初中数学浙教版九年级下册1.3 解直角三角形 同步练习
一、单选题
1．（2020·常山模拟）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则tanA的值（ ）
A． B． C． D．
2．（2020九下·镇江月考）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）都为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m
3．（2020·黔南）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（ ）
A．tan55°＝ B．tan55°＝
C．sin55°＝ D．cos55°＝
4．（2020九上·北海期末）有一副三角板，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，如图，将这副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，则AF的长为（ ）
A．2 B．2 ﹣2 C．4﹣2 D．2 ﹣
5．（2020九上·邢台期中）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1： ，坝高BC＝3m，则AB的长度为（ ）
A．6m B．3 m C．9m D．6 m
6．（2020九上·重庆开学考）某兴趣小组想测量一座大楼 AB的高度.如图，大楼前有一段斜坡BC ，已知 BC的长为 12 米它的坡度 .在离 C点 40 米的 D处，用测量仪测得大楼顶端 A的仰角为 37度，测角仪DE的高度为 1.5米，求大楼AB 的高度约为（ ）米（ ）
A．39.3 B．37.8 C．33.3 D．25.7
二、填空题
7．（2020·金华模拟）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为 米.
8．（2020九下·镇江月考）如图，在一次测绘活动中，小华同学站在点A的位置观测停泊于B、C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向900米处，船C在点A南偏东15°方向1200米处，则船B与船C之间的距离为 米．
9．（2020九上·浦东期中）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AB＝m，那么边AB上的高为 ．
10．（2020九上·哈尔滨月考）四边形ABCD中，连接AC，BD，∠CAB＝∠BCD＝90°，AC＝AB， tan∠CAD ，若 ，则BD的长度
11．（2020·赤峰）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60° ，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为 米（结果保留根号）．
12．（2020·西安模拟）如图， 中， ， ， 于点D，点E是线段CD的一个动点，则 的最小值是 .
三、综合题
13．（2020九上·浦东期中）如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据： ≈1.4， ≈1.7）
14．（2020九上·青神期中）如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB、小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB．（结果带根号）
15．（2020九上·泰兴月考）如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图.量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm.托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动.(结果精确到0.1mm)
（1）如图2，若∠DCB＝90°，∠CDE＝60°，求点A到底座DE的距离；
（2）为了观看需要，在(1)的情况下，将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上(如图3)，则此时点A到底座DE的距离与(1)中比是升高了还是降低了，若升高，升高了多少？若降低，降低了多少？(参考数据： )
16．（2020九上·闵行期末）2019年第18号台风“米娜”于9月29日早晨5点整，由位于台湾省周边的B岛东南方约980千米的西北太平洋洋面上(A点)生成，向西北方向移动.并于9月30日20时30分到达B岛后风力增强且转向，一路向北于24小时后在浙江省舟山市登陆.“米娜”在登录后风力减弱且再一次转向，以每小时20千米的速度向北偏东30 的方向移动，距台风中心170千米的范围内是受台风影响的区域.已知上海位于舟山市北偏西7 方向，且距舟山市250千米.
（1）台风中心从生成点(A点)到达B岛的速度是每小时多少千米？
（2）10月2日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？(结果保留整数，参考数据： ， ， ； ， ， .)
17．（2020·大通模拟）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1： ，AB=10米，AE=15米．（i=1： 是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： 1.414， 1.732）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，AC=3
∴BC=
∴
故答案为：B
【分析】本题考查正切三角函数，首先根据勾股定理求出BC，在根据正切三角函数的定义即可得到答案.
2．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如下图：
∵AB的坡度为0.75=，
∴，
即：，
∴AC=3，
∴AB=5，
∴相邻两树间的坡面距离为5 m.
故答案为：A.
【分析】根据坡度的定义：坡度=坡角的正切=，求出AC的长，进而根据勾股定理求出AB的长即相邻两树间的坡面距离.
3．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵在Rt△ADE中，DE＝6，AE＝AB﹣BE＝AB﹣CD＝x﹣1，∠ADE＝55°，
∴sin55°＝ ，cos55°＝ ，tan55°＝ ，
故答案为：B.
【分析】根据锐角三角形函数的定义“sin∠ADE=，cos∠ADE=，tan∠ADE=”并结合题意即可判断求解.
