初中数学浙教版九年级下册2.3 三角形的内切圆 同步练习
一、单选题
1．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
2．（2020九上·西安期末）下列关于三角形的内心说法正确的是（ ）
A．内心是三角形三条角平分线的交点
B．内心是三角形三边中垂线的交点
C．内心到三角形三个顶点的距离相等
D．钝角三角形的内心在三角形外
3．（2020九上·泗阳期中）如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°.则∠BOC等于（ ）
A．125° B．120° C．115° D．100°
4．（2018九上·硚口月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则其内切圆半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2018·烟台）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）
A．56° B．62° C．68° D．78°
6．（2016·平武模拟）如图，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F，若∠B=50°，∠C=60°，连接OE，OF，DE，DF，∠EDF等于（ ）
A．45° B．55° C．65° D．70°
7．（2020九上·泰兴月考）如图，△ABC内接于⊙O，I是△ABC的内心，AI的延长线交⊙O于点D，连接DB、DC，若AB是⊙O的直径，OI⊥AD，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·随县）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·青山模拟）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H。设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．π
二、填空题
10．（2018·大庆）在△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为 ．
11．（2020九上·泰兴月考）如图，已知⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，P是⊙O上异于E、F的一动点，若∠ A+∠C=x°，∠EPF=y°，则y与x的函数关系式为 .
12．（2020九上·大丰月考）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，I是△ABC的内心，则∠BIA的度数是 °.
13．（2019·嘉定模拟）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3 ，以点A为圆心作圆A，要使B、C两点中的一点在圆A外，另一点在圆A内，那么圆A的半径长r的取值范围是 ．
14．（2020九下·渠县开学考）如图，在 中， ， ， ， 为 的内切圆，点D是斜边AB的中点，则 ．
15．（2020九上·永定期中）已知三角形三边分别为3、4、5，则该三角形内心与外心之间的距离为 ．
三、综合题
16．如图，有一块三角形材料（△ABC），请你画出一个圆，使其与△ABC的各边都相切.
.
17．（2020九下·广陵月考）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D.DB与DI相等吗？为什么？
18．（2020·百色模拟）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC.
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝6，BC＝6 ，求优弧 的长.
19．（2020·阳新模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B的平分线交AC于E，DE⊥BE.
（1）试说明AC是△BED外接圆的切线；
（2）若CE=1，BC=2，求△ABC内切圆的面积.
20．（2020九上·南京月考）在△ABC中，∠C= ，⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均相切，⊙O的半径为m，⊙P的半径为n.
（1）当 =90°时，AC=6，BC=8时，m= ，n= .
（2）当 取下列度数时，求△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示，并直接写出答案）.①如图， =90°；②如图， =60°.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
则点O到三边的距离相等，
∴点O是△ABC的三条角平分线的交点；
故答案为：B．
【分析】三角形的三内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。根据定义可得B符合题意。
2．【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，
∴A选项正确，B、C、D选项均错误，
故答案为：A.
【分析】 由三角形内心的定义以及三角形内心是三个角平分线的交点，三角形外心的定义与三角形的外心是三边中垂线的交点的知识，分析个选项即可求解．
3．【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解： ⊙O是△ABC的内切圆
∴BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB
又 ∠ABC=50°，∠ACB=80°
∴ =25°、 °
∴ 180° =115°
故答案为：C.
【分析】根据 ⊙O是三角形△ABC的内切圆，知BO、CO是三角形的角平分线，从而求出 ∠OBC及∠OCB的度数，利用三角形内角和定理，便可找到答案.
4．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】∵∠C=90°，AB=13，BC=5，
∴AC= .
∴内切圆半径是(5+12-13)÷2=2.
故答案为：B.
