初中数学浙教版九年级上册4.6相似多边形 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·鄞州期末）如果两个相似多边形的面积之比为1：4，那么它们的周长之比是( ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
2．（2019七下·西安期末）西安市大雁塔广场占地面积约为667000m ，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积大约相当于（ ）
A．一个篮球场的面积 B．一张乒乓球台台面的面积
C．《华商报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积
3．（2020·临潭模拟）如图所示，在长为8 cm，宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）
A．2 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2
4．（2020八下·黄石期中）如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=a，宽BC=b，E，F分别是AB，CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，则a：b等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2020九上·醴陵期末）下列各组图形一定相似的是（ ）
A．两个直角三角形 B．两个等边三角形
C．两个菱形 D．两个矩形
6．（2019八下·高密期末）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2019九上·右玉月考）下列说法中正确的是（ ）
①在两个边数相同的多边形中，如果对应边成比例，那么这两个多边形相似；②如果两个矩形有一组邻边对应成比例，那么这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形都相似；④有一个角对应相等的菱形都相似．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
8．（2019八下·大庆期中）两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积和为78cm2，那么较大多边形的面积为（ ）
A．46.8 cm2 B．42 cm2 C．52 cm2 D．54 cm2
9．（2020九上·鄞州期末）如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连结BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是（ ）
A．矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差
B．矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差
C．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差
D．矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差
10．（2019九上·迎泽月考）书画经装裱后更便于收藏．如图，画心ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A′B′C′D′，两矩形的对应边互相平行，且AB与A′B'的距离、CD与C′D′的距离都等于4cm．当AD与A′D′的距离、BC与B'C′距离都等于acm，且矩形ABCD∽矩形A′B′C′D'时，整幅书画最美观此时，a的值为（ ）
A．4 B．6 C．12 D．24
二、填空题
11．（2020·淮安模拟）一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它相似的四边形最小边长为6，则另一个四边形的最长边是 .
12．（2020八下·高新期末）把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若小长方形的宽为2，则原长方形的宽x为 。
13．（2020·常熟模拟）以小正方形的中心为位似中心，以1：3的比例放大得到一个大正方形，从而得到了一个如图所示的飞镖游戏板.若小明同学向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则镖落在阴影部分的概率是 .
14．（2019九上·定边期中）如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点E，G分别为边AB，AD上的点，若矩形AEFG与矩形ABCD相似，且相似比为 ，连接CF，则CF= .
三、解答题
15．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.2相似图形 同步练习）如图，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，要求大小与左边四边形不同．
16．（2019九上·长春月考）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．
（1）α＝
（2）求边x、y的长度．
17．（2019九上·慈溪月考）一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
18．（2019·长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①条边成比例的两个凸四边形相似；（ 命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题）
③两个大小不同的正方形相似．（ 命题）
（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1， ，求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFDE的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求 的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形的面积之比为1：4，
∴这两个多边形的周长比为1:2.
故答案为：A.
【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，即可解答。
2．【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设其缩小后的面积为xm2 ，
则x:667000=(1:2000)2，
x=0.16675m2 ，
故其面积相当于报纸的一个版面的面积.
故答案为：C.
【分析】利用相似多边形的面积比等于相似比的平方，列比例式进行求解，再根据现实生活中的物体的面积，即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设留下矩形的宽为xcm，
∵留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，
∴ ，
解得
则留下矩形的面积为 .
故答案为：C.
【分析】根据相似多边形的对应边成比例可得比例式求得留下矩形的宽度，再由矩形的面积=长×宽可判断求解.
4．【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴ cm，
∵矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，
∴a：b= ：1.
故答案为：A.
【分析】根据线段的中点，可得，由于矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，可得 ，即得 ，从而可得，据此即可求出结论.
