初中数学浙教版九年级上册1.3 二次函数的性质 基础巩固训练
一、与坐标轴的交点
1．（2019九下·萧山开学考）二次函数y=(x+1)2，与x轴交点坐标为（ ）
A．（—1,0） B．（1,0） C．（0，—1） D．（0,1）
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解： ∵y=(x+1)2，
令y=0，x=-1，
∴ 与x轴交点坐标 为（-1，0）.
故答案为：A.
【分析】令y=0即可求得二次函数与x轴交点坐标.
2．（2019九上·龙山期末）若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点（a＋b，ac）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】观察二次函数的图象，开口向上可知a>0，对称轴在y轴的左侧，可知a与b同号，
即b>0，
与y轴的交点在负半轴，可知c<0，
所以a+b>0，ac<0，
根据平面直角坐标系中各象限内的点的坐标特征得到（a+b，ac）在第四象限。
故答案为：D
【分析】此题主要考查二次函数的性质，由二次函数在平面直角坐标系的图象可以判断出a，b，c的符号，得到a+c，ac的取值范围，再根据平面直角坐标系中点的坐标特征即可判断出点（a+b，ac）所在的象限。
3．（2019九上·嘉兴期末）下列二次函数的图象与x轴没有交点的是（ ）
A．y=-3x2-4x B．y=x2-3x-4 C．y=x2-6x+9 D．y=2x2+4x+5
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：A、b2-4ac=16-4×（-3）×0=16＞0，因此此函数的图象与x轴有两个交点，故A不符合题意；
B、b2-4ac=9-4×（-3）×1=21＞0，因此此函数的图象与x轴有两个交点，故A不符合题意；
C、b2-4ac=36-4×1×9=0，因此此函数的图象与x轴有两个相同的交点，故C不符合题意；
D、b2-4ac=16-4×2×5=-24＜0，因此此函数的图象与x轴没有交点，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】分别求出各选项中b2-4ac的值，再根据b2-4ac＜0时，二次函数的图象与x轴没有交点，即可证得答案。
4．（2019·台州）已知函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（-2，4）
（1）求b，c满足的关系式
（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式
（3）若该函数的图象不经过第三象限，当-5sx≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值
【答案】（1）解：将点（-2，4）代入y=x2+bx+c，得4=（-2）2-2b+c，∴c=2b
∴b，c满足的关系式是c=2b
（2）解：把c=2b代入y=x2+bx+c，得y=x2+bx+2b，
∵顶点坐标是（m，n）
∴n=m2+bm+2b且m=，即b=-2m
∴n=m2+(-2m)m+2(-2m)=-m2-4m
∴n关于m的函数解析式为n=-m2-4m
（3）y=x2+bx+2b=（x+）2-+2b，
对称轴x=-，
当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c=0；
此时y=x2，当-5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，
∴最大值与最小值之差为25；（舍去）
当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，
∴0≤b≤8，
∴-4≤x=≤0,
当-5≤x≤1时，函数有最小值-+2b，
当-5≤-＜-2时，函数有最大值1+3b，
当-2＜-≤1时，函数有最大值25-3b；
函数的最大值与最小值之差为16，
当最大值1=3b时，1+3b+-2b=16，
∴b=6或b=-10，
∵4≤b≤8，
∴b=6；
当最大值25-3b时，25-3b+-2b=16，
∴b=2或b=18,
∵2≤b≤4,
∴b=2;
综上所述b=2或b=6.
