初中数学浙教版九年级上册4.4 相似三角形的判定（1）同步练习

初中数学浙教版九年级上册4.4 相似三角形的判定（1）同步练习
一、单选题
1．下列各组条件中，不能判定△ABC与△A′B′C′相似的是（　　）
A．∠A=∠A′，∠B=∠B′
B．∠C=∠C′=90°，∠A=12°，∠B′=78°
C．∠A=∠B，∠B′=∠A′
D．∠A＋∠B=∠A′＋∠B′，∠A－∠B=∠A′－∠B′
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A．若∠A=∠A′∠B=∠B′，则可判断△ABC∽△A′B′C′，不符合题意；
B.∠C=∠C’=90°，∠A=12°，∠B’=78°，则∠A=12°，所以∠A=∠A’，∠C=∠C’，则可断定△ABC∽△A’B’C’，不符合题意.
C．若∠A=∠B，∠B′=∠A′，则△ABC和△A′B′C′都是等腰三角形，而等腰三角形不一定相似，即不能判定△ABC与△A′B′C′相似，符合题意；
D．若∠A+∠B=∠A′+∠B′，∠A﹣∠B=∠A′﹣∠B′，则∠A=∠A′∠B=∠B′，则可判断△ABC∽△A′B′C′，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】（1）用有两个角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△A′B′C′；
（2）由已知条件和三角形内角和定理可得∠A=∠A’，∠C=∠C’，再用有两个角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△A′B′C′；
（3）由已知条件只能说明△ABC和△A′B′C′都是等腰三角形，而等腰三角形不一定相似，即不能判定△ABC与△A′B′C′相似；
（4）由已知条件和三角形内角和定理可得∠A=∠A′∠B=∠B′，再用有两个角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△A′B′C′。
2．（2020九上·宽城期末）已知△ABC如图所示，则下面四个三角形中与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】由图可知，AB=AC ，∠B=75°
∴∠C=75°，∠A=30°
A三角形各角为75°，52.5°，52.5°
B三角形各角的度数均为60°
C三角形各角的度数为75°，30°，75°
D三角形各角的度数为40°，70°，70°
只有C选项三角形各角度数与题干中三角形各角度数相等
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的判定条件，对每个选项分析判断即可。
3．（2020九上·岐山期末）已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形（　　）
A．一定不相似 B．不一定相似 C．一定相似 D．不能确定
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵180°-40°-60°=80°，180°-40°-80°=60°，
∴两个三角形的三内角都是，40°，60°，80°，
∴一定相似，
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和定理求出每个三角形的第三角，由于有三个角分别相等，可见这两个三角形一定相似.
4．（2019九上·罗湖期末）如图，∠1＝∠2，DE∥AC，则图中的相似三角形有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴△BED∽△BAC，∠EDA＝∠DAC，
∵∠1＝∠2，
∴△ADE∽△CAD，
∵DE∥AC，
∴∠2＝∠EDB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠EDB，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAD，
∴△ABD∽△CBA，
故答案为：C．
【分析】根据”两角对应相等，两三角形相似“可判断出图中的相似三角形共有4对。
5．如图，△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，如果∠1=∠2=∠3，那么图中的相似三角形共有（　　）对．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①∵∠A=∠A，∠1=∠3，
∴△ADE∽△ABC．
②∵∠3=∠2，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ADC．
③∵∠A=∠A，∠1=∠2，
∴△ADC∽△ABC．
④∵∠1=∠2，∠BCD=∠CDE，
∴△CDE∽△BCD．
所以有4对．
故答案为：C
【分析】注意图中的隐含条件：∠A=∠A，利用∠1=∠3，可证得DE∥BC，利用平行线的性质，可得出∠BCD=∠CDE，然后利用两组角对应相等的三角形相似，可证得图形所有相似的三角形，即可得出答案。
6．（2020九下·合肥月考）如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列哪些条件，（1） ∠AED=∠B（2） （3） ，使△ADE与△ACB一定相似（　　）
A．（1）（2） B．（2）
C．（1）（3） D．（1）（2）（3）
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）∵ ∠AED=∠B，∠C=∠C ∴△ADE∽△ACB,故（1）正确；
（2）因为,∠C=∠C,不能判断△ADE与△ACB相似，故（2）错误；
（3）∵,∠C=∠C ∴△ADE∽△ACB,故（3）正确。
故答案为：C.
