初中数学浙教版九年级下册1.2 锐角三角函数的计算 同步练习
一、单选题
1．（2018·浦东模拟）如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值（ ）
A．扩大为原来的两倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．不能确定
2．（2019·威海）如图，一个人从山脚下的 点出发，沿山坡小路 走到山顶 点．已知坡角为 ，山高 千米．用科学计算器计算小路 的长度，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，梯子跟地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A．sinA的值越小，梯子越陡 B．cosA的值越小，梯子越陡
C．tanA的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠A的函数值无关
4．（2020·淄博）已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020九上·包河月考）若sin（75°-θ）的值是 ，则θ=（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6．（2020九上·慈溪月考）若∠A为锐角，且cosA<0.5，则∠A（ ）
A．小于30° B．大于30° C．大于60° D．大于60°
7．（2020九上·醴陵期末）如果∠ 为锐角，且sin ＝0.6，那么 的取值范围是（ ）
A．0°＜ ≤30° B．30°＜ ＜45°
C．45°＜ ＜60° D．60°＜ ≤90°
8．（2020九上·昌平期末）在直角三角形中各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值都（ ）
A．缩小2倍 B．扩大2倍 C．不变 D．不能确定
9．（2019九上·长兴期末）在△ABC中，AB=12 ，AC=13，cosB= ，则BC的边长为（ ）
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
二、填空题
10．（2020·通州模拟）在如图所示的正方形网格中，∠1 ∠2．（填“＞”，“＝”，“＜”）
11．先用计算器求：tan20°≈ ，tan40°≈ ，tan60°≈ ，tan80°≈ ，再按从小到大的顺序用“＜”把tan20°，tan40°，tan60°，tan80°连接起来： ．归纳：正切值，角大值 ．
12．（2019·山西模拟）如图，已知tanα＝ ，如果F(4，y)是射线OA上的点，那么F点的坐标是 ．
13．（2019九上·包河月考）对于锐角 ．（填 ）.
14．（2020九下·齐齐哈尔期中）已知 ，且 为锐角，则m的取值范围是 ．
三、综合题
15．（2020·淮安模拟）求满足下列条件的锐角x：
（1）
（2）
16．利用计算器计算下列各值：（精确到0.001）
（1）sin20°；（2）cos63°35′；（3）sin87°17′．
17．设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断an+bn与cn的关系，并证明你的结论．
18．等腰三角形中，两腰和底的长分别是10和13，求三角形的三个内角的度数（精确到l′）.
19．如图①②，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化.试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律.
（1）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小.
（2）比较大小(在横线上填写“<”“>”或“=”)：
若α=45°，则sin α cos α；
若α<45°，则sin α cos α；
若α>45°，则sin α cos α.
（3）利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：sin 10°，cos 30°，sin 50°，cos 70°.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，
所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的性质可知三角形的边长扩大，角度不会发生改变，即锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变.
2．【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】在 中， ，
∴ ，
∴按键顺序为： .
故答案为：A．
【分析】在△ABC中，利用解直角三角形可得，可得AB=，然后利用计算器的按键功能判断即可.
3．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓；
cosA的值越小，∠A就越大，梯子越陡；
tanA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，
所以B正确．
故答案为：B．
【分析】根据锐角三角函数的增减性可判断正误。
4．【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：∵已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0，∴按下的第一个键是2ndF．
故答案为：D．
【分析】根据计算器求锐角的方法即可得结论．
5．【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵sin30°=
∴75°- θ=30°
∴ θ=45°
故答案为：C.
【分析】根据特殊角的锐角三角函数，求出答案即可。
6．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解： cosA<0.5，
∴cosA∴A>60°.
故答案为：D.
【分析】先根据三角函数的特殊值得出cosA7．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】∵sin30°= =0.5，sin45°= ≈0.707，sinA=0.6，且sinα随α的增大而增大，
∴30°＜A＜45°．
故答案为：B．
【分析】由sin30°= =0.5，sin45°= ≈0.707，sinA=0.6，且sinα随α的增大而增大，即可求得答案．
8．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴sinA= ，cosA= ，
∴Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，则sinA= ，cosA= ．
故答案为：C．
【分析】由于锐角A的正弦值是对边和斜边的比，余弦值是邻边和斜边的比，所以边长同时扩大2倍对于锐角A的正弦值和余弦值没有影响，由此即可确定选择项．
9．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵cosB=，
∴∠B=45°，
①若△ABC为钝角三角形，如图1：
在Rt△ADB中，
∵AB=12，∠B=45°，
∴AD=BD=12，
在Rt△ADC中，
∵AC=13，AD=12，
∴CD=5，
∴BC=BD-CD=12-5=7；
②若△ABC为锐角三角形，如图2：
在Rt△ADB中，
∵AB=12，∠B=45°，
∴AD=BD=12，
在Rt△ADC中，
∵AC=13，AD=12，
∴CD=5，
∴BC=BD+CD=12+5=17；
综上所述：BC长为7或17.