【分析】用勾股定理可求得AC的值，再根据直角三角形的内切圆半径=可求解（其中a=BC ,b=AC ,c=AB ）。
5．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故答案为：C．
【分析】根据三角形内心的定义得出∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，根据三角形的内角和得出∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB），根据圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角得出答案。
6．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵∠B=50°，∠C=60°，
∴∠A=70°，
∴∠EOF=110°，
∴∠EDF= ∠EOF=55°．
故答案为：B．
【分析】本题考查： 弦切角；与圆有关的比例线段．利用三角形内切圆性质和圆周角与圆心角的关系求解．是基础题，解题时要认真审题，注意三角形内切圆的性质的灵活运用．
7．【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接BI，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵弧CD=弧CD，
∴∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BID=∠ABI+∠BAD，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴ID=BD，
∴设ID =BD=x，
∵AB是⊙O的直径，
∴BD⊥AD，
∴∠BDA=90°，
∵OI⊥AD，
∴AI=DI，
∴AD=2DI=2x，
∴AB= ，
∵弧BD=弧BD，
∴∠BCD=∠BAD，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】连接BI，由点I是△ABC的内心可得∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，结合圆周角定理可得∠BAD=∠CBD，由三角形外角的性质和角的构成易得∠BID=∠IBD，由等角对等边可得ID=BD，设ID =BD=x，由垂径定理可得AD=2DI=2x，在直角三角形ABD中，用勾股定理可将AB用含x的代数式表示出来，然后根据锐角三角函数sin∠BCD=sin∠BAD=可求解.
8．【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图所示,标上各点，AO为R，OB为r，AB为h，
从图象可以得出AB=AO+OB，即 ，A正确；
∵三角形为等边三角形，
∴∠CAO=30°，
根据垂径定理可知∠ACO=90°，
∴AO=2OC，即R=2r，B正确；
在Rt△ACO中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2，即 ，
由B中关系可得： ，解得 ，则 ，
所以C错误，D正确；
故答案为：C.
【分析】将图形标记各点,即可从图中看出长度关系证明A正确,再由构造的直角三角形和30°特殊角证明B正确,利用勾股定理求出r和R,即可判断C、D.
9．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连OI，PI，AI。
∵PH⊥OA
∴∠PHO=90°，
∴∠HOP+∠OPH=90°
又∵I为△OPH的内心
∴∠IOP=∠IOA=∠HOP，∠IPO=∠OPH
∴∠IOP+∠IPO=(∠HOP+∠OPH）=45°
∴∠PIO=180°-（∠IPO+∠IOP）=180°-45°=135°
又∵OP=OA，OI=OT，∠IOP=∠IOA
∴△OPI≌△OAI
∴∠AIO=∠PIO=135°
∴点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上
过A、I、O三点作⊙O′，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连PA，PO。
∴∠APO=180°-∠AIO=180°-135°=45°
∴∠AO′O=90°
∴O′O=OA=×2=
∴弧OA的长=.
∴内心I所经过的路径长为。
故答案为：B.
【分析】连OI，PI，AI，先利用三角形的内心的定义求出∠PIO=135°，然后易证△OPI≌△OAI，利用相似三角形的对应角相等得到∠AIO=∠PIO=135°，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连PA，PO，利用圆内接四边形的性质可得∠APO=45°，进而得∠AOO=90°，则可求出O′O，然后利用弧长公式计算即可。
10．【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，
∴BC= ，
设这个三角形的内切圆半径为r，
由三角形的面积可得
即 ，
解得 ．
故答案为：2．
【分析】由三角形的内切圆圆心到各边的距离是半径可得 由勾股定理可求得BC，代入相关值计算，即可求出r．
11．【答案】 或
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接 、 、 、 ，
为 的内切圆， 、 、 为切点，
，
，
，
， ，
有两种情况：①当 在优弧 上时， ，②当 在劣弧 上时， ，
，
即：y与x的函数关系式为： 或 ；
故答案为： 或 .
【分析】连接 、 、 、 ，根据切线的性质可得，由可得，根据四边形内角和及圆周角定理可得，，有两种情况①当 在优弧 上时，利用圆周角定理解答；②当 在劣弧 上，根据圆内接四边形对角互补解答即可.
12．【答案】135
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径
∴
∴
∵I是△ABC的内心
∴IA、IB是角平分线
∴
∴
故答案为：135.