【分析】利用相似三角形的判定方法一一判断即可。
7．（2020九上·奉化期末）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD与点F，AD交PC与点G，则下列结论中错误的是（　　）
A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGD
C．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： A 、∵∠GEC=∠A+∠B=2∠A，
∵∠CPB=∠CPF+∠BPF=∠A+∠BPF，
∵∠BPF=∠A+∠D>∠A，
∴∠CPB>2∠A，
∴∠CPB≠∠GEC，
∴ △CGE和△CBP 不相似，错误，符合题意；
B、∵∠GPD=∠PAD，∠D公用，∴△APD∽△PGD，正确，不符合题意；
C、∵∠A=∠B，
∵∠APG=∠B+∠C，∠BFP=∠C+∠CPF， ∠CPF=∠B，
∴∠APG=∠BFP，
∴△APG∽△BFP，正确，不符合题意；
D、∵∠B=∠CPF，∠FCP=∠PCF，∴△PCF∽△BCP ，正确，不符合题意；
故答案为；A.
【分析】根据 ∠CPD=∠A=∠B，结合三角形的外角性质，推出对应角∠CPB和∠GEC不相等，判定A错误；根据两组对角分别相等可证∠CPB≠∠GEC，则B正确；根据∠A=∠B，结合三角形外角的性质可得∠APG=∠BFP，于是△APG∽△BFP，C正确；同样根据两组对角分别相等可证△PCF∽△BCP ，则D正确.
8．（2020九上·建湖期末）如图，在 中，高 相交于点 ，图中与 相似的三角形共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵高BD、CE相交于点F，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∵∠BFE=∠CFD，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∵∠ABD=∠FBE，∠BEF=∠BDA，
∴△FBE∽△ABD，
同理可得△FCD∽△ACE，
∴△FBE∽△ABD∽△ACE∽△FCD．
故答案为：C．
【分析】先利用高的定义得到∠BEC=∠BDC=90°，再利用等角的余角相等得到∠ABD=∠ACE，加上∠A=∠A，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△ACE，利用同样的方法得到△FBE∽△ABD，△FCD∽△ACE，所以△FBE∽△ABD∽△ACE∽△FCD．
9．（2020·绍兴模拟）已知△ABC是正三角形，点D是边AC上一动点（不与A、C重合），以BD为边作正△BDE，边DE与边AB交于点F，则图中一定相似的三角形有（　　）对
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】∵△ABC和△BDE是正三角形
∴
∴△ABC∽△EDB
∴
∴△BDC∽△EFB
∵
∴△EFB∽△AFD
∴△BDC∽△AFD
∵
∴△BDF∽△BAD
∴图中的相似三角形是△ABC∽△EDB，△BDC∽△EFB，△BDC∽△AFD，△EFB∽△AFD，△BDF∽△BAD，一共5对．
故答案为：B．
【分析】根据两个等边三角形的三个角分别相等可证△ABC∽△EDB，根据两个角分别相等△BDC∽△EFB∽△AFD，△BDF∽△BAD，据此判断即可.
10．（2019·昭平模拟）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是（　　）
A．AE＞BE B． ＝
C．∠D＝ ∠AEC D．△ADE∽△CBE
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】∵CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，
∴AE＝BE， ＝ ，故A、B不符合题意；
∵∠AEC不是圆心角，
∴∠D≠ ∠AEC，故C不符合题意；
∵∠CEB＝∠AED，∠DAE＝∠BCE，
∴△ADE∽△CBE，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据垂径定理可得AE＝BE，，据此判断A、B；根据圆周角定理可知∠D=∠AOC≠ ∠AEC，从而判断C；根据两角分别相等可证△ADE∽△CBE，据此判断D.
