初中数学浙教版九年级上册4.5相似三角形的性质及应用（2）同步练习
一、单选题
1．（2020·兰州模拟）两个相似三角形，其面积比为16：9，则其相似比为（ ）
A．16：9 B．4：3 C．9：16 D．3：4
2．（2020九上·诸暨期末）若两个相似三角形的周长之比为1∶4，则它们的面积之比为（ ）
A．1∶2 B．1∶4 C．1∶8 D．1∶16
3．（2020·铜仁）已知 ，它们的周长分别为30和15，且 ，则 的长为
A．3 B．2 C．4 D．5
4．（2020·南京模拟）已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1 4.若BC＝1，则EF的长是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．16
5．（2020·江油模拟）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，△ABC的面积为40，则△DEF的面积为（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
6．（2020八下·长兴期中）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，若△DBE的周长是7，则△ABC的周长是（ ）
A．8 B．10 C．12． D．14
7．（2020九上·临颍期末）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·萧山模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB，垂足为点D，如果 ，AD=9，那么BC的长是（ ）
A．4 B．6 C．2 D．3
9．（2020·龙湖模拟）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长于点Q，下列结论正确的有（ ）个．
①AE⊥BF； ②QB＝QF； ③ ； ④SECPG＝3S△BGE
A．1 B．4 C．3 D．2
10．（2020九上·奉化期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB，若AB=3BD。则S△ADE：S△EFC的值为（ ）
A．4：1 B．3：2 C．2：1 D．3：1
二、填空题
11．（2020·兰州模拟）如图，已知△ABC∽△DBE，AB＝6，DB＝8，则 ＝ .
12．（2019九上·银川月考）公园中儿童游乐场是两个相似三角形地块，相似比为2：3，其中大三角形地块面积为27，则小三角形地块的面积是 .
13．（2020九上·岐山期末）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若△ADE与△ABC的周长之比为2：3，AD=4，则DB= 。
14．（2020·鞍山）如图，在 中，点E是 的中点， ， 的延长线交于点F.若 的面积为1，则四边形 的面积为 .
15．（2019八上·鄞州期中）如图，图①是一块边长为1，面积记为 的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为 的正三角形纸板后得到图②，剪下的正三角纸板面积记为 ，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的 后，得图③、④，…，记剪下的第2019块小正三角形纸板的面积为 ，则 等于 .
三、解答题
16．（2019九上·兰州期末）已知 和 中，有 ,且 和 的周长之差为15厘米，求 和 的周长.
17．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册4.7 相似三角形的性质 同步练习）△ABC∽△A`B`C`， ，边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A`B`C`的面积是64 cm2，求：
（1）A`B`边上的中线C`D`的长；
（2）△A`B`C`的周长
（3）△ABC的面积
18．（2020·长安模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E.
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；
（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】根据题意得： ＝ .即这两个相似多边形的相似比为4：3.
故答案为：B.
【分析】根据两个相似多边形的面积比为16：9，面积之比等于相似比的平方.
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵两个相似三角形的周长之比为1∶4
∴它们的面积之比为1∶16
故答案为：D.
【分析】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： 和 的周长分别为30和15，
和 的周长比为 ，
，
，即 ，
解得， ，
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的性质“相似三角形的周长的比等于相似比”可求解.
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：4，
∴（BC：EF）2=1：4，
解得BC：EF=1：2，
∵BC=1，
∴EF=2.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列出比例式，代入数值计算即可得解.
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，
∴面积比为4：9，
∵△ABC的面积为40，
∴△DEF的面积为90，
故答案为：D．
【分析】根据△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，可得面积比为4：9，进而可得答案．
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 点D，E分别是边AB，BC的中点
∴DE=12AC；DE//AC；
∴
∴=14
故答案为：D.
【分析】根据中位线定理，相似三角形的周长比=相似比，可以求出。
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】A选项，在△OAB∽△OCD中，OB和CD不是对应边，因此它们的比值不一定等于相似比，所以A选项不一定成立；
B选项，在△OAB∽△OCD中，∠A和∠C是对应角，因此 ，所以B选项不成立；
C选项，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以C选项不成立；
D选项，因为相似三角形的周长比等于相似比，所以D选项一定成立.
故答案为：D.
【分析】相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比等于相似比；（2）相似三角形周长之比等于相似比；（3）相似三角形面积比等于相似比的平方；且相似比为3：2可得结果.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解： ∠ACB=90°， CD⊥AB
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠ACD=∠CBD，
∴△ACD~△CBD
∴；
AD=9
∴CD=6
又CD2=AD·BD；
∴BD=4；
在Rt BCD中，根据勾股定理得：
===；
故答案为：C.
