初中数学浙教版九年级上册4.5相似三角形的性质及应用（1） 同步练习
一、单选题
1．（2019·嘉定模拟）三角形的重心是（ ）
A．三角形三条边上中线的交点
B．三角形三条边上高线的交点
C．三角形三条边垂直平分线的交点
D．三角形三条内角平行线的交点
2．如果点G是△ABC的重心，联结AG并延长，交对边BC于点D，那么AG：AD是（ ）
A．2：3 B．1：2 C．1：3 D．3：4
3．（2019·天台模拟）过△ABC的重心G作GE∥BC交AC于点E，线段BC=12，线段GE长为（ ）
A．4 B．4.5 C．6 D．8
4．（2020·凤县模拟）如图， 经过 的重心，点 是 的中点，过点 作 交 于点 ，若 ，则线段 的长为（ ）
A．6 B．4 C．5 D．3
5．（2018九上·金山期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D是AB的中点，G是△ABC的重心，如果以点D为圆心DG为半径的圆和以点C为圆心半径为 的圆相交，那么 的取值范围是（ ）
A． ； B． ； C． ； D． ．
6．（2020·烟台）如图，点G为 的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（ ）
A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.4
7．（2019九上·鄞州月考）如图，已知点B，D在AC的两侧，E，F分别是△ACD与△ABC的重心，且EF=2，则BD的长度是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2019·泰州）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点 、 、 、 、 、 、 在小正方形的顶点上，则 的重心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
9．（2020九上·鄞州期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，过重心G作AC、BC的垂线，垂足分别为D、E，则四边形GDCE的面积与△ABC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
10．（2017·绵阳）如图，直角△ABC中，∠B=30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2019九上·上海月考）已知点G是 的重心， ，那么点G与边 中点之间的距离是 ．
12．（2019九上·东台月考）直角三角形斜边长为6，那么这个三角形的重心到斜边中点的距离为 .
13．（2019九上·浦东期中）如图， 中，G为重心， ，那么 = ；
14．（2020·泰兴模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足是H，则GH的长为 .
15．（2019·秀洲模拟）如图，G是△ABC的重心，若 ，则图中阴影部分面积是
三、解答题
16．（2019八上·临潼月考）画出下图中 的重心.
17．（2020·攀枝花）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是 的重心．求证： ．
18．（2019·乐山）在△ 中，已知 是 边的中点， 是△ 的重心，过 点的直线分别交 、 于点 、 .
（1）如图1，当 ∥ 时，求证： ；
（2）如图2，当 和 不平行，且点 、 分别在线段 、 上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
（3）如图3，当点 在 的延长线上或点 在 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
19．（2020·湘潭）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．
（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边 的重心为点O，求 与 的面积．
（2）性质探究：如图（二），已知 的重心为点O，请判断 、 是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图（三），在正方形 中，点E是 的中点，连接 交对角线 于点M．
①若正方形 的边长为4，求 的长度；
②若 ，求正方形 的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】三角形的重心是三条中线的交点，
故答案为：A．
【分析】熟记三角形的重心是三条中线的交点是解题的关键。
2．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系
【解析】【解答】解：如图，
∵点G是△ABC的重心，
∴AG=2DG，
∴AD=AG+DG=3DG，
∴．
故选A．
【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍可得AG=2DG，那么AD=AG+DG=3DG，代入即可求得AG：AD的值．
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵点G是△ABC的重心
∴AD为中线，AG=2GD，
∴BD=CD=BC=6，AG：AD=2：3
∵GE∥BC，
∴△AGE∽△ADC，
∴，
∴
∴GE=4
故答案为：A
【分析】 由已知点G是△ABC的重心，就可证得AG：AD=2：3，求出CD的长，再由GE∥BC，可证△AGE∽△ADC，然后利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可求出GE的长。
4．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 经过 的重心，
∴点D是BC中点，
∵BC=12，
∴CD=BD=6，
∵GE∥BC，
∴△AGE∽△ADC，
∵点E是AC中点，
∴ ，即 ，
解得：GE=3，
故答案为：D.
【分析】根据重心的概念得到点D为BC中点，即CD的长，再根据平行证明△AGE∽△ADC，结合点E是AC中点，得到 ，从而求出GE.
