初中数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理 基础巩固训练
一、单选题
1．垂径定理及推论中的四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四条性质组成的命题中，其中是假命题的是（ ）
A．①② ③④ B．①③ ②④ C．①④ ②③ D．②③ ①④
2．（2019九上·婺城期末）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径 ，水面宽AB是16dm，则截面水深CD是
A．3dm B．4dm C．5dm D．6dm
3．（2019九上·余杭期末）如图，已知⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，若OD=3，OA=5，则AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（2019九上·武威期末）如图， 是 的弦，半径 于点 ，下列判断中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2018九上·天台月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE的长为（ ）
A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
6．（2019九上·临洮期末）如图，⊙O半径为5，弦AB长为8，M是弦AB上一个动点，则线段OM的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2018九上·桐乡期中）濮院女儿桥是典型的石拱桥，如图．某天小松测得水面AB宽为8m，桥顶C到水面AB的距离也为8m，则这座女儿桥桥拱半径为（ ）
A．4m B．5m C．6m D．8m
二、填空题
8．（2019九上·杭州期末）某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则中间柱CD的高度为 m.
9．（2019九上·钦州港期末）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若DE=2，则BC= .
10．如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是 .
11．（2018九上·东台期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为 ，则点P的坐标为 ．
12．（2019九上·潮南期末）⊙O的直径为20，弦AB长为12，点P是弦AB上一点，则OP的取值范围是 ．
三、解答题
13．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
求证：AC=BD.
14．《九章算术》中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，AE=1寸，CD=10寸，那么直径AB的长为多少寸？”请你补全示意图，并求出AB的长．
15．（2018九上·兴化期中）在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油.其横截面如图.油面宽AB=600毫米.
（1）求油的最大深度；
（2）如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：垂直与弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；连接弦所对的两条弧的中点的直线垂直与弦，且经过圆心；垂直平分弦的直线必过圆心，且平分弦所对的弧．
故答案为：B
【分析】垂径定理及其推论有：垂直与弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；连接弦所对的两条弧的中点的直线垂直与弦，且经过圆心；垂直平分弦的直线必过圆心，且平分弦所对的弧．根据定理即可判断。
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：由题意知OD⊥AB，交AB于点E，
∵AB＝16，
∴BC＝ AB＝ ×16＝8，
在Rt△OBC中，
∵OB＝10，BC＝8，
∴OC＝ ＝6，
∴CD＝OD﹣OC＝10﹣6＝4。
故答案为：B。
【分析】根据垂径定理得出BC＝ AB＝ ×16＝8，在Rt△OBC中，利用勾股定理算出OC的长，进而根据CD＝OD﹣OC即可算出答案。
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理得 ,
根据垂径定理得AB=2AD=8。
故答案为：D。
【分析】首先根据勾股定理算出AD的长，进而根据垂径定理由AB=2AD得出答案。
4．【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，
∴弧AC=弧BC，AD=BD，∠AOC=∠BOC= ∠AOB，B、C、D不符合题意，A符合题意.
故答案为：A
【分析】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，得出弧AC=弧BC，AD=BD，再根据等弧所对的圆心角相等得出∠AOC=∠BOC= ∠AOB，综上所述即可得出答案。
5．【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，∴CE=CD=4cm，∠CEO=90°,在△COE中，∵OC=5cm，CE=4cm,∴根据勾股定理得OE=3cm,
∴AE=AO+OE=OC+OE=8cm;
故答案为：A。
【分析】根据垂径定理得出CE的长，再根据勾股定理算出OE的长，最后根据线段的和差，由AE=AO+OE=OC+OE即可算出答案。
6．【答案】B
【知识点】垂线段最短；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】根据垂线段最短可知，当 时，线段OM的值最小
此时，连接OA，由垂径定理可知，
在 由勾股定理得
【分析】根据垂线段最短可知，当 时，线段OM的值最小，连接OA，由垂径定理得出AM的长，然后根据勾股定理即可算出OM的最小值。
7．【答案】B
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：连结OA，
∵AB宽为8m，桥顶C到水面AB的距离也为8m，
∴AD=4m，OD=8-OA，
∴在Rt△OAD中，
OA2=OD2+AD2，
即OA2=（8-OA）2+42，
解得：OA=5.
故答案为：B．
【分析】连结OA，根据垂径定理可得AD=4m，OD=8-OA，在Rt△OAD中，根据勾股定理列出方程，解之即可得出答案.
8．【答案】4
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解:∵CD垂直平分AB，
∴AD=8.
∴OD= =6m，
∴CD=OC-OD=10-6=4（m）.