5．【答案】B
【知识点】相似多边形；相似三角形的判定
【解析】【解答】A.两个直角三角形只有一组角相等，所以不一定相似, 故本选项不符合题意；
B. 两个等边三角形，对应角都是60°，所以一定相似，故本选项符合题意.
C. 两个菱形，形状不一定相同，故本选项不符合题意；
D.两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等，对各选项分析判断即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定；相似多边形
【解析】【解答】作AE⊥BC于E，
则四边形AECD为矩形，
∴EC＝AD＝1，AE＝CD＝3，
∴BE＝4，
由勾股定理得，AB＝ ＝5，
∴四边形ABCD的四条边之比为1：3：5：5，
D选项中，四条边之比为1：3：5：5，且对应角相等，
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理求出四边形ABCD的四条边之比，根据相似多边形的判定方法判断即可．
7．【答案】D
【知识点】推理与论证；相似多边形
【解析】【解答】①虽然对应边成比例，但是对应角不一定相等，所以不一定相似，比如：所有菱形的对应边成比例，但是它们不一定相似；②两个矩形有一组邻边对应成比例，就可以得出四条边对应成比例，并且它们的角都是90°，所以这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形的对应边不一定成比例，所以不一定相似；④有一个角对应相等就可以得出菱形的其他角对应相等，并且菱形的对应边成比例，所以相似．
故答案为：D．
【分析】利用各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形，进行解答即可．
8．【答案】D
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】设较大多边形的面积为xcm2，则较小多边形的面积为：（78-x）cm2，
∵两个相似多边形的一组对应边长分别为3cm和4.5cm，
∴x：（78-x）=4.52：32，
解得x=54．
故答案为：D．
【分析】设较大多边形的面积为xcm2，根据相似多边形面积的比等于相似比的平方列出关于x的方程．求出x的值即可．
9．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵ 矩形ABCD∽矩形FAHG，
∴，AF=DE，
∴AF·BC=AB·AH，
∵S阴影部分=S矩形ABCD+S矩形AHGF-S△BFG，
∴S阴影部分=
=
=
=
∴能求出矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差就一定能求出△BIJ面积.
故答案为：B.
【分析】利用相似多边形的对应边成比例可证得AF·BC=AB·AH，再根据S阴影部分=S矩形ABCD+S矩形AHGF-S△BFG，利用矩形的面积公式和三角形的面积公式就可推出S阴影部分=，即可证得一定能求出△BIJ面积的条件的选项。
10．【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】由题意
解得
故答案为：C.
【分析】由 ，推出 ，由此构建方程即可解决问题.
11．【答案】12
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】两个相似的四边形，一个最短的边是3，另一个最短边长为6，
则相似比是3：6=1：2，
根据相似四边形的对应边的比相等，设后一个四边形的最长边的长为x，
则6：x=1：2，
解得：x=12.
即后一个四边形的最长边的长为12.
故答案为：12.
【分析】根据相似四边形的对应边的比相等进行解答即可.
12．【答案】2
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：根据题意得，
解得x=2（负值舍去），
故原长方形的宽为2.
【分析】根据相似图形的对应边相等即可得到关于x的方程，求解即可.
13．【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解： 小正方形与大正方形位似比为1：3，故其面积比为 ，
∴阴影部分面积占总面积的比值为 ，
飞镖落在阴影部分的概率是 ，
故答案为： .
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值.故先用位似图形性质求出阴影区域的面积与总面积的比值即可得出答案.
14．【答案】5或 .
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】延长GF交BC于M.∵四边形AEFG和ABCD是矩形，∴GF∥AE.∵AB⊥BC，∴GM⊥BC，分两种情况：
①当AD与AG对应时.∵相似比为 .∵AB=12，AD=BC=9，∴EF=AG=BM=6，GF=AE=8，∴FM=12﹣8=4，CM=9﹣6=3.在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF= =5。
②当AD与AE对应时.∵相似比为 ，∴AG=8，AE=6，∴FM=12﹣6=6，CM=9﹣8=1.在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF= = .
故答案为：5或 .
【分析】若矩形AEFG与矩形ABCD相似，没确定哪两条边相似，所以分两种情况：①当AD与AG对应时，先根据相似比求AG和AE的长，利用线段的差求FM和CM的长，根据勾股定理求CF的长；②当AD与AE对应时，同理可得CF的长.
