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初中数学浙教版八年级下册5.1 矩形（2） 同步训练
一、基础夯实
1．（2019九上·大田期中）在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角线是否垂直 D．测量其内角是否有三个直角
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】A．对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B．两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C．一组对角是否都为直角，不能判定形状；
D．其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故答案为：D.
【分析】根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
逐个分析可得答案.
2．（2019八下·腾冲期中）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（ ）
A．矩形 B．菱形
C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形
【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH ∥ FG ∥ BD，EF ∥ AC ∥ HG；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD，即对角线互相垂直，
故答案为：D.
【分析】由题意画出图形，因为E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，所以EF、FG、GH、HE分别是三角形ABC、三角形BCD、三角形ACD、三角形ABD的中位线，根据三角形的中位线定理可得：EH ∥ FG ∥ BD，EF ∥ AC ∥ HG；根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形EFGH是平行四边形；由矩形的性质可得∠HEF=，于是由平行线的性质可得∠AOB=，即对角线互相垂直。
3．（2019八下·乐山期末）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AB=BC C．AC⊥BD D．AC=BD
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】四边形的对角线互相平分，即可得出四边形为平行四边形
添加AC=BD，可根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，判定四边形为矩形。
故答案为：D
【分析】根据矩形的判定定理可添加条件。
4．（2019八下·阜阳期中）如图，连接四边形ABCD各边的中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，则对角线AC、BD应满足（ ）
A．AC= BD B．AC平分BD
C．AC= BD且AC⊥BD D．AC⊥BD
【答案】D
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵E，F，G，H分别是AB,BC,CD,AD的中点，
故FG∥AC∥EH,EF∥BD∥GH，
故四边形EFGH是平行四边形，
要使平行四边形为矩形，需EF⊥EH
故AC⊥BD
故答案为：D.
【分析】根据中位线的性质及矩形的判定方法即可求解判断.
5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、①AB∥CD；②AB=DC可判定四边形是平行四边形，在加上③AC=BD可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判断，故不符合题意；
B、②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°，可根据题意判断出△BCD≌△CBA(SSS)，进而得出四边形是矩形进行判定，故不符合题意；
C、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB=DC也不能判定是矩形，故符合题意；
D、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC=90°可根据一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定，故不符合题意。
故答案为：C
【分析】选项A，①AB∥CD，②AB=DC可判定四边形是平行四边形，再加上③AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判断；选项B，可根据题意判断出△BCD≌△CBA(SSS)，进而得出四边形是矩形；选项C，⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB=DC也不能判定是矩形；选项D，⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC=90°可根据一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定.
6．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，要使四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需要满足的条件是
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】当 时，四边形EFGH是矩形，
， ， ，
，
即 ，
四边形EFGH是矩形；
故答案为：B
【分析】由三角形的中位线定理易得四边形EFGH是平行四边形，再证其中一个角是直角即可得解，由题意可知，只需四边形ABCD的对角线互相垂直即可。
7．如图△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，
∴DF∥BC，
∴∠C=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，
∴AB=4，
∴AC= =2 ．
∴BE=CD= ．
∴四边形BCDE的面积为：2× =2 ．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的中位线定理得到DF∥BC，由∠C=90°，得到四边形BCDE是矩形；根据勾股定理求出BE=CD的值，求出四边形BCDE的面积.
8．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，如果再添加一个条件，可以得到四边形ABCD是矩形，那么可以添加的条件是： ．(不再添加线或字母，写出一种情况即可)
【答案】AD＝BC(答案不唯一)
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：添加条件AD=BC
∵AD∥BC，AD=BC
∴四边形ABCD为平行四边形
∵∠D=90°
∴四边形ABCD为矩形。
故答案为：AD=BC。
【分析】根据题意添加一个条件，根据现有条件证明四边形ABCD为平行四边形，根据∠D=90°，证明矩形即可。
9．（2020八下·建湖月考）如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D、C分别作AC、BD的平行线，交于点E.
