰月考）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为 .
【答案】12
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴PA=PB=6；
同理，可得：EC=CA，DE=DB；
∴△PDC的周长=PC+CE+DE+DP=PC+AC+PD+DB=PA+PB=2PA=12.
故答案为：12.
【分析】根据切线长定理可知从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，故PA=PB=6；EC=CA，DE=DB，进而根据三角形周长的计算方法及等量代换即可算出答案.
11．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝5，AC＝3，则BD的长为 ．
【答案】2
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：根据切线长定理，AP=AC，BP=BD，
所以BP=5-3=2，
所以BD=2.
故答案为：2.
【分析】由切线长定理可知AP=AC、BP=BD，再结合条件即可解答。
12．（2020九下·广陵月考）如图，⊙O切△ABC的BC于D，切AB、AC的延长线于E、F，△ABC的周长为18，则AE＝ .
【答案】9
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵⊙O切△ABC的BC于D，切AB、AC的延长线于E、F，
∴BE＝BD，DC＝CF，AF＝AE，
∵△ABC的周长为18，
即AC+BC+AB＝AB+DB+DC+AC＝AB+BE+AC+CF＝18，
∴AE+AF＝18，
∴AE＝9，
故答案为：9.
【分析】根据切线长定理得出BE＝BD，DC＝CF，AF＝AE，进而三角形周长的计算方法等量代换及线段的和差即可算出答案.
13．（2020九上·北京期中）如图， ， 是 的切线， ， 为切点， 是 的直径， ，则 的度数为 .
【答案】70°
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接OB：
∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠BAC＝35°，OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA＝35°，
∴∠PAB＝∠PBA＝55°，
∴∠P＝180° ∠PAB ∠PBA＝70°，
即∠P的度数是70°，
故答案为：70°．
【分析】连接OB，结合切线长定理及四边形内角和求解即可。
14．（2020九上·福州月考）如图，PA、PB是⊙O的切线，若∠APO＝25°，则∠BPA＝ ．
【答案】50°
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠BPO＝∠APO＝25°，
∴∠BPA＝50°，
故答案为：50°．
【分析】根据切线长定理得到∠BPO＝∠APO，结合图形计算，得到答案．
15．（2020九上·秦淮期末）如图，在□ABCD中，AB＝5，AD＝6，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点C作⊙O的切线交AD于点N，切点为M．当CN⊥AD时，⊙O的半径为 ．
【答案】2或1.5
【知识点】勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：设半径为r，
∵AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，AB＝5，AD＝6
∴GC=r，BG=BF=6-r，
∴AF=5-（6-r）=r-1=AE
∴ND=6-（r-1）-r=7-2r，
在Rt△NDC中，NC2+ND2=CD2，
（7-r）2+（2r）2=52，
解得r=2或1.5.
故答案为：2或1.5.
【分析】根据切线的性质，切线长定理得出线段之间的关系，利用勾股定理列出方程解出圆的半径.
16．（2019·南京）如图，PA、PB是 的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上.若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝ °.
【答案】219
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接AB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵∠P＝102°，
∴∠PAB＝∠PBA＝ （180° 102°）＝39°，
∵∠DAB＋∠C＝180°，
∴∠PAD＋∠C＝∠PAB＋∠DAB＋∠C＝180°＋39°＝219°，
故答案为：219°.