【分析】先根据直径所对的圆周角是直角得出 ，进而根据三角形的内角和定理得出 ，再根据内心是三角形内角平分线的交点得出 ，最后利用三角形的内角和定理即得.
13．【答案】3＜r＜6
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3 ，
∴AB＝6，
如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r＞3，
点B在圆A外，则r＜6，
因而圆A半径r的取值范围为3＜r＜6．
故答案为：3＜r＜6；
【分析】根据题意，可以求得直角三角形三边的长度，根据题意，写出r得到范围即可。
14．【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： ， ，
，
，
连接OE、OF、OQ，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴ ， ， ， ， ，
∴四边形CEOF是正方形，
∴CE=CF=OE=OF，
，
，
∴AQ=AF=6-2=4，
∵D为AB的中点，
，
∴DQ=5-4=1，
．
故答案为2．
【分析】利用内切圆的性质及正方形的性质得到OQ、DQ的长，再利用正切的定义求解即可。
15．【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵三角形三边分别为3、4、5，
∴32+42＝52，
∴三角形是直角三角形，
如图，设Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
设Rt△ABC的内切圆的半径为r，则OD＝OE＝r，
∵∠C＝90°，
∴CE＝CD＝r，AE＝AN＝3﹣r，BD＝BN＝4﹣r，
∴4﹣r+3﹣r＝5，
解得r＝1，
∴AN＝2，
在Rt△OMN中，MN＝AM﹣AN＝ ，
∴OM＝ ．
则该三角形内心与外心之间的距离为 ．
故答案为： ．
【分析】根据三角形的三边即可得到其为直角三角形，根据直角三角形的性质以及内心和外心的含义，进行计算得到答案即可。
16．【答案】解：正确画出两条角平分线，确定圆心；确定半径；正确画出圆并写出结论。
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】正确画出两条角平分线，确定圆心；确定半径。
【分析】考查三角形的内切圆与内心。
17．【答案】解：DB＝DI，
理由如下：连接BI，
由圆周角定理得，∠DBC＝∠DAC，
∵I是△ABC的内心，
∴∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD，
由三角形的外角的性质可知，∠DIB＝∠IBA+∠ABI，又∠DBI＝∠DBC+∠IBC，
∴∠DIB＝∠DBI，
∴DB＝DI.
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】连接BI，根据圆周角定理得到∠DBC＝∠DAC，根据三角形内心的概念得到∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD，根据三角形的外角的性质，等腰三角形的判定定理证明即可.
18．【答案】（1）证明：连接OD交BC于H，如图，
∵点E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
即∠BAD＝∠CAD，
∴ ＝ ，
∴OD⊥BC，BH＝CH，
∵DG∥BC，
∴OD⊥DG，
∴DG是⊙O的切线
（2）解：连接BD、OB，如图，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠BAD，
∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE，
∴DB＝DE＝6，
∵BH＝ BC＝3 ，
在Rt△BDH中，sin∠BDH＝ ＝ ＝ ，
∴∠BDH＝60°，
而OB＝OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠BOD＝60°，OB＝BD＝6，
∴∠BOC＝120°，
∴优弧 的长＝ ＝8π.
【知识点】切线的判定；三角形的内切圆与内心；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OD交BC于H，利用三角形的内心可证得∠BAD＝∠CAD，根据在同圆和等圆中相等的圆周角所对的弧相等，可证得弧BD=弧CD，利用垂径定理可知OD⊥BC，BH＝CH，再由DG⊥OD，可证得结论。
（2）连接BD，OB，利用三角形的内心，可证得∠ABE＝∠CBE，从而可以推出∠DEB＝∠DBE，利用等角对等边，可证得DB＝DE，由此可求出BH的长，再利用解直角三角形求出∠BDH的度数，据此可证得△OBD是等边三角形，利用等边三角形的性质，可以推出∠BOC＝120°，然后利用弧长公式可求解。
19．【答案】（1）证明：作BD的中点O，连接OE.
