初中数学浙教版九年级下册第一章 解直角三角形 单元测试
考试时间：120分钟 满分：150分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、单选题
1．（2018·浦东模拟）如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值（ ）
A．扩大为原来的两倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．不能确定
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，
所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的性质可知三角形的边长扩大，角度不会发生改变，即锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变.
2．（2020九上·平桂期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinA= cosB= ，
故答案为：B.
【分析】根据互余角的三角函数间的关系：sin（90°-α）=cosα，cos（90°-α）=sinα解答即可.
3．（2020·临潭模拟）已知A为锐角，且cosA≤ ，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵cos60°= ，余弦函数值随角增大而减小，
∴当cosA≤ 时，∠A≥60°，
又∠A是锐角，
∴60°≤A＜90°，
故答案为：B.
【分析】首先明确cos60°= ，再根据余弦函数值随角增大而减小进行分析.
4．（2020九上·凤县期末）如下图要测量小河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取 的垂线 上的一点C，测得 米， ，则小河宽 为（ ）
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ACP中，tan∠ACP=
∴ 米
故答案为：A.
【分析】根据锐角三角函数的定义即可得出结论.
5．（2018·淄博）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：sinA= ，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为，
故答案为：A．
【分析】根据正弦函数的定义，由sinA==0.15，再根据科学计算器的使用方法即可得出答案。
6．（2019九上·六安期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，下列式子中不一定成立的是（ ）
A．tanA= B．sin2A+sin2B=1
C．sin2A+cos2A=1 D．sinA=sinB
【答案】D
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】根据同角的三角函数的关系：tanA= ,sin2A+cos2A=1,sinB=sin(90° A)=cosB，可知只有D不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据同角三角函数的关系式直接进行判断即可．
7．（2020九上·长春期中）如图，一个梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是2米．若梯子与地面的夹角为 ，则梯子顶端到地面的距离（BC的长）为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】由题意可得：sin ＝ ＝ ，
故BC＝2sin （米）．
故答案为：A．
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin ＝ ＝ ，进而得出答案．
8．（2020·开远模拟）如图，某建筑物的顶部有一块标识牌 CD，小明在斜坡上 B 处测得标识牌顶部C 的仰角为 45°， 沿斜坡走下来在地面 A 处测得标识牌底部 D 的仰角为 60°，已知斜坡 AB 的坡角为 30°，AB＝AE＝10 米.则标识牌 CD 的高度是（ ）米.
A．15－5 B．20－10 C．10－5 D．5 －5
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示.
在Rt△ABE中，AB＝10米，∠BAM＝30°，
∴AM＝AB cos30°＝5 （米），BM＝AB sin30°＝5（米）.
在Rt△ACD中，AE＝10（米），∠DAE＝60°，
∴DE＝AE tan60°＝10 （米）.
在Rt△BCN中，BN＝AE＋AM＝10＋5 （米），∠CBN＝45°，
∴CN＝BN tan45°＝10＋5 （米），
∴CD＝CN＋EN DE＝10＋5 ＋5 10 ＝15 5 （米）.
故答案为：A.
【分析】过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN＋EN DE即可求出结论.
9．（2020·宁波模拟）如图，在一块矩形ABCD区域内，正好划出5个全等的矩形停车位，其中EF＝a米，FG＝b米，∠AEF＝30°，则AD等于（ ）
A．（ a+ b）米 B．（ a+ b）米
C．（a+ b）米 D．（a+ b）米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，
∵EF＝a米，∠A＝90°，∠AEF＝30°，
∴AF＝ EF＝ 米，∠AFE＝60°，
∵∠EFG＝90°，
∴∠MFG＝30°，
∴PQ＝NP＝MN＝FM＝ （米），
DQ＝QK cos30°＝ （米），
∴AD＝AF+4FM+dq＝ a+4× + ＝ a+ b（米），
故答案为：A.
【分析】在Rt△AEF中，通过解直角三角形求得AF，再在Rt△FMG和Rt△DQK中，通过解直角三角形求得FM，最后由AD＝AF+4FM+DQ得结果.