【分析】连接AB，根据切线长定理得出PA＝PB，根据等边对等角及三角形的内角和得出∠PAB＝∠PBA＝39°，根据圆内接四边形的对角互补及角的和差即可由∠PAD＋∠C＝∠PAB＋∠DAB＋∠C算出答案。
17．（2019九上·闽侯期中）如图，将正方形 绕点 按逆时针方向旋转30°得到正方形 ，已知 交 于点 ， ，则四边形 的内切圆半径为 ．
【答案】
【知识点】切线长定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：作∠DAH与∠AEF的角平分线交于点O，则点O是四边形AEFG内切圆的圆心，过O作OH⊥AE，
则∠OAH=30°，∠AEO=45°，
故EH=OH= OA，
设EH=x，则AH= -x，AO=2x，
在Rt△AOH中，
∵AH2+OH2=OA2，
故( -x)2+x2=(2x)2，
解得x= 或x= （舍去），
∴四边形AEED的内切圆半径为： ．
故答案为： ．
【分析】作∠DAH与∠AEF的角平分线交于点O，则O即为该圆的圆心，过O作OH⊥AE，AB= ，再根据直角三角形的性质便可求出OH的长，即该四边形内切圆的半径．
三、综合题
18．（2019九上·北京期中）如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，若∠P=60°，PA= ，求AB的长．
【答案】解：∵PA、PB是⊙D的切线，
∴PA＝PC，
∵∠P＝60°，
∴△PAC是等边三角形，
∴AC＝PA＝ ，∠PAC＝60°，
∵PA是切线，AB是直径，
∴PA⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝ ＝2．
【知识点】含30°角的直角三角形；切线长定理
【解析】【分析】首先证明△PAC是等边三角形，推出AC＝PA＝ ，再证明∠BAC＝30°即可解决问题；
19．（2021九上·舞阳期末）如图， 是 的直径， 切 于点 ，点 是 上的一点，且 ， .
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为2，求弦 及 ， 的长.
【答案】（1）证明：连接OB.
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠BAC=30°.
∴∠AOB=180°-30°-30°=120°.
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°.
∵四边形的内角和为360°，
∴∠OBP=360°-90°-60°-120°=90°.
∴OB⊥PB.
又∵点B是⊙O上的一点，
∴PB是⊙O的切线.
（2）解：连接OP；
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB= ∠APB=30°.
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，
∴OP=2OA=2×2=4，
∴PA= ＝ ＝2 .
∵PA=PB，∠APB=60°，
∴PA=PB=AB=2 .
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）连接OB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得∠AOB的度数；再根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得∠OAP=90°，由 四边形的内角和为360°可求得∠OBP=90°，再根据圆的切线的判定可求解；
（2）连接OP，由切线长定理可得PA=PB， 在Rt△OAP中， 用勾股定理可求得PA的长，再根据等边三角形的判定和性质可求解.
20．（2020·南湖模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，经过点C且半径为2的⊙O分别切AB，AD于点B，D。
（1）求 的度数。
（2）求图中阴影部分的面积。
【答案】（1）解：∵在菱形ABCD中，∠A=60°
∴∠C=∠A=60°
∴ 的度数为120°．
（2）解：连结OA，OB，OD． ∵⊙O分别切AB，AD于点B，D.
∴OB⊥AB，OD⊥AD，且OA平分∠BAD.
∴∠OAB=∠OAD=30° ∴∴ ． = ．
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质可求出∠C的度数，再根据圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，就可求出弧BD的度数。
（2）连接OD，OB，利用切线的性质可证得OB⊥AB，OD⊥AD，利用切线长定理可得到OA平分∠DAB，从而可求出∠OAB和∠OAD的度数，再利用解直角三角形求出AB的长，然后根据阴影部分的面积等于2S△AOB-S扇形OBD，利用三角形和扇形的面积公式可求解。
21．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．
【答案】（1）解：连接OF；
根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBE+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°
（2）解：由（1）知，∠BOC=90°．
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴由勾股定理得到：BC= =10cm，
∴BE+CG=BC=10cm
（3）解：∵OF⊥BC，
∴OF= =4.8cm
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；（3）最后由三角形面积公式即可求得OF的长．
22．（2020九下·台州月考）如图，以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O，点E是AB 的中点，连接CE交⊙O于点F，连接AF并延长交BC于点H.
（1）若连接AO，试判断四边形AECO的形状，并说明理由；
（2）求证：AH是⊙O的切线；
（3）若AB＝6，CH＝2，则AH的长为 .
【答案】（1）解：连接AO，四边形AECO是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵E是AB的中点，
∴AE＝ AB.
∵CD是⊙O的直径，
∴OC＝ CD.∴AE∥OC，AE＝OC.
∴四边形AECO为平行四边形.