故答案为：D.
【分析】根据特殊角的三角函数值求得∠B=45°，然后分情况讨论：①若△ABC为钝角三角形，②若△ABC为锐角三角形，根据勾股定理求得BD、CD长，再结合图形求得BC长.
10．【答案】>
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：在Rt△ABE中，tan∠1＝ ＝ ；
在Rt△BCD中，tan∠2＝ ＝ ．
∵ ＞ ，且∠1，∠2均为锐角，
∴tan∠1＞tan∠2，
∴∠1＞∠2．
故答案为：＞．
【分析】由正切的定义可得出tan∠1＝ ，tan∠2＝ ，由 ＞ 且∠1，∠2均为锐角可得出∠1＞∠2，此题得解．
11．【答案】0.3640；0.8391；1.7321；5.6713；tan20°＜tan40°＜tan60°＜tan80°；大
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：tan20°≈0.3640，
tan40°≈0.8391，
tan60°≈1.7321，
tan80°≈5.6713，
tan20°＜tan40°＜tan60°＜tan80°，
大．
【分析】利用计算器分别算出几个角的正切值，即可比较其大小，根据几个角的正切函数即可发现：正切函数的函数值随锐角度数的增大而增大。
12．【答案】(4，2)
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】过 作 轴于 ，
，
则 ，
在 中， ，
即 ， ，
即 .
故答案为： .
【分析】首先构建直角三角形，已知 tanα＝ ，即CF与OC的比值。即可求出CF，即y值。
13．【答案】
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】
角是锐角，
故答案是＞.
【分析】根据锐角三角函数正弦、余弦、正切之间的关系，列示解决即可.
14．【答案】
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】∵α为锐角，
∴0＜sinα＜1，
则0＜2m-3＜1
解得 故答案为：
【分析】根据锐角三角函数的取值范围列出不等式，然后转化为不等式组求m的取值范围．
15．【答案】（1）解：∵ ，且 为锐角，
∴ =30°
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ =60°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）由特殊角的三角函数值即可得出 的度数；（2）先求出 的值，再由特殊角的三角函数值即可得出 的度数．
16．【答案】解：（1）sin20°≈0.342；（2）cos63°35′≈0.445；（3）sin87°17′≈0.999．
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】直接利用计算器计算即可，注意把度分秒化为度．
17．【答案】解：当n=1，则a+b＞c；
当n=2，则a2+b2=c2；
当n≥3，则an+bn＜cn，
证明如下：
∵sinA= ，cosA= ，
而0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，
∴n≥3，sinnA＜sin2A，connA＜con2A，
∴sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即 + ＜1，
∴an+bn＜cn
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】分类讨论：当n=1，根据三角形三边的关系有a+b＞c；当n=2，根据勾股定理有n2+b2=c2；当n≥3，根据三角函数的定义得到
sinA= ，cosA= ，且0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，于是有sinnA＜sin2A，connA＜con2A，得到sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即 + ＜1，即可得到它们的关系．
18．【答案】解：如下图所示，AB=AC=10，BC=13，AD是底边上的高，∵AD是底边上的高，∴AD⊥BC，又∵AB=AC，∴BD=CD=6.5，∠BAD=∠CAD= ∠BAC，在Rt△ABD中，sin∠BAD= =0.65，∴∠BAD≈40°32′，∴∠BAC≈2∠BAD≈81°4′，∠B=∠C≈49°28′.故△ABC的三个内角分别为：81°4′，49°28′，49°28′.
【知识点】计算器—三角函数
19．【答案】（1）解：由题目中的图可以发现：正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小
∵18°<34°<50°<62°<88°，
∴sin18°cos18°>cos34°>cos50°>cos62°>cos88°.
（2）=；<；>
（3）解：由cos30°=sin60°，cos70°=sin20°，
∵10°<20°<50°<60°，
∴sin10°即sin10°【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】（2）若α=45°，则sin 45°=cos 45°=；
若α<45°，则sin αcos 45° ，sin45°=cos 45°，则sin α若α>45°，则sin α>sin 45°，而cos αcos α.
故答案为：=；<；>；
【分析】此题考查正弦值与余弦值的增减性，当角是锐角时，正弦值随着角度的增大而增加；余弦值随着角度的增大而减小。
（1）根据发现的规律，判断角度的大小，可直接判断它们的正弦值和余弦值的大小关系；
（2）根据正弦值和余弦值的增减性，分别比较sinα与sin45°，cos α与cos45°的大小关系。
（3）将余弦值根据互余角的两个角中一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，都转化成正弦值作比较。
1 / 1初中数学浙教版九年级下册1.2 锐角三角函数的计算 同步练习
一、单选题
1．（2018·浦东模拟）如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值（ ）
A．扩大为原来的两倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．不能确定
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，
所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的性质可知三角形的边长扩大，角度不会发生改变，即锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变.