10．（2020九上·四川月考）如图，在 中， ， ， 于点D， 于点E， ．连接DE，将 沿直线AE翻折至 所在的平面内，得 ，连接DF．过点D作 交BE于点G．则四边形DFEG的周长为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵ ， 于点D，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 沿直线AE翻折得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
在 中，
，
∴四边形DFEG的周长为：
，
故答案为：D．
【分析】先证 ，得出 ，再证 与 是等腰直角三角形，在直角 中利用勾股定理求出BE的长，进一步求出GE的长，可通过解直角三角形分别求出GD，DE，EF，DF的长，即可求出四边形DFEG的周长．
二、填空题
11．（沪科版九上数学23.1锐角的三角函数课时作业（1））在 中， 为直角， 、∠B、∠C所对的边分别为a、B、c，且 ， ，则tan∠B = ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
∵在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=1，a= ，
∴tan∠B= = = .
故答案是：
【分析】根据tan∠B= 即可求出结论.
12．（2020九下·镇江月考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC= ，AC=6，则BD的长是 .
【答案】2
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=AC=3，BO=BD，
在Rt△AOB中，∵tan∠BAO=，
∴，
即：，
∴BO=1，
∴BD=2BO=2.
故答案为：2.
【分析】根据菱形的性质，得到AC⊥BD，AO=AC=3，BO=BD，再在Rt△AOB中，根据正切函数的定义，求出BO，进而求出BD的长.
13．（2020九上·覃塘期末）如图，渔船在 处看到灯塔 在北偏东 方向上，渔船向正东方向航行了 到达 处，在 处看到灯塔 在正北方向上，则 处与灯塔 的距离是 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】由已知得：∠BAC= ，
在直角三角形ABC中，
(海里)
故答案为： .
【分析】此题易得∠BAC=30°，再由直角三角形ABC运用三角函数求得 处与灯塔 的距离AC．
14．（2020九上·宁阳期中）如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝ ，AC＝2 ，AB的长 ．
【答案】5
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝2 ，
∴CD＝ AC＝ ，AD＝ CD＝3，
在Rt△BCD中，tanB＝ ，
∴ ，
∴BD＝2，
∴AB＝AD+BD＝3+2＝5.
【分析】作CD⊥AB于D，据含30度的直角三角形三边的关系得到CD= ，AD=3，再在Rt△BCD中根据正切的定义可计算出BD，然后把AD与BD相加即可．
15．（2020九上·江苏期中）一座建于若干年前的水库大坝的横截面如图所示，目前坝高4米，现要在不改变坝高的情况下修整加固，将背水坡AB的坡度由1：0.75改为1：2，则修整后的大坝横截面积增加了 平方米.
【答案】10
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：作AE⊥BC于E.
∵原来的坡度是1：0.75，
∴ ，
∵AE=4，
∴BE=3，
设整修后的斜坡为AB′，
由整修后坡度为1：2，则 ，
∴B′E=8，
∴
∵修整后的大坝横截增加部分为 ABB′
∴增加面积为
故答案为：10.
【分析】本题可通过构建直角三角形来解，过A作AE⊥BC于E，直角三角形ABE中根据AB的坡度，设出AE、BE的长，然后根据勾股定理求出未知数的值，也就求出了AE、BE的长，直角三角形AB′E中，有坡度，有AE的长，就能求出AB′的长，有了AB′的长，坡的面积便可求出了.
16．（2017·无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于 ．
【答案】3
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，
则∠BO′D′=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，
设每个小正方形的边长为a，
则O′B= ，O′D′= ，BD′=3a，
作BE⊥O′D′于点E，
则BE= ，
∴O′E= = ，
∴tanBO′E= ，
∴tan∠BOD=3，
故答案为：3．
【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得tan∠BOD的值．，本题得以解决
三、综合题
17．（2020·淮安模拟）计算：2cos245°+tan60° tan30°﹣cos60°
【答案】解：原式=2×( )2+
=1+1﹣
= .
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先计算特殊三角函数值，再算乘方，再算乘法，最后算加减法即可.
