初中数学浙教版七年级上册3.2 实数——无理数的认识与估算 同步训练
一、基础夯实
1．（2019七下·景县期末）已知一组数据 ，π， ，0.0456， ，1.010010003…，则无理数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2019七上·拱墅期末）已知实数a,b都是比-2小的数，其中a是整数，b是无理数．请根据要求，分别写出一个a,b的值，a= ．b= ．
3．（2019七下·玉州期中）如图，在数轴上的几点中与表示 的点最接近的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
4．（2019七下·柳州期末）下列四个式子：
① ；② ＜8；③ ＜1；④ ＞0.5．
其中大小关系正确的式子的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2019七上·绍兴期末）不小于 - 的最小整数是（ ）
A．-3 B．-2 C．-4 D．-1
6．（2019七下·青山月考）如果 ，那么m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜1 B．1＜m＜2 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4
7．把下列各数分别填在相应的集合中：﹣ ， ，﹣ ，0，﹣ ， 、 ， ，3.14
二、中考演练
8．（2019·江汉）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．3.1415 B． C． D．
9．（2019·常德）下列各数中比3大比4小的无理数是（ ）
A． B． C．3.1 D．
10．（2019·成都）估算： .（结果精确到 ）
11．（2019·重庆）估计 的值应在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间.
12．（2019·辽阳） 的整数部分是 .
三、综合提升
13．（2019八下·蔡甸月考）如图，正方形网格中，每个正方形的边长为1，则网格上的⊿ABC中，边长为无理数的边数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
14．一个长方形的长与宽分别是10cm、5cm，它的对角线的长可能是（ ）
A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数
15．（2018七上·泰州月考）两个无理数，它们的和为1，这两个无理数可以是 （只要写出两个就行）
16．（2019七上·象山期末）已知a，b为两个连续整数，且 ，则 的值为
A．9 B．8 C．7 D．6
17．（2019七下·景县期末）下列在数轴上所表示的解集中，不包括 的是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2018七上·慈溪期中）下列说法：
①两个无理数的和一定是无理数；②两个无理数的积一定是无理数；③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数；④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数。其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
19．国涛同学家的客厅是面积为28平方米的正方形，那么请你判断一下这个正方形客厅的边长x是不是有理数？如果误差要求小于0.01米，那么边长x的最大取值是多少（精确到0.001）？
20．一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为16时．输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
（3）若输出的y是 ，请写出两个满足要求的x值： ．
21．（2018七上·萧山期中）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 ﹣1来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵ ＜ ＜ ，即2＜ ＜3，
∴ 的整数部分为2，小数部分为（ ﹣2）．
请解答：
（1）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求a+b的值；
（2）已知：10+ =x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：π，， 1.010010003…，是无理数，
∴无理数有3个.
故答案为：C.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率都是无理数；据此判断即可.
2．【答案】-3；
【知识点】有理数及其分类；无理数的概念
【解析】【解答】∵实数a,b都是比-2小的数，其中a是整数，b是无理数，
∴a可以是-3，b可以是 .（答案不唯一）.
故答案为：-3； .(答案不唯一)
【分析】开放性的命题，答案不唯一：实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有三类：①开方开不尽的数，②及的倍数的数，③象0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，根据定义写出一个符合条件的数。
3．【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ =2，1.52=2.25，
∴12＜ ＜22.
∴1＜ ＜2.
∴与表示 的点最接近的点是D.
故答案为：D.
【分析】根据被开方数越大算术平方根越大，据此判断即可.
4．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ① 、∵8<10,∴ ，符合题意；
② 、∵65>64,∴ ，不符合题意；
③④ 、∵2<<3,∴ ,③④符合题意；
故答案为：C
【分析】①② 根据根式的性质先确定被开方数的大小，再确定其根式的值大小；③④先确定的范围，再分步确定 的范围即可。
5．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵- =-2 ，1< <2，
∴-4<-2 <-2，
即-4<- <-2，
∴不小于 - 的最小整数是-2.
故答案为：B.
