初中数学浙教版七年级上册第六章 图形的初步知识 单元检测(提高篇）
一、单选题
1．（2019七上·咸阳月考）几个同学在公园里玩、发现一个源亮的“古董”、甲：它有10个面乙：它由24条棱丙：它有8个面是正方形、2个面是多边形丁：如果把它们的侧面展开、是一个长方形、这个长方形有八种颜色、挺好看，通过这四个同学的对话、从几何体的名称来看、这个“古董”的形状可能是（ ）
A．八棱柱 B．十棱柱 C．二十四棱柱 D．棱锥
【答案】A
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【解答】解：根据甲：它有10个面；乙：它有24条棱；丙：它有8个面是正方形，2个面是多边形；丁：如果把它的侧面展开，是一个长方形.可知它符合棱柱的特征，而且是一个八棱柱.
故答案为：A.
【分析】由甲的说法可知，有8个侧面2个底面，由乙的说法可知，侧面是8个正方形，底面是多边形，再根据丁的说法，可得到几何体的形状。
2．用边长为1的正方形纸板，制成一副七巧板（如图①），将它拼成“小天鹅”图案（如图②），其中阴影部分的面积为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】七巧板
【解析】【解答】解：1×1÷2﹣ × ÷2
= ﹣
=
∴阴影部分的面积为 ．
故选：D．
【分析】根据图示，可得阴影部分的面积等于边长为1的正方形的面积的一半减去两条直角边的长度都是 的直角三角形的面积．
3．（2019七上·深圳期末）下列各数中，正确的角度互化是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】常用角的单位及换算
【解析】【解答】解：A、63.5°=63°30′≠63°50′，故A不符合题意；
B、23.48°=23°28′48″≠23°12′36″，故B不符合题意；
C、18.33°=18°19′48″≠18°18′18″，故C不符合题意；
D、22.25°=22°15′，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据大单位化小单位乘以进率，小单位化单位除以进率，可得答案．
4．如图，图中小于180°的角共有（ ）
A．7个 B．9个 C．8个 D．10个
【答案】B
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：有两种方法：
（Ⅰ）先数出以OA为一边的角，再数出以OB、OC、OD、OE为一边的角，把他们加起来．
（Ⅱ）可根据公式： 来计算，
其中，n指从点O发出的射线的条数．
图中角共有4+3+2+1=10个，
根据题意要去掉平角，所以图中小于180°的角共有10﹣1=9个．
故选B．
【分析】按一定的规律数即可．
5．（2019七上·西安月考）在数轴上，点M、N分别表示数m，n. 则点M，N 之间的距离为|m-n|.已知点A，B，C，D在数轴上分别表示的数为a，b，c，d.且|a-c|=|b-c|= |d-a|=1 (a≠b)，则线段BD的长度为（ ）
A．3.5 B．0.5 C．3.5或0.5 D．4.5或0.5
【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；线段的计算
【解析】【解答】解：∵|a﹣c|=|b﹣c|=1，
∴点C在点A和点B之间，点A与点C之间的距离为1，点B与点C之间的距离为1，
∵ |d﹣a|=1，
∴|d﹣a|=2.5，
∴点D与点A之间的距离为2.5，
如图：
线段BD的长度为DA+AC+CB=2.5+1+1=4.5
如图：线段BD的长度为DA -AB=2.5-1-1=0.5
故答案为：D.
【分析】由 |a-c|=|b-c| 可得点C在点A和点B之间，由 |d-a|=1 可得点D与点A之间的距离为2.5，根据点D在点A左侧和右侧可分类讨论即可。
6．下列语句，正确的是（ ）．
A．直线可表示一个平角;
B．平角的两边向左右无限延伸;
C．延长线段AB至点C，则∠ACB=180°;
D．在一条直线上顺次取三点A、B、C，则∠ABC=180°
【答案】D
【知识点】角的概念
【解析】【解答】A. 一个角由有公共端点的两射线组成，一个平角的两边在一条直线上，则一条直线不是一个平角，所以错误；B．角的两边是射线，射线是无限长的，不能说无限延伸射线，故说法错误； C．角的两边应该是射线，延长线段AB至点C，AB和BC都是线段，故错误; D . 在一条直线上顺次取三点A、B、C,则∠ABC是平角，等于180°，正确；故答案选D.
