初中数学浙教版九年级上册3.6 圆内接四边形 基础巩固训练
一、单选题
1．（2019九上·杭州期末）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（ ）
A．50° B．60° C．80° D．100°
2．（2019九上·江北期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝20°，则∠ADC的度数是（ ）
A．90° B．100° C．110° D．130°
3．（2019九上·临洮期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，若∠B=100°，则∠ADE的度数是（ ）
A．30° B．50° C．100° D．130°
4．（2018九上·宁波期中）圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠D的度数是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．135°
5．（2018九上·金华期中）四边形ABCD内接于⊙O，则∠A:∠B:∠C:∠D的值可以是（ ）
A．2:3:4:5 B．2:4:3:5 C．2:5:3:4 D．2:3:5:4
6．（2018九上·南京期中）如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，弧AC=弧AE，∠D＝128°，则∠B的度数为（ ）
A．128° B．126° C．118° D．116°
7．如果圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，则四边形ABCD一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
二、填空题
8．（2018九上·江阴期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°，则∠ABD＝ °．
9．（2018九上·江苏期中）如图，AB是半圆的直径，点C、D是半圆上两点，∠ADC =
144°，则∠ABC =
10．（2019九上·象山期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，若∠BAC＝35°，∠ACB＝40°，则∠ADC＝ °.
11．（2018九上·柯桥月考）在圆内接四边形ABCD中，∠D-∠B=40°，则∠B= 度．
12．（2019九上·海淀期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径CD延长线上一点，且AB∥CD，若∠C=70°，则∠ADE的大小为 ．
三、解答题
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，求证：AB=CD．
14．如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC、AB相交于点E．若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．
15．（2018九上·丽水期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．
（1）若∠ADC=86°，求∠CBE的度数；
（2）若AC=EC，求证：AD=BE
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=100°.
故答案为：D.
【分析】圆上取一点A，连接AB，AD，由圆内接四边形的对角互补可得∠BAD+∠BCD=180°，则∠BAD=180°-∠BCD，再根据圆周角定理得∠BOD=2∠BAD可求解。
2．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠B=90°-20°=70°，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠ADC=110°。
故答案为：C。
【分析】根据直径所对的圆周角等于90°得出∠ACB=90°，根据直角三角形的两锐角互余得出∠B=70°，进而根据圆内接四边形的对角互补即可由∠ADC=180°-∠B算出答案。
3．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵点A，B，C，D在⊙O上，
∴∠ADE=∠B，
∵∠B=100°，
∴∠ADE=100°.
故答案为：C.
【分析】根据圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角即可直接得出∠ADE=∠B=100°。
4．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵圆内接四边形ABCD，
∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，
又∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】四边形ABCD是圆内接四边形，则有∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，根据∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3即可解答.
5．【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°=∠B+∠D，
故答案为：D.
【分析】根据圆内接四边形的对角互补可求解。
6．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： 如图，
∵∠D=128°，
∴∠AOC+∠AOE=2∠D=256°，
∵ ,
∴∠AOC=128°,
∴∠AEC=64°，
∴∠B=116°.
故答案为：D.