【分析】此题先把-化成最简二次根式，通过估计的大小范围，从而估计-的大小范围，最后得到结果。
6．【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵1 2，∴0 1＜1，即0＜m＜1．
故答案为：A．
【分析】先判断的大小，然后再判断—1的大小。
7．【答案】解：有理数集合：（﹣ ，﹣ ，0， ，0. ，3.14，…），
无理数集合：（ ，﹣ ， ，…）．
【知识点】有理数及其分类；无理数的概念
【解析】【分析】根据无理数为无限不循环小数、开方开不尽的数、与π有关的式子，可选出无理数的集合，其余即为有理数。
8．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：下列各数中，无理数为： 。
故答案为：D。
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有三类：①开方开不尽的数，②的倍数的数，③象0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，根据定义即可一一判断。
9．【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵四个选项中是无理数的只有 和 ，而 ＞4，3＜ ＜4
∴选项中比3大比4小的无理数只有 ．
故答案为：A．
【分析】根据无理数的定义，可进行大小判断。
10．【答案】6
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵36
∴
故答案为6
【分析】根据被开方数的定义，可进行大小判断。
11．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵ =，
又∵，
∴.
故答案为：B。
【分析】首先根据二次根式的乘法法则，先算乘法，再根据二次根式的性质将各个二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式算出结果；接着根据被开方数越大其算术平方根也越大估算出答案。
12．【答案】4
【知识点】无理数的估值；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ 的整数部分是 。
故答案为：4。
【分析】由于的被开方数3介于两个相邻的完全平方数1与4之间，根据算术平方根的性质，被开方数越大，其算术平方根也就越大即可判断出 ，然后根据不等式的性质3得出，进而再根据不等式性质2得出，即，从而即可得出答案。
13．【答案】C
【知识点】勾股定理；无理数的概念
【解析】【解答】观察图形，应用勾股定理，得
AB= ，
BC= ，
AC= ，
∴有两条边边长是无理数；
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理分别计算出AB、BC、AC的值，然后根据无理数的定义逐一判断即可.
14．【答案】D
【知识点】矩形的性质；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵ = =5 ，
∴对角线长是无理数．
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理可求得对角线长为5 ，为无理数.
15．【答案】答案不唯一，例如π，1-π
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】答案不唯一，例如π，1-π
【分析】写出两个无理数，让它们的和为1即可.
16．【答案】C
【知识点】无理数的估值；代数式求值
【解析】【解答】 ，
，
即 ， ，
则 ，
故答案为：C．
【分析】的被开方数13介于两个相邻的完全平方数9与16之间，根据算术平方根的性质，被开方数越大，其算术平方根就越大即可得出，故，从而得出a，b的值，然后代入代数式按有理数的加法法则即可算出答案。
17．【答案】A
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵4＜7＜9，∴2＜＜3，
A、解集为x≤2，故符合题意；
B、解集为x＞2，故不符合题意；
C、解集为x＜3，故不符合题意；
D、解集为2＜x≤3，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】先求出的范围，然后分别求出各选项的解集，然后判断即可.
18．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：①两个无理数的和不一定是无理数，如互为相反数的两个无理数的和为0；②两个无理数的积可能是无理数，也可能是有理数；③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数；④一个有理数与一个无理数的积可能是无理数，也可能是有理数.
故正确的序号为：③，
故答案为：B.
【分析】无限不循环的小数就是无理数，根据无理数的定义，用举例子的方法即可一一判断。
19．【答案】解：（1）由题意可得正方形边长为：，这个正方形客厅的边长x不是有理数；
（ 2 ）由（1）可得这个正方形边长x的最大取值为： .
【知识点】无理数的估值；无理数的概念
【解析】【分析】（1）根据客厅是面积为28平方米的正方形，可知这个正方形客厅的边长x不是有理数。
（2）根据正方形的面积=28，求出正方形的边长，就可得出边长x的最大取值。
20．【答案】（1）
（2）解：当x=0，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数
（3）3，9
【知识点】算术平方根；无理数的概念
【解析】【解答】（1）当x=16时，取算术平方根 =4，不是无理数，
继续取算术平方根 =2，不是无理数，
继续取算术平方根得 ，是无理数，所以输出的y值为 ；（3）x的值不唯一．x=3或x=9
【分析】（1）观察数字转换器的运算规律，将x=16代入计算，直到输出的数是无理数即可。
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，可得出当x=0，1时，输出的y值是有理数，可解答。
（3）根据题意写出符合条件的x的值即可。
21．【答案】（1）解：根据题意得：a= ﹣2，b=3，
则a+b= ﹣2+3= +1
（2）解：∵x为整数，10+ =x+y，且0＜y＜1，
∴x=11，y= ﹣1，
则x﹣y的相反数为﹣（x﹣y）=﹣x+y= ﹣12．
【知识点】无理数的估值；无理数的概念
【解析】【分析】首先，要估算无理数的大小，才能准确找到无理数的整数部分，从而找到小数部分。一般情况下从1到20整数的平方都应该牢记，然后找被估算数的平方左右的两个完全平方数。如估算的大小，先找出7左右的完全平方数是4和7，所以即，所以的整数部分是2，小数部分是
1 / 1初中数学浙教版七年级上册3.2 实数——无理数的认识与估算 同步训练
一、基础夯实
1．（2019七下·景县期末）已知一组数据 ，π， ，0.0456， ，1.010010003…，则无理数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：π，， 1.010010003…，是无理数，
∴无理数有3个.
