浙教版数学八年级上册同步课件：1.1三角形中的重要线段 ( 第2课时) (共22张PPT)

(共22张PPT)
第1章 三角形的初步认识
1.1认识三角形
第2课时 三角形中的重要线段
定义 图示
垂线
线段中点
角平分线
O
B
A
A
B
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线
把一条线段分成两条相等的线段的点
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线
┐
知识回顾
学习目标
1.了解三角形的角平分线、
中线、高线的概念
2.会利用量角器、刻度尺画
三角形的角平分线、中线和
高线
3.会利用三角形的角平分线、
中线和高线的概念，解决有
关角度、面积计算等问题
角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？它
有几条对称轴
∠1=∠2，角平分线所在的直线即为对称轴
一、三角形的角平分线
获取新知
1
2
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
如图，∠BAC的平分线交BC于点D，线段AD就是ΔABC的一条角平分线。
三角形的角平分线定义
A
D
B
C
三角形的角平分线是一条线段
几何语言
∴∠BAD=∠DAC=
∠BAC
∵AD是△BAC的角平分线
A
B
C
D
角平分线是说明角相等的方法之一
三角形角平分线的性质
直角三角形
钝角三角形
锐角三角形
三角形的三条角平分线交于同一点.
交点必在三角形的内部
任意画一个三角形，用刻度尺
画BC的中点D，连接AD.
A
D
C
B
二、三角形的中线
一个端点是中点，另一个端点是三角形的顶点
三角形中线的定义
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。
A
D
C
B
如图，D为BC 的中点，线段AD就是△ABC 的BC上的中线。
三角形中线是线段
几何语言
A
D
C
B
∵AD是△BAC的中线
∴BD=DC=
BC
三角形中线是说明线段相等的方法之一
三角形中线的性质
直角三角形
钝角三角形
锐角三角形
三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.
三、三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高
三角形高的定义
∵ AD ⊥ BC
∴ AD是△ ABC的BC边上的高
A
B
C
D
∵AD是△ ABC的BC边上的高
∴ AD ⊥ BC
A
B
C
E
F
O
A
B
C
D




A
B
C
D
E
F
O
三角形高的性质
三角形的三条高所在直线交于一点，
这个交点叫做三角形的垂心.
交点在三角形内部
交点是三角形顶点
交点在三角形外部
例1 如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°,
∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.
解：∵ＡE是△ABC的角平分线，
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，∴∠BAE=37.5°.
∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°.
∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC.
∵∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°，
A
B
C
E
例题讲解
例2 在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD△ABC的周长分为12 cm和15 cm两部分，求△ABC的各边长．
解：设AB＝x cm，则AD＝CD＝ x cm.
(1)如图①，若AB＋AD＝12 cm，则x＋ x＝12.解得x＝8，
即AB＝AC＝8 cm，则CD＝4 cm.故BC＝15－4＝11(cm)．
此时AB＋AC＞BC，三角形存在，
所以三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm.
(2)如图②，若AB＋AD＝15 cm，则x＋ x＝15.
解得x＝10，即AB＝AC＝10 cm，则CD＝5 cm.
故BC＝12－5＝7(cm)．
显然此时三角形存在，所以三边长分别为10 cm，10 cm，7 cm.
综上所述，△ABC的三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm或10 cm，10 cm，7 cm.
分两种情况讨论
运用了方程思想
例3 如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=80°，∠C=40°，求∠DAE的大小.
∵ AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°.
∵ 根据“三角形内角和等于180°”， ∴∠ADC+∠C+∠DAC=180°，
∴ ∠DAC=180°－∠ADC－∠C
=180°－90°－40°=50°.
解：∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=80°，
∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－40°= 10°.
B
A
C
D
E
∴∠CAE= ∠BAC=40°，
平分线的意义
高线的意义
1.小华在电话中问小明:“已知一个三角形的三边长分别是4,9,12,如何求这个三角形的面积 ”小明提示说:“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是(　　)
C
随堂演练
三角形的高线必须是过顶点作对边的垂线
这样就可以先排除A与D.
最长边上的高线要过它所对的顶点作它的垂线
2.三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个(　　)
A．形状相同的三角形 　B．面积相等的三角形
C．直角三角形 　 D．周长相等的三角形
B
3.如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是(　　)
A．2　　　B．3　　　C．6　　　D．不能确定
A
等底同高的两个三角形面积相等
中线平分边，三角形的周长差就是另两边的差
4.填空：
（1）如图①，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则
AB= 2＿＿,BD= ＿＿，AE= ＿＿
AF
DC
AC
(2)如图②，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，则∠1= ＿＿， ∠3=_________， ∠ACB=2______.
∠2
∠4
∠ABC
5.在ΔABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,ΔDBC
的周长为25cm,求ΔADC的周长.
解：∵CD是△ABC的中线，
∴BD＝AD，
∴△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，
则BD+CD＝25－BC.
∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC
＝BD＋CD＋AC
＝25-BC＋AC
＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm.
6.如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAD＝30°.
∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－30°－50°＝100°.
课堂小结