（2）证明：由（1）得，四边形AECO为平行四边形，
∴AO∥EC
∴∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC.
∵OF＝OC
∴∠OCF＝∠OFC.
∴∠AOD＝∠AOF.
∵在△AOD和△AOF中，AO＝AO，∠AOD＝∠AOF，OD＝OF
∴△AOD≌△AOF.
∴∠ADO＝∠AFO.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADO＝90°.
∴∠AFO＝90°，即AH⊥OF.
∵点F在⊙O上，
∴AH是⊙O的切线.
（3）
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；切线的判定；切线长定理
【解析】【解答】解：（3）∵HC、FH为圆O的切线，AD、AF是圆O的切线
∴AD=AF,CH=FH=2,
设AD=x,则AF=x,AH=x+2,BH=x-2，
在Rt△ABH中，AH2=AB2+BH2,
即（x+2）2=62+（x-2）2,
解得x=
∴AH= +2= .
【分析】（1）根据矩形的性质得到AE∥OC，AE＝OC即可证明；（2）根据平行四边形的性质得到∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC，再根据等腰三角形的性质得到∠OCF＝∠OFC.故可得∠AOD＝∠AOF，利用SAS证明△AOD≌△AOF，由ADO＝90°得到AH⊥OF，即可证明；（3）根据切线长定理可得AD=AF,CH=FH=2,设AD=x,则AF=x,AH=x+2,BH=x-2，再利用在Rt△ABH中，AH2=AB2+BH2,代入即可求x,即可得到AH的长.
23．（2020·广元）在 中， ，OA平分 交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．
（1）如图1，求证：AB为 的切线；
（2）如图2，AB与 相切于点E，连接CE交OA于点F．
①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．
②若 ，求 的值．
【答案】（1）证明：如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，
∵OA平分 交BC于点O，
∴OG=OC，
∴点G在 上，
即AB与 相切；
（2）解：①OA垂直平分CE，理由是：
连接OE，
∵AB与 相切于点E，AC与 相切于点C，
∴AE=AC，
∵OE=OC，
∴OA垂直平分CE；
②∵ ，
则FC=2OF，在△OCF中，
，
解得：OF= ，则CF= ，
由①得：OA⊥CE，
则∠OCF+∠COF=90°，又∠OCF+∠ACF=90°，
∴∠COF=∠ACF，而∠CFO=∠ACO=90°，
∴△OCF∽△OAC，
∴ ，即 ，
解得：AC=6，
∵AB与圆O切于点E，
∴∠BEO=90°，AC=AE=6，而∠B=∠B，
∴△BEO∽△BCA，
∴ ，设BO=x，BE=y，
则 ，
可得： ，
解得： ，即BO=5，BE=4，
∴tanB= = .
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）过点O作OG⊥AB，垂足为G，利用角平分线的性质定理可得OG=OC，即可证明；（2）①利用切线长定理，证明OE=OC，结合OE=OC，再利用垂直平分线的判定定理可得结论；②根据 求出OF和CF，再证明△OCF∽△OAC，求出AC，再证明△BEO∽△BCA，得到 ，设BO=x，BE=y，可得关于x和y的二元一次方程组，求解可得BO和BE，从而可得结果.
1 / 1初中数学浙教版九年级下册2.2 切线长定理 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·杭州月考）如图，P为圆O外一点， 分别切圆O于 两点，若 ，则 （ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2019·醴陵模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠P＝50°，则∠PAB的度数为（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
3．（2020九下·北碚月考）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PA＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（ ）
A．1.5 B．2 C． D．
4．如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠ABO=20°，则∠C的度数是（ ）
A．70° B．50° C．45° D．20°
5．（2020九上·南京月考）如图，AB，BC，CD，DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB＋CD的值是（ ）
A．14 B．12 C．9 D．7
6．（2020九上·梅河口期末）如图， 、 、 是 的切线， 、 、 是切点， 分别交 、 于 、 两点.如 ，则 的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．75°
7．（2020九上·诸城期末）如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点 为60°角与直尺交点，点 为光盘与直尺唯一交点，若 ，则光盘的直径是（ ）．
A． B． C．6 D．3
8．（2019·台州）如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4-
9．（2020·杭州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=4，以AB为直径在矩形内作半圆，DF切该半圆于点E，点F在边BC上．设BF=x，y=tan∠CDF，则（ ）
A．x2+4xy=4 B．x -4xy=4 C．xy=4 D．xy+x =4
二、填空题
10．（2020九上·大丰月考）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为 .