5．【答案】D
【知识点】圆与圆的位置关系
【解析】【解答】延长CD交⊙D于点E，
∵∠ACB=90°，AC=12，BC=9，∴AB= =15，
∵D是AB中点，∴CD= ，
∵G是△ABC的重心，∴CG= =5，DG=2.5，
∴CE=CD+DE=CD+DF=10，
∵⊙C与⊙D相交，⊙C的半径为r，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】各点到C的距离与半径6作对比，大于半径的在圆外，等于半径的在圆上，小于半径的在圆内对比OC＜AC＜BC，确定O在圆内，B在圆外，写出半径r的取值即可．
6．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点G为△ABC的重心，
∴AE＝BE，BF＝CF，
∴EF＝ ＝1.7，
故答案为：A．
【分析】由已知条件得EF是三角形的中位线，进而根据三角形中位线定理求得EF的长度．
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接DE并延长，叫AC于点G，连接BG，
∵点F是△ABC的重心，
∴BG经过点F，
∵点E为△ADC的重心，
∴点G是AC的中点，
∴ED=2EG，BF=2FG，
∴
∵∠FGE=∠BGD
∴△FGE∽△BGD，
∴
解之：BD=6.
故答案为：C.
【分析】抓住已知条件：E，F分别是△ACD与△ABC的重心，因此添加辅助线：连接DE并延长，叫AC于点G，连接BG，易证BG经过点F，利用三角形的重心定理可知ED=2EG，BF=2FG，再利用有两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证△FGE∽△BGD，利用相似三角形的对应边成比例，就可求出BD的长。
8．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：根据题意可知，直线 经过 的 边上的中点，直线 经过 的 边上的中点，
∴点 是 重心．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到三角形的顶点的距离等于重心到三角形这边距离的2倍，观察图形可得出此△ABC的重心。
9．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接AG并延长交BC于点M，
∵点G是重心，
∴AG：GM=2：1，BC=2CM
∵矩形GDCE，
∴DG=CE，DG∥BC，
∴△ADG∽△ACM，
∴，
设DG=CE=2x，则CM=3x，BC=2×3x=6x，
设AD=2y，则AC=3y，CD=y
∴.
故答案为：C.
【分析】连接AG并延长交BC于点M，根据重心的性质，可知AG：GM=2：1，BC=2CM，再利用矩形的性质，可证得△ADG∽△ACM，利用相似三角形的性质，可求出对应边之比，设DG=CE=2x，用含x的代数式分别表示出CM，BC的长，设AD=2y，分别用含y的代数式表示出AC，CD的长，然后就可求出四边形GDCE的面积与△ABC的面积之比。
10．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点O是△ABC的重心，
∴OC= CE，
∵△ABC是直角三角形，
∴CE=BE=AE，
∵∠B=30°，
∴∠FAE=∠B=30°，∠BAC=60°，
∴∠FAE=∠CAF=30°，△ACE是等边三角形，
∴CM= CE，
∴OM= CE﹣ CE= CE，即OM= AE，
∵BE=AE，
∴EF= AE，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=60°，
∴∠FEM=30°，
∴MF= EF，
∴MF= AE，
∴ = = ．
故选：D．
【分析】根据三角形的重心性质可得OC= CE，根据直角三角形的性质可得CE=AE，根据等边三角形的判定和性质得到CM= CE，进一步得到OM= CE，即OM= AE，根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质可得EF= AE，MF= EF，依此得到MF= AE，从而得到 的值．
11．【答案】3
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，D是BC边的中点；
∵G是△ABC的重心，
∴AG=2GD=6，即GD=3；
故答案为：3.