∵DE⊥BE，
∴BD是圆的直径.
∵OB=OE，
∴∠EBO=∠BEO，
又∵∠CBE=∠EBO，
在直角△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，
∴∠CEB+∠BEO=90°，即∠CEO=90°.
∴OE⊥AC，
∴AC是△BED外接圆的切线；
（2）解：在Rt△BCE中，BE= ，
∵∠CBE=∠DBE，∠C=∠BED=90°，
∴△CBE∽△EBD，
∴ ，
∴ ，
∴DE= ，BD= ，
∵OE∥BC，
∴ ，
∴ ，
∴AE= ，
∴ ，
∴OA= ，
∴AB= ，AC= ，
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的内切圆的半径r= =
∴圆的面积是：π .
【知识点】切线的判定；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理即可证得BD是外接圆的直径，则作出BD的中点就是圆的圆心，连接OE，证明OE⊥AC即可证得AC是切线；（2）求出AB、AC，根据Rt△ABC的内切圆的半径r= ，计算即可；
20．【答案】（1）2；12
（2）解：①如图，
由（1）可知， ， ，即 ，
由这两个式子可得 ；
②如图，设点D、E、F分别是3个切点，连接PD、PE、PF、CP，
由切线长定理得 ，
∵ ， ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
【知识点】三角形的面积；切线的性质；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：（1）如图，设点D、E、F分别是3个切点，连接PD、PE、PF，连接OA、OB、OC，
∵ ，
∴ ，解得 ，
根据题意四边形DPEC是正方形，
∴ ，
由切线长定理得 ， ，
∴ ；
故答案为：2,12；
【分析】（1）设点D、E、F分别是3个切点，连接PD、PE、PF，连接OA、OB、OC，根据三角形内切圆的性质利用面积法求出内切圆半径m的值，再根据切线长定理求出n的值；
（2）①由（1）可知 ， ，从而得到 ；②由切线长定理得 ，再根据锐角三角函数求得 ，得到n和三角形ABC的周长的关系，结合 ，可以得到三角形ABC的面积与m、n的关系.
1 / 1初中数学浙教版九年级下册2.3 三角形的内切圆 同步练习
一、单选题
1．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
则点O到三边的距离相等，
∴点O是△ABC的三条角平分线的交点；
故答案为：B．
【分析】三角形的三内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。根据定义可得B符合题意。
2．（2020九上·西安期末）下列关于三角形的内心说法正确的是（ ）
A．内心是三角形三条角平分线的交点
B．内心是三角形三边中垂线的交点
C．内心到三角形三个顶点的距离相等
D．钝角三角形的内心在三角形外
【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，
∴A选项正确，B、C、D选项均错误，
故答案为：A.
【分析】 由三角形内心的定义以及三角形内心是三个角平分线的交点，三角形外心的定义与三角形的外心是三边中垂线的交点的知识，分析个选项即可求解．
3．（2020九上·泗阳期中）如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°.则∠BOC等于（ ）
A．125° B．120° C．115° D．100°
【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解： ⊙O是△ABC的内切圆
∴BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB
又 ∠ABC=50°，∠ACB=80°
∴ =25°、 °
∴ 180° =115°
故答案为：C.
【分析】根据 ⊙O是三角形△ABC的内切圆，知BO、CO是三角形的角平分线，从而求出 ∠OBC及∠OCB的度数，利用三角形内角和定理，便可找到答案.
4．（2018九上·硚口月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则其内切圆半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】∵∠C=90°，AB=13，BC=5，
∴AC= .
∴内切圆半径是(5+12-13)÷2=2.
故答案为：B.