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）将点（-2，4）代入函数解析式即可得出b、c满足的关系式.（2）将（1）中得到的c=2b代入函数解析式得y=x2+bx+2b，可知对称轴m=- ，且n=m2+bm+2b，即n=m2+（-2m）m+2（-2m）=-m2-4m，从而可得n关于m的函数解析式.（3） y=x2+bx+2b=（x+）2-+2b， 当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c=0； 此时y=x2 ， 最大值与最小值之差为25 ； 当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0， 得0≤b≤8，求-5≤x≤1 、 -5≤-＜-2 、 -2＜-≤1 三种情况下的函数最大值，再当最大值1=3b或25-3b时，求出b的值。
二、增减性
5．已知抛物线y=﹣2x2﹣x+6．
（1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；
（2）x取何值时，y＜0？
【答案】（1）解：y=﹣2x2﹣x+6=﹣2（x2+ x+ ）+ +6=﹣2（x+ ）2+ ，
顶点坐标（﹣ ， ），
对称轴是直线x=﹣
（2）解：令y=0，即﹣2x2﹣x+6=0，
解得x=﹣2或 ，
∵抛物线开口向下，
∴当x＜﹣2或x＞ 时，y＜0
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）配方得到顶点式，然后根据y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，由此确定顶点坐标和对称轴即可；
（2）先令y=0，求出x的值，再根据抛物线的开口方向分析即可.
6．在给定坐标系内，画出函数y=（x﹣1）2的图象，并指出y随x增大而减小的x的取值范围．
【答案】解：如图，当x≤1，y随x的增大而减小．
【知识点】描点法画函数图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】利用描点法可画出函数图象，根据二次函数的性质求解即可．
7．（2019·无锡）某个函数具有性质：当 >0时， 随 的增大而增大，这个函数的表达式可以是 （只要写出一个符合题意的答案即可）
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】某个函数具有性质：当 >0时， 随 的增大而增大，这个函数的表达式可以是 ，
故答案为： (答案不唯一).
【分析】开放性命题，答案不唯一：可以写一次函数，根据一次函数的性质与系数的关系只要一次函数的自变量的系数大于0即可；也可以写反比例函数，根据反比例函数的系数与性质的关系，只要反比例函数的比例系数小于0即可；还可以是二次函数，根据二次函数的系数与性质的关系，二次项系数大于0，且二次项系数与一次项系数符号相反即可。
8．（2019·兰州）已知点A(1，y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上，则下列结论正确的是（ ）
A．2>y1>y2 B．2>y2 >y1 C．y1>y2>2 D．y2 >y1>2
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵ y=-(x+1)2+2的顶点坐标为（-1,2），对称轴是直线x=-1，二次项系数a＜0，
∴当x=-1的时候函数有最大值y=2，当x＞-1的时候y随x的增大而减小，
∵ A(1，y1),B(2,y2)
∴2＞1＞-1，
∴ 2>y1>y2 。
故答案为：A。
【分析】根据二次函数的解析式的性质与系数的关系得出：当x=-1的时候函数有最大值y=2，当x＞-1的时候y随x的增大而减小，从而根据A,B两点的横坐标即可判断得出答案。
9．（2019九下·象山月考）已知（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在二次函数y＝﹣x2+4x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵二次函数y=-x2+4x+c=-（x-2）2+c+4，
∴对称轴为x=2，
∵a＜0，
∴x＜2时，y随x增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，
∵（-1，y1），（2，y2），（3，y3）在二次函数y=-x2+4x+c的图象上，且-1＜2＜3，|-1-2|＞|2-3|，
∴y1＜y3＜y2．
故答案为：D．
【分析】将二次函数的解析式配成顶点式，得出其对称轴直线x=2，有二次项的系数小于0，图象开口向下，然后算出三点到对称轴的水平距离的大小，根据函数性质，由图象到对称轴的距离越大函数值越小即可得出结论。
10．（2019九上·惠山期末）若点M（﹣1，y1），N（1，y2），P（ ）都在抛物线y=﹣mx2+4mx+m2+1（m＞0）上，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．2＜y1＜y3
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】观察二次函数的图象可知：y1＜y3＜y2．
故答案为：B.
【分析】先画出图象，利用图像直接写出结果.