【分析】由垂径定理可得AD=AB，则在直角三角形AOD中，用勾股定理可求出OD的长，再由线段的构成得CD=OC-OD可求解。
9．【答案】4
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 为 的内接三角形， 于点 ， 于点 ，
∴ ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】由垂径定理可得：AD=BD，AE=CE，所以DE是三角形ABC的中位线，由三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半得BC=2DE可求解。
10．【答案】AE=BE
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】由垂径定理可知：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。则题中相等的线段有：AE=BE。
【分析】在圆中涉及到直径与弦的问题，均可利用垂径定理进行解决。
11．【答案】（3，2）
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，
∵A（6，0），PD⊥OA， ∴OD= OA=3，
在Rt△OPD中 ∵OP= OD=3， ∴PD=2 ∴P(3，2) . 故P（3，2）．
【分析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，由垂径定理可求得OD的长，再用勾股定理即可求解。
12．【答案】8≤OP≤10
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：作OC⊥AB，则AC＝BC＝6，
∵OA＝10，
∴OC＝8，
∴OP的取值范围是8≤OP≤10．
故答案为：8≤OP≤10．
【分析】用垂径定理求得OC的长即为OP的最小值，半径OA的长即为OP的最大值，从而求得OP的取值范围。
13．【答案】解：过O作OE⊥AB于点E，
则CE=DE，AE=BE，
∴BE-DE=AE-CE.
即AC=BD.
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】过O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理可知CE=DE、AE=BE，利用等式性质即可证明。
14．【答案】解：示意图如图所示，连接OC∵AB为⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，CD=10，∴CE= CD=5.∵AE=1，设⊙O的半径为r寸，则OE为r-1寸在Rt△CEO中，由勾股定理得解得r=13，∴ 直径AB的长为26寸.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接OC，由垂径定理可知CE= CD=5，设⊙O的半径为r寸，在Rt△CEO中借助勾股定理即可列出r的方程，据此即可解答。
15．【答案】（1）解： OF⊥AB交AB于F，交圆于G，连接OA， ∴AF= AB=300 mm，由勾股定理得，OF= =400 mm， 则GF=OG﹣OF=100mm
（2）解： 连接OC， ∵OE⊥CD， ∴CE=400 mm，OE= =300 mm， 则EF=OG﹣OE﹣FG=100 mm， 同理，当CD在圆心O上方时，可得EF=700 mm. 答：此时油面上升了100毫米或700毫米．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】（1） OF⊥AB交AB于F，交圆于G，连接OA， 根据垂径定理得出AF的长，由勾股定理算出OF的长，最后根据 GF=OG﹣OF 即可算出答案；
（2） 连接OC， 根据垂径定理得出CE的长，根据勾股定理算出OE的长，由 EF=OG﹣OE﹣FG 算出EF的长， 同理，当CD在圆心O上方时，可得EF 的长，综上所述即可得出答案。
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一、单选题
1．垂径定理及推论中的四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四条性质组成的命题中，其中是假命题的是（ ）
A．①② ③④ B．①③ ②④ C．①④ ②③ D．②③ ①④
【答案】B
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：垂直与弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；连接弦所对的两条弧的中点的直线垂直与弦，且经过圆心；垂直平分弦的直线必过圆心，且平分弦所对的弧．
故答案为：B
【分析】垂径定理及其推论有：垂直与弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；连接弦所对的两条弧的中点的直线垂直与弦，且经过圆心；垂直平分弦的直线必过圆心，且平分弦所对的弧．根据定理即可判断。
2．（2019九上·婺城期末）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径 ，水面宽AB是16dm，则截面水深CD是
A．3dm B．4dm C．5dm D．6dm
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：由题意知OD⊥AB，交AB于点E，
∵AB＝16，
∴BC＝ AB＝ ×16＝8，
在Rt△OBC中，
∵OB＝10，BC＝8，
∴OC＝ ＝6，
∴CD＝OD﹣OC＝10﹣6＝4。
故答案为：B。
【分析】根据垂径定理得出BC＝ AB＝ ×16＝8，在Rt△OBC中，利用勾股定理算出OC的长，进而根据CD＝OD﹣OC即可算出答案。
3．（2019九上·余杭期末）如图，已知⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，若OD=3，OA=5，则AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理得 ,
根据垂径定理得AB=2AD=8。
故答案为：D。
【分析】首先根据勾股定理算出AD的长，进而根据垂径定理由AB=2AD得出答案。
4．（2019九上·武威期末）如图， 是 的弦，半径 于点 ，下列判断中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，
∴弧AC=弧BC，AD=BD，∠AOC=∠BOC= ∠AOB，B、C、D不符合题意，A符合题意.