【分析】根据三角形重心的性质进行求解．
12．【答案】1
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】如图所示，取AO，BO的中点K，H，连接KH，HM，MN，NK，
∵M，N分别是BC，AC的中点，
∴MN平行且等于 AB．
又∵K，H分别是AO，BO边的中点，
∴KH平行且等于 BC．
∴MN平行且等于KH．
∴四边形KHMN是平行四边形．
∴NO=OH，MO=KO．
而AK=KO，BH=HO，
∴BO=2ON，AO=2OM．
∵直角三角形斜边长为6，
∴斜边上的中线长为3，
∵重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，
∴三角形的重心到斜边中点的距离OM为1，
故答案为：1．
【分析】先证明重心是三角形三边中线的交点，以及重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 即可得出答案．
13．【答案】6
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图示，连接AG交BC于D点，作△ABC的高h1，做△BCG的高h2，
∵G为△ABC的重心，根据重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，
∴AD=3GD，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
【分析】根据重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍和已知可以求出△ABC的面积．
14．【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，连接AG并延长AG交BC于D，
∵点G是△ABC的重心，
∴AG=2GD，即 ，
∴ ，
∵由GH⊥BC，∠ACB=90°，
∴GH//BC，
∴ ，
∵AC=6，
∴GH=AC· =6× =2，
故答案为：2
【分析】如图，连接AG并延长AG交BC于D，由重心的性质可知 ，可得 ，由GH⊥BC，∠ACB=90°可得GH//BC，根据平行线分线段成比例定理即可得答案.
15．【答案】4
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵ G是△ABC的重心 ，∴AG∶GD=2∶1，BD=CD，AE=EC，∴S△ADC=S△ABD=S△ABC=6，S△AGC∶S△DGC=2∶1， S△AGE=S△EGC ，∴S△DGC=S△AGE=S△EGC=2，同理S△AFG=S△BFG=S△BDG=2，∴ 图中阴影部分面积 =S△BFG+S△EGC=4；
故答案为：4.
【分析】根据三角形重心的性质得出AG∶GD=2∶1，BD=CD，AE=EC，根据等高三角形的面积之间的关系得出S△ADC=S△ABD=S△ABC=6，S△AGC∶S△DGC=2∶1， S△AGE=S△EGC ，∴S△DGC=S△AGE=S△EGC=2，同理S△AFG=S△BFG=S△BDG=2，从而算出答案。
16．【答案】解：如解图所示，作三角形的两条中线交于点 ，点 即为所求.
【知识点】三角形的重心及应用；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】先作BC、AC的垂直平分线，找到其中点，再作出中线，两中线的交点即重心.
17．【答案】证明：过点D作DH∥AB，交CE于点H，
∵AD是△ABC的中线，
∴点D是BC的中点，
∴DH是△BCE的中位线，
∴BE=2DH，DH∥AB，
∵CE是△BCE的中线，
∴AE=BE，
∴AE=2DH，
∵DH∥AB，
∴△AEG∽△DHG，
∴ ，
∴AG=2GD，
即AD=3GD.
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】过点D作DH∥AB交CE于H，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BE=2DH，从而得到AE=2DH，再根据△AEG和△DHG相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证．
18．【答案】（1）证明： 是△ 重心
，
又 ∥ ，
， ，
则
（2）解：（1）中结论成立，理由如下：
如图，过点 作 ∥ 交 的延长线于点 ， 、 的延长线相交于点 ，
则 ，
又
而 是 的中点，即
又
结论成立
（3）解：（1）中结论不成立，理由如下：
当 点与 点重合时， 为 中点， ，
点 在 的延长线上时， ，
，则 ，
同理：当点 在 的延长线上时， ，
结论不成立.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）重心：三条中线的交点，其到顶点的距离是到对边中点距离的两倍。根据已知条件，判定△AEF∽△ABC，对应边成比例，分析即可证明 。
（2）结论仍成立。同（1）， 过点 作 ∥ 交 的延长线于点 ， 、 的延长线相交于点 ，判定三角形相似，然后对应边成比例。根据重心的性质，等式替换，分析即可证明结论。
（3）当 点与 点重合时， 为 中点， 。 点 在 的延长线上时 ，＞1， 则 ，结论不成立。同理E在AB延长线时， 也不符合结论。
19．【答案】（1）解：连接DE，如图，
∵点O是 的重心，
， 是 ， C边上的中线，
为 ， 边上的中点，
为 的中位线，
， ，
，
，
，
， ，
；
（2）解：由（1）可知， 是定值；
是定值；
（3）解：①∵四边形ABCD是正方形，
， ，
为CD的中点，
，即 ；
② ，且
∴ ，
，
，
，
，
又
∴正方形ABCD的面积为：6+6=12．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接DE，利用相似三角形证明 ，运用勾股定理求出AD的长，运用三角形面积公式求解即可；（2）根据（1）的证明可求解；（3）①证明△CME∽△ABM得 ，再运用勾股定理求出BE的长即可解决问题；②分别求出S△BMC和S△ABM 即可.