【分析】先根据相似三角形边长比等于周长比求出CD，再根据三角形射影定理求出BD，在直角三角形BCD中用勾股定理求出BC的长。
9．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】①利用SAS定理，可判定△ABE≌△BCF，所以通过角度换算，可得出∠BGE=90°，
所以AE⊥BF，所以①正确，
②根据折叠的性质，CD∥AB，可得出∠CFB=∠ABF，∠ABF=∠PFB，所以QB=QF，所以②正确，
③AE⊥BF，∠ABE=90°，△BEG∽△ABG∽△AEB，对应边成比例=，
设CE=x，BG=2x，AG=4x，BF=AE=AG+GE=5x，FG=BF-BG=3x，
FG=AG，即，故③正确，
④△BGE∽△BMC，E是BC的中点，BE-CE，所以△BGE的面积：△BMC=1∶4，所以△BGE的面积：四边形ECMG的面积=1∶3，连接CG，则△PGM的面积=△CGM的面积=2△CGM的面积，所以四边形ECPG的面积：△BGE的面积=5∶1，所以④错误
故答案为：C
【分析】根据全等三角形、相似三角形的判定和性质，可进行判断。
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=3BD，
∴AD=2BD，
∵DE∥BC，EF∥AB ，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∴EF=BD，
∴AD=2EF，即AD：EF=2∶1，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ECF，∠ADE=∠B
∵EF∥AB ，
∴∠EFC=∠B，
∴∠EFC=∠ADE，
∴△ADE∽△EFC，
∴S△ADE：S△EFC =AD2：EF2=4：1.
故答案为：A.
【分析】由AB=3BD，可得AD=2BD，再由两组对边分别平行得四边形DBFE是平行四边形，可得EF=BD，从而得出AD和EF的比值，接着利用平行得性质推得两组对角相等，证得△ADE∽△EFC，则由三角形相似的性质求得面积之比.
11．【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵AB=6，DB=8，∴△ABC与△DBE的相似比=6：8=3：4，∴ = .
故答案为 .
【分析】先求出△ABC与△DBE的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质解答.
12．【答案】12
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意，设小三角形地块的面积为x，由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，则
x：27=4：9，
解得：x=12，
故答案为：12.
【分析】根据两个三角形相似，面积比等于相似比的平方，列出比例式计算即可.
13．【答案】2
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AB=6，
∴DB=AB-AD=6-4=2.
故答案为：2.
【分析】首先求出△ADE和△ABC相似，根据相似三角形的周长之比等于相似比列式，先求出AB的长，则DB的长可求.
14．【答案】3
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，AB∥CD，点E是CD中点，
∴EC是△ABF的中位线；
在△ABF和△CEF中，
∠B=∠DCF，∠F=∠F，
∴△ABF∽△ECF，
∴ ，
∴S△ABF：S△CEF=1：4；
又∵△ECF的面积为1，
∴S△ABF=4，
∴S四边形ABCE=S△ABF-S△CEF=3.
故答案为：3.
【分析】根据 ABCD的对边互相平行的性质及中位线的性质知EC是△ABF的中位线；然后根证明△ABF∽△CEF，再由相似三角形的面积比是相似比的平方及△ECF的面积为1求得△ABF的面积；最后根据图示求得S四边形ABCE=S△ABF-S△CEF=3.
15．【答案】
【知识点】相似三角形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：第1块正三角形纸板的面积为
∵第2块被剪掉的正三角形纸板的边长为第1块的 ，根据相似三角形定律，可知相似三角形面积比等于边长比的平方，可知
，同理可知：
…
∴
【分析】本题关键在于寻找规律，得出剪掉的三角形的面积与第几次被剪掉的次数之间的关系。
16．【答案】解：设 和 的周长分别是x厘米和y厘米.
∵
①..