4．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，
AC＝ ＝2 ，
则EF＝AC＝2 ，
∵∠E＝45°，
∴FC＝EF sinE＝ ，
∴AF＝AC﹣FC＝2 ﹣ ，
故答案为：D.
【分析】根据正切的定义求出AC，根据正弦的定义求出CF，计算即可.
5．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比为1： ，
∴ ，即 ，
解得，AC＝3 ，
由勾股定理得，AB 6（m），
故答案为：A．
【分析】根据坡度的概念，计算得到AC，继而由勾股定理求出AB即可。
6．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H.
∵在Rt△BCF中， = ，
∴设BF=k，则CF= k，BC=2k.
又∵BC=12，
∴k=6，
∴BF=6，CF= ，
∵DF=DC+CF，
∴DF=40+ ，
∵在Rt△AEH中，tan∠AEH= ，
∴AH=tan37°×（40+ ）≈37.785（米），
∵BH=BF-FH，
∴BH=6-1.5=4.5.
∵AB=AH-HB，
∴AB=37.785-4.5≈33.3.
故答案为：C.
【分析】延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H，在Rt△BCF中利用坡度的定义求得CF的长，则DF即可求得，然后在直角△AEH中利用三角函数求得AF的长，进而求得AB的长.
7．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝800米，
∴tanα＝ ，
∴AB＝ ＝ （米）.
故答案为： .
【分析】在Rt△ABC中，由tanα＝ 即可求出AB的长.
8．【答案】1500
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：∵∠NAB=75°，∠SAC=15°，
∴∠BAC=180°-75°-15°=90°，
在Rt△ABC中，∵AB=900，AC=1200，
∴.
故答案为：1500.
【分析】根据已知条件及角的和差，得到∠BAC=90°，在Rt△ABC中利用勾股定理求出BC的长即可.
9．【答案】msinαcosα
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意可得：AC＝mcosα，BC＝msinα，
∴AC BC＝ mh，即h＝msinαcosα，
故答案是：msinαcosα．
【分析】先根据三角函数的定义求出AC、BC的长度，再利用三角形的面积求出AB边上的高。
10．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AC，交AC于点E ，如图所示：
∵∠CAB＝90°，AC＝AB
∴△ABC是等腰直角三角形
∴∠ACB =45°
∵∠BCD＝90°
∴∠ACD=45°
∴△DCE为等腰直角三角形
∵
∴DE=CE=1
∵tan∠CAD
∴AE=2
∴AC=AB=3
∴BC=
∴BD= =
故答案为： ．
【分析】过点D作DE⊥AC，交AC于点E，因为△ABC是等腰直角三角形，所以∠ACB =45°，因为∠BCD＝90°，所以∠ACD=45°，所以△DCE为等腰直角三角形，根据CD的长度，可以求出DE和CE的长度，再根据tan∠CAD ，可以求出AE的长度，由此可以求出AB，再根据勾股定理可以求出CB和BD的长度．
11．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意，得∠CAD=30°，∠BAD=60°，
则在Rt△ADC中， 米，
在Rt△ADB中， 米，
∴ 米．
故答案为： ．
【分析】由题意可得∠CAD=30°，∠BAD=60°，然后分别解Rt△ADC 和Rt△ADB，求出CD和BD的长，进一步即可求得结果．
12．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作EG⊥AC于G，BH⊥AC于H，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵tanA= =3，设AD=a，CD=3a，
∵AB=AC=10，
则有：102=a2+9a2，
∴a2=10，
∴a= 或 （舍），
∴CD=3a= ，
∵AB=AC，CD⊥AB，BH⊥AC，
∴BH=CD= ，
∵∠ECG=∠ACD，∠CGE=∠CDA，
∴sin∠ECG= = = ，
∴EG= EC，
∴BE+ EC=BE+EG，
∴BE+EG≥BH，
∴BE+ EC≥ ，
∴BE+ EC的最小值为 .
故答案为： .
【分析】作EG⊥AC于G，BH⊥AC于H，由tanA= =3，设AD=a，CD=3a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明EG= EC，推出BE+ EC=BE+EG，由垂线段最短即可解决问题.