【分析】根据角的定义意义进行分析，然后排出错误的答案.
7．（2019七上·黔南期末）在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD， ∠AOC=30°时，∠BOD度数为（ ）
A．60° B．120° C．60°或90° D．60°或120°
【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：①如图1，当OC、OD在AB的一旁时，
∵OC⊥OD，
∴∠DOC=90°，
∵∠AOC=30 ，
∴∠BOD=180 ∠COD ∠AOC=60
②如图2，当OC、OD在AB的两旁时，
∵OC⊥OD，∠AOC=30 ，
∴∠AOD=60 ，
∴∠BOD=180 ∠AOD=120 .
综上所述， ∠BOD度数为 60°或120°
故答案为：D.
【分析】由于此题没有图形，故需要分OC、OD在AB的一旁时与OC、OD在AB的两旁时，两种情况分别根据垂直的定义及角的和差、平角的定义即可算出答案。
8．两个锐角的和（ ）．
A．必定是锐角;
B．必定是钝角;
C．必定是直角;
D．可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角
【答案】D
【知识点】角的运算；角的大小比较
【解析】【解答】当α=10°，β=20°时，α＋β=30°， 即两锐角的和为锐角． 当α=30°， β=60°时， α＋β=90°， 即两锐角的和为直角． 当α=60°，β=70°时，α＋β=130°，即两锐角的和为钝角．综上所述，两锐角的和可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角．故选D．
【分析】在0度到90度之间的叫锐角，可以用赋值法讨论．
9．（2020七上·海曙期末）如图，已知A，O，B在一条直线上，∠1是锐角，则∠1的余角是（ ）
A． B． C． D．∠2-∠1
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1的余角为90°-∠1，
∠1=180°-∠2，
∴90°-∠1=90°-（180°-∠2）
=∠2-90°
=∠2-（∠1+∠2）
=∠2-∠1
=（∠2-∠1），
故答案为：C .
【分析】根据余角的性质，先把∠1的余角表示出来，然后根据∠1和∠2互补的关系，把∠1用含∠2的代数式表示，再把90°转换成∠1和∠2之和的一半即可得出结果.
10．（2019七下·武汉月考）如图所示，某公司有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB＝100米，BC＝200米.为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（ ）
A．点A B．点B C．A，B之间 D．B，C之间
【答案】A
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短
【解析】【解答】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和＝15×100+10×300＝4500（米），
②以点B为停靠点，则所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米），
③以点C为停靠点，则所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米），
④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）＝4500+5m＞4500，
⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200﹣n）＝5000+35n＞4500.
∴该停靠点的位置应设在点A；
故答案为：A.
【分析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理.
二、填空题
11．（2020七上·罗湖期末）如图，铁路上依次有A、B、C、D四个火车站，相邻两站之间的距离各不相同，则从A到B售票员应准备 种不同的车票.
【答案】6
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】解：由图可知图上的线段为AC、AD、AB、CD、CB、DB共6条，所以共需6种，
故答案为：6.
【分析】先找出所有线段的条数，再根据车票有顺序，求解即可.
12．（2018七上·龙江期末）点A、B、C是同一直线上的三点，并且AB=10cm，BC=6cm.若点M是AB中点，点N是BC中点，则MN的长为 cm.
【答案】2或8
【知识点】线段的中点
【解析】【解答】(1)当C在线段AB延长线上时，如图1，
∵M、N分别为AB、BC的中点，
∴MN=8
(2)当C在AB上时，如图2，
同理可知BM=5，BN=3，
∴MN=2.
所以MN=8或2，
故答案为：8或2.