三、最值
11．（2019·哈尔滨）二次函数y=-（x-6）2+8的最大值是 。
【答案】8
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵ 二次函数y=-（x-6）2+8
∵a=-1＜0，
∴抛物线的开口向下，函数有最大值
∵抛物线的顶点坐标为（6,8）
∴当x=6时最大值为8
故答案为：8
【分析】由已知函数解析式可知a＜0，抛物线的开口向下，函数有最大值，利用函数解析式（顶点式）就可得出它的最大值。
12．（2019·荆州）二次函数 的最大值是 .
【答案】7
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ，
即二次函数 的最大值是7。
故答案为：7。
【分析】利用配方法将抛物线的解析式配成顶点式，根据抛物线的性质即可得出答案。
13．（2018九上·绍兴月考）已知函数y=x2+4x-5，试求在-3 x 0范围内函数的最大值和最小值(要求画出图形，观察图象得出结论)
【答案】解：如图，当x=-2时，最小值为-9；当x=0时，最大值为-5
【知识点】二次函数的最值；描点法画函数图象
【解析】【分析】二次函数 的对称轴为直线x=-2，且二次项系数为1，即当x=-2时，y有最小值；观察图象可知在-3≤x≤0范围内，当取x=0时，y有最大值.
14．当k分别取0，1时，函数y＝(1－k)x2－4x＋5－k都有最小值吗？写出你的判断，并说明理由．
【答案】解：当k＝0时，y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，
所以当k＝0时，函数有最小值1，
当k＝1时，y＝－4x＋4，此时函数无最小值.
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】将k=0、1分别代入求出函数解析式，再根据二次函数的性质，可解答。
15．（2019·温州）已知二次函数
，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2 B．有最大值0，有最小值﹣1
C．有最大值7，有最小值﹣1 D．有最大值7，有最小值﹣2
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】∵由
知，该函数图象对称轴为x=2，开口向上，
当x=2，最小值为-2；
当x=-1时，y=7；当x=3时，y=-1
答案为：D。
【分析】先配方，∵对称轴x=2，在给定定义域范围内，故最小值可求。图像张口向上，故离图像对称轴最远的点为最大值。
1 / 1初中数学浙教版九年级上册1.3 二次函数的性质 基础巩固训练
一、与坐标轴的交点
1．（2019九下·萧山开学考）二次函数y=(x+1)2，与x轴交点坐标为（ ）
A．（—1,0） B．（1,0） C．（0，—1） D．（0,1）
2．（2019九上·龙山期末）若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点（a＋b，ac）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2019九上·嘉兴期末）下列二次函数的图象与x轴没有交点的是（ ）
A．y=-3x2-4x B．y=x2-3x-4 C．y=x2-6x+9 D．y=2x2+4x+5
4．（2019·台州）已知函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（-2，4）
（1）求b，c满足的关系式
（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式
（3）若该函数的图象不经过第三象限，当-5sx≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值
二、增减性
5．已知抛物线y=﹣2x2﹣x+6．
（1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；
（2）x取何值时，y＜0？
6．在给定坐标系内，画出函数y=（x﹣1）2的图象，并指出y随x增大而减小的x的取值范围．
7．（2019·无锡）某个函数具有性质：当 >0时， 随 的增大而增大，这个函数的表达式可以是 （只要写出一个符合题意的答案即可）
8．（2019·兰州）已知点A(1，y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上，则下列结论正确的是（ ）
A．2>y1>y2 B．2>y2 >y1 C．y1>y2>2 D．y2 >y1>2
9．（2019九下·象山月考）已知（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在二次函数y＝﹣x2+4x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
10．（2019九上·惠山期末）若点M（﹣1，y1），N（1，y2），P（ ）都在抛物线y=﹣mx2+4mx+m2+1（m＞0）上，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．2＜y1＜y3
三、最值
11．（2019·哈尔滨）二次函数y=-（x-6）2+8的最大值是 。
12．（2019·荆州）二次函数 的最大值是 .