18．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第一章 解直角三角形 单元测试卷A ）在△ABC中，∠B=135°，AB= ，BC=1．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AC的长．
【答案】（1）解：延长CB，过点A作AD⊥BC，
∵∠ABC=135°，
∴∠ABD=45°，
在Rt△ABD中，AB= ，∠ABD=45°，
∴AD=AB×sin45°=2，
∴△ABC的面积= ×BC×AD=1；
（2）解：∵∠ABD=45°，∠D=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵AD=2，
∴DB=2，DC=DB+BC=2+1=3，
在Rt△ACD中，AC= = ．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1） 延长CB，过点A作AD⊥BC， 根据邻补角的定义算出∠ABD的度数， 在Rt△ABD中 ，根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 AD=AB×sin45° 算出AD的长，从而根据三角形的面积公式算出△ABC的面积；
（2）首先判断出 △ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的两腰相等得出AD的长，根据DC=DB+BC算出DC的长， 在Rt△ACD中，利用勾股定理算出AC的长。
19．（2020九上·西安期中）如图，一根电线杆PQ直立在山坡上，从地面的点A看，测得杆顶端点P的仰角为45°，向前走6m到达点B，又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为60°和30°，求电线杆PQ的高度.（结果保留根号）.
【答案】解：延长PQ交地面与点C，
由题意可得：AB=6m，∠PCA=90°，∠PAC=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，
设CQ=x，则在Rt△BQC中，BC= QC= x，
∴在Rt△PBC中PC= BC=3x，
∵在Rt△PAC中，∠PAC=45°，则PC=AC，
∴3x=6+ x，
解得x= =3+ ，
∴PQ=PC-CQ=3x-x=2x=6+ ，则电线杆PQ高为（6+ ）米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 延长PQ交地面与点C ， 设CQ=x，则在Rt△BQC中，BC= QC= x，在Rt△PBC中PC= BC=3x， 根据 ∠PAC=45°可得PC=AC ，即 3x=6+ x ，即可求解x，由 PQ=PC-CQ 即可算出答案.
20．（2020九上·江苏期中）
（1）已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC= ，解直角三角形.
（2）已知△ABC中，∠A=45°，AB=4，BC=3，求AC的长.
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°-∠A=60°，AB=2BC=2 ，
∴AC= =3；
（2）解：如图，过点B作BD⊥AC于D，
∵∠A=45°，
∴∠ABD=∠A=45°，
∴AD=BD，
∵AB=4， ，
∴AD=BD= ，
在Rt△BCD中，BC=3，
∴ ，
∴AC=AD+CD= +1.
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出∠B，利用30度角的性质求出AB，再利用勾股定理求出AC；
（2）过点B作BD⊥AC于D，根据∠A=45°证得AD=BD，利用勾股定理求出AD=BD= ，再利用勾股定理求出CD，即可得到AC的长.
21．（2020九上·柯桥月考）如图是一种简易台灯的结构图，灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上.量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm.
（1）
求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；
（2）当E点到水平桌面（AB所在直线）的距离介于45cm至46cm范围时，视线最佳，通过计算说明此时光线是否为最佳.（参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27， ＝1.73.）
【答案】（1）解：如图所示：过点D作DN⊥AB于点N，过E作EM⊥AB于点M，过点D作DF∥AB，交EM于F，故四边形DNMF是矩形，则∠NDF＝90°，
∵∠A＝60°，∴∠ADF＝120°，∴∠EDF＝135°﹣120°＝15°，
即DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角为15°；
（2）解：如图所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，
∴∠ABC＝30°，∴AC＝ AB＝8cm，
∵灯杆CD长为40cm，∴AD＝48cm，
∴DN＝AD cos30°≈41.57cm，则FM＝41.57cm，