由题意可得： ②
由①式得 ③
将③式代入①式得：
y=45
将y=45代入②式得：x=30
∴x=30,y=45
答： 和 的周长分别是30厘米和45厘米
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】 设 和 的周长分别是x厘米和y厘米. 根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得出①, 由题意可得： ②， 解①②组成的方程组即可求出x,y的值，从而得出答案。
17．【答案】（1）解：∵△ABC∽△A′B′C′， ，AB边上的中线CD=4cm，
∴ = ，
∴C′D′=4cm×2=8cm，
∴A′B′边上的中线C′D′的长为8cm
（2）解：∵△ABC∽△A′B′C′， ，△ABC的周长为20cm，
∴ ，
∴C△A′B′C′=20cm×2=40cm，
∴△A′B′C′的周长为40cm
（3）解：∵△ABC∽△A′B′C′， ，△A′B′C′的面积是64cm2，
∴ ，
∴S△ABC=64cm2÷4=16cm2，
∴△ABC的面积是16cm2.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形对应边的中线的比等于相似比可得方程求解；
（2）根据相似三角形周长的比等于相似比可得方程求解；
（3）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求解。
18．【答案】（1）解：将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得： ，
解得：a=-1，b=2，c=8，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8
（2）解：∵点A（﹣2，0）、C（0，8），
∴OA＝2，OC＝8，
∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，
∵∠PAE≠∠CAO，
∴只有当∠PEA＝∠AOC时，△PEA∽△AOC，
此时 ，即： ，
∴AE＝4PE，
设点P的纵坐标为k，则PE＝k，AE＝4k，
∴OE＝4k﹣2，
将点P坐标（4k﹣2，k）代入二次函数表达式并解得：
k＝0或 （舍去0），则点P（ ）
（3）解：在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，
∵l∥y轴，
∴∠PDF＝∠COB，
∴ △PFD∽ △BOC，
∴ ，
∴S△PDF＝ S△BOC，
而S△BOC＝ OB OC＝ ×4×8=16，
BC＝ ，
∴S△PDF＝ S△BOC＝ PD2，
即当PD取得最大值时，S△PDF最大，
将B、C坐标代入一次函数表达式 得：
，
解得： ，
∴直线BC的表达式为：y＝﹣2x+8，
设点P（m，﹣m2+2m+8），则点D（m，﹣2m+8），
则PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4，
当m＝2时，PD的最大值为4，
故当PD＝4时，∴S△PDF＝ ＝ .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）只有当∠PEA＝∠AOC时，△PEA∽△AOC，可得：PE＝4AE，设点P坐标（4k﹣2，k），即可求解；（3）利用Rt△PFD∽Rt△BOC得： ，再求出PD的最大值，即可求解.
1 / 1初中数学浙教版九年级上册4.5相似三角形的性质及应用（2）同步练习
一、单选题
1．（2020·兰州模拟）两个相似三角形，其面积比为16：9，则其相似比为（ ）
A．16：9 B．4：3 C．9：16 D．3：4
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】根据题意得： ＝ .即这两个相似多边形的相似比为4：3.
故答案为：B.
【分析】根据两个相似多边形的面积比为16：9，面积之比等于相似比的平方.
2．（2020九上·诸暨期末）若两个相似三角形的周长之比为1∶4，则它们的面积之比为（ ）
A．1∶2 B．1∶4 C．1∶8 D．1∶16
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵两个相似三角形的周长之比为1∶4
∴它们的面积之比为1∶16
故答案为：D.
【分析】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
3．（2020·铜仁）已知 ，它们的周长分别为30和15，且 ，则 的长为
A．3 B．2 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： 和 的周长分别为30和15，
和 的周长比为 ，
，
，即 ，
解得， ，
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的性质“相似三角形的周长的比等于相似比”可求解.
4．（2020·南京模拟）已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1 4.若BC＝1，则EF的长是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．16
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：4，
∴（BC：EF）2=1：4，
解得BC：EF=1：2，
∵BC=1，
∴EF=2.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列出比例式，代入数值计算即可得解.
5．（2020·江油模拟）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，△ABC的面积为40，则△DEF的面积为（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，
∴面积比为4：9，
∵△ABC的面积为40，
∴△DEF的面积为90，
故答案为：D．
【分析】根据△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，可得面积比为4：9，进而可得答案．
6．（2020八下·长兴期中）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，若△DBE的周长是7，则△ABC的周长是（ ）
A．8 B．10 C．12． D．14
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 点D，E分别是边AB，BC的中点
∴DE=12AC；DE//AC；
∴
∴=14
故答案为：D.
【分析】根据中位线定理，相似三角形的周长比=相似比，可以求出。
7．（2020九上·临颍期末）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】A选项，在△OAB∽△OCD中，OB和CD不是对应边，因此它们的比值不一定等于相似比，所以A选项不一定成立；
B选项，在△OAB∽△OCD中，∠A和∠C是对应角，因此 ，所以B选项不成立；
C选项，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以C选项不成立；
D选项，因为相似三角形的周长比等于相似比，所以D选项一定成立.