1 / 1初中数学浙教版九年级上册4.5相似三角形的性质及应用（1） 同步练习
一、单选题
1．（2019·嘉定模拟）三角形的重心是（ ）
A．三角形三条边上中线的交点
B．三角形三条边上高线的交点
C．三角形三条边垂直平分线的交点
D．三角形三条内角平行线的交点
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】三角形的重心是三条中线的交点，
故答案为：A．
【分析】熟记三角形的重心是三条中线的交点是解题的关键。
2．如果点G是△ABC的重心，联结AG并延长，交对边BC于点D，那么AG：AD是（ ）
A．2：3 B．1：2 C．1：3 D．3：4
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系
【解析】【解答】解：如图，
∵点G是△ABC的重心，
∴AG=2DG，
∴AD=AG+DG=3DG，
∴．
故选A．
【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍可得AG=2DG，那么AD=AG+DG=3DG，代入即可求得AG：AD的值．
3．（2019·天台模拟）过△ABC的重心G作GE∥BC交AC于点E，线段BC=12，线段GE长为（ ）
A．4 B．4.5 C．6 D．8
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵点G是△ABC的重心
∴AD为中线，AG=2GD，
∴BD=CD=BC=6，AG：AD=2：3
∵GE∥BC，
∴△AGE∽△ADC，
∴，
∴
∴GE=4
故答案为：A
【分析】 由已知点G是△ABC的重心，就可证得AG：AD=2：3，求出CD的长，再由GE∥BC，可证△AGE∽△ADC，然后利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可求出GE的长。
4．（2020·凤县模拟）如图， 经过 的重心，点 是 的中点，过点 作 交 于点 ，若 ，则线段 的长为（ ）
A．6 B．4 C．5 D．3
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 经过 的重心，
∴点D是BC中点，
∵BC=12，
∴CD=BD=6，
∵GE∥BC，
∴△AGE∽△ADC，
∵点E是AC中点，
∴ ，即 ，
解得：GE=3，
故答案为：D.
【分析】根据重心的概念得到点D为BC中点，即CD的长，再根据平行证明△AGE∽△ADC，结合点E是AC中点，得到 ，从而求出GE.
5．（2018九上·金山期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=9，D是AB的中点，G是△ABC的重心，如果以点D为圆心DG为半径的圆和以点C为圆心半径为 的圆相交，那么 的取值范围是（ ）
A． ； B． ； C． ； D． ．
【答案】D
【知识点】圆与圆的位置关系
【解析】【解答】延长CD交⊙D于点E，
∵∠ACB=90°，AC=12，BC=9，∴AB= =15，
∵D是AB中点，∴CD= ，
∵G是△ABC的重心，∴CG= =5，DG=2.5，
∴CE=CD+DE=CD+DF=10，
∵⊙C与⊙D相交，⊙C的半径为r，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】各点到C的距离与半径6作对比，大于半径的在圆外，等于半径的在圆上，小于半径的在圆内对比OC＜AC＜BC，确定O在圆内，B在圆外，写出半径r的取值即可．
6．（2020·烟台）如图，点G为 的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（ ）
A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.4
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点G为△ABC的重心，
∴AE＝BE，BF＝CF，
∴EF＝ ＝1.7，
故答案为：A．
【分析】由已知条件得EF是三角形的中位线，进而根据三角形中位线定理求得EF的长度．
7．（2019九上·鄞州月考）如图，已知点B，D在AC的两侧，E，F分别是△ACD与△ABC的重心，且EF=2，则BD的长度是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接DE并延长，叫AC于点G，连接BG，
∵点F是△ABC的重心，
∴BG经过点F，
∵点E为△ADC的重心，
∴点G是AC的中点，
∴ED=2EG，BF=2FG，
∴
∵∠FGE=∠BGD
∴△FGE∽△BGD，
∴
解之：BD=6.
故答案为：C.