∵灯管DE长为15cm，∴sin15°＝ ＝ ＝0.26，解得：EF＝3.9（cm），
∴E点到水平桌面（AB所在直线）的距离为：3.9+41.57≈45.5（cm），
∵45cm＜45.5cm＜46cm，∴此时光线最佳.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点D作DN⊥AB于点N，过E作EM⊥AB于点M，过点D作DF∥AB，交EM于F，易证四边形DNMF是矩形，利用矩形的性质可证得∠NDF＝90°，可求出∠ADF的度数，然后根据∠EDF=∠ADE-∠ADF，代入计算求解。
（2）利用直角三角形的性质求出AC的长，再利用解直角三角形求出DN的长，即可得到FM的长，然后利用解直角三角形求出DE的长，就可求出E点到水平桌面（AB所在直线）的距离，比较大小可作出判断。
22．（2020九上·株洲期中）某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示， ，斜坡 长为 ，坡度 ．为了减缓坡面，防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，地质人员勘测，当坡角不超过 时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡顶到地面的距离 ．
（2）如果改造时保持坡脚 不动，坡顶 沿 削进到 处，问 至少是多少米
【答案】（1）解：∵坡度 ，
∴ ，设 ， ，
根据勾股定理， ，则 ，解得 ，
∴ ；
（2）解：如图，连接AF，过点F作 于点H，
由（1）得 ，
设 ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴BF至少是10米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】根据解直角三角形的相关知识及勾股定理解决实际问题即可。
23．（2020九上·灌云月考）一轮船以每小时30km的速度由西向东航行（如图），在途中C处接到台风警报，台风中心正以每小时20km的速度从B处由南向北移动，已知距台风中心200km的区域（包括边界）都属于受台风影响区.当轮船接到台风警报时，测得BC＝500km，BA＝300km.
（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？若不会受到影响，说明理由；若会受到影响，求出受影响的时间（结果保留整数）.
（2）现轮船速度减慢为每小时vkm（v＜30），航向不变，在保证不受到台风影响的前提下，求v的最大值（结果保留整数）.
【答案】（1）轮船会受到台风影响.
∵BC＝500km，BA＝300km，
∴AC＝ ＝400km.
设当轮船接到报警后经过t小时受到台风影响，
则（400﹣30t）2+（300﹣20t）2＝2002，
解得t1＝ ，t2＝ ，
∴受影响的时间为t＝ ≈11小时，
答：轮船会受到台风影响；受影响的时间为11小时；
（2）由题意得，（400﹣vt）2+（20t﹣300）2≥2002对任意t恒成立，
∴（400+v2）t2﹣（12000+800v）t+210000≥0恒成立，
故（12000+800v）2﹣4（400+v2）×210000≤0，
∴v≥48+8 （舍去），v≤48﹣8 ，
∴v的最大值是48﹣8 ≈11.
答：v的最大值约为11.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理求出AC的长，再设当轮船接到报警后经过t小时受到台风影响，根据勾股定理列出关于t的方程，求出t的值即可；（2）根据题意列不等式即可得到结论.
24．（2020九上·泰兴月考）如图1，已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，O是对角线AC的中点，点E从A点沿AB向点B运动，运动过程中连接OE，过O作OF⊥OE交BC于F，连接EF，
（1）当点E与点A重合时，如图2，求 的值；
（2）运动过程中， 的值是否与(1)中所求的值保持不变，并说明理由；
（3）当EF平分∠OEB时，求AE的长.
【答案】（1）解：如图2，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，
∴AC= ， ，
当点E与A重合时，
∵O是对角线AC的中点，OF⊥OE，
∴AF=FC，
∴∠OEF=∠FCA，
∴ ；
（2）解：运动过程中， 的值是否与(1)中所求的值保持不变.
理由：∵平移后点E和点F与其对应点 和 的连接经过同一点B，
∴△EOF与 平移后的图形是位似图形，
∴∠OEF的大小不变，
∴运动过程中， 的值也不变；
（3）解：当EF平分∠OEB时，
，
，
，
设 ，
，
∵BF+FC=BC，
∴ ，
解得， ，
，
在Rt△BFC中， ，
，
.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；位似变换；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）当点E和点A重合时，可求出∠OEF=∠FCA，求出tan∠FCA的值即可；
（2） 先判断△EOF与 平移后的图形是位似图形， 利用位似图形的性质即可求解；
（3）先证明△EBF≌△EOF，可得BF=OF，设BF+FC=BC，列出方程，求出x的值，即得BF=FO=3，在Rt△BFC中，利用解直角三角形求出BE的长，由AE=AB-BE即可求出结论.