故答案为：D.
【分析】相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比等于相似比；（2）相似三角形周长之比等于相似比；（3）相似三角形面积比等于相似比的平方；且相似比为3：2可得结果.
8．（2020·萧山模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB，垂足为点D，如果 ，AD=9，那么BC的长是（ ）
A．4 B．6 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解： ∠ACB=90°， CD⊥AB
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠ACD=∠CBD，
∴△ACD~△CBD
∴；
AD=9
∴CD=6
又CD2=AD·BD；
∴BD=4；
在Rt BCD中，根据勾股定理得：
===；
故答案为：C.
【分析】先根据相似三角形边长比等于周长比求出CD，再根据三角形射影定理求出BD，在直角三角形BCD中用勾股定理求出BC的长。
9．（2020·龙湖模拟）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长于点Q，下列结论正确的有（ ）个．
①AE⊥BF； ②QB＝QF； ③ ； ④SECPG＝3S△BGE
A．1 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】①利用SAS定理，可判定△ABE≌△BCF，所以通过角度换算，可得出∠BGE=90°，
所以AE⊥BF，所以①正确，
②根据折叠的性质，CD∥AB，可得出∠CFB=∠ABF，∠ABF=∠PFB，所以QB=QF，所以②正确，
③AE⊥BF，∠ABE=90°，△BEG∽△ABG∽△AEB，对应边成比例=，
设CE=x，BG=2x，AG=4x，BF=AE=AG+GE=5x，FG=BF-BG=3x，
FG=AG，即，故③正确，
④△BGE∽△BMC，E是BC的中点，BE-CE，所以△BGE的面积：△BMC=1∶4，所以△BGE的面积：四边形ECMG的面积=1∶3，连接CG，则△PGM的面积=△CGM的面积=2△CGM的面积，所以四边形ECPG的面积：△BGE的面积=5∶1，所以④错误
故答案为：C
【分析】根据全等三角形、相似三角形的判定和性质，可进行判断。
10．（2020九上·奉化期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB，若AB=3BD。则S△ADE：S△EFC的值为（ ）
A．4：1 B．3：2 C．2：1 D．3：1
【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=3BD，
∴AD=2BD，
∵DE∥BC，EF∥AB ，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∴EF=BD，
∴AD=2EF，即AD：EF=2∶1，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ECF，∠ADE=∠B
∵EF∥AB ，
∴∠EFC=∠B，
∴∠EFC=∠ADE，
∴△ADE∽△EFC，
∴S△ADE：S△EFC =AD2：EF2=4：1.
故答案为：A.
【分析】由AB=3BD，可得AD=2BD，再由两组对边分别平行得四边形DBFE是平行四边形，可得EF=BD，从而得出AD和EF的比值，接着利用平行得性质推得两组对角相等，证得△ADE∽△EFC，则由三角形相似的性质求得面积之比.
二、填空题
11．（2020·兰州模拟）如图，已知△ABC∽△DBE，AB＝6，DB＝8，则 ＝ .
【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵AB=6，DB=8，∴△ABC与△DBE的相似比=6：8=3：4，∴ = .
故答案为 .
【分析】先求出△ABC与△DBE的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质解答.
12．（2019九上·银川月考）公园中儿童游乐场是两个相似三角形地块，相似比为2：3，其中大三角形地块面积为27，则小三角形地块的面积是 .
【答案】12
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意，设小三角形地块的面积为x，由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，则
x：27=4：9，
解得：x=12，
故答案为：12.
【分析】根据两个三角形相似，面积比等于相似比的平方，列出比例式计算即可.
13．（2020九上·岐山期末）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若△ADE与△ABC的周长之比为2：3，AD=4，则DB= 。
【答案】2
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AB=6，
∴DB=AB-AD=6-4=2.
故答案为：2.
【分析】首先求出△ADE和△ABC相似，根据相似三角形的周长之比等于相似比列式，先求出AB的长，则DB的长可求.
14．（2020·鞍山）如图，在 中，点E是 的中点， ， 的延长线交于点F.若 的面积为1，则四边形 的面积为 .
【答案】3
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，AB∥CD，点E是CD中点，
∴EC是△ABF的中位线；
在△ABF和△CEF中，
∠B=∠DCF，∠F=∠F，
∴△ABF∽△ECF，
∴ ，
∴S△ABF：S△CEF=1：4；
又∵△ECF的面积为1，
∴S△ABF=4，
∴S四边形ABCE=S△ABF-S△CEF=3.