求证：四边形ODEC为矩形；
【答案】证明：∵过点D、C分别作AC、BD的平行线，相交于点E.
∴DE∥OC，DO∥CE，
∴四边形ODEC是平行四边形.
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
即∠DOC=90°，
∴四边形ODEC是矩形.
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的判定得出四边形ODEC是平行四边形.根据菱形的性质求出∠DOC=90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证.
10．（2020八下·正安月考）如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF.
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.
【答案】（1）解：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）解：连接DF，
∵AF∥CD，AF=CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵△AEF≌△DEB，
∴BE=FE，
∵AE=DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB，
∵AB=AC，
∴DF=AC，
∴四边形ADCF是矩形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）由AF∥BC得∠AFE=∠EBD，继而结合∠EAF=∠EDB、AE=DE即可判定全等；（2）根据AB=AC，且AD是BC边上的中线可得∠ADC=90°，由四边形ADCF是矩形可得答案.
二、提高特训
11．（2020九下·西安月考）如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝又无重叠的四边形EFGH，若EH=3，EF=4，那么线段AD与AB的比等于（ ）
A．25：24 B．16：15 C．5：4 D．4：3
【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图
∵将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝又无重叠的四边形EFGH，
∴∠A=∠ENH=∠D=∠GMF=90°，∠AEH=∠HEN，∠NEF=∠BEF，AE=EN=BE，AH=HN，HD=HM
∴AB=2EN
∵∠AEH+∠HEN+∠NEF+∠BEF=180°，
∴∠HEF=90°，
同理可证∠EFG=∠HGF=90°
∴四边形EHGF是矩形，
∴EH=FG，EH∥FG
∴∠EHN=∠MFG
在△HEN和△FGM中
∴△HEN≌△FGM（AAS）
∴HN=FM=AH
HF=HN+MN+FM=AH+MN+HN=AH+HM=AH+HD=AD
在Rt△HEF中，EH=3，EF=4
∴
∴AD=5；
∵
∴5EN=3×4
解之：
∴
∴，
∴AD：AB=25：24.
故答案为：A.
【分析】利用折叠的性质，易证AE=EN=BE，AH=HN，HD=HM，∠HEF=∠EFG=∠HGF=90°，利用矩形的判定定理可证得四边形EHGF是矩形，利用矩形的性质可得到EH=FG，EH∥FG，从而可推出∠EHN=∠MFG，再利用AAS证明△HEN≌△FGM，利用全等三角形的对应边相等，可得到HN=FM=AH，继而可以推出AD=HF，利用勾股定理可得到AD的长；然后利用直角三角形的两个面积公式求出EN的长，即可得到AB的长，再求出AD与AB的比值即可。
12．（2019九上·渠县月考）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快 s后，四边形ABPQ成为矩形．
【答案】4
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：设ts后，四边形ABPQ成为矩形。此时BP=3t cm，DQ=2t cm，则AQ=（20-2t） cm .
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=90°，AQ∥BP
∴当AQ=BP时，四边形ABPQ成为矩形。
所以有20-2t=3t
解得t=4
∴最快4s后，四边形ABPQ成为矩形．
【分析】先利用”路程=速度×时间“表示出线段BP、DQ，进而表示出线段AQ；然后利用矩形的判定可得当AQ=BP时，四边形ABPQ成为矩形，由此列出方程解出t值即可。
13．（2019八下·嘉兴期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P为AB边上不与A，B重合的一动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是 ．
【答案】4.8
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】如图，连接CP，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝ ＝10，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形CFPE是矩形，
∴EF＝CP，
由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝ BC AC＝ AB CP，
即 ×8×6＝ ×10 CP，
解得CP＝4.8．
故答案为：4.8
【分析】连接CP, PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，可得到四边形CFPE为矩形，则EF=CP，当CP⊥AB时有最小值，则求出CP的最小值即可.