15．【答案】解：如图所示：
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】利用相似多边形的性质，按要求画图即可。
16．【答案】（1）83°
（2）解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴ ＝ ＝ ，
解得：x＝12，y＝ ．
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠A＝∠A′＝62°，∠B＝∠B′＝75°，
∴α＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°，
故答案为：83°；
【分析】（1）根据相似图形的对应角相等可求出∠A＝∠A′＝62°，∠B＝∠B′＝75°，然后在四边形A′B′C′D′中，利用四边形的内角和等于360°求出α即可；
（2）根据相似图形的对应边成比例可得，解出x、y即可。
17．【答案】（1）解：由已知得MN=AB=2，MD= AD= BC，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似， = ，
∴DM BC=AB MN，即 BC2=4，
∴BC=2 ，即它的另一边长为2
（2）解：∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴ = ，
∵AB=CD=2，BC=4，
∴DF= =1，
∴矩形EFDC的面积=CD DF=2×1=2
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）由题意可知矩形DMNC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，就可以得到它的另一边长；
（2）根据相似矩形对应边成比例列出比例式求出DF的长，再根据矩形面积公式求解即可．
18．【答案】（1）假；假；真
（2）证明：分别连接BD，B1D1
，且
，
， ， ，
，
，
，
，
， ， ，
， ， ， ，
四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似
（3）解：如图2中，
∵四边形ABFG与四边形EFCD相似
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，即AE=DE
【知识点】相似多边形；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．
②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．
③两个大小不同的正方形相似．是真命题．
故答案为假，假，真．
【分析】（1）根据相似多边形的定义逐一判断即可.
（2）分别连接BD，B1D1 ，分别求出四条边对应成比例且四个角分别相等即可.
（3）根据相似四边形的性质及平行线分线段成比例可得2AE=DE+AE，即得AE=DE，从而得出S1与S2的比值.
1 / 1初中数学浙教版九年级上册4.6相似多边形 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·鄞州期末）如果两个相似多边形的面积之比为1：4，那么它们的周长之比是( ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形的面积之比为1：4，
∴这两个多边形的周长比为1:2.
故答案为：A.
【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，即可解答。
2．（2019七下·西安期末）西安市大雁塔广场占地面积约为667000m ，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积大约相当于（ ）
A．一个篮球场的面积 B．一张乒乓球台台面的面积
C．《华商报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积
【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设其缩小后的面积为xm2 ，
则x:667000=(1:2000)2，
x=0.16675m2 ，
故其面积相当于报纸的一个版面的面积.
故答案为：C.
【分析】利用相似多边形的面积比等于相似比的平方，列比例式进行求解，再根据现实生活中的物体的面积，即可得出答案.
3．（2020·临潭模拟）如图所示，在长为8 cm，宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）
A．2 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2
【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设留下矩形的宽为xcm，
∵留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，
∴ ，
解得
则留下矩形的面积为 .
故答案为：C.
【分析】根据相似多边形的对应边成比例可得比例式求得留下矩形的宽度，再由矩形的面积=长×宽可判断求解.
4．（2020八下·黄石期中）如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=a，宽BC=b，E，F分别是AB，CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，则a：b等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴ cm，
∵矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，
∴a：b= ：1.
故答案为：A.
【分析】根据线段的中点，可得，由于矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，可得 ，即得 ，从而可得，据此即可求出结论.
5．（2020九上·醴陵期末）下列各组图形一定相似的是（ ）
A．两个直角三角形 B．两个等边三角形
C．两个菱形 D．两个矩形
【答案】B
【知识点】相似多边形；相似三角形的判定
【解析】【解答】A.两个直角三角形只有一组角相等，所以不一定相似, 故本选项不符合题意；
B. 两个等边三角形，对应角都是60°，所以一定相似，故本选项符合题意.
C. 两个菱形，形状不一定相同，故本选项不符合题意；
D.两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等，对各选项分析判断即可得出答案.
