初中数学浙教版九年级上册3.5 圆周角 基础巩固训练
一、单选题
1．（2019九上·潮南期末）如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点E，BE＝DE，∠B＝40°，则∠A的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．80°
2．（2019九上·汕头期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD＝125°，则∠BOD等于（ ）
A．55° B．110° C．105° D．125°
3．（2019九上·宁波期末）下列四条圆弧与直角三角板的位置关系中，可判断其中的圆弧为半圆的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2018九上·桐乡期中）数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a，小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（ ）
A．勾股定理 B．勾股定理是逆定理
C．直径所对的圆周角是直角 D． 的圆周角所对的弦是直径
5．（2019九上·台州期末）如图，将直角三角板 60°角的顶点放在圆心 O 上，斜边和一直角边分别与⊙O 相交于A，B 两点，P 是优弧 AB 上任意一点（与 A，B 不重合），则∠APB=（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6．（2019九上·凤山期末）如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（ ）
A．35° B．55° C．145° D．70°
7．（2018九上·台州期中）如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠ABO=25°，∠ACO=30°，则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．125° D．130°
二、填空题
8．（2019九上·云安期末）⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100°，则∠A的度数为 ．
9．（2019九上·秀洲期末）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，∠D＝65°，则∠BAC等于 度．
10．（2019九上·长兴期末）如图，在⊙O中，，∠AOB=40°，点D在⊙O上，连结CD,AD，则 ∠ADC 的度数是
11．如图，点A、B、C都在圆O上，如果∠AOB+∠ACB=84°，那么∠ACB的大小是 ．
三、解答题
12．如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点(不与A，B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB.当∠ADC=18°时，求∠DOB的度数.
13．（2017九下·萧山开学考）已知点 在⊙ 上， ，仅使用无刻度的直尺作图（保留痕迹）
（1）在图①中画一个含 的直角三角形；
（2）点 在弦 上，在图②中画一个含 的直角三角形.
14．（2018九上·杭州期中）已知：如图△ABC内接于圆O，AB=AC，D为弧BC上任意一点，连结AD,BD
（1）若∠ADB=65°，求∠BAC的度数
（2）求证：∠ABD=∠AEB
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵BE＝DE，∠B＝40°，
∴∠D＝∠B＝40°，
∴∠A＝∠D＝40°，
故答案为：C．
【分析】先由”等边对等角“求得∠D＝∠B＝40°，继而由”同弧所对的圆周角相等“求得∠A＝∠D＝40°。
2．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BCD＝125°，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝55°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BOD＝2∠A＝110°，
故答案为：B.
【分析】在圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
3．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵90°的圆周角所对的弦是直径，
∴其中的圆弧为半圆的是D.
故答案为：D.
【分析】由90°的圆周角所对的弦是直径可求解。
4．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB是直角．
∴∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角．
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，∠AOB=60°
∴∠APB=∠AOB=×60°=30°
故答案为：B
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，就可求出∠APB的度数。
6．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ ∠C=35°，
∴ ∠AOB =2∠C=70°.
故答案为：D.
【分析】根据圆周角定理即可得出答案.
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AO
∵AO=OB=OC
∴∠B=∠OAB=25°，∠C=∠OAC=30°
∴∠BAC=∠OAB+∠OAC=55°
∴∠BOC=2∠BAC=110°
故答案为：B
【分析】利用等边对等角，求出∠BAC的度数，再根据圆周角定理，就可求出∠BOC的度数。
8．【答案】50°或130°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】如图， ∠BOC=100°，故∠A= ∠BOC=50°。
当三角形处于A'BC位置时
∵∠A'+∠A=180°
∴∠A'=130°
故答案为：50°或130°。
【分析】在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
9．【答案】25
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵AB是O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠D=65°,∠B与∠D是弧AC对的圆周角，
∴∠D=∠B=65°，
∴∠BAC=90° ∠B=25°.