【分析】抓住已知条件：E，F分别是△ACD与△ABC的重心，因此添加辅助线：连接DE并延长，叫AC于点G，连接BG，易证BG经过点F，利用三角形的重心定理可知ED=2EG，BF=2FG，再利用有两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证△FGE∽△BGD，利用相似三角形的对应边成比例，就可求出BD的长。
8．（2019·泰州）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点 、 、 、 、 、 、 在小正方形的顶点上，则 的重心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：根据题意可知，直线 经过 的 边上的中点，直线 经过 的 边上的中点，
∴点 是 重心．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到三角形的顶点的距离等于重心到三角形这边距离的2倍，观察图形可得出此△ABC的重心。
9．（2020九上·鄞州期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，过重心G作AC、BC的垂线，垂足分别为D、E，则四边形GDCE的面积与△ABC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接AG并延长交BC于点M，
∵点G是重心，
∴AG：GM=2：1，BC=2CM
∵矩形GDCE，
∴DG=CE，DG∥BC，
∴△ADG∽△ACM，
∴，
设DG=CE=2x，则CM=3x，BC=2×3x=6x，
设AD=2y，则AC=3y，CD=y
∴.
故答案为：C.
【分析】连接AG并延长交BC于点M，根据重心的性质，可知AG：GM=2：1，BC=2CM，再利用矩形的性质，可证得△ADG∽△ACM，利用相似三角形的性质，可求出对应边之比，设DG=CE=2x，用含x的代数式分别表示出CM，BC的长，设AD=2y，分别用含y的代数式表示出AC，CD的长，然后就可求出四边形GDCE的面积与△ABC的面积之比。
10．（2017·绵阳）如图，直角△ABC中，∠B=30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点O是△ABC的重心，
∴OC= CE，
∵△ABC是直角三角形，
∴CE=BE=AE，
∵∠B=30°，
∴∠FAE=∠B=30°，∠BAC=60°，
∴∠FAE=∠CAF=30°，△ACE是等边三角形，
∴CM= CE，
∴OM= CE﹣ CE= CE，即OM= AE，
∵BE=AE，
∴EF= AE，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=60°，
∴∠FEM=30°，
∴MF= EF，
∴MF= AE，
∴ = = ．
故选：D．
【分析】根据三角形的重心性质可得OC= CE，根据直角三角形的性质可得CE=AE，根据等边三角形的判定和性质得到CM= CE，进一步得到OM= CE，即OM= AE，根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质可得EF= AE，MF= EF，依此得到MF= AE，从而得到 的值．
二、填空题
11．（2019九上·上海月考）已知点G是 的重心， ，那么点G与边 中点之间的距离是 ．
【答案】3
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，D是BC边的中点；
∵G是△ABC的重心，
∴AG=2GD=6，即GD=3；
故答案为：3.
【分析】根据三角形重心的性质进行求解．
12．（2019九上·东台月考）直角三角形斜边长为6，那么这个三角形的重心到斜边中点的距离为 .
【答案】1
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】如图所示，取AO，BO的中点K，H，连接KH，HM，MN，NK，
∵M，N分别是BC，AC的中点，
∴MN平行且等于 AB．
又∵K，H分别是AO，BO边的中点，
∴KH平行且等于 BC．
∴MN平行且等于KH．
∴四边形KHMN是平行四边形．
∴NO=OH，MO=KO．
而AK=KO，BH=HO，
∴BO=2ON，AO=2OM．
∵直角三角形斜边长为6，
∴斜边上的中线长为3，
∵重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，
∴三角形的重心到斜边中点的距离OM为1，
故答案为：1．
【分析】先证明重心是三角形三边中线的交点，以及重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 即可得出答案．
13．（2019九上·浦东期中）如图， 中，G为重心， ，那么 = ；
【答案】6
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图示，连接AG交BC于D点，作△ABC的高h1，做△BCG的高h2，
∵G为△ABC的重心，根据重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，
∴AD=3GD，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
【分析】根据重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍和已知可以求出△ABC的面积．
14．（2020·泰兴模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足是H，则GH的长为 .
【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，连接AG并延长AG交BC于D，
∵点G是△ABC的重心，
∴AG=2GD，即 ，
∴ ，
∵由GH⊥BC，∠ACB=90°，
∴GH//BC，
∴ ，
∵AC=6，
∴GH=AC· =6× =2，
故答案为：2
【分析】如图，连接AG并延长AG交BC于D，由重心的性质可知 ，可得 ，由GH⊥BC，∠ACB=90°可得GH//BC，根据平行线分线段成比例定理即可得答案.