1 / 1初中数学浙教版九年级下册第一章 解直角三角形 单元测试
考试时间：120分钟 满分：150分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、单选题
1．（2018·浦东模拟）如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值（ ）
A．扩大为原来的两倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．不能确定
2．（2020九上·平桂期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2020·临潭模拟）已知A为锐角，且cosA≤ ，那么（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020九上·凤县期末）如下图要测量小河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取 的垂线 上的一点C，测得 米， ，则小河宽 为（ ）
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
5．（2018·淄博）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2019九上·六安期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，下列式子中不一定成立的是（ ）
A．tanA= B．sin2A+sin2B=1
C．sin2A+cos2A=1 D．sinA=sinB
7．（2020九上·长春期中）如图，一个梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是2米．若梯子与地面的夹角为 ，则梯子顶端到地面的距离（BC的长）为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
8．（2020·开远模拟）如图，某建筑物的顶部有一块标识牌 CD，小明在斜坡上 B 处测得标识牌顶部C 的仰角为 45°， 沿斜坡走下来在地面 A 处测得标识牌底部 D 的仰角为 60°，已知斜坡 AB 的坡角为 30°，AB＝AE＝10 米.则标识牌 CD 的高度是（ ）米.
A．15－5 B．20－10 C．10－5 D．5 －5
9．（2020·宁波模拟）如图，在一块矩形ABCD区域内，正好划出5个全等的矩形停车位，其中EF＝a米，FG＝b米，∠AEF＝30°，则AD等于（ ）
A．（ a+ b）米 B．（ a+ b）米
C．（a+ b）米 D．（a+ b）米
10．（2020九上·四川月考）如图，在 中， ， ， 于点D， 于点E， ．连接DE，将 沿直线AE翻折至 所在的平面内，得 ，连接DF．过点D作 交BE于点G．则四边形DFEG的周长为（ ）
A．8 B． C． D．
二、填空题
11．（沪科版九上数学23.1锐角的三角函数课时作业（1））在 中， 为直角， 、∠B、∠C所对的边分别为a、B、c，且 ， ，则tan∠B = ．
12．（2020九下·镇江月考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC= ，AC=6，则BD的长是 .
13．（2020九上·覃塘期末）如图，渔船在 处看到灯塔 在北偏东 方向上，渔船向正东方向航行了 到达 处，在 处看到灯塔 在正北方向上，则 处与灯塔 的距离是 ．
14．（2020九上·宁阳期中）如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝ ，AC＝2 ，AB的长 ．
15．（2020九上·江苏期中）一座建于若干年前的水库大坝的横截面如图所示，目前坝高4米，现要在不改变坝高的情况下修整加固，将背水坡AB的坡度由1：0.75改为1：2，则修整后的大坝横截面积增加了 平方米.
16．（2017·无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于 ．
三、综合题
17．（2020·淮安模拟）计算：2cos245°+tan60° tan30°﹣cos60°
18．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第一章 解直角三角形 单元测试卷A ）在△ABC中，∠B=135°，AB= ，BC=1．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AC的长．
19．（2020九上·西安期中）如图，一根电线杆PQ直立在山坡上，从地面的点A看，测得杆顶端点P的仰角为45°，向前走6m到达点B，又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为60°和30°，求电线杆PQ的高度.（结果保留根号）.
20．（2020九上·江苏期中）
（1）已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC= ，解直角三角形.
（2）已知△ABC中，∠A=45°，AB=4，BC=3，求AC的长.
21．（2020九上·柯桥月考）如图是一种简易台灯的结构图，灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上.量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm.
（1）
求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；
（2）当E点到水平桌面（AB所在直线）的距离介于45cm至46cm范围时，视线最佳，通过计算说明此时光线是否为最佳.（参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27， ＝1.73.）
22．（2020九上·株洲期中）某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示， ，斜坡 长为 ，坡度 ．为了减缓坡面，防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，地质人员勘测，当坡角不超过 时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡顶到地面的距离 ．
（2）如果改造时保持坡脚 不动，坡顶 沿 削进到 处，问 至少是多少米
23．（2020九上·灌云月考）一轮船以每小时30km的速度由西向东航行（如图），在途中C处接到台风警报，台风中心正以每小时20km的速度从B处由南向北移动，已知距台风中心200km的区域（包括边界）都属于受台风影响区.当轮船接到台风警报时，测得BC＝500km，BA＝300km.