二、填空题
11．（2018九上·灌云月考）如图，点 在 的边 上，请你添加一个条件，使得 ∽ ,这个条件可以是　 　.
【答案】∠C=∠ABP（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：因为有公共角∠A，所以当∠C＝∠ABP时，△APB∽△ABC(答案不唯一).
故答案为∠C＝∠ABP(答案不唯一).
【分析】此题答案不唯一，根据两角对应相等两三角形相似可知，当∠C＝∠ABP时，△APB∽△ABC.
12．如图，∠BAC＝80°，∠B＝40°，∠E=60°，若将图中的△ADE旋转(平移)，则所得到的新三角形与△ABC　 　，与△ADE　 　
【答案】相似；全等
【知识点】相似三角形的判定；旋转的性质
【解析】【解答】∵∠BAC＝80°，∠B＝40°，
∴∠C＝60°，
∵∠BAC＝∠DAE， ∠C＝∠E＝60°，
∴△ADE∽△ABC，
∵将图中的△ADE旋转(平移)，
∴得到的新三角形与△ADE全等，与△ABC相似.
故答案为：相似；全等
【分析】由对顶角相等可得∠BAC=∠DAE，由三角形内角和定理可得∠C=60°，所以可得∠C＝∠E，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC；根据平移的性质可得所得到的新三角形与△ADE全等；于是所得到的新三角形与△ABC相似。
13．（2019·徐汇模拟）如图，在 ABCD中，AB＝3，AD＝5，AF分别交BC于点E、交DC的延长线于点F，且CF＝1，则CE的长为　 　．
【答案】 .
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD＝BC＝5，
∴△ABE∽△FCE
∴
∴BE＝3CE
∵BC＝BE+CE＝5
∴CE＝
故答案为： .
【分析】根据 ABCD 的性质，得AB∥CD，AD＝BC。故∠ABE=∠FCE,∠BAE=∠CFE.根据两角对应相等两三角形相似判定定理，所以△ABE∽△FCE。根据相似三角形的性质，对应边成比例，即可列出比例式，即而求出CE的长度。
三、解答题
14．（2020九上·安徽月考）如图，已知 ，则 相似吗？说明理由。
【答案】解：相似.理由如下：
∵ ， ，且∠1=∠3，
∴ ，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据∠1=∠2证明∠BAC=∠DAE，根据∠1=∠3证明∠B=∠ADE，从而证明相似.
15．（2020·临潭模拟）如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2.求证：△ABC∽△EAD.
【答案】解:∵AD=DB,
∴∠B=∠BAD,
∵∠BDA=∠1+∠C=∠2+∠ADE,
∴∠C=∠ADE,
∴△ABC∽△EAD.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先根据等边对等角可得: ∠B=∠BAD,继而可得:∠C=∠ADE,利用两角相等可判定两三角形相似.
16．（2019九上·农安期末）如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C＝54°，∠A＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°，求证：△ABC∽△DEF．
【答案】解：在△ABC中，∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝79°，
在△ABC和△DEF中， ，
∴△ABC∽△DEF
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】在三角形DEF中，根据三角形的内角和为180°，即可求得∠D的度数，即可根据三角形相似的判定定理求得△ABC∽△DEF。
17．（2020·苏州）如图，在矩形 中，E是 的中点， ，垂足为F.
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长.
【答案】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ， .
∴ ，
∵ ，
∴ .
∴ ，
∴ .
（2）解：∵ ，
∴ .
∵ ， 是 的中点，
∴ .
∴在 中， .
又∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得， ， .再根据“两直线平行，内错角相等”可得 ，再由垂直的定义可得 .从而得出 ，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论；
（2）根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可.
18．（2020九上·遂宁期末）如图，在 ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC．
∴∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB．
又∵∠DAE＝∠F，
∴∠AEB＝∠F．
∴△ABE∽△ECF
（2）解：∵△ABE∽△ECF，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8．
∴EC＝BC BE＝8 2＝6．
∴ ．
∴FC＝ .