11．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝5，AC＝3，则BD的长为 ．
12．（2020九下·广陵月考）如图，⊙O切△ABC的BC于D，切AB、AC的延长线于E、F，△ABC的周长为18，则AE＝ .
13．（2020九上·北京期中）如图， ， 是 的切线， ， 为切点， 是 的直径， ，则 的度数为 .
14．（2020九上·福州月考）如图，PA、PB是⊙O的切线，若∠APO＝25°，则∠BPA＝ ．
15．（2020九上·秦淮期末）如图，在□ABCD中，AB＝5，AD＝6，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点C作⊙O的切线交AD于点N，切点为M．当CN⊥AD时，⊙O的半径为 ．
16．（2019·南京）如图，PA、PB是 的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上.若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝ °.
17．（2019九上·闽侯期中）如图，将正方形 绕点 按逆时针方向旋转30°得到正方形 ，已知 交 于点 ， ，则四边形 的内切圆半径为 ．
三、综合题
18．（2019九上·北京期中）如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，若∠P=60°，PA= ，求AB的长．
19．（2021九上·舞阳期末）如图， 是 的直径， 切 于点 ，点 是 上的一点，且 ， .
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为2，求弦 及 ， 的长.
20．（2020·南湖模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，经过点C且半径为2的⊙O分别切AB，AD于点B，D。
（1）求 的度数。
（2）求图中阴影部分的面积。
21．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．
22．（2020九下·台州月考）如图，以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O，点E是AB 的中点，连接CE交⊙O于点F，连接AF并延长交BC于点H.
（1）若连接AO，试判断四边形AECO的形状，并说明理由；
（2）求证：AH是⊙O的切线；
（3）若AB＝6，CH＝2，则AH的长为 .
23．（2020·广元）在 中， ，OA平分 交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．
（1）如图1，求证：AB为 的切线；
（2）如图2，AB与 相切于点E，连接CE交OA于点F．
①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．
②若 ，求 的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】∵P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA=5，
∴PB=PA=5，
故答案为：D.
【分析】由切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等”可求解.
2．【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点
∴PA=PB
∴∠PAB=∠PBA
∵∠P＝50°
∴∠PAB＝65°
故答案为：C
【分析】先运用圆的切线长定理可以得到：PA=PB，再利用等腰三角形的性质即可求出∠PAB的度数.
3．【答案】D
【知识点】切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OD，如图所示
∵PC切⊙O于D
∴∠ODP＝90°
∵⊙O的半径为1，PA＝AO，AB是⊙O的直径
∴PO＝1+1＝2，PB＝1+1+1＝3，OD＝1
∴由勾股定理得：PD＝
∵BC⊥AB，AB过O
∴BC切⊙O于B
∵PC切⊙O于D
∴CD＝BC
设CD＝CB＝x
在Rt△PBC中，由勾股定理得：PC2＝PB2+BC2
即
解得：x＝
即BC＝
故答案为：D
【分析】连接OD，根据切线的性质求出∠ODP＝90°，根据勾股定理求出PD，证明BC是⊙O的切线，根据切线长定理得出CD＝BC，再根据勾股定理求出BC即可.
4．【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，
∴∠OBC=90°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠ABO=20°，
∴∠BOC=40°，
∴∠C=50°．
故选B．
【分析】由BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，得到∠OBC=90°，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ABO=20°，由外角的性质得到∠BOC=40°，即可求得∠C=50°．
5．【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，
∴可以假设切点分别为E、H、G、F，
∴AF＝AE，BE＝BH，CH＝CG，DG＝DF，
∴AD＋BC＝AF＋DF＋BH＋CH＝AE＋BE＋DG＋CG＝AB＋CD，
∵AD＝2，BC＝5，
∴AB＋CD＝AD＋BC＝7，
故答案为：D.