【分析】考虑C点在线段AB延长线上和在AB上两个情况，利用中点的性质计算。
13．（2019七下·郑州期中）一个角的余角的 3 倍比它的补角的 2 倍少 110°，则这个角的度数为 .
【答案】20°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角是x°，根据题意，得
3（90-x）=2（180-x）-110，
解得x=20.
即这个角的度数为20°.
故答案为：20°.
【分析】若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补.结合已知条件列方程求解.
14．（2020七下·青岛期中）在同一平面内，两个角的两边分别垂直，其中一个角的度数是另一个角的 倍少 ，那么这两个度数分别是 （只写数字，不写单位）．
【答案】129°，51°或12°，12°
【知识点】垂线；根据数量关系列方程；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：设另一个角为α，则这个角是3α-24°，
∵两个角的两边分别垂直，
∴α+3α-24°=180°或α=3α-24°，
解得α=51°或α=12°，
∴3α-24°=129°或3α-24°=12°，
这两个角是129°，51°或12°，12°．
故答案为：129°，51°或12°，12°．
【分析】设另一个角为α，则这个角是3α-24°，然后根据两边分别垂直的两个角相等或互补列式计算即可得解．
15．（2019七上·椒江期末）已知在同一平面内， ， ，则 ．
【答案】80°或20°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：①如图：
∵∠AOB=50°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC，
=50°-30°，
=20°；
②如图：
∵∠AOB=50°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC，
=50°+30°，
=80°；
综上所述：∠AOC的度数为20°或80°.
故答案为：20°或80°.
【分析】根据题意画出两种情况 的图形，根据图形结合角的计算即可求得答案.
16．以点O为端点引3条射线时，共有 个角，引4条射线时，共有 个角，以点O为端点引n条射线时，共有 个角（用含n的字母表示）．
【答案】3；6；
【知识点】角的概念
【解析】【解答】解：以点O为端点引3条射线时，共有1+2=3个角；
引4条射线时，共有1+2+3=6个角；
以点O为端点引n条射线时，共有1+2+3+…+n﹣1= 个角，
故答案为：3、6、 ．
【分析】有公共顶点的n条射线，可构成 n（n﹣1）个角，依据规律回答即可．
三、解答题
17．（2019七上·防城港期末）如图，已知四点 A，B，C，D，请按要求画图
①画直线 AB，射线 CD 交于点 M
②连接 AC，BD 交于点 N
③连接 MN，并延长至点 E，使 NE＝NM.
【答案】解：如图所示：
【知识点】直线、射线、线段；线段的中点
【解析】【分析】① 根据直线没有端点，故作直线AB时两端延伸出头即可；由于射线只有一个端点，而且表示端点的字母都写成前面，故作射线CD的时候，只需要D端延伸出头即可，两线的交点就是点M； ② 连接AC、BD ，就是作线段AC、BD ，由于线段有两个端点，故两端都不能出头，两条线段的交点就是点N； ③ 连接 MN，就是作线段MN，由于延长具有方向性，故延长MN就是N端延长出去至点E，使 NE＝NM 。
18．（1）一条直线可以把平面分成两个部分（或区域），如图，两条直线可以把平面分成几个部分？三条直线可以把平面分成几个部分？试画图说明．
（2）四条直线最多可以把平面分成几个部分？试画出示意图，并说明这四条直线的位置关系．
（3）平面上有n条直线，每两条直线都恰好相交，且没有三条直线交于一点，处于这种位置的n条直线分一个平面所成的区域最多，记为 ，试研究 与n之间的关系．
【答案】（1）解：如图1，两条直线因其位置不同，可以分别把平面分成3个或4个区域；
如图2，三条直线因其位置关系的不同，可以分别把平面分成4个、6个和7个区域．