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可知AB∥CD，AD∥BC．所以∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB，又因为又∠DAE＝∠F，进而可证明：△ABE∽△ECF；（2）由（1）可知：△ABE∽△ECF，所以 ，由平行四边形的性质可知BC＝AD＝8，所以EC＝BC BE＝8 2＝6，代入计算即可．
19．（2020·成华模拟）如图，已知△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，P为△ABC内部一点，且满足∠APB＝∠BPC＝150°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA＝3PC；
（3）若AB＝10，求PA的长．
【答案】（1）证明：∵△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠CAB＝∠CBA＝ （180°﹣120°）＝30°，
∴∠1+∠2＝30°，
∵∠APB＝150°，
∴∠2+∠3＝30°，
∴∠3＝∠1，
∵∠APB＝∠CPB，
∴△PAB∽△PBC．
（2）证明：过点C作CD⊥AB于D．
∵△ABC中，AC＝BC，
∴BD＝ AB，
在Rt△CDB中，∠CBD＝30°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵△PAB∽△PBC，
∴ ，
∴PA＝ PB，PB＝ PC，
∴PA＝ PC＝3PC．
（3）解：将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BP′，连接PP′，CP′，则△BPP′为等边三角形，
∴∠4＝∠7＝60°，PP′＝PB＝BP′＝ PC，
∴∠5＝∠BPC﹣∠4＝150°﹣60°＝90°，
在Rt△PP′C中，∠5＝90°，PP′＝ PC，
∴tan∠6＝ ，
∴∠6＝60°，
∴∠6+∠7＝30°+60°＝90°，
∴P′C＝2PC，
∴在Rt△BCP′中， ， ，
由（2）中 ，AB＝10，可得BC＝ ，
∴（2PC）2+（ PC）2＝（ ）2，
∴PC＝ ，
∴PA＝ ．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
（2）过点C作CD⊥AB于D．首先证明 ，由△PAB∽△PBC，推出 ，可得结论．（3）将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BP′，连接PP′，CP′，则△BPP′为等边三角形，在Rt△BCP′中， ， ，由（2）中 ，AB＝10，可得BC＝ ，利用勾股定理构建方程，求出PC即可解决问题．
1 / 1初中数学浙教版九年级上册4.4 相似三角形的判定（1）同步练习
一、单选题
1．下列各组条件中，不能判定△ABC与△A′B′C′相似的是（　　）
A．∠A=∠A′，∠B=∠B′
B．∠C=∠C′=90°，∠A=12°，∠B′=78°
C．∠A=∠B，∠B′=∠A′
D．∠A＋∠B=∠A′＋∠B′，∠A－∠B=∠A′－∠B′
2．（2020九上·宽城期末）已知△ABC如图所示，则下面四个三角形中与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2020九上·岐山期末）已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形（　　）
A．一定不相似 B．不一定相似 C．一定相似 D．不能确定
4．（2019九上·罗湖期末）如图，∠1＝∠2，DE∥AC，则图中的相似三角形有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
5．如图，△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，如果∠1=∠2=∠3，那么图中的相似三角形共有（　　）对．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2020九下·合肥月考）如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列哪些条件，（1） ∠AED=∠B（2） （3） ，使△ADE与△ACB一定相似（　　）
A．（1）（2） B．（2）
C．（1）（3） D．（1）（2）（3）
7．（2020九上·奉化期末）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD与点F，AD交PC与点G，则下列结论中错误的是（　　）
A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGD
C．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP
8．（2020九上·建湖期末）如图，在 中，高 相交于点 ，图中与 相似的三角形共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2020·绍兴模拟）已知△ABC是正三角形，点D是边AC上一动点（不与A、C重合），以BD为边作正△BDE，边DE与边AB交于点F，则图中一定相似的三角形有（　　）对
A．6 B．5 C．4 D．3
10．（2019·昭平模拟）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是（　　）
A．AE＞BE B． ＝
C．∠D＝ ∠AEC D．△ADE∽△CBE
二、填空题
11．（2018九上·灌云月考）如图，点 在 的边 上，请你添加一个条件，使得 ∽ ,这个条件可以是　 　.