故答案为：25.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠D=∠B=65°，然后根据三角形的内角和即可算出答案。
10．【答案】20°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，∠AOB=40°，
∴∠ADC=∠AOB=×40°=20°，
故答案为：20°.
【分析】根据圆周角定理：在同圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，由此计算即可得出答案.
11．【答案】28°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB=2∠ACB，∠AOB+∠ACB=84°
∴3∠ACB=84°
∴∠ACB=28°．
故答案为：28°
【分析】 根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍即可得出 ∠AOB与∠C的关系 ，再代入 ∠AOB+∠ACB=84° 即可求出 ∠ACB的大小 。
12．【答案】解：连接OA，∵OA=OB=OD，∴∠OAB=∠OBC=30°，∠OAD=∠ADC=18°，∴∠DAB=∠DAO+∠BAO=48°，由圆周角定理得：∠DOB=2∠DAB=96°
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接OA，由半径都相等可得OA=OB=OD，于是∠OAD=∠ADC，∠OAB=∠OBC，则∠DAC=∠DAO+∠OAB，根据圆周角定理即可得∠BOD=2∠DAC。
13．【答案】（1）解：如图：
即为所求
（2）解：如图：
AMN即为所求
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等，以及半圆(直径)所对的圆周角是直角可画出符合题意的图形；（2）方法同（1）.
14．【答案】（1）解： ∵AB=AC
∴∠C=∠ABC，弧AB=弧AC
∴∠C=∠ABC=∠ADB=65°
∴∠BAC=（180°-65°×2）=50°
（2）证明： ∵∠AEB=∠DAC+∠C
∠ABD=∠ABC+∠DBC
∵弧CD=弧CD
∴∠DAC=∠DBC
∵∠ABC=∠C
∴∠ABD=∠AEB
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，可证得∠C=∠ABC=∠ADB=65°，再利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数。
（2）观察图形可得∠AEB=∠DAC+∠C，∠ABD=∠ABC+∠DBC，再根据同弧所对的圆周角相等，就可证得∠DAC=∠DBC，因此可证得结论。
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一、单选题
1．（2019九上·潮南期末）如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点E，BE＝DE，∠B＝40°，则∠A的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．80°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵BE＝DE，∠B＝40°，
∴∠D＝∠B＝40°，
∴∠A＝∠D＝40°，
故答案为：C．
【分析】先由”等边对等角“求得∠D＝∠B＝40°，继而由”同弧所对的圆周角相等“求得∠A＝∠D＝40°。
2．（2019九上·汕头期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD＝125°，则∠BOD等于（ ）
A．55° B．110° C．105° D．125°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BCD＝125°，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝55°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BOD＝2∠A＝110°，
故答案为：B.
【分析】在圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
3．（2019九上·宁波期末）下列四条圆弧与直角三角板的位置关系中，可判断其中的圆弧为半圆的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵90°的圆周角所对的弦是直径，
∴其中的圆弧为半圆的是D.
故答案为：D.
【分析】由90°的圆周角所对的弦是直径可求解。
4．（2018九上·桐乡期中）数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a，小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（ ）
A．勾股定理 B．勾股定理是逆定理
C．直径所对的圆周角是直角 D． 的圆周角所对的弦是直径
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB是直角．
∴∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角．
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理即可得出答案.
5．（2019九上·台州期末）如图，将直角三角板 60°角的顶点放在圆心 O 上，斜边和一直角边分别与⊙O 相交于A，B 两点，P 是优弧 AB 上任意一点（与 A，B 不重合），则∠APB=（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，∠AOB=60°
∴∠APB=∠AOB=×60°=30°
故答案为：B
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，就可求出∠APB的度数。
6．（2019九上·凤山期末）如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（ ）
A．35° B．55° C．145° D．70°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ ∠C=35°，
∴ ∠AOB =2∠C=70°.
故答案为：D.
【分析】根据圆周角定理即可得出答案.