2．（2019·威海）如图，一个人从山脚下的 点出发，沿山坡小路 走到山顶 点．已知坡角为 ，山高 千米．用科学计算器计算小路 的长度，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】在 中， ，
∴ ，
∴按键顺序为： .
故答案为：A．
【分析】在△ABC中，利用解直角三角形可得，可得AB=，然后利用计算器的按键功能判断即可.
3．如图，梯子跟地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A．sinA的值越小，梯子越陡 B．cosA的值越小，梯子越陡
C．tanA的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠A的函数值无关
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓；
cosA的值越小，∠A就越大，梯子越陡；
tanA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，
所以B正确．
故答案为：B．
【分析】根据锐角三角函数的增减性可判断正误。
4．（2020·淄博）已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：∵已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0，∴按下的第一个键是2ndF．
故答案为：D．
【分析】根据计算器求锐角的方法即可得结论．
5．（2020九上·包河月考）若sin（75°-θ）的值是 ，则θ=（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】C
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵sin30°=
∴75°- θ=30°
∴ θ=45°
故答案为：C.
【分析】根据特殊角的锐角三角函数，求出答案即可。
6．（2020九上·慈溪月考）若∠A为锐角，且cosA<0.5，则∠A（ ）
A．小于30° B．大于30° C．大于60° D．大于60°
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解： cosA<0.5，
∴cosA∴A>60°.
故答案为：D.
【分析】先根据三角函数的特殊值得出cosA7．（2020九上·醴陵期末）如果∠ 为锐角，且sin ＝0.6，那么 的取值范围是（ ）
A．0°＜ ≤30° B．30°＜ ＜45°
C．45°＜ ＜60° D．60°＜ ≤90°
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】∵sin30°= =0.5，sin45°= ≈0.707，sinA=0.6，且sinα随α的增大而增大，
∴30°＜A＜45°．
故答案为：B．
【分析】由sin30°= =0.5，sin45°= ≈0.707，sinA=0.6，且sinα随α的增大而增大，即可求得答案．
8．（2020九上·昌平期末）在直角三角形中各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值都（ ）
A．缩小2倍 B．扩大2倍 C．不变 D．不能确定
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴sinA= ，cosA= ，
∴Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，则sinA= ，cosA= ．
故答案为：C．
【分析】由于锐角A的正弦值是对边和斜边的比，余弦值是邻边和斜边的比，所以边长同时扩大2倍对于锐角A的正弦值和余弦值没有影响，由此即可确定选择项．
9．（2019九上·长兴期末）在△ABC中，AB=12 ，AC=13，cosB= ，则BC的边长为（ ）
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵cosB=，
∴∠B=45°，
①若△ABC为钝角三角形，如图1：
在Rt△ADB中，
∵AB=12，∠B=45°，
∴AD=BD=12，
在Rt△ADC中，
∵AC=13，AD=12，
∴CD=5，
∴BC=BD-CD=12-5=7；
②若△ABC为锐角三角形，如图2：
在Rt△ADB中，
∵AB=12，∠B=45°，
∴AD=BD=12，
在Rt△ADC中，
∵AC=13，AD=12，
∴CD=5，
∴BC=BD+CD=12+5=17；
综上所述：BC长为7或17.
故答案为：D.
【分析】根据特殊角的三角函数值求得∠B=45°，然后分情况讨论：①若△ABC为钝角三角形，②若△ABC为锐角三角形，根据勾股定理求得BD、CD长，再结合图形求得BC长.
二、填空题
10．（2020·通州模拟）在如图所示的正方形网格中，∠1 ∠2．（填“＞”，“＝”，“＜”）
【答案】>
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：在Rt△ABE中，tan∠1＝ ＝ ；
在Rt△BCD中，tan∠2＝ ＝ ．
∵ ＞ ，且∠1，∠2均为锐角，
∴tan∠1＞tan∠2，
∴∠1＞∠2．
故答案为：＞．
【分析】由正切的定义可得出tan∠1＝ ，tan∠2＝ ，由 ＞ 且∠1，∠2均为锐角可得出∠1＞∠2，此题得解．
11．先用计算器求：tan20°≈ ，tan40°≈ ，tan60°≈ ，tan80°≈ ，再按从小到大的顺序用“＜”把tan20°，tan40°，tan60°，tan80°连接起来： ．归纳：正切值，角大值 ．
【答案】0.3640；0.8391；1.7321；5.6713；tan20°＜tan40°＜tan60°＜tan80°；大
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：tan20°≈0.3640，
tan40°≈0.8391，
tan60°≈1.7321，
tan80°≈5.6713，
tan20°＜tan40°＜tan60°＜tan80°，
大．
【分析】利用计算器分别算出几个角的正切值，即可比较其大小，根据几个角的正切函数即可发现：正切函数的函数值随锐角度数的增大而增大。
12．（2019·山西模拟）如图，已知tanα＝ ，如果F(4，y)是射线OA上的点，那么F点的坐标是 ．
【答案】(4，2)
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】过 作 轴于 ，
，
则 ，
在 中， ，
即 ， ，
即 .