12．如图，∠BAC＝80°，∠B＝40°，∠E=60°，若将图中的△ADE旋转(平移)，则所得到的新三角形与△ABC　 　，与△ADE　 　
13．（2019·徐汇模拟）如图，在 ABCD中，AB＝3，AD＝5，AF分别交BC于点E、交DC的延长线于点F，且CF＝1，则CE的长为　 　．
三、解答题
14．（2020九上·安徽月考）如图，已知 ，则 相似吗？说明理由。
15．（2020·临潭模拟）如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2.求证：△ABC∽△EAD.
16．（2019九上·农安期末）如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C＝54°，∠A＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°，求证：△ABC∽△DEF．
17．（2020·苏州）如图，在矩形 中，E是 的中点， ，垂足为F.
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长.
18．（2020九上·遂宁期末）如图，在 ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．
19．（2020·成华模拟）如图，已知△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，P为△ABC内部一点，且满足∠APB＝∠BPC＝150°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA＝3PC；
（3）若AB＝10，求PA的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A．若∠A=∠A′∠B=∠B′，则可判断△ABC∽△A′B′C′，不符合题意；
B.∠C=∠C’=90°，∠A=12°，∠B’=78°，则∠A=12°，所以∠A=∠A’，∠C=∠C’，则可断定△ABC∽△A’B’C’，不符合题意.
C．若∠A=∠B，∠B′=∠A′，则△ABC和△A′B′C′都是等腰三角形，而等腰三角形不一定相似，即不能判定△ABC与△A′B′C′相似，符合题意；
D．若∠A+∠B=∠A′+∠B′，∠A﹣∠B=∠A′﹣∠B′，则∠A=∠A′∠B=∠B′，则可判断△ABC∽△A′B′C′，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】（1）用有两个角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△A′B′C′；
（2）由已知条件和三角形内角和定理可得∠A=∠A’，∠C=∠C’，再用有两个角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△A′B′C′；
（3）由已知条件只能说明△ABC和△A′B′C′都是等腰三角形，而等腰三角形不一定相似，即不能判定△ABC与△A′B′C′相似；
（4）由已知条件和三角形内角和定理可得∠A=∠A′∠B=∠B′，再用有两个角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△A′B′C′。
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】由图可知，AB=AC ，∠B=75°
∴∠C=75°，∠A=30°
A三角形各角为75°，52.5°，52.5°
B三角形各角的度数均为60°
C三角形各角的度数为75°，30°，75°
D三角形各角的度数为40°，70°，70°
只有C选项三角形各角度数与题干中三角形各角度数相等
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的判定条件，对每个选项分析判断即可。
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵180°-40°-60°=80°，180°-40°-80°=60°，
∴两个三角形的三内角都是，40°，60°，80°，
∴一定相似，
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和定理求出每个三角形的第三角，由于有三个角分别相等，可见这两个三角形一定相似.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴△BED∽△BAC，∠EDA＝∠DAC，
∵∠1＝∠2，
∴△ADE∽△CAD，
∵DE∥AC，
∴∠2＝∠EDB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠EDB，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAD，
∴△ABD∽△CBA，
故答案为：C．
【分析】根据”两角对应相等，两三角形相似“可判断出图中的相似三角形共有4对。
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①∵∠A=∠A，∠1=∠3，
∴△ADE∽△ABC．
②∵∠3=∠2，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ADC．
③∵∠A=∠A，∠1=∠2，
∴△ADC∽△ABC．
④∵∠1=∠2，∠BCD=∠CDE，
∴△CDE∽△BCD．
所以有4对．
故答案为：C
【分析】注意图中的隐含条件：∠A=∠A，利用∠1=∠3，可证得DE∥BC，利用平行线的性质，可得出∠BCD=∠CDE，然后利用两组角对应相等的三角形相似，可证得图形所有相似的三角形，即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）∵ ∠AED=∠B，∠C=∠C ∴△ADE∽△ACB,故（1）正确；
（2）因为,∠C=∠C,不能判断△ADE与△ACB相似，故（2）错误；
（3）∵,∠C=∠C ∴△ADE∽△ACB,故（3）正确。
故答案为：C.