【分析】用勾股定理可求得AC的值，再根据直角三角形的内切圆半径=可求解（其中a=BC ,b=AC ,c=AB ）。
5．（2018·烟台）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）
A．56° B．62° C．68° D．78°
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故答案为：C．
【分析】根据三角形内心的定义得出∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，根据三角形的内角和得出∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB），根据圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角得出答案。
6．（2016·平武模拟）如图，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F，若∠B=50°，∠C=60°，连接OE，OF，DE，DF，∠EDF等于（ ）
A．45° B．55° C．65° D．70°
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵∠B=50°，∠C=60°，
∴∠A=70°，
∴∠EOF=110°，
∴∠EDF= ∠EOF=55°．
故答案为：B．
【分析】本题考查： 弦切角；与圆有关的比例线段．利用三角形内切圆性质和圆周角与圆心角的关系求解．是基础题，解题时要认真审题，注意三角形内切圆的性质的灵活运用．
7．（2020九上·泰兴月考）如图，△ABC内接于⊙O，I是△ABC的内心，AI的延长线交⊙O于点D，连接DB、DC，若AB是⊙O的直径，OI⊥AD，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接BI，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵弧CD=弧CD，
∴∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BID=∠ABI+∠BAD，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴ID=BD，
∴设ID =BD=x，
∵AB是⊙O的直径，
∴BD⊥AD，
∴∠BDA=90°，
∵OI⊥AD，
∴AI=DI，
∴AD=2DI=2x，
∴AB= ，
∵弧BD=弧BD，
∴∠BCD=∠BAD，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】连接BI，由点I是△ABC的内心可得∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，结合圆周角定理可得∠BAD=∠CBD，由三角形外角的性质和角的构成易得∠BID=∠IBD，由等角对等边可得ID=BD，设ID =BD=x，由垂径定理可得AD=2DI=2x，在直角三角形ABD中，用勾股定理可将AB用含x的代数式表示出来，然后根据锐角三角函数sin∠BCD=sin∠BAD=可求解.
8．（2020·随县）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图所示,标上各点，AO为R，OB为r，AB为h，
从图象可以得出AB=AO+OB，即 ，A正确；
∵三角形为等边三角形，
∴∠CAO=30°，
根据垂径定理可知∠ACO=90°，
∴AO=2OC，即R=2r，B正确；
在Rt△ACO中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2，即 ，
由B中关系可得： ，解得 ，则 ，
所以C错误，D正确；
故答案为：C.
【分析】将图形标记各点,即可从图中看出长度关系证明A正确,再由构造的直角三角形和30°特殊角证明B正确,利用勾股定理求出r和R,即可判断C、D.
9．（2020·青山模拟）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H。设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．π
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连OI，PI，AI。
∵PH⊥OA
∴∠PHO=90°，
∴∠HOP+∠OPH=90°
又∵I为△OPH的内心
∴∠IOP=∠IOA=∠HOP，∠IPO=∠OPH
∴∠IOP+∠IPO=(∠HOP+∠OPH）=45°
∴∠PIO=180°-（∠IPO+∠IOP）=180°-45°=135°
又∵OP=OA，OI=OT，∠IOP=∠IOA
∴△OPI≌△OAI
∴∠AIO=∠PIO=135°
∴点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上
过A、I、O三点作⊙O′，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连PA，PO。
∴∠APO=180°-∠AIO=180°-135°=45°
∴∠AO′O=90°
∴O′O=OA=×2=
∴弧OA的长=.
∴内心I所经过的路径长为。
故答案为：B.
【分析】连OI，PI，AI，先利用三角形的内心的定义求出∠PIO=135°，然后易证△OPI≌△OAI，利用相似三角形的对应角相等得到∠AIO=∠PIO=135°，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连PA，PO，利用圆内接四边形的性质可得∠APO=45°，进而得∠AOO=90°，则可求出O′O，然后利用弧长公式计算即可。
二、填空题
10．（2018·大庆）在△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为 ．
【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，
∴BC= ，
设这个三角形的内切圆半径为r，
由三角形的面积可得
即 ，
解得 ．
故答案为：2．
【分析】由三角形的内切圆圆心到各边的距离是半径可得 由勾股定理可求得BC，代入相关值计算，即可求出r．
11．（2020九上·泰兴月考）如图，已知⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，P是⊙O上异于E、F的一动点，若∠ A+∠C=x°，∠EPF=y°，则y与x的函数关系式为 .