（2）解：如图3，四条直线最多可以把平面分成11个区域，此时这四条直线位置关系是两两都相交，且无三线共点．
（3）解：平面上n条直线两两相交，且没有三条直线交于一点，把平面分成 个区域，平面本身就是一个区域，当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，……由此可以归纳公式
【知识点】探索图形规律；平面中直线位置关系；相交线
【解析】【分析】（1）两条直线的位置关系要么平行要么相交，当两条直线平行的时候把平面分成三个区域，当两条直线相交的时候把平面分成4个区域；三条直线的位置关系有三种，①三条互相平行的时候把平面分割成4个区域，②当其中的两条平行，一条与它们相交的时候把平面分割成6个区域，③当三条直线互不平行的时候，把平面分割成7个区域或6个区域；
（2）由（1）可知几条直线任意两条都不平行，且任意两条都相交，任意三条都不相交于同一点的时候将平面分割的区域最多，从而画出图形得出答案；
（3）平面上n条直线两两相交，且没有三条直线交于一点，把平面分成 an个区域，平面本身就是一个区域，分别算出一条直线，两条直线，三条直线，四条直线的时候，将平面分成的区域个数，通过观察发现规律从而得出通用公式。
19．（2018七上·阿城期末）
（1）如图，点C在线段AB上，点M，N分别是线段AC，BC的中点．
①若AC= 8 cm，CB= 6 cm，求线段MN的长；
②若AC+CB=a cm，直接写出线段MN的值．
（2）若C在线段AB的延长线上，且满足AC－BC = b cm，M，N分别为线段AC，BC的中点，直接写出线段MN= cm．
【答案】（1）①解：因为点M，N分别是线段AC，BC的中点，
所以
因为AC=8cm，CB=6cm，
所以MC=4cm，CN=3cm，
所以MN=7cm
②MN=
（2）
【知识点】线段的中点
【解析】【解答】解：（1）②MN=CM+CN= （AB+BC）= ；
（2）MN= ，理由如下：
如图：
由M、N分别是AC、BC的中点，
得MC= AC，CN= BC．
由线段的和差，得MN=MC﹣CN= AC﹣ BC= （AC﹣BC）= cm.
【分析】（1）根据中点的性质，结合图像，求出MN的值。
（2）可画出图，结合图像，根据中点的性质和线段的和差关系，得出MN与b的关系。
20．（2020七上·安图期末）若 的度数是 的度数的k倍，则规定 是 的k倍角.
（1）若∠M=21°17'，则∠M的5倍角的度数为；
（2）如图1，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，若∠AOC=∠COE，请直接写出图中∠AOB的所有3倍角；
（3）如图2，若∠AOC是∠AOB的5倍角，∠COD是∠AOB的3倍角，且∠AOC和∠BOD互为补角，求∠AOD的度数.
【答案】（1）解： ；
故答案为： .
（2）∠AOD，∠BOE
（3）解：设∠AOB=x，则∠AOC=5x，∠COD=3x.
∴∠BOC=4x，
∵∠AOC和∠BOD互为补角，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠BOC+∠COD=180°，
即5x+7x=180°，
解得：x=15°.
∴∠AOD=8x=120°.
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（2）解：∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOC=∠COE，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，
∴∠AOD=3∠AOB，∠BOE=3∠AOB；
∴图中∠AOB的所有3倍角有：∠AOD，∠BOE
【分析】（1）根据题意，列式计算即可得到答案；（2）由角平分线性质定理，结合∠AOC=∠COE，得到∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，即可得到∠AOD=3∠AOB，∠BOE=3∠AOB；（3）设∠AOB=x，则∠AOC=5x，∠BOC=4x，∠COD=3x，则利用∠AOC和∠BOD互为补角的关系，列出方程，即可得到x的值，然后得到答案.