6．（2019八下·高密期末）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定；相似多边形
【解析】【解答】作AE⊥BC于E，
则四边形AECD为矩形，
∴EC＝AD＝1，AE＝CD＝3，
∴BE＝4，
由勾股定理得，AB＝ ＝5，
∴四边形ABCD的四条边之比为1：3：5：5，
D选项中，四条边之比为1：3：5：5，且对应角相等，
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理求出四边形ABCD的四条边之比，根据相似多边形的判定方法判断即可．
7．（2019九上·右玉月考）下列说法中正确的是（ ）
①在两个边数相同的多边形中，如果对应边成比例，那么这两个多边形相似；②如果两个矩形有一组邻边对应成比例，那么这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形都相似；④有一个角对应相等的菱形都相似．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】D
【知识点】推理与论证；相似多边形
【解析】【解答】①虽然对应边成比例，但是对应角不一定相等，所以不一定相似，比如：所有菱形的对应边成比例，但是它们不一定相似；②两个矩形有一组邻边对应成比例，就可以得出四条边对应成比例，并且它们的角都是90°，所以这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形的对应边不一定成比例，所以不一定相似；④有一个角对应相等就可以得出菱形的其他角对应相等，并且菱形的对应边成比例，所以相似．
故答案为：D．
【分析】利用各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形，进行解答即可．
8．（2019八下·大庆期中）两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积和为78cm2，那么较大多边形的面积为（ ）
A．46.8 cm2 B．42 cm2 C．52 cm2 D．54 cm2
【答案】D
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】设较大多边形的面积为xcm2，则较小多边形的面积为：（78-x）cm2，
∵两个相似多边形的一组对应边长分别为3cm和4.5cm，
∴x：（78-x）=4.52：32，
解得x=54．
故答案为：D．
【分析】设较大多边形的面积为xcm2，根据相似多边形面积的比等于相似比的平方列出关于x的方程．求出x的值即可．
9．（2020九上·鄞州期末）如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连结BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是（ ）
A．矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差
B．矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差
C．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差
D．矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵ 矩形ABCD∽矩形FAHG，
∴，AF=DE，
∴AF·BC=AB·AH，
∵S阴影部分=S矩形ABCD+S矩形AHGF-S△BFG，
∴S阴影部分=
=
=
=
∴能求出矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差就一定能求出△BIJ面积.
故答案为：B.
【分析】利用相似多边形的对应边成比例可证得AF·BC=AB·AH，再根据S阴影部分=S矩形ABCD+S矩形AHGF-S△BFG，利用矩形的面积公式和三角形的面积公式就可推出S阴影部分=，即可证得一定能求出△BIJ面积的条件的选项。
10．（2019九上·迎泽月考）书画经装裱后更便于收藏．如图，画心ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A′B′C′D′，两矩形的对应边互相平行，且AB与A′B'的距离、CD与C′D′的距离都等于4cm．当AD与A′D′的距离、BC与B'C′距离都等于acm，且矩形ABCD∽矩形A′B′C′D'时，整幅书画最美观此时，a的值为（ ）
A．4 B．6 C．12 D．24
【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】由题意
解得
故答案为：C.
【分析】由 ，推出 ，由此构建方程即可解决问题.
二、填空题
11．（2020·淮安模拟）一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它相似的四边形最小边长为6，则另一个四边形的最长边是 .
【答案】12
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】两个相似的四边形，一个最短的边是3，另一个最短边长为6，
则相似比是3：6=1：2，
根据相似四边形的对应边的比相等，设后一个四边形的最长边的长为x，
则6：x=1：2，
解得：x=12.
即后一个四边形的最长边的长为12.
故答案为：12.
【分析】根据相似四边形的对应边的比相等进行解答即可.
12．（2020八下·高新期末）把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若小长方形的宽为2，则原长方形的宽x为 。
【答案】2
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：根据题意得，
解得x=2（负值舍去），
故原长方形的宽为2.