13．【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，
设CD＝x．
在Rt△ACD中，sin∠A＝ ，AC＝ ＝2x，
在Rt△BCD中，sin∠B＝ ，BC＝ ＝ x，
∵AC+BC＝2x+ x＝68，
∴x＝ ，
在Rt△ACD中，tan∠A＝ ，AD＝ ，
在Rt△BCD中，tan∠B＝ ，BD＝ ＝20，
AB＝20 +20≈54，
AC+BC﹣AB＝68﹣54＝14.0（km）．
答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走14.0千米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点C做AB的垂线，将分成两个直角三角形，再利用解直角三角形分别求出AC、BC和AB的长度，最后用AC+BC﹣AB即可。
14．【答案】解：在Rt△AFG中，tan∠AFG＝ ，
∴FG＝ ＝ ＝ ．
在Rt△ACG中，tan∠ACG＝ ，
∴CG＝ = AG．
又CG FG＝40，
即 AG ＝40，
∴AG＝20 ，
∴AB＝20 ＋1.5．
答：这幢教学楼的高度AB为（20 ＋1.5）米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）在Rt△AFG中，由tan∠AFG＝ ，可得 FG= 在Rt△ACG中，由tan∠ACG＝ CG＝AG，由CG FG＝40，建立方程求出AG的长，利用AB=AG+BG即可求出结论.
15．【答案】（1）解：如图1，
过A作 ，交ED的延长线于M，过C作 于占F，过C作 ，
由题意知， ， ，∠DCB＝90°，∠CDE＝60°，
在 中，
又∵
∴
∵
∴
∴
∴
在Rt△AFC中，
∵易得四边形MNCF为矩形，
∴
∴
∴点A到底座DE的距离为109.3mm；
（2）解：连接AD，并过A作AQ⊥DB于点Q，如图2，
已知 ， ，
在 中，
在 中，
根据 得 ，
即
∴
又 ，则
，且
答：降低了，降低8.1mm.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1） 过A作 ，交ED的延长线于M，过C作 于占F，过C作 ， 利用解直角三角形求出CN，AF的长，从而求出AM=AF+FM的长，从而求出结论；
（2） 连接AD，并过A作AQ⊥DB于点Q，如图2， 利用勾股定理分别求出DB，AD的长，根据 ，可求出AQ，用AQ的值与（1）结论AM的值进行比较并计算即得结论.
16．【答案】（1）解：由题意得，AB=980千米，台风中心到达B岛的时间是39.5小时.
∴ (千米).
答：台风中心从生成点(A点)到达B岛的速度是每小时25千米.
（2）解：过点S作SH⊥ZD，垂足为点H，
∴∠SHZ= 90°，
∵∠NZD=30°，∠CZN=7°，
∴∠CZD=∠CZN+∠NZD=7° + 30°=37°.
在Rt△SHZ中，sin∠CZD = .
∵∠CZD=37°，SZ=250千米，
∴SH=SZ·sin∠CZD= (千米).
∵150千米<170千米，
∴设台风中心移动到E处时上海开始遭受台风影响
到F处影响结束.即SE=SF=170(千米).
∵在Rt△SEH中，∠SHE= 90°， ，
∴ .
∴EF=2EH≈160(千米).
∴上海遭受这次台风影响的时间为
(小时).
答：上海遭受这次台风影响的时间为8小时.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）由路程和时间可以求得速度；（2）首先求出Rt△SHZ中∠CZD的正弦函数，进而得出SH，即可设台风中心移动到E处时上海开始遭受台风影响，根据到F处影响结束，得出SE=SF=170，然后利用勾股定理得出EF，即可得出上海遭受这次台风影响的时间.
17．【答案】（1）解：过B作BG⊥DE于G，
在Rt△ABF中，i=tan∠BAH= ，∴∠BAH=30°
∴BH= AB=5（米）.
答：点B距水平面AE的高度BH为5米.
（2）解：由（1）得：BH=5，AH=5 ，
∴BG=AH+AE=5 +15.
在Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5 +15.
在Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，
∴DE= AE=15 .
∴CD=CG+GE﹣DE=5 +15+5﹣15 =20﹣10 ≈2.7（米）.