14．（2019九上·靖远期末）如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点.若AC＝8,BD＝6,则四边形EFGH的面积为 .
【答案】12
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，
∴EF∥BD，且EF= BD=3．
同理求得EH∥AC∥GF，且EH=GF= AC=4，
又∵AC⊥BD，
∴EF∥GH，FG∥HE且EF⊥FG．
四边形EFGH是矩形．
∴四边形EFGH的面积=EF EH=3×4=12，即四边形EFGH的面积是12．
故答案是：12．
【分析】根据三角形中位线平行且等于第三边的一半，可得EF∥BD，且EF= BD=3，EH∥AC∥GF，且EH=GF= AC=4，从而利用矩形的判定方法可证四边形EFGH是矩形，由矩形的面积=长×宽计算即得
15．（2020八下·建湖月考）如图，在 ABCD中，AC＝8，BD＝12，点E、F在对角线BD上，点E从点B出发以1个单位每秒的速度向点D运动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时运动停止，运动时间为t秒．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形．
（2）求t为何值时，四边形AECF为矩形．
【答案】（1）证明：在 ABCD中，
∵AD∥BC，AD=BC，
∴∠EBC=∠ADF，
由题意知，BE=DF，
在△BEC与DFA中，
，
∴△BEC≌△DFA中（SAS），
∴CE=AF，
同理：AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
（2）解：如下图，
由矩形的性质知OE=OF，OA=OC，由（1）知，要使四边形AECF为矩形即∠EAF是直角即可，这时只需OE=OF=OA=AC=4 cm，
则∠1＝∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°，
∴∠2+∠3=90° ，
即∠EAF=90°，
此时BE=DF=（BD-EF）=×（12-8）=2 cm或BE=DF=12-2=10 cm.
即t=2或t=10时，四边形AECF为矩形．
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证出四边形AECF为平行四边形；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得OE=OF=OA=AC=4 cm，再根据等腰三角形的性质求BE的长即可. 注意分两种情况.
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初中数学浙教版八年级下册5.1 矩形（2） 同步训练
一、基础夯实
1．（2019九上·大田期中）在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角线是否垂直 D．测量其内角是否有三个直角
2．（2019八下·腾冲期中）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（ ）
A．矩形 B．菱形
C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形
3．（2019八下·乐山期末）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AB=BC C．AC⊥BD D．AC=BD
4．（2019八下·阜阳期中）如图，连接四边形ABCD各边的中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，则对角线AC、BD应满足（ ）
A．AC= BD B．AC平分BD
C．AC= BD且AC⊥BD D．AC⊥BD
5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥
6．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，要使四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需要满足的条件是
A． B． C． D．
7．如图△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
8．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，如果再添加一个条件，可以得到四边形ABCD是矩形，那么可以添加的条件是： ．(不再添加线或字母，写出一种情况即可)
9．（2020八下·建湖月考）如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D、C分别作AC、BD的平行线，交于点E.
求证：四边形ODEC为矩形；
10．（2020八下·正安月考）如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF.
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.
二、提高特训
11．（2020九下·西安月考）如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝又无重叠的四边形EFGH，若EH=3，EF=4，那么线段AD与AB的比等于（ ）
A．25：24 B．16：15 C．5：4 D．4：3
12．（2019九上·渠县月考）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快 s后，四边形ABPQ成为矩形．
13．（2019八下·嘉兴期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P为AB边上不与A，B重合的一动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是 ．
14．（2019九上·靖远期末）如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点.若AC＝8,BD＝6,则四边形EFGH的面积为 .
15．（2020八下·建湖月考）如图，在 ABCD中，AC＝8，BD＝12，点E、F在对角线BD上，点E从点B出发以1个单位每秒的速度向点D运动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时运动停止，运动时间为t秒．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形．
（2）求t为何值时，四边形AECF为矩形．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】A．对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B．两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C．一组对角是否都为直角，不能判定形状；
D．其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故答案为：D.
【分析】根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
逐个分析可得答案.