故答案为：3.
【分析】根据 ABCD的对边互相平行的性质及中位线的性质知EC是△ABF的中位线；然后根证明△ABF∽△CEF，再由相似三角形的面积比是相似比的平方及△ECF的面积为1求得△ABF的面积；最后根据图示求得S四边形ABCE=S△ABF-S△CEF=3.
15．（2019八上·鄞州期中）如图，图①是一块边长为1，面积记为 的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为 的正三角形纸板后得到图②，剪下的正三角纸板面积记为 ，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的 后，得图③、④，…，记剪下的第2019块小正三角形纸板的面积为 ，则 等于 .
【答案】
【知识点】相似三角形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：第1块正三角形纸板的面积为
∵第2块被剪掉的正三角形纸板的边长为第1块的 ，根据相似三角形定律，可知相似三角形面积比等于边长比的平方，可知
，同理可知：
…
∴
【分析】本题关键在于寻找规律，得出剪掉的三角形的面积与第几次被剪掉的次数之间的关系。
三、解答题
16．（2019九上·兰州期末）已知 和 中，有 ,且 和 的周长之差为15厘米，求 和 的周长.
【答案】解：设 和 的周长分别是x厘米和y厘米.
∵
①..
由题意可得： ②
由①式得 ③
将③式代入①式得：
y=45
将y=45代入②式得：x=30
∴x=30,y=45
答： 和 的周长分别是30厘米和45厘米
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】 设 和 的周长分别是x厘米和y厘米. 根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得出①, 由题意可得： ②， 解①②组成的方程组即可求出x,y的值，从而得出答案。
17．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册4.7 相似三角形的性质 同步练习）△ABC∽△A`B`C`， ，边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A`B`C`的面积是64 cm2，求：
（1）A`B`边上的中线C`D`的长；
（2）△A`B`C`的周长
（3）△ABC的面积
【答案】（1）解：∵△ABC∽△A′B′C′， ，AB边上的中线CD=4cm，
∴ = ，
∴C′D′=4cm×2=8cm，
∴A′B′边上的中线C′D′的长为8cm
（2）解：∵△ABC∽△A′B′C′， ，△ABC的周长为20cm，
∴ ，
∴C△A′B′C′=20cm×2=40cm，
∴△A′B′C′的周长为40cm
（3）解：∵△ABC∽△A′B′C′， ，△A′B′C′的面积是64cm2，
∴ ，
∴S△ABC=64cm2÷4=16cm2，
∴△ABC的面积是16cm2.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形对应边的中线的比等于相似比可得方程求解；
（2）根据相似三角形周长的比等于相似比可得方程求解；
（3）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求解。
18．（2020·长安模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E.
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；
（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值.
【答案】（1）解：将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得： ，
解得：a=-1，b=2，c=8，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8
（2）解：∵点A（﹣2，0）、C（0，8），
∴OA＝2，OC＝8，
∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，
∵∠PAE≠∠CAO，
∴只有当∠PEA＝∠AOC时，△PEA∽△AOC，
此时 ，即： ，
∴AE＝4PE，
设点P的纵坐标为k，则PE＝k，AE＝4k，
∴OE＝4k﹣2，
将点P坐标（4k﹣2，k）代入二次函数表达式并解得：
k＝0或 （舍去0），则点P（ ）
（3）解：在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，
∵l∥y轴，
∴∠PDF＝∠COB，
∴ △PFD∽ △BOC，
∴ ，
∴S△PDF＝ S△BOC，
而S△BOC＝ OB OC＝ ×4×8=16，
BC＝ ，
∴S△PDF＝ S△BOC＝ PD2，
即当PD取得最大值时，S△PDF最大，
将B、C坐标代入一次函数表达式 得：
，
解得： ，
∴直线BC的表达式为：y＝﹣2x+8，
设点P（m，﹣m2+2m+8），则点D（m，﹣2m+8），
则PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4，
当m＝2时，PD的最大值为4，
故当PD＝4时，∴S△PDF＝ ＝ .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）只有当∠PEA＝∠AOC时，△PEA∽△AOC，可得：PE＝4AE，设点P坐标（4k﹣2，k），即可求解；（3）利用Rt△PFD∽Rt△BOC得： ，再求出PD的最大值，即可求解.
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