21．如图
（1）观察思考
如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；
（2）模型构建
如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；
（3）拓展应用
8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛？
请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．
【答案】（1）解：∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，以点D为左端点的线段有线段DB，∴共有3+2+1=6条线段
（2）解： ，
理由：设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，
则x=（m-1）+（m-2）+（m-3）+…+3+2+1，
∴倒序排列有x=1+2+3+…+（m-3）+（m-2）+（m-1），
∴2x= =m（m-1），
∴x=
（3）解：把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段，
直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，
因此一共要进行 场比赛
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）线段AB上共有4个点A、B、C、D，得到线段共有4×（4-1）÷2条；（2）根据规律得到该线段上共有m（m-1）÷2条线段；（3）由每两位同学之间进行一场比赛，得到要进行8×（8-1）÷2场比赛.
22．（2019七上·吉林期末）点A、B在数轴上表示的数如图所示，动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒1个单位长度的速度向点B运动到点B停止运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动设点P运动的时间为t秒，P、Q两点的距离为d（d≥0）个单位长度．
（1）当t＝1时，d＝ ；
（2）当P、Q两点中有一个点恰好运动到线段AB的中点时，求d的值；
（3）当点P运动到线段AB的3等分点时，直接写出d的值；
（4）当d＝5时，直接写出t的值．
【答案】（1）3
（2）解：线段AB的中点表示的数是： ＝1．
①如果P点恰好运动到线段AB的中点，那么AP＝ AB＝3，t＝ ＝3，
BQ＝2×3＝6，即Q运动到A点， 此时d＝PQ＝PA＝3；
②如果Q点恰好运动到线段AB的中点，那么BQ＝ AB＝3，t＝ ，
AP＝1× ＝ ，
则d＝PQ＝AB﹣AP﹣BQ＝6﹣ ﹣3＝ ．
故d的值为3或
（3）解：当点P运动到线段AB的3等分点时，分两种情况：
①如果AP＝ AB＝2，那么t＝ ＝2，
此时BQ＝2×2＝4，P、Q重合于原点，
则d＝PQ＝0；
②如果AP＝ AB＝4，那么t＝ ＝4，
∵动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动，
∴此时BQ＝6，即Q运动到A点，
∴d＝PQ＝AP＝4．
故所求d的值为0或4
（4）解：当d＝5时，分两种情况： ①P与Q相遇之前， ∵PQ＝AB﹣AP﹣BQ， ∴6﹣t﹣2t＝5，
解得t＝ ；
②P与Q相遇之后，
∵P点运动到线段AB的中点时，t＝3，此时Q运动到A点，停止运动，
∴d＝AP＝t＝5．
故所求t的值为 或5．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；线段的中点；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）当t＝1时，求出AP＝1，BQ＝2，根据PQ＝AB﹣AP﹣BQ即可求解；（2）分①P点恰好运动到线段AB的中点；②Q点恰好运动到线段AB的中点两种情况进行讨论；（3）当点P运动到线段AB的3等分点时，分①AP＝ AB；②AP＝ AB两种情况进行讨论；（4）当d＝5时，分①P与Q相遇之前；②P与Q相遇之后两种情况进行讨论．
23．（2020七下·郑州月考）已知：直线AB，CD相交于点O，且OE⊥CD，如图.
（1）过点O作直线MN⊥AB；
（2）若点F是（1）中所画直线MN上任意一点（O点除外），且∠AOC=35°，求∠EOF的度数；
（3）若∠BOD：∠DOA=1：5，求∠AOE的度数.
【答案】（1）解：如图，MN为所求
（2）解：若F在射线OM上，
∵MN⊥AB，OE⊥CD，
∴∠AOC+∠COM=90°，∠EOF+∠COM=90°，
则∠EOF＝∠AOC＝35°；
若F'在射线ON上，
∵MN⊥AB，OE⊥CD，
∴∠DON=∠COM=90°-∠AOC=55°，∠EOD=90°
则∠EOF'＝∠DOE＋∠DON＝145°；
综上所述，∠EOF的度数为35°或145°；
（3）解：∵∠BOD：∠DOA=1：5
∴∠BOD：∠BOC＝1：5，
∴∠BOD＝ ∠COD＝30°，
∴∠AOC＝30°，
又∵EO⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∴∠AOE＝90°＋30°＝120°.