【分析】根据切线长定理，可以证明圆的外切四边形的对边和相等，由此即可解决问题.
6．【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA、OE、OB，所得图形如下：
由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，
∵AO=OE=OB，
∴△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），
∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，
∴∠COD= ∠AOB，
∵∠APB=40°，
∴∠AOB=140°，
∴∠COD=70°．
【分析】连接OA、OB、OE，由切线的性质可求出∠AOB，再由切线长定理可得出∠COD= ∠AOB，可求得答案．
7．【答案】A
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，如下图所示：
由切线长定理知 ，
∴ ，
在 中，
∴
∴光盘的直径为 ，
故答案为：A．
【分析】设三角板与圆的切点为C，连接 ，由切线长定理得出 、 ，根据 可得答案．
8．【答案】A
【知识点】切线的性质；解直角三角形的其他实际应用；切线长定理
【解析】【解答】解：设AB、AC的切点分别为D、E，连结OD、OE，如图，
∵AB、AC与⊙O相切于点D、E，
∴AD=AE，∠ODB=∠OEC=90°，
又∵△ABC是边长为8的等边三角形，
∴AB=AC=BC=8，∠B=60°，
∴BD=CE，
∵OD=OE，
∴△ODB≌△OEC（SAS），
∴OB=OC= BC=4，
在Rt△ODB中，
∴sin60°= ，
即OD=OBsin60°=4× =2 ，
∴⊙O的半径为2 .
故答案为：A.
【分析】设AB、AC的切点分别为D、E，连结OD、OE，根据切线的性质和切线长定理得AD=AE，∠ODB=∠OEC=90°，由等边三角形性质得AB=AC=BC=8，∠B=60°，等量代换可得BD=CE，根据全等三角形判定SAS得△ODB≌△OEC，再由全等三角形性质得OB=OC=4，在Rt△ODB中，根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案.
9．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠C=90°，AB=CD=4，
在Rt△CDF中，
∴CF=4y
∵以AB为直径在矩形内作半圆，DF切该半圆于点E，点F在边BC上，
∴AD=DE=BC=BF+CF=x+4y，EF=BF=x，
∴DF=DE+EF=x+4y+x=2x+4y，
在Rt△CDF中，
CD2+CF2=DF2
∴42+（4y）2=（2x+4y）2
解之：x2+4xy=4
故答案为：A
【分析】利用矩形的性质可求出CD的长，利用锐角三角函数的定义可证得CF=4y；再利用切线长定理可证得AD=DE，BF=EF，再用含x，y的代数式表示出DF的长，然后利用勾股定理建立关于x，y的方程，整理可得答案。
10．【答案】12
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴PA=PB=6；
同理，可得：EC=CA，DE=DB；
∴△PDC的周长=PC+CE+DE+DP=PC+AC+PD+DB=PA+PB=2PA=12.
故答案为：12.
【分析】根据切线长定理可知从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，故PA=PB=6；EC=CA，DE=DB，进而根据三角形周长的计算方法及等量代换即可算出答案.
11．【答案】2
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：根据切线长定理，AP=AC，BP=BD，
所以BP=5-3=2，
所以BD=2.
故答案为：2.
【分析】由切线长定理可知AP=AC、BP=BD，再结合条件即可解答。
12．【答案】9
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵⊙O切△ABC的BC于D，切AB、AC的延长线于E、F，
∴BE＝BD，DC＝CF，AF＝AE，
∵△ABC的周长为18，
即AC+BC+AB＝AB+DB+DC+AC＝AB+BE+AC+CF＝18，
∴AE+AF＝18，
∴AE＝9，
故答案为：9.
【分析】根据切线长定理得出BE＝BD，DC＝CF，AF＝AE，进而三角形周长的计算方法等量代换及线段的和差即可算出答案.