故答案为：C.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率都是无理数；据此判断即可.
2．（2019七上·拱墅期末）已知实数a,b都是比-2小的数，其中a是整数，b是无理数．请根据要求，分别写出一个a,b的值，a= ．b= ．
【答案】-3；
【知识点】有理数及其分类；无理数的概念
【解析】【解答】∵实数a,b都是比-2小的数，其中a是整数，b是无理数，
∴a可以是-3，b可以是 .（答案不唯一）.
故答案为：-3； .(答案不唯一)
【分析】开放性的命题，答案不唯一：实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有三类：①开方开不尽的数，②及的倍数的数，③象0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，根据定义写出一个符合条件的数。
3．（2019七下·玉州期中）如图，在数轴上的几点中与表示 的点最接近的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ =2，1.52=2.25，
∴12＜ ＜22.
∴1＜ ＜2.
∴与表示 的点最接近的点是D.
故答案为：D.
【分析】根据被开方数越大算术平方根越大，据此判断即可.
4．（2019七下·柳州期末）下列四个式子：
① ；② ＜8；③ ＜1；④ ＞0.5．
其中大小关系正确的式子的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ① 、∵8<10,∴ ，符合题意；
② 、∵65>64,∴ ，不符合题意；
③④ 、∵2<<3,∴ ,③④符合题意；
故答案为：C
【分析】①② 根据根式的性质先确定被开方数的大小，再确定其根式的值大小；③④先确定的范围，再分步确定 的范围即可。
5．（2019七上·绍兴期末）不小于 - 的最小整数是（ ）
A．-3 B．-2 C．-4 D．-1
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵- =-2 ，1< <2，
∴-4<-2 <-2，
即-4<- <-2，
∴不小于 - 的最小整数是-2.
故答案为：B.
【分析】此题先把-化成最简二次根式，通过估计的大小范围，从而估计-的大小范围，最后得到结果。
6．（2019七下·青山月考）如果 ，那么m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜1 B．1＜m＜2 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4
【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵1 2，∴0 1＜1，即0＜m＜1．
故答案为：A．
【分析】先判断的大小，然后再判断—1的大小。
7．把下列各数分别填在相应的集合中：﹣ ， ，﹣ ，0，﹣ ， 、 ， ，3.14
【答案】解：有理数集合：（﹣ ，﹣ ，0， ，0. ，3.14，…），
无理数集合：（ ，﹣ ， ，…）．
【知识点】有理数及其分类；无理数的概念
【解析】【分析】根据无理数为无限不循环小数、开方开不尽的数、与π有关的式子，可选出无理数的集合，其余即为有理数。
二、中考演练
8．（2019·江汉）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．3.1415 B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：下列各数中，无理数为： 。
故答案为：D。
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有三类：①开方开不尽的数，②的倍数的数，③象0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，根据定义即可一一判断。
9．（2019·常德）下列各数中比3大比4小的无理数是（ ）
A． B． C．3.1 D．
【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵四个选项中是无理数的只有 和 ，而 ＞4，3＜ ＜4
∴选项中比3大比4小的无理数只有 ．
故答案为：A．
【分析】根据无理数的定义，可进行大小判断。
10．（2019·成都）估算： .（结果精确到 ）
【答案】6
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵36
∴
故答案为6
【分析】根据被开方数的定义，可进行大小判断。
11．（2019·重庆）估计 的值应在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间.
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵ =，
又∵，
∴.
故答案为：B。
【分析】首先根据二次根式的乘法法则，先算乘法，再根据二次根式的性质将各个二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式算出结果；接着根据被开方数越大其算术平方根也越大估算出答案。
12．（2019·辽阳） 的整数部分是 .
【答案】4
【知识点】无理数的估值；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ 的整数部分是 。
故答案为：4。
【分析】由于的被开方数3介于两个相邻的完全平方数1与4之间，根据算术平方根的性质，被开方数越大，其算术平方根也就越大即可判断出 ，然后根据不等式的性质3得出，进而再根据不等式性质2得出，即，从而即可得出答案。
三、综合提升
13．（2019八下·蔡甸月考）如图，正方形网格中，每个正方形的边长为1，则网格上的⊿ABC中，边长为无理数的边数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】勾股定理；无理数的概念
【解析】【解答】观察图形，应用勾股定理，得
AB= ，
BC= ，
AC= ，
∴有两条边边长是无理数；
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理分别计算出AB、BC、AC的值，然后根据无理数的定义逐一判断即可.