【分析】连接OA,OC,OE,CE,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AOC+∠AOE=2∠D=256°，根据等弧所对的圆心角相等得出∠AOC=128°=∠AOE，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AEC=64°，根据圆的内接四边形的对角互补得出∠B的度数。
7．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD一定是矩形．
故答案为：B．
【分析】根据直径所对的圆周角是90°，可得∠A=∠B=∠C=∠D=90°，根据矩形的判定定理可得四边形ABCD一定是矩形。
8．【答案】55
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝110°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】根据圆的内接四边形的对角互补得出∠BAD的度数，根据等边对等角及三角形的内角和得出∠ABD的度数。
9．【答案】36
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，又∠ADC=144°，
∴∠ABC=36°，
故答案为：36．
【分析】根据圆的内接四边形的对角互补即可算出 ∠ABC 的度数。
10．【答案】75
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： ，
四边形ABCD内接于 ，
。
故答案为：75。
【分析】根据三角形的内角和得出∠ABC=105°，再根据圆内接四边形的对角互补得出∠ADC的度数。
11．【答案】70
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵圆内接四边形ABCD，
∴∠B+∠D=180°
∵∠D-∠B=40°
解之：∠B=70°
故答案为：70
【分析】利用圆内接四边形的对角互补，可得出∠B+∠D=180°，再由已知∠D-∠B=40°，求出方程组的解即可。
12．【答案】110°
【知识点】平行线的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=70°，AB∥CD，
∴∠B=110°，
又∵四边形ABCD内接于○O
∴∠ADE=110°．
故答案为：110°．
【分析】由∠C的大小，利用平行线的性质可得∠B的值，再根据圆内接四边形的性质即可得出答案。
13．【答案】证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，
又∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠B=∠C，
∴弧DC=弧AB，
∴AB=DC.
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据圆的内接四边形性质可得对角互补，由平行线性质：同旁内角互补，再根据同角的补角相等可得∠B=∠C，再由圆心角，弧，弦之间的关系即可得证.
14．【答案】解： 四点共圆， 即 是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角得出∠A=∠BCE，根据等边对等角得出∠BCE=∠E，故∠A=∠E，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形得出结论。
15．【答案】（1）解：∵四边形 ABCD 内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠CBE+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠CBE，
又∵∠ADC=86°，
∴∠CBE=86°.
（2）证明：∵AC=EC，∴∠E=∠CAE，∵AC 平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠E，又∵四边形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠CBE+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠CBE，
在△ ADC 和△ EBC 中
∴△ADC≌△EBC（AAS），
∴AD=BE.
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形性质和邻补角定义可得∠ADC=∠CBE，结合已知条件即可得出答案.
（2）根据等腰三角形性质和角平分线定义可得∠DAC=∠E，由（1）知∠ADC=∠CBE，根据全等三角形判定AAS可得△ADC≌△EBC，再由全等三角形性质即可得证.
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一、单选题
1．（2019九上·杭州期末）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（ ）
A．50° B．60° C．80° D．100°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BOD=100°.
故答案为：D.
【分析】圆上取一点A，连接AB，AD，由圆内接四边形的对角互补可得∠BAD+∠BCD=180°，则∠BAD=180°-∠BCD，再根据圆周角定理得∠BOD=2∠BAD可求解。
2．（2019九上·江北期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝20°，则∠ADC的度数是（ ）
A．90° B．100° C．110° D．130°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠B=90°-20°=70°，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠ADC=110°。
故答案为：C。
【分析】根据直径所对的圆周角等于90°得出∠ACB=90°，根据直角三角形的两锐角互余得出∠B=70°，进而根据圆内接四边形的对角互补即可由∠ADC=180°-∠B算出答案。
3．（2019九上·临洮期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，若∠B=100°，则∠ADE的度数是（ ）
A．30° B．50° C．100° D．130°
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵点A，B，C，D在⊙O上，
∴∠ADE=∠B，
∵∠B=100°，
∴∠ADE=100°.
故答案为：C.
【分析】根据圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角即可直接得出∠ADE=∠B=100°。
4．（2018九上·宁波期中）圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠D的度数是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．135°
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵圆内接四边形ABCD，
∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，
又∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】四边形ABCD是圆内接四边形，则有∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，根据∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3即可解答.
5．（2018九上·金华期中）四边形ABCD内接于⊙O，则∠A:∠B:∠C:∠D的值可以是（ ）
A．2:3:4:5 B．2:4:3:5 C．2:5:3:4 D．2:3:5:4
【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°=∠B+∠D，
故答案为：D.
【分析】根据圆内接四边形的对角互补可求解。
6．（2018九上·南京期中）如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，弧AC=弧AE，∠D＝128°，则∠B的度数为（ ）
A．128° B．126° C．118° D．116°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： 如图，
∵∠D=128°，
∴∠AOC+∠AOE=2∠D=256°，
∵ ,
∴∠AOC=128°,
∴∠AEC=64°，
∴∠B=116°.