13．【答案】70°
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接OB：
∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠BAC＝35°，OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA＝35°，
∴∠PAB＝∠PBA＝55°，
∴∠P＝180° ∠PAB ∠PBA＝70°，
即∠P的度数是70°，
故答案为：70°．
【分析】连接OB，结合切线长定理及四边形内角和求解即可。
14．【答案】50°
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠BPO＝∠APO＝25°，
∴∠BPA＝50°，
故答案为：50°．
【分析】根据切线长定理得到∠BPO＝∠APO，结合图形计算，得到答案．
15．【答案】2或1.5
【知识点】勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：设半径为r，
∵AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，AB＝5，AD＝6
∴GC=r，BG=BF=6-r，
∴AF=5-（6-r）=r-1=AE
∴ND=6-（r-1）-r=7-2r，
在Rt△NDC中，NC2+ND2=CD2，
（7-r）2+（2r）2=52，
解得r=2或1.5.
故答案为：2或1.5.
【分析】根据切线的性质，切线长定理得出线段之间的关系，利用勾股定理列出方程解出圆的半径.
16．【答案】219
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接AB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵∠P＝102°，
∴∠PAB＝∠PBA＝ （180° 102°）＝39°，
∵∠DAB＋∠C＝180°，
∴∠PAD＋∠C＝∠PAB＋∠DAB＋∠C＝180°＋39°＝219°，
故答案为：219°.
【分析】连接AB，根据切线长定理得出PA＝PB，根据等边对等角及三角形的内角和得出∠PAB＝∠PBA＝39°，根据圆内接四边形的对角互补及角的和差即可由∠PAD＋∠C＝∠PAB＋∠DAB＋∠C算出答案。
17．【答案】
【知识点】切线长定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：作∠DAH与∠AEF的角平分线交于点O，则点O是四边形AEFG内切圆的圆心，过O作OH⊥AE，
则∠OAH=30°，∠AEO=45°，
故EH=OH= OA，
设EH=x，则AH= -x，AO=2x，
在Rt△AOH中，
∵AH2+OH2=OA2，
故( -x)2+x2=(2x)2，
解得x= 或x= （舍去），
∴四边形AEED的内切圆半径为： ．
故答案为： ．
【分析】作∠DAH与∠AEF的角平分线交于点O，则O即为该圆的圆心，过O作OH⊥AE，AB= ，再根据直角三角形的性质便可求出OH的长，即该四边形内切圆的半径．
18．【答案】解：∵PA、PB是⊙D的切线，
∴PA＝PC，
∵∠P＝60°，
∴△PAC是等边三角形，
∴AC＝PA＝ ，∠PAC＝60°，
∵PA是切线，AB是直径，
∴PA⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝ ＝2．
【知识点】含30°角的直角三角形；切线长定理
【解析】【分析】首先证明△PAC是等边三角形，推出AC＝PA＝ ，再证明∠BAC＝30°即可解决问题；
19．【答案】（1）证明：连接OB.
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠BAC=30°.
∴∠AOB=180°-30°-30°=120°.
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°.
∵四边形的内角和为360°，
∴∠OBP=360°-90°-60°-120°=90°.
∴OB⊥PB.
又∵点B是⊙O上的一点，
∴PB是⊙O的切线.
（2）解：连接OP；
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB= ∠APB=30°.
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，
∴OP=2OA=2×2=4，
∴PA= ＝ ＝2 .
∵PA=PB，∠APB=60°，
∴PA=PB=AB=2 .
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）连接OB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得∠AOB的度数；再根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得∠OAP=90°，由 四边形的内角和为360°可求得∠OBP=90°，再根据圆的切线的判定可求解；
（2）连接OP，由切线长定理可得PA=PB， 在Rt△OAP中， 用勾股定理可求得PA的长，再根据等边三角形的判定和性质可求解.
20．【答案】（1）解：∵在菱形ABCD中，∠A=60°
∴∠C=∠A=60°
∴ 的度数为120°．
（2）解：连结OA，OB，OD． ∵⊙O分别切AB，AD于点B，D.
∴OB⊥AB，OD⊥AD，且OA平分∠BAD.