14．一个长方形的长与宽分别是10cm、5cm，它的对角线的长可能是（ ）
A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数
【答案】D
【知识点】矩形的性质；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵ = =5 ，
∴对角线长是无理数．
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理可求得对角线长为5 ，为无理数.
15．（2018七上·泰州月考）两个无理数，它们的和为1，这两个无理数可以是 （只要写出两个就行）
【答案】答案不唯一，例如π，1-π
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】答案不唯一，例如π，1-π
【分析】写出两个无理数，让它们的和为1即可.
16．（2019七上·象山期末）已知a，b为两个连续整数，且 ，则 的值为
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【知识点】无理数的估值；代数式求值
【解析】【解答】 ，
，
即 ， ，
则 ，
故答案为：C．
【分析】的被开方数13介于两个相邻的完全平方数9与16之间，根据算术平方根的性质，被开方数越大，其算术平方根就越大即可得出，故，从而得出a，b的值，然后代入代数式按有理数的加法法则即可算出答案。
17．（2019七下·景县期末）下列在数轴上所表示的解集中，不包括 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵4＜7＜9，∴2＜＜3，
A、解集为x≤2，故符合题意；
B、解集为x＞2，故不符合题意；
C、解集为x＜3，故不符合题意；
D、解集为2＜x≤3，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】先求出的范围，然后分别求出各选项的解集，然后判断即可.
18．（2018七上·慈溪期中）下列说法：
①两个无理数的和一定是无理数；②两个无理数的积一定是无理数；③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数；④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数。其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：①两个无理数的和不一定是无理数，如互为相反数的两个无理数的和为0；②两个无理数的积可能是无理数，也可能是有理数；③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数；④一个有理数与一个无理数的积可能是无理数，也可能是有理数.
故正确的序号为：③，
故答案为：B.
【分析】无限不循环的小数就是无理数，根据无理数的定义，用举例子的方法即可一一判断。
19．国涛同学家的客厅是面积为28平方米的正方形，那么请你判断一下这个正方形客厅的边长x是不是有理数？如果误差要求小于0.01米，那么边长x的最大取值是多少（精确到0.001）？
【答案】解：（1）由题意可得正方形边长为：，这个正方形客厅的边长x不是有理数；
（ 2 ）由（1）可得这个正方形边长x的最大取值为： .
【知识点】无理数的估值；无理数的概念
【解析】【分析】（1）根据客厅是面积为28平方米的正方形，可知这个正方形客厅的边长x不是有理数。
（2）根据正方形的面积=28，求出正方形的边长，就可得出边长x的最大取值。
20．一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为16时．输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
（3）若输出的y是 ，请写出两个满足要求的x值： ．
【答案】（1）
（2）解：当x=0，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数
（3）3，9
【知识点】算术平方根；无理数的概念
【解析】【解答】（1）当x=16时，取算术平方根 =4，不是无理数，
继续取算术平方根 =2，不是无理数，
继续取算术平方根得 ，是无理数，所以输出的y值为 ；（3）x的值不唯一．x=3或x=9
【分析】（1）观察数字转换器的运算规律，将x=16代入计算，直到输出的数是无理数即可。
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，可得出当x=0，1时，输出的y值是有理数，可解答。
（3）根据题意写出符合条件的x的值即可。
21．（2018七上·萧山期中）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 ﹣1来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵ ＜ ＜ ，即2＜ ＜3，
∴ 的整数部分为2，小数部分为（ ﹣2）．
请解答：
（1）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求a+b的值；
（2）已知：10+ =x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．
【答案】（1）解：根据题意得：a= ﹣2，b=3，
则a+b= ﹣2+3= +1
（2）解：∵x为整数，10+ =x+y，且0＜y＜1，
∴x=11，y= ﹣1，
则x﹣y的相反数为﹣（x﹣y）=﹣x+y= ﹣12．
【知识点】无理数的估值；无理数的概念
【解析】【分析】首先，要估算无理数的大小，才能准确找到无理数的整数部分，从而找到小数部分。一般情况下从1到20整数的平方都应该牢记，然后找被估算数的平方左右的两个完全平方数。如估算的大小，先找出7左右的完全平方数是4和7，所以即，所以的整数部分是2，小数部分是
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