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义即可作图；（2）分F在射线OM上和在射线ON上分别进行求解即可；（3）依据平角的定义以及垂线的定义，即可得到∠AOE的度数.
24．（2019七上·德清期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1：2的两个角的射线，叫做这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图1所示，若∠BOC=2∠AOC，则OC是∠AOB的一条三分线．
（1）如图1所示，OC是∠AOB的一条三分线，且∠BOC>∠AOC，若∠AOB=60°，求∠AOC的度数：
（2）已知∠AOB=90°，如图2所示，若OC，OD是∠AOB的两条三分线．
①求∠COD的度数；
②现以点O为中心，将∠COD顺时针旋转n度得到∠C’DD’，当OA恰好是∠C’OD’的三分线时，求n的值．
【答案】（1）解：如图1，
∵ OC是∠AOB的一条三分线，且∠BOC＞∠AOC，
∴ ∠AOC= ∠AOB，
又∵∠AOB=60°，
∴∠AOC=20°
（2）解：① 如图2，
∵∠AOB=90°，OC，OD是∠AOB的两条三分线，
∴∠COD = ∠AOB =30°；
② 分两种情况：
当OA是∠C′OD＇的三分线，且∠AOD＇＞∠AOC＇时，
∠AOC＇=10°，
∴∠DOC＇=30°-10°=20°，
∴∠DOD＇=20°+30°=50°；
当OA是∠C＇OD＇的三分线，且∠AOD＇＜∠AOC＇时，
∠AOC＇=20°，
∴∠DOC＇=30°-20°=10°，
∴∠DOD＇=10°+30°=40°；
综上所述，n=40°或50°
【知识点】角的运算
【解析】【分析】（1）根据题中给出的角的三分线的定义结合已知条件可得 ∠AOC=∠AOB ，计算即可得出答案.
（2）①根据题中给出的角的三分线的定义结合已知条件 ∠COD =∠AOB，计算即可得出答案；
②根据题意分情况讨论： 当OA是∠C′OD＇的三分线，且∠AOD＇＞∠AOC＇时； 当OA是∠C＇OD＇的三分线，且∠AOD＇＜∠AOC＇时 ；分别结合角的三分线的定义计算即可得出答案.
1 / 1初中数学浙教版七年级上册第六章 图形的初步知识 单元检测(提高篇）
一、单选题
1．（2019七上·咸阳月考）几个同学在公园里玩、发现一个源亮的“古董”、甲：它有10个面乙：它由24条棱丙：它有8个面是正方形、2个面是多边形丁：如果把它们的侧面展开、是一个长方形、这个长方形有八种颜色、挺好看，通过这四个同学的对话、从几何体的名称来看、这个“古董”的形状可能是（ ）
A．八棱柱 B．十棱柱 C．二十四棱柱 D．棱锥
2．用边长为1的正方形纸板，制成一副七巧板（如图①），将它拼成“小天鹅”图案（如图②），其中阴影部分的面积为 （ ）
A． B． C． D．
3．（2019七上·深圳期末）下列各数中，正确的角度互化是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，图中小于180°的角共有（ ）
A．7个 B．9个 C．8个 D．10个
5．（2019七上·西安月考）在数轴上，点M、N分别表示数m，n. 则点M，N 之间的距离为|m-n|.已知点A，B，C，D在数轴上分别表示的数为a，b，c，d.且|a-c|=|b-c|= |d-a|=1 (a≠b)，则线段BD的长度为（ ）
A．3.5 B．0.5 C．3.5或0.5 D．4.5或0.5
6．下列语句，正确的是（ ）．
A．直线可表示一个平角;
B．平角的两边向左右无限延伸;
C．延长线段AB至点C，则∠ACB=180°;
D．在一条直线上顺次取三点A、B、C，则∠ABC=180°
7．（2019七上·黔南期末）在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD， ∠AOC=30°时，∠BOD度数为（ ）
A．60° B．120° C．60°或90° D．60°或120°
8．两个锐角的和（ ）．
A．必定是锐角;
B．必定是钝角;
C．必定是直角;
D．可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角
9．（2020七上·海曙期末）如图，已知A，O，B在一条直线上，∠1是锐角，则∠1的余角是（ ）
A． B． C． D．∠2-∠1
10．（2019七下·武汉月考）如图所示，某公司有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB＝100米，BC＝200米.为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（ ）
A．点A B．点B C．A，B之间 D．B，C之间
二、填空题
11．（2020七上·罗湖期末）如图，铁路上依次有A、B、C、D四个火车站，相邻两站之间的距离各不相同，则从A到B售票员应准备 种不同的车票.