∴∠OAB=∠OAD=30° ∴∴ ． = ．
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质可求出∠C的度数，再根据圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，就可求出弧BD的度数。
（2）连接OD，OB，利用切线的性质可证得OB⊥AB，OD⊥AD，利用切线长定理可得到OA平分∠DAB，从而可求出∠OAB和∠OAD的度数，再利用解直角三角形求出AB的长，然后根据阴影部分的面积等于2S△AOB-S扇形OBD，利用三角形和扇形的面积公式可求解。
21．【答案】（1）解：连接OF；
根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBE+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°
（2）解：由（1）知，∠BOC=90°．
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴由勾股定理得到：BC= =10cm，
∴BE+CG=BC=10cm
（3）解：∵OF⊥BC，
∴OF= =4.8cm
【知识点】切线长定理
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；（3）最后由三角形面积公式即可求得OF的长．
22．【答案】（1）解：连接AO，四边形AECO是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵E是AB的中点，
∴AE＝ AB.
∵CD是⊙O的直径，
∴OC＝ CD.∴AE∥OC，AE＝OC.
∴四边形AECO为平行四边形.
（2）证明：由（1）得，四边形AECO为平行四边形，
∴AO∥EC
∴∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC.
∵OF＝OC
∴∠OCF＝∠OFC.
∴∠AOD＝∠AOF.
∵在△AOD和△AOF中，AO＝AO，∠AOD＝∠AOF，OD＝OF
∴△AOD≌△AOF.
∴∠ADO＝∠AFO.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADO＝90°.
∴∠AFO＝90°，即AH⊥OF.
∵点F在⊙O上，
∴AH是⊙O的切线.
（3）
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；切线的判定；切线长定理
【解析】【解答】解：（3）∵HC、FH为圆O的切线，AD、AF是圆O的切线
∴AD=AF,CH=FH=2,
设AD=x,则AF=x,AH=x+2,BH=x-2，
在Rt△ABH中，AH2=AB2+BH2,
即（x+2）2=62+（x-2）2,
解得x=
∴AH= +2= .
【分析】（1）根据矩形的性质得到AE∥OC，AE＝OC即可证明；（2）根据平行四边形的性质得到∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC，再根据等腰三角形的性质得到∠OCF＝∠OFC.故可得∠AOD＝∠AOF，利用SAS证明△AOD≌△AOF，由ADO＝90°得到AH⊥OF，即可证明；（3）根据切线长定理可得AD=AF,CH=FH=2,设AD=x,则AF=x,AH=x+2,BH=x-2，再利用在Rt△ABH中，AH2=AB2+BH2,代入即可求x,即可得到AH的长.
23．【答案】（1）证明：如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，
∵OA平分 交BC于点O，
∴OG=OC，
∴点G在 上，
即AB与 相切；
（2）解：①OA垂直平分CE，理由是：
连接OE，
∵AB与 相切于点E，AC与 相切于点C，
∴AE=AC，
∵OE=OC，
∴OA垂直平分CE；
②∵ ，
则FC=2OF，在△OCF中，
，
解得：OF= ，则CF= ，
由①得：OA⊥CE，
则∠OCF+∠COF=90°，又∠OCF+∠ACF=90°，
∴∠COF=∠ACF，而∠CFO=∠ACO=90°，
∴△OCF∽△OAC，
∴ ，即 ，
解得：AC=6，
∵AB与圆O切于点E，
∴∠BEO=90°，AC=AE=6，而∠B=∠B，
∴△BEO∽△BCA，
∴ ，设BO=x，BE=y，
则 ，
可得： ，
解得： ，即BO=5，BE=4，
∴tanB= = .
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）过点O作OG⊥AB，垂足为G，利用角平分线的性质定理可得OG=OC，即可证明；（2）①利用切线长定理，证明OE=OC，结合OE=OC，再利用垂直平分线的判定定理可得结论；②根据 求出OF和CF，再证明△OCF∽△OAC，求出AC，再证明△BEO∽△BCA，得到 ，设BO=x，BE=y，可得关于x和y的二元一次方程组，求解可得BO和BE，从而可得结果.
1 / 1