2．【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH ∥ FG ∥ BD，EF ∥ AC ∥ HG；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD，即对角线互相垂直，
故答案为：D.
【分析】由题意画出图形，因为E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，所以EF、FG、GH、HE分别是三角形ABC、三角形BCD、三角形ACD、三角形ABD的中位线，根据三角形的中位线定理可得：EH ∥ FG ∥ BD，EF ∥ AC ∥ HG；根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形EFGH是平行四边形；由矩形的性质可得∠HEF=，于是由平行线的性质可得∠AOB=，即对角线互相垂直。
3．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】四边形的对角线互相平分，即可得出四边形为平行四边形
添加AC=BD，可根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，判定四边形为矩形。
故答案为：D
【分析】根据矩形的判定定理可添加条件。
4．【答案】D
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵E，F，G，H分别是AB,BC,CD,AD的中点，
故FG∥AC∥EH,EF∥BD∥GH，
故四边形EFGH是平行四边形，
要使平行四边形为矩形，需EF⊥EH
故AC⊥BD
故答案为：D.
【分析】根据中位线的性质及矩形的判定方法即可求解判断.
5．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、①AB∥CD；②AB=DC可判定四边形是平行四边形，在加上③AC=BD可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判断，故不符合题意；
B、②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°，可根据题意判断出△BCD≌△CBA(SSS)，进而得出四边形是矩形进行判定，故不符合题意；
C、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB=DC也不能判定是矩形，故符合题意；
D、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC=90°可根据一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定，故不符合题意。
故答案为：C
【分析】选项A，①AB∥CD，②AB=DC可判定四边形是平行四边形，再加上③AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判断；选项B，可根据题意判断出△BCD≌△CBA(SSS)，进而得出四边形是矩形；选项C，⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB=DC也不能判定是矩形；选项D，⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC=90°可根据一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定.
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】当 时，四边形EFGH是矩形，
， ， ，
，
即 ，
四边形EFGH是矩形；
故答案为：B
【分析】由三角形的中位线定理易得四边形EFGH是平行四边形，再证其中一个角是直角即可得解，由题意可知，只需四边形ABCD的对角线互相垂直即可。
7．【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，
∴DF∥BC，
∴∠C=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，
∴AB=4，
∴AC= =2 ．
∴BE=CD= ．
∴四边形BCDE的面积为：2× =2 ．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的中位线定理得到DF∥BC，由∠C=90°，得到四边形BCDE是矩形；根据勾股定理求出BE=CD的值，求出四边形BCDE的面积.
8．【答案】AD＝BC(答案不唯一)
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：添加条件AD=BC
∵AD∥BC，AD=BC
∴四边形ABCD为平行四边形
∵∠D=90°
∴四边形ABCD为矩形。
故答案为：AD=BC。
【分析】根据题意添加一个条件，根据现有条件证明四边形ABCD为平行四边形，根据∠D=90°，证明矩形即可。
9．【答案】证明：∵过点D、C分别作AC、BD的平行线，相交于点E.
∴DE∥OC，DO∥CE，
∴四边形ODEC是平行四边形.
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
即∠DOC=90°，
∴四边形ODEC是矩形.
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的判定得出四边形ODEC是平行四边形.根据菱形的性质求出∠DOC=90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证.
10．【答案】（1）解：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）解：连接DF，
∵AF∥CD，AF=CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵△AEF≌△DEB，
∴BE=FE，
∵AE=DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB，
∵AB=AC，
∴DF=AC，
∴四边形ADCF是矩形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）由AF∥BC得∠AFE=∠EBD，继而结合∠EAF=∠EDB、AE=DE即可判定全等；（2）根据AB=AC，且AD是BC边上的中线可得∠ADC=90°，由四边形ADCF是矩形可得答案.