7．（2018九上·台州期中）如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠ABO=25°，∠ACO=30°，则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．125° D．130°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AO
∵AO=OB=OC
∴∠B=∠OAB=25°，∠C=∠OAC=30°
∴∠BAC=∠OAB+∠OAC=55°
∴∠BOC=2∠BAC=110°
故答案为：B
【分析】利用等边对等角，求出∠BAC的度数，再根据圆周角定理，就可求出∠BOC的度数。
二、填空题
8．（2019九上·云安期末）⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100°，则∠A的度数为 ．
【答案】50°或130°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】如图， ∠BOC=100°，故∠A= ∠BOC=50°。
当三角形处于A'BC位置时
∵∠A'+∠A=180°
∴∠A'=130°
故答案为：50°或130°。
【分析】在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
9．（2019九上·秀洲期末）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，∠D＝65°，则∠BAC等于 度．
【答案】25
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵AB是O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠D=65°,∠B与∠D是弧AC对的圆周角，
∴∠D=∠B=65°，
∴∠BAC=90° ∠B=25°.
故答案为：25.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠D=∠B=65°，然后根据三角形的内角和即可算出答案。
10．（2019九上·长兴期末）如图，在⊙O中，，∠AOB=40°，点D在⊙O上，连结CD,AD，则 ∠ADC 的度数是
【答案】20°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，∠AOB=40°，
∴∠ADC=∠AOB=×40°=20°，
故答案为：20°.
【分析】根据圆周角定理：在同圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，由此计算即可得出答案.
11．如图，点A、B、C都在圆O上，如果∠AOB+∠ACB=84°，那么∠ACB的大小是 ．
【答案】28°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB=2∠ACB，∠AOB+∠ACB=84°
∴3∠ACB=84°
∴∠ACB=28°．
故答案为：28°
【分析】 根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍即可得出 ∠AOB与∠C的关系 ，再代入 ∠AOB+∠ACB=84° 即可求出 ∠ACB的大小 。
三、解答题
12．如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点(不与A，B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB.当∠ADC=18°时，求∠DOB的度数.
【答案】解：连接OA，∵OA=OB=OD，∴∠OAB=∠OBC=30°，∠OAD=∠ADC=18°，∴∠DAB=∠DAO+∠BAO=48°，由圆周角定理得：∠DOB=2∠DAB=96°
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接OA，由半径都相等可得OA=OB=OD，于是∠OAD=∠ADC，∠OAB=∠OBC，则∠DAC=∠DAO+∠OAB，根据圆周角定理即可得∠BOD=2∠DAC。
13．（2017九下·萧山开学考）已知点 在⊙ 上， ，仅使用无刻度的直尺作图（保留痕迹）
（1）在图①中画一个含 的直角三角形；
（2）点 在弦 上，在图②中画一个含 的直角三角形.
【答案】（1）解：如图：
即为所求
（2）解：如图：
AMN即为所求
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等，以及半圆(直径)所对的圆周角是直角可画出符合题意的图形；（2）方法同（1）.
14．（2018九上·杭州期中）已知：如图△ABC内接于圆O，AB=AC，D为弧BC上任意一点，连结AD,BD
（1）若∠ADB=65°，求∠BAC的度数
（2）求证：∠ABD=∠AEB
【答案】（1）解： ∵AB=AC
∴∠C=∠ABC，弧AB=弧AC
∴∠C=∠ABC=∠ADB=65°
∴∠BAC=（180°-65°×2）=50°
（2）证明： ∵∠AEB=∠DAC+∠C
∠ABD=∠ABC+∠DBC
∵弧CD=弧CD
∴∠DAC=∠DBC
∵∠ABC=∠C
∴∠ABD=∠AEB
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，可证得∠C=∠ABC=∠ADB=65°，再利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数。
（2）观察图形可得∠AEB=∠DAC+∠C，∠ABD=∠ABC+∠DBC，再根据同弧所对的圆周角相等，就可证得∠DAC=∠DBC，因此可证得结论。
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