（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？若不会受到影响，说明理由；若会受到影响，求出受影响的时间（结果保留整数）.
（2）现轮船速度减慢为每小时vkm（v＜30），航向不变，在保证不受到台风影响的前提下，求v的最大值（结果保留整数）.
24．（2020九上·泰兴月考）如图1，已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，O是对角线AC的中点，点E从A点沿AB向点B运动，运动过程中连接OE，过O作OF⊥OE交BC于F，连接EF，
（1）当点E与点A重合时，如图2，求 的值；
（2）运动过程中， 的值是否与(1)中所求的值保持不变，并说明理由；
（3）当EF平分∠OEB时，求AE的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，
所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的性质可知三角形的边长扩大，角度不会发生改变，即锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变.
2．【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinA= cosB= ，
故答案为：B.
【分析】根据互余角的三角函数间的关系：sin（90°-α）=cosα，cos（90°-α）=sinα解答即可.
3．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵cos60°= ，余弦函数值随角增大而减小，
∴当cosA≤ 时，∠A≥60°，
又∠A是锐角，
∴60°≤A＜90°，
故答案为：B.
【分析】首先明确cos60°= ，再根据余弦函数值随角增大而减小进行分析.
4．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ACP中，tan∠ACP=
∴ 米
故答案为：A.
【分析】根据锐角三角函数的定义即可得出结论.
5．【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：sinA= ，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为，
故答案为：A．
【分析】根据正弦函数的定义，由sinA==0.15，再根据科学计算器的使用方法即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】根据同角的三角函数的关系：tanA= ,sin2A+cos2A=1,sinB=sin(90° A)=cosB，可知只有D不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据同角三角函数的关系式直接进行判断即可．
7．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】由题意可得：sin ＝ ＝ ，
故BC＝2sin （米）．
故答案为：A．
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin ＝ ＝ ，进而得出答案．
8．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示.
在Rt△ABE中，AB＝10米，∠BAM＝30°，
∴AM＝AB cos30°＝5 （米），BM＝AB sin30°＝5（米）.
在Rt△ACD中，AE＝10（米），∠DAE＝60°，
∴DE＝AE tan60°＝10 （米）.
在Rt△BCN中，BN＝AE＋AM＝10＋5 （米），∠CBN＝45°，
∴CN＝BN tan45°＝10＋5 （米），
∴CD＝CN＋EN DE＝10＋5 ＋5 10 ＝15 5 （米）.
故答案为：A.
【分析】过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN＋EN DE即可求出结论.
9．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，
∵EF＝a米，∠A＝90°，∠AEF＝30°，
∴AF＝ EF＝ 米，∠AFE＝60°，
∵∠EFG＝90°，
∴∠MFG＝30°，
∴PQ＝NP＝MN＝FM＝ （米），
DQ＝QK cos30°＝ （米），
∴AD＝AF+4FM+dq＝ a+4× + ＝ a+ b（米），
故答案为：A.
【分析】在Rt△AEF中，通过解直角三角形求得AF，再在Rt△FMG和Rt△DQK中，通过解直角三角形求得FM，最后由AD＝AF+4FM+DQ得结果.
10．【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵ ， 于点D，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 沿直线AE翻折得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
在 中，
，
∴四边形DFEG的周长为：
，
故答案为：D．
【分析】先证 ，得出 ，再证 与 是等腰直角三角形，在直角 中利用勾股定理求出BE的长，进一步求出GE的长，可通过解直角三角形分别求出GD，DE，EF，DF的长，即可求出四边形DFEG的周长．
11．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
∵在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=1，a= ，
∴tan∠B= = = .
故答案是：
【分析】根据tan∠B= 即可求出结论.
12．【答案】2
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=AC=3，BO=BD，
在Rt△AOB中，∵tan∠BAO=，
∴，
即：，
∴BO=1，
∴BD=2BO=2.
故答案为：2.