【答案】 或
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接 、 、 、 ，
为 的内切圆， 、 、 为切点，
，
，
，
， ，
有两种情况：①当 在优弧 上时， ，②当 在劣弧 上时， ，
，
即：y与x的函数关系式为： 或 ；
故答案为： 或 .
【分析】连接 、 、 、 ，根据切线的性质可得，由可得，根据四边形内角和及圆周角定理可得，，有两种情况①当 在优弧 上时，利用圆周角定理解答；②当 在劣弧 上，根据圆内接四边形对角互补解答即可.
12．（2020九上·大丰月考）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，I是△ABC的内心，则∠BIA的度数是 °.
【答案】135
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径
∴
∴
∵I是△ABC的内心
∴IA、IB是角平分线
∴
∴
故答案为：135.
【分析】先根据直径所对的圆周角是直角得出 ，进而根据三角形的内角和定理得出 ，再根据内心是三角形内角平分线的交点得出 ，最后利用三角形的内角和定理即得.
13．（2019·嘉定模拟）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3 ，以点A为圆心作圆A，要使B、C两点中的一点在圆A外，另一点在圆A内，那么圆A的半径长r的取值范围是 ．
【答案】3＜r＜6
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3 ，
∴AB＝6，
如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r＞3，
点B在圆A外，则r＜6，
因而圆A半径r的取值范围为3＜r＜6．
故答案为：3＜r＜6；
【分析】根据题意，可以求得直角三角形三边的长度，根据题意，写出r得到范围即可。
14．（2020九下·渠县开学考）如图，在 中， ， ， ， 为 的内切圆，点D是斜边AB的中点，则 ．
【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： ， ，
，
，
连接OE、OF、OQ，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴ ， ， ， ， ，
∴四边形CEOF是正方形，
∴CE=CF=OE=OF，
，
，
∴AQ=AF=6-2=4，
∵D为AB的中点，
，
∴DQ=5-4=1，
．
故答案为2．
【分析】利用内切圆的性质及正方形的性质得到OQ、DQ的长，再利用正切的定义求解即可。
15．（2020九上·永定期中）已知三角形三边分别为3、4、5，则该三角形内心与外心之间的距离为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵三角形三边分别为3、4、5，
∴32+42＝52，
∴三角形是直角三角形，
如图，设Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
设Rt△ABC的内切圆的半径为r，则OD＝OE＝r，
∵∠C＝90°，
∴CE＝CD＝r，AE＝AN＝3﹣r，BD＝BN＝4﹣r，
∴4﹣r+3﹣r＝5，
解得r＝1，
∴AN＝2，
在Rt△OMN中，MN＝AM﹣AN＝ ，
∴OM＝ ．
则该三角形内心与外心之间的距离为 ．
故答案为： ．
【分析】根据三角形的三边即可得到其为直角三角形，根据直角三角形的性质以及内心和外心的含义，进行计算得到答案即可。
三、综合题
16．如图，有一块三角形材料（△ABC），请你画出一个圆，使其与△ABC的各边都相切.
.
【答案】解：正确画出两条角平分线，确定圆心；确定半径；正确画出圆并写出结论。
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】正确画出两条角平分线，确定圆心；确定半径。
【分析】考查三角形的内切圆与内心。
17．（2020九下·广陵月考）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D.DB与DI相等吗？为什么？
【答案】解：DB＝DI，
理由如下：连接BI，
由圆周角定理得，∠DBC＝∠DAC，
∵I是△ABC的内心，
∴∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD，
由三角形的外角的性质可知，∠DIB＝∠IBA+∠ABI，又∠DBI＝∠DBC+∠IBC，
∴∠DIB＝∠DBI，
∴DB＝DI.
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】连接BI，根据圆周角定理得到∠DBC＝∠DAC，根据三角形内心的概念得到∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD，根据三角形的外角的性质，等腰三角形的判定定理证明即可.
18．（2020·百色模拟）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC.
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝6，BC＝6 ，求优弧 的长.