故答案为： .
【分析】首先构建直角三角形，已知 tanα＝ ，即CF与OC的比值。即可求出CF，即y值。
13．（2019九上·包河月考）对于锐角 ．（填 ）.
【答案】
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】
角是锐角，
故答案是＞.
【分析】根据锐角三角函数正弦、余弦、正切之间的关系，列示解决即可.
14．（2020九下·齐齐哈尔期中）已知 ，且 为锐角，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】∵α为锐角，
∴0＜sinα＜1，
则0＜2m-3＜1
解得 故答案为：
【分析】根据锐角三角函数的取值范围列出不等式，然后转化为不等式组求m的取值范围．
三、综合题
15．（2020·淮安模拟）求满足下列条件的锐角x：
（1）
（2）
【答案】（1）解：∵ ，且 为锐角，
∴ =30°
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ =60°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）由特殊角的三角函数值即可得出 的度数；（2）先求出 的值，再由特殊角的三角函数值即可得出 的度数．
16．利用计算器计算下列各值：（精确到0.001）
（1）sin20°；（2）cos63°35′；（3）sin87°17′．
【答案】解：（1）sin20°≈0.342；（2）cos63°35′≈0.445；（3）sin87°17′≈0.999．
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】直接利用计算器计算即可，注意把度分秒化为度．
17．设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断an+bn与cn的关系，并证明你的结论．
【答案】解：当n=1，则a+b＞c；
当n=2，则a2+b2=c2；
当n≥3，则an+bn＜cn，
证明如下：
∵sinA= ，cosA= ，
而0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，
∴n≥3，sinnA＜sin2A，connA＜con2A，
∴sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即 + ＜1，
∴an+bn＜cn
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】分类讨论：当n=1，根据三角形三边的关系有a+b＞c；当n=2，根据勾股定理有n2+b2=c2；当n≥3，根据三角函数的定义得到
sinA= ，cosA= ，且0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，于是有sinnA＜sin2A，connA＜con2A，得到sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即 + ＜1，即可得到它们的关系．
18．等腰三角形中，两腰和底的长分别是10和13，求三角形的三个内角的度数（精确到l′）.
【答案】解：如下图所示，AB=AC=10，BC=13，AD是底边上的高，∵AD是底边上的高，∴AD⊥BC，又∵AB=AC，∴BD=CD=6.5，∠BAD=∠CAD= ∠BAC，在Rt△ABD中，sin∠BAD= =0.65，∴∠BAD≈40°32′，∴∠BAC≈2∠BAD≈81°4′，∠B=∠C≈49°28′.故△ABC的三个内角分别为：81°4′，49°28′，49°28′.
【知识点】计算器—三角函数
19．如图①②，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化.试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律.
（1）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小.
（2）比较大小(在横线上填写“<”“>”或“=”)：
若α=45°，则sin α cos α；
若α<45°，则sin α cos α；
若α>45°，则sin α cos α.
（3）利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：sin 10°，cos 30°，sin 50°，cos 70°.
【答案】（1）解：由题目中的图可以发现：正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小
∵18°<34°<50°<62°<88°，
∴sin18°cos18°>cos34°>cos50°>cos62°>cos88°.
（2）=；<；>
（3）解：由cos30°=sin60°，cos70°=sin20°，
∵10°<20°<50°<60°，
∴sin10°即sin10°【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】（2）若α=45°，则sin 45°=cos 45°=；
若α<45°，则sin αcos 45° ，sin45°=cos 45°，则sin α若α>45°，则sin α>sin 45°，而cos αcos α.
故答案为：=；<；>；
【分析】此题考查正弦值与余弦值的增减性，当角是锐角时，正弦值随着角度的增大而增加；余弦值随着角度的增大而减小。
（1）根据发现的规律，判断角度的大小，可直接判断它们的正弦值和余弦值的大小关系；
（2）根据正弦值和余弦值的增减性，分别比较sinα与sin45°，cos α与cos45°的大小关系。
（3）将余弦值根据互余角的两个角中一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，都转化成正弦值作比较。
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