13．（2018九上·绍兴月考）已知函数y=x2+4x-5，试求在-3 x 0范围内函数的最大值和最小值(要求画出图形，观察图象得出结论)
14．当k分别取0，1时，函数y＝(1－k)x2－4x＋5－k都有最小值吗？写出你的判断，并说明理由．
15．（2019·温州）已知二次函数
，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2 B．有最大值0，有最小值﹣1
C．有最大值7，有最小值﹣1 D．有最大值7，有最小值﹣2
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解： ∵y=(x+1)2，
令y=0，x=-1，
∴ 与x轴交点坐标 为（-1，0）.
故答案为：A.
【分析】令y=0即可求得二次函数与x轴交点坐标.
2．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】观察二次函数的图象，开口向上可知a>0，对称轴在y轴的左侧，可知a与b同号，
即b>0，
与y轴的交点在负半轴，可知c<0，
所以a+b>0，ac<0，
根据平面直角坐标系中各象限内的点的坐标特征得到（a+b，ac）在第四象限。
故答案为：D
【分析】此题主要考查二次函数的性质，由二次函数在平面直角坐标系的图象可以判断出a，b，c的符号，得到a+c，ac的取值范围，再根据平面直角坐标系中点的坐标特征即可判断出点（a+b，ac）所在的象限。
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：A、b2-4ac=16-4×（-3）×0=16＞0，因此此函数的图象与x轴有两个交点，故A不符合题意；
B、b2-4ac=9-4×（-3）×1=21＞0，因此此函数的图象与x轴有两个交点，故A不符合题意；
C、b2-4ac=36-4×1×9=0，因此此函数的图象与x轴有两个相同的交点，故C不符合题意；
D、b2-4ac=16-4×2×5=-24＜0，因此此函数的图象与x轴没有交点，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】分别求出各选项中b2-4ac的值，再根据b2-4ac＜0时，二次函数的图象与x轴没有交点，即可证得答案。
4．【答案】（1）解：将点（-2，4）代入y=x2+bx+c，得4=（-2）2-2b+c，∴c=2b
∴b，c满足的关系式是c=2b
（2）解：把c=2b代入y=x2+bx+c，得y=x2+bx+2b，
∵顶点坐标是（m，n）
∴n=m2+bm+2b且m=，即b=-2m
∴n=m2+(-2m)m+2(-2m)=-m2-4m
∴n关于m的函数解析式为n=-m2-4m
（3）y=x2+bx+2b=（x+）2-+2b，
对称轴x=-，
当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c=0；
此时y=x2，当-5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，
∴最大值与最小值之差为25；（舍去）
当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，
∴0≤b≤8，
∴-4≤x=≤0,
当-5≤x≤1时，函数有最小值-+2b，
当-5≤-＜-2时，函数有最大值1+3b，
当-2＜-≤1时，函数有最大值25-3b；
函数的最大值与最小值之差为16，
当最大值1=3b时，1+3b+-2b=16，
∴b=6或b=-10，
∵4≤b≤8，
∴b=6；
当最大值25-3b时，25-3b+-2b=16，
∴b=2或b=18,
∵2≤b≤4,
∴b=2;
综上所述b=2或b=6.
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）将点（-2，4）代入函数解析式即可得出b、c满足的关系式.（2）将（1）中得到的c=2b代入函数解析式得y=x2+bx+2b，可知对称轴m=- ，且n=m2+bm+2b，即n=m2+（-2m）m+2（-2m）=-m2-4m，从而可得n关于m的函数解析式.（3） y=x2+bx+2b=（x+）2-+2b， 当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c=0； 此时y=x2 ， 最大值与最小值之差为25 ； 当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0， 得0≤b≤8，求-5≤x≤1 、 -5≤-＜-2 、 -2＜-≤1 三种情况下的函数最大值，再当最大值1=3b或25-3b时，求出b的值。
5．【答案】（1）解：y=﹣2x2﹣x+6=﹣2（x2+ x+ ）+ +6=﹣2（x+ ）2+ ，
顶点坐标（﹣ ， ），
对称轴是直线x=﹣
（2）解：令y=0，即﹣2x2﹣x+6=0，
解得x=﹣2或 ，
∵抛物线开口向下，
∴当x＜﹣2或x＞ 时，y＜0
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）配方得到顶点式，然后根据y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，由此确定顶点坐标和对称轴即可；
（2）先令y=0，求出x的值，再根据抛物线的开口方向分析即可.