【分析】利用相似三角形的判定方法一一判断即可。
7．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： A 、∵∠GEC=∠A+∠B=2∠A，
∵∠CPB=∠CPF+∠BPF=∠A+∠BPF，
∵∠BPF=∠A+∠D>∠A，
∴∠CPB>2∠A，
∴∠CPB≠∠GEC，
∴ △CGE和△CBP 不相似，错误，符合题意；
B、∵∠GPD=∠PAD，∠D公用，∴△APD∽△PGD，正确，不符合题意；
C、∵∠A=∠B，
∵∠APG=∠B+∠C，∠BFP=∠C+∠CPF， ∠CPF=∠B，
∴∠APG=∠BFP，
∴△APG∽△BFP，正确，不符合题意；
D、∵∠B=∠CPF，∠FCP=∠PCF，∴△PCF∽△BCP ，正确，不符合题意；
故答案为；A.
【分析】根据 ∠CPD=∠A=∠B，结合三角形的外角性质，推出对应角∠CPB和∠GEC不相等，判定A错误；根据两组对角分别相等可证∠CPB≠∠GEC，则B正确；根据∠A=∠B，结合三角形外角的性质可得∠APG=∠BFP，于是△APG∽△BFP，C正确；同样根据两组对角分别相等可证△PCF∽△BCP ，则D正确.
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵高BD、CE相交于点F，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∵∠BFE=∠CFD，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∵∠ABD=∠FBE，∠BEF=∠BDA，
∴△FBE∽△ABD，
同理可得△FCD∽△ACE，
∴△FBE∽△ABD∽△ACE∽△FCD．
故答案为：C．
【分析】先利用高的定义得到∠BEC=∠BDC=90°，再利用等角的余角相等得到∠ABD=∠ACE，加上∠A=∠A，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△ACE，利用同样的方法得到△FBE∽△ABD，△FCD∽△ACE，所以△FBE∽△ABD∽△ACE∽△FCD．
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】∵△ABC和△BDE是正三角形
∴
∴△ABC∽△EDB
∴
∴△BDC∽△EFB
∵
∴△EFB∽△AFD
∴△BDC∽△AFD
∵
∴△BDF∽△BAD
∴图中的相似三角形是△ABC∽△EDB，△BDC∽△EFB，△BDC∽△AFD，△EFB∽△AFD，△BDF∽△BAD，一共5对．
故答案为：B．
【分析】根据两个等边三角形的三个角分别相等可证△ABC∽△EDB，根据两个角分别相等△BDC∽△EFB∽△AFD，△BDF∽△BAD，据此判断即可.
10．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】∵CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，
∴AE＝BE， ＝ ，故A、B不符合题意；
∵∠AEC不是圆心角，
∴∠D≠ ∠AEC，故C不符合题意；
∵∠CEB＝∠AED，∠DAE＝∠BCE，
∴△ADE∽△CBE，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据垂径定理可得AE＝BE，，据此判断A、B；根据圆周角定理可知∠D=∠AOC≠ ∠AEC，从而判断C；根据两角分别相等可证△ADE∽△CBE，据此判断D.
11．【答案】∠C=∠ABP（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：因为有公共角∠A，所以当∠C＝∠ABP时，△APB∽△ABC(答案不唯一).
故答案为∠C＝∠ABP(答案不唯一).
【分析】此题答案不唯一，根据两角对应相等两三角形相似可知，当∠C＝∠ABP时，△APB∽△ABC.
12．【答案】相似；全等
【知识点】相似三角形的判定；旋转的性质
【解析】【解答】∵∠BAC＝80°，∠B＝40°，
∴∠C＝60°，
∵∠BAC＝∠DAE， ∠C＝∠E＝60°，
∴△ADE∽△ABC，
∵将图中的△ADE旋转(平移)，
∴得到的新三角形与△ADE全等，与△ABC相似.
故答案为：相似；全等
【分析】由对顶角相等可得∠BAC=∠DAE，由三角形内角和定理可得∠C=60°，所以可得∠C＝∠E，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC；根据平移的性质可得所得到的新三角形与△ADE全等；于是所得到的新三角形与△ABC相似。
13．【答案】 .