答：宣传牌CD高约2.7米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过B作DE的垂线，设垂足为G．分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH.（2）在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度.
1 / 1初中数学浙教版九年级下册1.3 解直角三角形 同步练习
一、单选题
1．（2020·常山模拟）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则tanA的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，AC=3
∴BC=
∴
故答案为：B
【分析】本题考查正切三角函数，首先根据勾股定理求出BC，在根据正切三角函数的定义即可得到答案.
2．（2020九下·镇江月考）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）都为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如下图：
∵AB的坡度为0.75=，
∴，
即：，
∴AC=3，
∴AB=5，
∴相邻两树间的坡面距离为5 m.
故答案为：A.
【分析】根据坡度的定义：坡度=坡角的正切=，求出AC的长，进而根据勾股定理求出AB的长即相邻两树间的坡面距离.
3．（2020·黔南）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（ ）
A．tan55°＝ B．tan55°＝
C．sin55°＝ D．cos55°＝
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵在Rt△ADE中，DE＝6，AE＝AB﹣BE＝AB﹣CD＝x﹣1，∠ADE＝55°，
∴sin55°＝ ，cos55°＝ ，tan55°＝ ，
故答案为：B.
【分析】根据锐角三角形函数的定义“sin∠ADE=，cos∠ADE=，tan∠ADE=”并结合题意即可判断求解.
4．（2020九上·北海期末）有一副三角板，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，如图，将这副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，则AF的长为（ ）
A．2 B．2 ﹣2 C．4﹣2 D．2 ﹣
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，
AC＝ ＝2 ，
则EF＝AC＝2 ，
∵∠E＝45°，
∴FC＝EF sinE＝ ，
∴AF＝AC﹣FC＝2 ﹣ ，
故答案为：D.
【分析】根据正切的定义求出AC，根据正弦的定义求出CF，计算即可.
5．（2020九上·邢台期中）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1： ，坝高BC＝3m，则AB的长度为（ ）
A．6m B．3 m C．9m D．6 m
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比为1： ，
∴ ，即 ，
解得，AC＝3 ，
由勾股定理得，AB 6（m），
故答案为：A．
【分析】根据坡度的概念，计算得到AC，继而由勾股定理求出AB即可。
6．（2020九上·重庆开学考）某兴趣小组想测量一座大楼 AB的高度.如图，大楼前有一段斜坡BC ，已知 BC的长为 12 米它的坡度 .在离 C点 40 米的 D处，用测量仪测得大楼顶端 A的仰角为 37度，测角仪DE的高度为 1.5米，求大楼AB 的高度约为（ ）米（ ）
A．39.3 B．37.8 C．33.3 D．25.7
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H.
∵在Rt△BCF中， = ，
∴设BF=k，则CF= k，BC=2k.
又∵BC=12，
∴k=6，
∴BF=6，CF= ，
∵DF=DC+CF，
∴DF=40+ ，
∵在Rt△AEH中，tan∠AEH= ，
∴AH=tan37°×（40+ ）≈37.785（米），
∵BH=BF-FH，
∴BH=6-1.5=4.5.
∵AB=AH-HB，
∴AB=37.785-4.5≈33.3.
故答案为：C.
【分析】延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H，在Rt△BCF中利用坡度的定义求得CF的长，则DF即可求得，然后在直角△AEH中利用三角函数求得AF的长，进而求得AB的长.
二、填空题
7．（2020·金华模拟）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为 米.
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝800米，
∴tanα＝ ，
∴AB＝ ＝ （米）.
故答案为： .
【分析】在Rt△ABC中，由tanα＝ 即可求出AB的长.
8．（2020九下·镇江月考）如图，在一次测绘活动中，小华同学站在点A的位置观测停泊于B、C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向900米处，船C在点A南偏东15°方向1200米处，则船B与船C之间的距离为 米．
【答案】1500
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：∵∠NAB=75°，∠SAC=15°，
∴∠BAC=180°-75°-15°=90°，
在Rt△ABC中，∵AB=900，AC=1200，
∴.
故答案为：1500.
【分析】根据已知条件及角的和差，得到∠BAC=90°，在Rt△ABC中利用勾股定理求出BC的长即可.