【答案】（1）证明：连接OD交BC于H，如图，
∵点E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
即∠BAD＝∠CAD，
∴ ＝ ，
∴OD⊥BC，BH＝CH，
∵DG∥BC，
∴OD⊥DG，
∴DG是⊙O的切线
（2）解：连接BD、OB，如图，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠BAD，
∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE，
∴DB＝DE＝6，
∵BH＝ BC＝3 ，
在Rt△BDH中，sin∠BDH＝ ＝ ＝ ，
∴∠BDH＝60°，
而OB＝OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠BOD＝60°，OB＝BD＝6，
∴∠BOC＝120°，
∴优弧 的长＝ ＝8π.
【知识点】切线的判定；三角形的内切圆与内心；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OD交BC于H，利用三角形的内心可证得∠BAD＝∠CAD，根据在同圆和等圆中相等的圆周角所对的弧相等，可证得弧BD=弧CD，利用垂径定理可知OD⊥BC，BH＝CH，再由DG⊥OD，可证得结论。
（2）连接BD，OB，利用三角形的内心，可证得∠ABE＝∠CBE，从而可以推出∠DEB＝∠DBE，利用等角对等边，可证得DB＝DE，由此可求出BH的长，再利用解直角三角形求出∠BDH的度数，据此可证得△OBD是等边三角形，利用等边三角形的性质，可以推出∠BOC＝120°，然后利用弧长公式可求解。
19．（2020·阳新模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B的平分线交AC于E，DE⊥BE.
（1）试说明AC是△BED外接圆的切线；
（2）若CE=1，BC=2，求△ABC内切圆的面积.
【答案】（1）证明：作BD的中点O，连接OE.
∵DE⊥BE，
∴BD是圆的直径.
∵OB=OE，
∴∠EBO=∠BEO，
又∵∠CBE=∠EBO，
在直角△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，
∴∠CEB+∠BEO=90°，即∠CEO=90°.
∴OE⊥AC，
∴AC是△BED外接圆的切线；
（2）解：在Rt△BCE中，BE= ，
∵∠CBE=∠DBE，∠C=∠BED=90°，
∴△CBE∽△EBD，
∴ ，
∴ ，
∴DE= ，BD= ，
∵OE∥BC，
∴ ，
∴ ，
∴AE= ，
∴ ，
∴OA= ，
∴AB= ，AC= ，
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的内切圆的半径r= =
∴圆的面积是：π .
【知识点】切线的判定；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理即可证得BD是外接圆的直径，则作出BD的中点就是圆的圆心，连接OE，证明OE⊥AC即可证得AC是切线；（2）求出AB、AC，根据Rt△ABC的内切圆的半径r= ，计算即可；
20．（2020九上·南京月考）在△ABC中，∠C= ，⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均相切，⊙O的半径为m，⊙P的半径为n.
（1）当 =90°时，AC=6，BC=8时，m= ，n= .
（2）当 取下列度数时，求△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示，并直接写出答案）.①如图， =90°；②如图， =60°.
【答案】（1）2；12
（2）解：①如图，
由（1）可知， ， ，即 ，
由这两个式子可得 ；
②如图，设点D、E、F分别是3个切点，连接PD、PE、PF、CP，
由切线长定理得 ，
∵ ， ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
【知识点】三角形的面积；切线的性质；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：（1）如图，设点D、E、F分别是3个切点，连接PD、PE、PF，连接OA、OB、OC，
∵ ，
∴ ，解得 ，
根据题意四边形DPEC是正方形，
∴ ，
由切线长定理得 ， ，
∴ ；
故答案为：2,12；
【分析】（1）设点D、E、F分别是3个切点，连接PD、PE、PF，连接OA、OB、OC，根据三角形内切圆的性质利用面积法求出内切圆半径m的值，再根据切线长定理求出n的值；
（2）①由（1）可知 ， ，从而得到 ；②由切线长定理得 ，再根据锐角三角函数求得 ，得到n和三角形ABC的周长的关系，结合 ，可以得到三角形ABC的面积与m、n的关系.
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