6．【答案】解：如图，当x≤1，y随x的增大而减小．
【知识点】描点法画函数图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】利用描点法可画出函数图象，根据二次函数的性质求解即可．
7．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】某个函数具有性质：当 >0时， 随 的增大而增大，这个函数的表达式可以是 ，
故答案为： (答案不唯一).
【分析】开放性命题，答案不唯一：可以写一次函数，根据一次函数的性质与系数的关系只要一次函数的自变量的系数大于0即可；也可以写反比例函数，根据反比例函数的系数与性质的关系，只要反比例函数的比例系数小于0即可；还可以是二次函数，根据二次函数的系数与性质的关系，二次项系数大于0，且二次项系数与一次项系数符号相反即可。
8．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵ y=-(x+1)2+2的顶点坐标为（-1,2），对称轴是直线x=-1，二次项系数a＜0，
∴当x=-1的时候函数有最大值y=2，当x＞-1的时候y随x的增大而减小，
∵ A(1，y1),B(2,y2)
∴2＞1＞-1，
∴ 2>y1>y2 。
故答案为：A。
【分析】根据二次函数的解析式的性质与系数的关系得出：当x=-1的时候函数有最大值y=2，当x＞-1的时候y随x的增大而减小，从而根据A,B两点的横坐标即可判断得出答案。
9．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵二次函数y=-x2+4x+c=-（x-2）2+c+4，
∴对称轴为x=2，
∵a＜0，
∴x＜2时，y随x增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，
∵（-1，y1），（2，y2），（3，y3）在二次函数y=-x2+4x+c的图象上，且-1＜2＜3，|-1-2|＞|2-3|，
∴y1＜y3＜y2．
故答案为：D．
【分析】将二次函数的解析式配成顶点式，得出其对称轴直线x=2，有二次项的系数小于0，图象开口向下，然后算出三点到对称轴的水平距离的大小，根据函数性质，由图象到对称轴的距离越大函数值越小即可得出结论。
10．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】观察二次函数的图象可知：y1＜y3＜y2．
故答案为：B.
【分析】先画出图象，利用图像直接写出结果.
11．【答案】8
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵ 二次函数y=-（x-6）2+8
∵a=-1＜0，
∴抛物线的开口向下，函数有最大值
∵抛物线的顶点坐标为（6,8）
∴当x=6时最大值为8
故答案为：8
【分析】由已知函数解析式可知a＜0，抛物线的开口向下，函数有最大值，利用函数解析式（顶点式）就可得出它的最大值。
12．【答案】7
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ，
即二次函数 的最大值是7。
故答案为：7。
【分析】利用配方法将抛物线的解析式配成顶点式，根据抛物线的性质即可得出答案。
13．【答案】解：如图，当x=-2时，最小值为-9；当x=0时，最大值为-5
【知识点】二次函数的最值；描点法画函数图象
【解析】【分析】二次函数 的对称轴为直线x=-2，且二次项系数为1，即当x=-2时，y有最小值；观察图象可知在-3≤x≤0范围内，当取x=0时，y有最大值.
14．【答案】解：当k＝0时，y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，
所以当k＝0时，函数有最小值1，
当k＝1时，y＝－4x＋4，此时函数无最小值.
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】将k=0、1分别代入求出函数解析式，再根据二次函数的性质，可解答。
15．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】∵由
知，该函数图象对称轴为x=2，开口向上，
当x=2，最小值为-2；
当x=-1时，y=7；当x=3时，y=-1
答案为：D。
【分析】先配方，∵对称轴x=2，在给定定义域范围内，故最小值可求。图像张口向上，故离图像对称轴最远的点为最大值。
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