9．（2020九上·浦东期中）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AB＝m，那么边AB上的高为 ．
【答案】msinαcosα
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意可得：AC＝mcosα，BC＝msinα，
∴AC BC＝ mh，即h＝msinαcosα，
故答案是：msinαcosα．
【分析】先根据三角函数的定义求出AC、BC的长度，再利用三角形的面积求出AB边上的高。
10．（2020九上·哈尔滨月考）四边形ABCD中，连接AC，BD，∠CAB＝∠BCD＝90°，AC＝AB， tan∠CAD ，若 ，则BD的长度
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AC，交AC于点E ，如图所示：
∵∠CAB＝90°，AC＝AB
∴△ABC是等腰直角三角形
∴∠ACB =45°
∵∠BCD＝90°
∴∠ACD=45°
∴△DCE为等腰直角三角形
∵
∴DE=CE=1
∵tan∠CAD
∴AE=2
∴AC=AB=3
∴BC=
∴BD= =
故答案为： ．
【分析】过点D作DE⊥AC，交AC于点E，因为△ABC是等腰直角三角形，所以∠ACB =45°，因为∠BCD＝90°，所以∠ACD=45°，所以△DCE为等腰直角三角形，根据CD的长度，可以求出DE和CE的长度，再根据tan∠CAD ，可以求出AE的长度，由此可以求出AB，再根据勾股定理可以求出CB和BD的长度．
11．（2020·赤峰）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60° ，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为 米（结果保留根号）．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意，得∠CAD=30°，∠BAD=60°，
则在Rt△ADC中， 米，
在Rt△ADB中， 米，
∴ 米．
故答案为： ．
【分析】由题意可得∠CAD=30°，∠BAD=60°，然后分别解Rt△ADC 和Rt△ADB，求出CD和BD的长，进一步即可求得结果．
12．（2020·西安模拟）如图， 中， ， ， 于点D，点E是线段CD的一个动点，则 的最小值是 .
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作EG⊥AC于G，BH⊥AC于H，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵tanA= =3，设AD=a，CD=3a，
∵AB=AC=10，
则有：102=a2+9a2，
∴a2=10，
∴a= 或 （舍），
∴CD=3a= ，
∵AB=AC，CD⊥AB，BH⊥AC，
∴BH=CD= ，
∵∠ECG=∠ACD，∠CGE=∠CDA，
∴sin∠ECG= = = ，
∴EG= EC，
∴BE+ EC=BE+EG，
∴BE+EG≥BH，
∴BE+ EC≥ ，
∴BE+ EC的最小值为 .
故答案为： .
【分析】作EG⊥AC于G，BH⊥AC于H，由tanA= =3，设AD=a，CD=3a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明EG= EC，推出BE+ EC=BE+EG，由垂线段最短即可解决问题.
三、综合题
13．（2020九上·浦东期中）如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据： ≈1.4， ≈1.7）
【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，
设CD＝x．
在Rt△ACD中，sin∠A＝ ，AC＝ ＝2x，
在Rt△BCD中，sin∠B＝ ，BC＝ ＝ x，
∵AC+BC＝2x+ x＝68，
∴x＝ ，
在Rt△ACD中，tan∠A＝ ，AD＝ ，
在Rt△BCD中，tan∠B＝ ，BD＝ ＝20，
AB＝20 +20≈54，
AC+BC﹣AB＝68﹣54＝14.0（km）．
答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走14.0千米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点C做AB的垂线，将分成两个直角三角形，再利用解直角三角形分别求出AC、BC和AB的长度，最后用AC+BC﹣AB即可。
14．（2020九上·青神期中）如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB、小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB．（结果带根号）
【答案】解：在Rt△AFG中，tan∠AFG＝ ，
∴FG＝ ＝ ＝ ．
在Rt△ACG中，tan∠ACG＝ ，
∴CG＝ = AG．
又CG FG＝40，
即 AG ＝40，
∴AG＝20 ，
∴AB＝20 ＋1.5．
答：这幢教学楼的高度AB为（20 ＋1.5）米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）在Rt△AFG中，由tan∠AFG＝ ，可得 FG= 在Rt△ACG中，由tan∠ACG＝ CG＝AG，由CG FG＝40，建立方程求出AG的长，利用AB=AG+BG即可求出结论.