【分析】根据菱形的性质，得到AC⊥BD，AO=AC=3，BO=BD，再在Rt△AOB中，根据正切函数的定义，求出BO，进而求出BD的长.
13．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】由已知得：∠BAC= ，
在直角三角形ABC中，
(海里)
故答案为： .
【分析】此题易得∠BAC=30°，再由直角三角形ABC运用三角函数求得 处与灯塔 的距离AC．
14．【答案】5
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝2 ，
∴CD＝ AC＝ ，AD＝ CD＝3，
在Rt△BCD中，tanB＝ ，
∴ ，
∴BD＝2，
∴AB＝AD+BD＝3+2＝5.
【分析】作CD⊥AB于D，据含30度的直角三角形三边的关系得到CD= ，AD=3，再在Rt△BCD中根据正切的定义可计算出BD，然后把AD与BD相加即可．
15．【答案】10
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：作AE⊥BC于E.
∵原来的坡度是1：0.75，
∴ ，
∵AE=4，
∴BE=3，
设整修后的斜坡为AB′，
由整修后坡度为1：2，则 ，
∴B′E=8，
∴
∵修整后的大坝横截增加部分为 ABB′
∴增加面积为
故答案为：10.
【分析】本题可通过构建直角三角形来解，过A作AE⊥BC于E，直角三角形ABE中根据AB的坡度，设出AE、BE的长，然后根据勾股定理求出未知数的值，也就求出了AE、BE的长，直角三角形AB′E中，有坡度，有AE的长，就能求出AB′的长，有了AB′的长，坡的面积便可求出了.
16．【答案】3
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，
则∠BO′D′=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，
设每个小正方形的边长为a，
则O′B= ，O′D′= ，BD′=3a，
作BE⊥O′D′于点E，
则BE= ，
∴O′E= = ，
∴tanBO′E= ，
∴tan∠BOD=3，
故答案为：3．
【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得tan∠BOD的值．，本题得以解决
17．【答案】解：原式=2×( )2+
=1+1﹣
= .
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先计算特殊三角函数值，再算乘方，再算乘法，最后算加减法即可.
18．【答案】（1）解：延长CB，过点A作AD⊥BC，
∵∠ABC=135°，
∴∠ABD=45°，
在Rt△ABD中，AB= ，∠ABD=45°，
∴AD=AB×sin45°=2，
∴△ABC的面积= ×BC×AD=1；
（2）解：∵∠ABD=45°，∠D=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵AD=2，
∴DB=2，DC=DB+BC=2+1=3，
在Rt△ACD中，AC= = ．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1） 延长CB，过点A作AD⊥BC， 根据邻补角的定义算出∠ABD的度数， 在Rt△ABD中 ，根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 AD=AB×sin45° 算出AD的长，从而根据三角形的面积公式算出△ABC的面积；
（2）首先判断出 △ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的两腰相等得出AD的长，根据DC=DB+BC算出DC的长， 在Rt△ACD中，利用勾股定理算出AC的长。
19．【答案】解：延长PQ交地面与点C，
由题意可得：AB=6m，∠PCA=90°，∠PAC=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，
设CQ=x，则在Rt△BQC中，BC= QC= x，
∴在Rt△PBC中PC= BC=3x，
∵在Rt△PAC中，∠PAC=45°，则PC=AC，
∴3x=6+ x，
解得x= =3+ ，
∴PQ=PC-CQ=3x-x=2x=6+ ，则电线杆PQ高为（6+ ）米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 延长PQ交地面与点C ， 设CQ=x，则在Rt△BQC中，BC= QC= x，在Rt△PBC中PC= BC=3x， 根据 ∠PAC=45°可得PC=AC ，即 3x=6+ x ，即可求解x，由 PQ=PC-CQ 即可算出答案.
20．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°-∠A=60°，AB=2BC=2 ，
∴AC= =3；
（2）解：如图，过点B作BD⊥AC于D，
∵∠A=45°，
∴∠ABD=∠A=45°，
∴AD=BD，
∵AB=4， ，
∴AD=BD= ，
在Rt△BCD中，BC=3，
∴ ，
∴AC=AD+CD= +1.