【分析】根据相似图形的对应边相等即可得到关于x的方程，求解即可.
13．（2020·常熟模拟）以小正方形的中心为位似中心，以1：3的比例放大得到一个大正方形，从而得到了一个如图所示的飞镖游戏板.若小明同学向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则镖落在阴影部分的概率是 .
【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解： 小正方形与大正方形位似比为1：3，故其面积比为 ，
∴阴影部分面积占总面积的比值为 ，
飞镖落在阴影部分的概率是 ，
故答案为： .
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值.故先用位似图形性质求出阴影区域的面积与总面积的比值即可得出答案.
14．（2019九上·定边期中）如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点E，G分别为边AB，AD上的点，若矩形AEFG与矩形ABCD相似，且相似比为 ，连接CF，则CF= .
【答案】5或 .
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】延长GF交BC于M.∵四边形AEFG和ABCD是矩形，∴GF∥AE.∵AB⊥BC，∴GM⊥BC，分两种情况：
①当AD与AG对应时.∵相似比为 .∵AB=12，AD=BC=9，∴EF=AG=BM=6，GF=AE=8，∴FM=12﹣8=4，CM=9﹣6=3.在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF= =5。
②当AD与AE对应时.∵相似比为 ，∴AG=8，AE=6，∴FM=12﹣6=6，CM=9﹣8=1.在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF= = .
故答案为：5或 .
【分析】若矩形AEFG与矩形ABCD相似，没确定哪两条边相似，所以分两种情况：①当AD与AG对应时，先根据相似比求AG和AE的长，利用线段的差求FM和CM的长，根据勾股定理求CF的长；②当AD与AE对应时，同理可得CF的长.
三、解答题
15．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.2相似图形 同步练习）如图，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，要求大小与左边四边形不同．
【答案】解：如图所示：
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】利用相似多边形的性质，按要求画图即可。
16．（2019九上·长春月考）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．
（1）α＝
（2）求边x、y的长度．
【答案】（1）83°
（2）解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴ ＝ ＝ ，
解得：x＝12，y＝ ．
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠A＝∠A′＝62°，∠B＝∠B′＝75°，
∴α＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°，
故答案为：83°；
【分析】（1）根据相似图形的对应角相等可求出∠A＝∠A′＝62°，∠B＝∠B′＝75°，然后在四边形A′B′C′D′中，利用四边形的内角和等于360°求出α即可；
（2）根据相似图形的对应边成比例可得，解出x、y即可。
17．（2019九上·慈溪月考）一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
【答案】（1）解：由已知得MN=AB=2，MD= AD= BC，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似， = ，
∴DM BC=AB MN，即 BC2=4，
∴BC=2 ，即它的另一边长为2
（2）解：∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴ = ，
∵AB=CD=2，BC=4，
∴DF= =1，
∴矩形EFDC的面积=CD DF=2×1=2
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）由题意可知矩形DMNC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，就可以得到它的另一边长；
（2）根据相似矩形对应边成比例列出比例式求出DF的长，再根据矩形面积公式求解即可．
18．（2019·长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①条边成比例的两个凸四边形相似；（ 命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题）
③两个大小不同的正方形相似．（ 命题）
（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1， ，求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFDE的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求 的值．
【答案】（1）假；假；真
（2）证明：分别连接BD，B1D1
，且
，
， ， ，
，
，
，
，
， ， ，
， ， ， ，
四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似
（3）解：如图2中，
∵四边形ABFG与四边形EFCD相似
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，即AE=DE
【知识点】相似多边形；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．
②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．
③两个大小不同的正方形相似．是真命题．
故答案为假，假，真．
【分析】（1）根据相似多边形的定义逐一判断即可.
（2）分别连接BD，B1D1 ，分别求出四条边对应成比例且四个角分别相等即可.
（3）根据相似四边形的性质及平行线分线段成比例可得2AE=DE+AE，即得AE=DE，从而得出S1与S2的比值.
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