15．（2020九上·泰兴月考）如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图.量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm.托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动.(结果精确到0.1mm)
（1）如图2，若∠DCB＝90°，∠CDE＝60°，求点A到底座DE的距离；
（2）为了观看需要，在(1)的情况下，将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上(如图3)，则此时点A到底座DE的距离与(1)中比是升高了还是降低了，若升高，升高了多少？若降低，降低了多少？(参考数据： )
【答案】（1）解：如图1，
过A作 ，交ED的延长线于M，过C作 于占F，过C作 ，
由题意知， ， ，∠DCB＝90°，∠CDE＝60°，
在 中，
又∵
∴
∵
∴
∴
∴
在Rt△AFC中，
∵易得四边形MNCF为矩形，
∴
∴
∴点A到底座DE的距离为109.3mm；
（2）解：连接AD，并过A作AQ⊥DB于点Q，如图2，
已知 ， ，
在 中，
在 中，
根据 得 ，
即
∴
又 ，则
，且
答：降低了，降低8.1mm.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1） 过A作 ，交ED的延长线于M，过C作 于占F，过C作 ， 利用解直角三角形求出CN，AF的长，从而求出AM=AF+FM的长，从而求出结论；
（2） 连接AD，并过A作AQ⊥DB于点Q，如图2， 利用勾股定理分别求出DB，AD的长，根据 ，可求出AQ，用AQ的值与（1）结论AM的值进行比较并计算即得结论.
16．（2020九上·闵行期末）2019年第18号台风“米娜”于9月29日早晨5点整，由位于台湾省周边的B岛东南方约980千米的西北太平洋洋面上(A点)生成，向西北方向移动.并于9月30日20时30分到达B岛后风力增强且转向，一路向北于24小时后在浙江省舟山市登陆.“米娜”在登录后风力减弱且再一次转向，以每小时20千米的速度向北偏东30 的方向移动，距台风中心170千米的范围内是受台风影响的区域.已知上海位于舟山市北偏西7 方向，且距舟山市250千米.
（1）台风中心从生成点(A点)到达B岛的速度是每小时多少千米？
（2）10月2日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？(结果保留整数，参考数据： ， ， ； ， ， .)
【答案】（1）解：由题意得，AB=980千米，台风中心到达B岛的时间是39.5小时.
∴ (千米).
答：台风中心从生成点(A点)到达B岛的速度是每小时25千米.
（2）解：过点S作SH⊥ZD，垂足为点H，
∴∠SHZ= 90°，
∵∠NZD=30°，∠CZN=7°，
∴∠CZD=∠CZN+∠NZD=7° + 30°=37°.
在Rt△SHZ中，sin∠CZD = .
∵∠CZD=37°，SZ=250千米，
∴SH=SZ·sin∠CZD= (千米).
∵150千米<170千米，
∴设台风中心移动到E处时上海开始遭受台风影响
到F处影响结束.即SE=SF=170(千米).
∵在Rt△SEH中，∠SHE= 90°， ，
∴ .
∴EF=2EH≈160(千米).
∴上海遭受这次台风影响的时间为
(小时).
答：上海遭受这次台风影响的时间为8小时.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）由路程和时间可以求得速度；（2）首先求出Rt△SHZ中∠CZD的正弦函数，进而得出SH，即可设台风中心移动到E处时上海开始遭受台风影响，根据到F处影响结束，得出SE=SF=170，然后利用勾股定理得出EF，即可得出上海遭受这次台风影响的时间.
17．（2020·大通模拟）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1： ，AB=10米，AE=15米．（i=1： 是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： 1.414， 1.732）
【答案】（1）解：过B作BG⊥DE于G，
在Rt△ABF中，i=tan∠BAH= ，∴∠BAH=30°
∴BH= AB=5（米）.
答：点B距水平面AE的高度BH为5米.
（2）解：由（1）得：BH=5，AH=5 ，
∴BG=AH+AE=5 +15.
在Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5 +15.
在Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，
∴DE= AE=15 .
∴CD=CG+GE﹣DE=5 +15+5﹣15 =20﹣10 ≈2.7（米）.
答：宣传牌CD高约2.7米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过B作DE的垂线，设垂足为G．分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH.（2）在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度.
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