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出∠B，利用30度角的性质求出AB，再利用勾股定理求出AC；
（2）过点B作BD⊥AC于D，根据∠A=45°证得AD=BD，利用勾股定理求出AD=BD= ，再利用勾股定理求出CD，即可得到AC的长.
21．【答案】（1）解：如图所示：过点D作DN⊥AB于点N，过E作EM⊥AB于点M，过点D作DF∥AB，交EM于F，故四边形DNMF是矩形，则∠NDF＝90°，
∵∠A＝60°，∴∠ADF＝120°，∴∠EDF＝135°﹣120°＝15°，
即DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角为15°；
（2）解：如图所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，
∴∠ABC＝30°，∴AC＝ AB＝8cm，
∵灯杆CD长为40cm，∴AD＝48cm，
∴DN＝AD cos30°≈41.57cm，则FM＝41.57cm，
∵灯管DE长为15cm，∴sin15°＝ ＝ ＝0.26，解得：EF＝3.9（cm），
∴E点到水平桌面（AB所在直线）的距离为：3.9+41.57≈45.5（cm），
∵45cm＜45.5cm＜46cm，∴此时光线最佳.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点D作DN⊥AB于点N，过E作EM⊥AB于点M，过点D作DF∥AB，交EM于F，易证四边形DNMF是矩形，利用矩形的性质可证得∠NDF＝90°，可求出∠ADF的度数，然后根据∠EDF=∠ADE-∠ADF，代入计算求解。
（2）利用直角三角形的性质求出AC的长，再利用解直角三角形求出DN的长，即可得到FM的长，然后利用解直角三角形求出DE的长，就可求出E点到水平桌面（AB所在直线）的距离，比较大小可作出判断。
22．【答案】（1）解：∵坡度 ，
∴ ，设 ， ，
根据勾股定理， ，则 ，解得 ，
∴ ；
（2）解：如图，连接AF，过点F作 于点H，
由（1）得 ，
设 ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴BF至少是10米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】根据解直角三角形的相关知识及勾股定理解决实际问题即可。
23．【答案】（1）轮船会受到台风影响.
∵BC＝500km，BA＝300km，
∴AC＝ ＝400km.
设当轮船接到报警后经过t小时受到台风影响，
则（400﹣30t）2+（300﹣20t）2＝2002，
解得t1＝ ，t2＝ ，
∴受影响的时间为t＝ ≈11小时，
答：轮船会受到台风影响；受影响的时间为11小时；
（2）由题意得，（400﹣vt）2+（20t﹣300）2≥2002对任意t恒成立，
∴（400+v2）t2﹣（12000+800v）t+210000≥0恒成立，
故（12000+800v）2﹣4（400+v2）×210000≤0，
∴v≥48+8 （舍去），v≤48﹣8 ，
∴v的最大值是48﹣8 ≈11.
答：v的最大值约为11.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理求出AC的长，再设当轮船接到报警后经过t小时受到台风影响，根据勾股定理列出关于t的方程，求出t的值即可；（2）根据题意列不等式即可得到结论.
24．【答案】（1）解：如图2，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，
∴AC= ， ，
当点E与A重合时，
∵O是对角线AC的中点，OF⊥OE，
∴AF=FC，
∴∠OEF=∠FCA，
∴ ；
（2）解：运动过程中， 的值是否与(1)中所求的值保持不变.
理由：∵平移后点E和点F与其对应点 和 的连接经过同一点B，
∴△EOF与 平移后的图形是位似图形，
∴∠OEF的大小不变，
∴运动过程中， 的值也不变；
（3）解：当EF平分∠OEB时，
，
，
，
设 ，
，
∵BF+FC=BC，
∴ ，
解得， ，
，
在Rt△BFC中， ，
，
.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；位似变换；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）当点E和点A重合时，可求出∠OEF=∠FCA，求出tan∠FCA的值即可；
（2） 先判断△EOF与 平移后的图形是位似图形， 利用位似图形的性质即可求解；
（3）先证明△EBF≌△EOF，可得BF=OF，设BF+FC=BC，列出方程，求出x的值，即得BF=FO=3，在Rt△BFC中，利用解直角三角形求出BE的长，由AE=AB-BE即可求出结论.
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