故答案为：D.
【分析】连接OA,OC,OE,CE,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AOC+∠AOE=2∠D=256°，根据等弧所对的圆心角相等得出∠AOC=128°=∠AOE，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AEC=64°，根据圆的内接四边形的对角互补得出∠B的度数。
7．如果圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，则四边形ABCD一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD一定是矩形．
故答案为：B．
【分析】根据直径所对的圆周角是90°，可得∠A=∠B=∠C=∠D=90°，根据矩形的判定定理可得四边形ABCD一定是矩形。
二、填空题
8．（2018九上·江阴期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°，则∠ABD＝ °．
【答案】55
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝110°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】根据圆的内接四边形的对角互补得出∠BAD的度数，根据等边对等角及三角形的内角和得出∠ABD的度数。
9．（2018九上·江苏期中）如图，AB是半圆的直径，点C、D是半圆上两点，∠ADC =
144°，则∠ABC =
【答案】36
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，又∠ADC=144°，
∴∠ABC=36°，
故答案为：36．
【分析】根据圆的内接四边形的对角互补即可算出 ∠ABC 的度数。
10．（2019九上·象山期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，若∠BAC＝35°，∠ACB＝40°，则∠ADC＝ °.
【答案】75
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： ，
四边形ABCD内接于 ，
。
故答案为：75。
【分析】根据三角形的内角和得出∠ABC=105°，再根据圆内接四边形的对角互补得出∠ADC的度数。
11．（2018九上·柯桥月考）在圆内接四边形ABCD中，∠D-∠B=40°，则∠B= 度．
【答案】70
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵圆内接四边形ABCD，
∴∠B+∠D=180°
∵∠D-∠B=40°
解之：∠B=70°
故答案为：70
【分析】利用圆内接四边形的对角互补，可得出∠B+∠D=180°，再由已知∠D-∠B=40°，求出方程组的解即可。
12．（2019九上·海淀期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径CD延长线上一点，且AB∥CD，若∠C=70°，则∠ADE的大小为 ．
【答案】110°
【知识点】平行线的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=70°，AB∥CD，
∴∠B=110°，
又∵四边形ABCD内接于○O
∴∠ADE=110°．
故答案为：110°．
【分析】由∠C的大小，利用平行线的性质可得∠B的值，再根据圆内接四边形的性质即可得出答案。
三、解答题
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，求证：AB=CD．
【答案】证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，
又∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠B=∠C，
∴弧DC=弧AB，
∴AB=DC.
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据圆的内接四边形性质可得对角互补，由平行线性质：同旁内角互补，再根据同角的补角相等可得∠B=∠C，再由圆心角，弧，弦之间的关系即可得证.
14．如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC、AB相交于点E．若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．
【答案】解： 四点共圆， 即 是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角得出∠A=∠BCE，根据等边对等角得出∠BCE=∠E，故∠A=∠E，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形得出结论。
15．（2018九上·丽水期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．
（1）若∠ADC=86°，求∠CBE的度数；
（2）若AC=EC，求证：AD=BE
【答案】（1）解：∵四边形 ABCD 内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠CBE+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠CBE，
又∵∠ADC=86°，
∴∠CBE=86°.
（2）证明：∵AC=EC，∴∠E=∠CAE，∵AC 平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠E，又∵四边形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠CBE+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠CBE，
在△ ADC 和△ EBC 中
∴△ADC≌△EBC（AAS），
∴AD=BE.
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形性质和邻补角定义可得∠ADC=∠CBE，结合已知条件即可得出答案.
（2）根据等腰三角形性质和角平分线定义可得∠DAC=∠E，由（1）知∠ADC=∠CBE，根据全等三角形判定AAS可得△ADC≌△EBC，再由全等三角形性质即可得证.
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