15．（2019·秀洲模拟）如图，G是△ABC的重心，若 ，则图中阴影部分面积是
【答案】4
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵ G是△ABC的重心 ，∴AG∶GD=2∶1，BD=CD，AE=EC，∴S△ADC=S△ABD=S△ABC=6，S△AGC∶S△DGC=2∶1， S△AGE=S△EGC ，∴S△DGC=S△AGE=S△EGC=2，同理S△AFG=S△BFG=S△BDG=2，∴ 图中阴影部分面积 =S△BFG+S△EGC=4；
故答案为：4.
【分析】根据三角形重心的性质得出AG∶GD=2∶1，BD=CD，AE=EC，根据等高三角形的面积之间的关系得出S△ADC=S△ABD=S△ABC=6，S△AGC∶S△DGC=2∶1， S△AGE=S△EGC ，∴S△DGC=S△AGE=S△EGC=2，同理S△AFG=S△BFG=S△BDG=2，从而算出答案。
三、解答题
16．（2019八上·临潼月考）画出下图中 的重心.
【答案】解：如解图所示，作三角形的两条中线交于点 ，点 即为所求.
【知识点】三角形的重心及应用；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】先作BC、AC的垂直平分线，找到其中点，再作出中线，两中线的交点即重心.
17．（2020·攀枝花）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是 的重心．求证： ．
【答案】证明：过点D作DH∥AB，交CE于点H，
∵AD是△ABC的中线，
∴点D是BC的中点，
∴DH是△BCE的中位线，
∴BE=2DH，DH∥AB，
∵CE是△BCE的中线，
∴AE=BE，
∴AE=2DH，
∵DH∥AB，
∴△AEG∽△DHG，
∴ ，
∴AG=2GD，
即AD=3GD.
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】过点D作DH∥AB交CE于H，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BE=2DH，从而得到AE=2DH，再根据△AEG和△DHG相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证．
18．（2019·乐山）在△ 中，已知 是 边的中点， 是△ 的重心，过 点的直线分别交 、 于点 、 .
（1）如图1，当 ∥ 时，求证： ；
（2）如图2，当 和 不平行，且点 、 分别在线段 、 上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
（3）如图3，当点 在 的延长线上或点 在 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
【答案】（1）证明： 是△ 重心
，
又 ∥ ，
， ，
则
（2）解：（1）中结论成立，理由如下：
如图，过点 作 ∥ 交 的延长线于点 ， 、 的延长线相交于点 ，
则 ，
又
而 是 的中点，即
又
结论成立
（3）解：（1）中结论不成立，理由如下：
当 点与 点重合时， 为 中点， ，
点 在 的延长线上时， ，
，则 ，
同理：当点 在 的延长线上时， ，
结论不成立.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）重心：三条中线的交点，其到顶点的距离是到对边中点距离的两倍。根据已知条件，判定△AEF∽△ABC，对应边成比例，分析即可证明 。
（2）结论仍成立。同（1）， 过点 作 ∥ 交 的延长线于点 ， 、 的延长线相交于点 ，判定三角形相似，然后对应边成比例。根据重心的性质，等式替换，分析即可证明结论。
（3）当 点与 点重合时， 为 中点， 。 点 在 的延长线上时 ，＞1， 则 ，结论不成立。同理E在AB延长线时， 也不符合结论。
19．（2020·湘潭）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．
（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边 的重心为点O，求 与 的面积．
（2）性质探究：如图（二），已知 的重心为点O，请判断 、 是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图（三），在正方形 中，点E是 的中点，连接 交对角线 于点M．
①若正方形 的边长为4，求 的长度；
②若 ，求正方形 的面积．
【答案】（1）解：连接DE，如图，
∵点O是 的重心，
， 是 ， C边上的中线，
为 ， 边上的中点，
为 的中位线，
， ，
，
，
，
， ，
；
（2）解：由（1）可知， 是定值；
是定值；
（3）解：①∵四边形ABCD是正方形，
， ，
为CD的中点，
，即 ；
② ，且
∴ ，
，
，
，
，
又
∴正方形ABCD的面积为：6+6=12．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接DE，利用相似三角形证明 ，运用勾股定理求出AD的长，运用三角形面积公式求解即可；（2）根据（1）的证明可求解；（3）①证明△CME∽△ABM得 ，再运用勾股定理求出BE的长即可解决问题；②分别求出S△BMC和S△ABM 即可.
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