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD＝BC＝5，
∴△ABE∽△FCE
∴
∴BE＝3CE
∵BC＝BE+CE＝5
∴CE＝
故答案为： .
【分析】根据 ABCD 的性质，得AB∥CD，AD＝BC。故∠ABE=∠FCE,∠BAE=∠CFE.根据两角对应相等两三角形相似判定定理，所以△ABE∽△FCE。根据相似三角形的性质，对应边成比例，即可列出比例式，即而求出CE的长度。
14．【答案】解：相似.理由如下：
∵ ， ，且∠1=∠3，
∴ ，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据∠1=∠2证明∠BAC=∠DAE，根据∠1=∠3证明∠B=∠ADE，从而证明相似.
15．【答案】解:∵AD=DB,
∴∠B=∠BAD,
∵∠BDA=∠1+∠C=∠2+∠ADE,
∴∠C=∠ADE,
∴△ABC∽△EAD.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先根据等边对等角可得: ∠B=∠BAD,继而可得:∠C=∠ADE,利用两角相等可判定两三角形相似.
16．【答案】解：在△ABC中，∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝79°，
在△ABC和△DEF中， ，
∴△ABC∽△DEF
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】在三角形DEF中，根据三角形的内角和为180°，即可求得∠D的度数，即可根据三角形相似的判定定理求得△ABC∽△DEF。
17．【答案】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ， .
∴ ，
∵ ，
∴ .
∴ ，
∴ .
（2）解：∵ ，
∴ .
∵ ， 是 的中点，
∴ .
∴在 中， .
又∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得， ， .再根据“两直线平行，内错角相等”可得 ，再由垂直的定义可得 .从而得出 ，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论；
（2）根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可.
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC．
∴∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB．
又∵∠DAE＝∠F，
∴∠AEB＝∠F．
∴△ABE∽△ECF
（2）解：∵△ABE∽△ECF，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8．
∴EC＝BC BE＝8 2＝6．
∴ ．
∴FC＝ .
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可知AB∥CD，AD∥BC．所以∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB，又因为又∠DAE＝∠F，进而可证明：△ABE∽△ECF；（2）由（1）可知：△ABE∽△ECF，所以 ，由平行四边形的性质可知BC＝AD＝8，所以EC＝BC BE＝8 2＝6，代入计算即可．
19．【答案】（1）证明：∵△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠CAB＝∠CBA＝ （180°﹣120°）＝30°，
∴∠1+∠2＝30°，
∵∠APB＝150°，
∴∠2+∠3＝30°，
∴∠3＝∠1，
∵∠APB＝∠CPB，
∴△PAB∽△PBC．
（2）证明：过点C作CD⊥AB于D．
∵△ABC中，AC＝BC，
∴BD＝ AB，
在Rt△CDB中，∠CBD＝30°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵△PAB∽△PBC，
∴ ，
∴PA＝ PB，PB＝ PC，
∴PA＝ PC＝3PC．
（3）解：将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BP′，连接PP′，CP′，则△BPP′为等边三角形，
∴∠4＝∠7＝60°，PP′＝PB＝BP′＝ PC，
∴∠5＝∠BPC﹣∠4＝150°﹣60°＝90°，
在Rt△PP′C中，∠5＝90°，PP′＝ PC，
∴tan∠6＝ ，
∴∠6＝60°，
∴∠6+∠7＝30°+60°＝90°，
∴P′C＝2PC，
∴在Rt△BCP′中， ， ，
由（2）中 ，AB＝10，可得BC＝ ，
∴（2PC）2+（ PC）2＝（ ）2，
∴PC＝ ，
∴PA＝ ．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
（2）过点C作CD⊥AB于D．首先证明 ，由△PAB∽△PBC，推出 ，可得结论．（3）将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BP′，连接PP′，CP′，则△BPP′为等边三角形，在Rt△BCP′中， ， ，由（2）中 ，AB＝10，可得BC＝ ，利用勾股定理构建方程，求出PC即可解决问题．
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