故答案为：A
【分析】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，得出弧AC=弧BC，AD=BD，再根据等弧所对的圆心角相等得出∠AOC=∠BOC= ∠AOB，综上所述即可得出答案。
5．（2018九上·天台月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE的长为（ ）
A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，∴CE=CD=4cm，∠CEO=90°,在△COE中，∵OC=5cm，CE=4cm,∴根据勾股定理得OE=3cm,
∴AE=AO+OE=OC+OE=8cm;
故答案为：A。
【分析】根据垂径定理得出CE的长，再根据勾股定理算出OE的长，最后根据线段的和差，由AE=AO+OE=OC+OE即可算出答案。
6．（2019九上·临洮期末）如图，⊙O半径为5，弦AB长为8，M是弦AB上一个动点，则线段OM的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】垂线段最短；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】根据垂线段最短可知，当 时，线段OM的值最小
此时，连接OA，由垂径定理可知，
在 由勾股定理得
【分析】根据垂线段最短可知，当 时，线段OM的值最小，连接OA，由垂径定理得出AM的长，然后根据勾股定理即可算出OM的最小值。
7．（2018九上·桐乡期中）濮院女儿桥是典型的石拱桥，如图．某天小松测得水面AB宽为8m，桥顶C到水面AB的距离也为8m，则这座女儿桥桥拱半径为（ ）
A．4m B．5m C．6m D．8m
【答案】B
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：连结OA，
∵AB宽为8m，桥顶C到水面AB的距离也为8m，
∴AD=4m，OD=8-OA，
∴在Rt△OAD中，
OA2=OD2+AD2，
即OA2=（8-OA）2+42，
解得：OA=5.
故答案为：B．
【分析】连结OA，根据垂径定理可得AD=4m，OD=8-OA，在Rt△OAD中，根据勾股定理列出方程，解之即可得出答案.
二、填空题
8．（2019九上·杭州期末）某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则中间柱CD的高度为 m.
【答案】4
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解:∵CD垂直平分AB，
∴AD=8.
∴OD= =6m，
∴CD=OC-OD=10-6=4（m）.
【分析】由垂径定理可得AD=AB，则在直角三角形AOD中，用勾股定理可求出OD的长，再由线段的构成得CD=OC-OD可求解。
9．（2019九上·钦州港期末）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若DE=2，则BC= .
【答案】4
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 为 的内接三角形， 于点 ， 于点 ，
∴ ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】由垂径定理可得：AD=BD，AE=CE，所以DE是三角形ABC的中位线，由三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半得BC=2DE可求解。
10．如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是 .
【答案】AE=BE
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】由垂径定理可知：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。则题中相等的线段有：AE=BE。
【分析】在圆中涉及到直径与弦的问题，均可利用垂径定理进行解决。
11．（2018九上·东台期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为 ，则点P的坐标为 ．
【答案】（3，2）
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，
∵A（6，0），PD⊥OA， ∴OD= OA=3，
在Rt△OPD中 ∵OP= OD=3， ∴PD=2 ∴P(3，2) . 故P（3，2）．
【分析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，由垂径定理可求得OD的长，再用勾股定理即可求解。
12．（2019九上·潮南期末）⊙O的直径为20，弦AB长为12，点P是弦AB上一点，则OP的取值范围是 ．
【答案】8≤OP≤10
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：作OC⊥AB，则AC＝BC＝6，
∵OA＝10，
∴OC＝8，
∴OP的取值范围是8≤OP≤10．
故答案为：8≤OP≤10．
【分析】用垂径定理求得OC的长即为OP的最小值，半径OA的长即为OP的最大值，从而求得OP的取值范围。
三、解答题
13．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
求证：AC=BD.
【答案】解：过O作OE⊥AB于点E，
则CE=DE，AE=BE，
∴BE-DE=AE-CE.
即AC=BD.
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】过O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理可知CE=DE、AE=BE，利用等式性质即可证明。
14．《九章算术》中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，AE=1寸，CD=10寸，那么直径AB的长为多少寸？”请你补全示意图，并求出AB的长．
【答案】解：示意图如图所示，连接OC∵AB为⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，CD=10，∴CE= CD=5.∵AE=1，设⊙O的半径为r寸，则OE为r-1寸在Rt△CEO中，由勾股定理得解得r=13，∴ 直径AB的长为26寸.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接OC，由垂径定理可知CE= CD=5，设⊙O的半径为r寸，在Rt△CEO中借助勾股定理即可列出r的方程，据此即可解答。
15．（2018九上·兴化期中）在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油.其横截面如图.油面宽AB=600毫米.
（1）求油的最大深度；
（2）如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？
【答案】（1）解： OF⊥AB交AB于F，交圆于G，连接OA， ∴AF= AB=300 mm，由勾股定理得，OF= =400 mm， 则GF=OG﹣OF=100mm
（2）解： 连接OC， ∵OE⊥CD， ∴CE=400 mm，OE= =300 mm， 则EF=OG﹣OE﹣FG=100 mm， 同理，当CD在圆心O上方时，可得EF=700 mm. 答：此时油面上升了100毫米或700毫米．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】（1） OF⊥AB交AB于F，交圆于G，连接OA， 根据垂径定理得出AF的长，由勾股定理算出OF的长，最后根据 GF=OG﹣OF 即可算出答案；
（2） 连接OC， 根据垂径定理得出CE的长，根据勾股定理算出OE的长，由 EF=OG﹣OE﹣FG 算出EF的长， 同理，当CD在圆心O上方时，可得EF 的长，综上所述即可得出答案。
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