11．【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图
∵将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝又无重叠的四边形EFGH，
∴∠A=∠ENH=∠D=∠GMF=90°，∠AEH=∠HEN，∠NEF=∠BEF，AE=EN=BE，AH=HN，HD=HM
∴AB=2EN
∵∠AEH+∠HEN+∠NEF+∠BEF=180°，
∴∠HEF=90°，
同理可证∠EFG=∠HGF=90°
∴四边形EHGF是矩形，
∴EH=FG，EH∥FG
∴∠EHN=∠MFG
在△HEN和△FGM中
∴△HEN≌△FGM（AAS）
∴HN=FM=AH
HF=HN+MN+FM=AH+MN+HN=AH+HM=AH+HD=AD
在Rt△HEF中，EH=3，EF=4
∴
∴AD=5；
∵
∴5EN=3×4
解之：
∴
∴，
∴AD：AB=25：24.
故答案为：A.
【分析】利用折叠的性质，易证AE=EN=BE，AH=HN，HD=HM，∠HEF=∠EFG=∠HGF=90°，利用矩形的判定定理可证得四边形EHGF是矩形，利用矩形的性质可得到EH=FG，EH∥FG，从而可推出∠EHN=∠MFG，再利用AAS证明△HEN≌△FGM，利用全等三角形的对应边相等，可得到HN=FM=AH，继而可以推出AD=HF，利用勾股定理可得到AD的长；然后利用直角三角形的两个面积公式求出EN的长，即可得到AB的长，再求出AD与AB的比值即可。
12．【答案】4
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：设ts后，四边形ABPQ成为矩形。此时BP=3t cm，DQ=2t cm，则AQ=（20-2t） cm .
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=90°，AQ∥BP
∴当AQ=BP时，四边形ABPQ成为矩形。
所以有20-2t=3t
解得t=4
∴最快4s后，四边形ABPQ成为矩形．
【分析】先利用”路程=速度×时间“表示出线段BP、DQ，进而表示出线段AQ；然后利用矩形的判定可得当AQ=BP时，四边形ABPQ成为矩形，由此列出方程解出t值即可。
13．【答案】4.8
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】如图，连接CP，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝ ＝10，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形CFPE是矩形，
∴EF＝CP，
由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝ BC AC＝ AB CP，
即 ×8×6＝ ×10 CP，
解得CP＝4.8．
故答案为：4.8
【分析】连接CP, PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，可得到四边形CFPE为矩形，则EF=CP，当CP⊥AB时有最小值，则求出CP的最小值即可.
14．【答案】12
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，
∴EF∥BD，且EF= BD=3．
同理求得EH∥AC∥GF，且EH=GF= AC=4，
又∵AC⊥BD，
∴EF∥GH，FG∥HE且EF⊥FG．
四边形EFGH是矩形．
∴四边形EFGH的面积=EF EH=3×4=12，即四边形EFGH的面积是12．
故答案是：12．
【分析】根据三角形中位线平行且等于第三边的一半，可得EF∥BD，且EF= BD=3，EH∥AC∥GF，且EH=GF= AC=4，从而利用矩形的判定方法可证四边形EFGH是矩形，由矩形的面积=长×宽计算即得
15．【答案】（1）证明：在 ABCD中，
∵AD∥BC，AD=BC，
∴∠EBC=∠ADF，
由题意知，BE=DF，
在△BEC与DFA中，
，
∴△BEC≌△DFA中（SAS），
∴CE=AF，
同理：AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
（2）解：如下图，
由矩形的性质知OE=OF，OA=OC，由（1）知，要使四边形AECF为矩形即∠EAF是直角即可，这时只需OE=OF=OA=AC=4 cm，
则∠1＝∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°，
∴∠2+∠3=90° ，
即∠EAF=90°，
此时BE=DF=（BD-EF）=×（12-8）=2 cm或BE=DF=12-2=10 cm.
即t=2或t=10时，四边形AECF为矩形．
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证出四边形AECF为平行四边形；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得OE=OF=OA=AC=4 cm，再根据等腰三角形的性质求BE的长即可. 注意分两种情况.
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