12．（2018七上·龙江期末）点A、B、C是同一直线上的三点，并且AB=10cm，BC=6cm.若点M是AB中点，点N是BC中点，则MN的长为 cm.
13．（2019七下·郑州期中）一个角的余角的 3 倍比它的补角的 2 倍少 110°，则这个角的度数为 .
14．（2020七下·青岛期中）在同一平面内，两个角的两边分别垂直，其中一个角的度数是另一个角的 倍少 ，那么这两个度数分别是 （只写数字，不写单位）．
15．（2019七上·椒江期末）已知在同一平面内， ， ，则 ．
16．以点O为端点引3条射线时，共有 个角，引4条射线时，共有 个角，以点O为端点引n条射线时，共有 个角（用含n的字母表示）．
三、解答题
17．（2019七上·防城港期末）如图，已知四点 A，B，C，D，请按要求画图
①画直线 AB，射线 CD 交于点 M
②连接 AC，BD 交于点 N
③连接 MN，并延长至点 E，使 NE＝NM.
18．（1）一条直线可以把平面分成两个部分（或区域），如图，两条直线可以把平面分成几个部分？三条直线可以把平面分成几个部分？试画图说明．
（2）四条直线最多可以把平面分成几个部分？试画出示意图，并说明这四条直线的位置关系．
（3）平面上有n条直线，每两条直线都恰好相交，且没有三条直线交于一点，处于这种位置的n条直线分一个平面所成的区域最多，记为 ，试研究 与n之间的关系．
19．（2018七上·阿城期末）
（1）如图，点C在线段AB上，点M，N分别是线段AC，BC的中点．
①若AC= 8 cm，CB= 6 cm，求线段MN的长；
②若AC+CB=a cm，直接写出线段MN的值．
（2）若C在线段AB的延长线上，且满足AC－BC = b cm，M，N分别为线段AC，BC的中点，直接写出线段MN= cm．
20．（2020七上·安图期末）若 的度数是 的度数的k倍，则规定 是 的k倍角.
（1）若∠M=21°17'，则∠M的5倍角的度数为；
（2）如图1，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，若∠AOC=∠COE，请直接写出图中∠AOB的所有3倍角；
（3）如图2，若∠AOC是∠AOB的5倍角，∠COD是∠AOB的3倍角，且∠AOC和∠BOD互为补角，求∠AOD的度数.
21．如图
（1）观察思考
如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；
（2）模型构建
如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；
（3）拓展应用
8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛？
请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．
22．（2019七上·吉林期末）点A、B在数轴上表示的数如图所示，动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒1个单位长度的速度向点B运动到点B停止运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动设点P运动的时间为t秒，P、Q两点的距离为d（d≥0）个单位长度．
（1）当t＝1时，d＝ ；
（2）当P、Q两点中有一个点恰好运动到线段AB的中点时，求d的值；
（3）当点P运动到线段AB的3等分点时，直接写出d的值；
（4）当d＝5时，直接写出t的值．
23．（2020七下·郑州月考）已知：直线AB，CD相交于点O，且OE⊥CD，如图.
（1）过点O作直线MN⊥AB；
（2）若点F是（1）中所画直线MN上任意一点（O点除外），且∠AOC=35°，求∠EOF的度数；
（3）若∠BOD：∠DOA=1：5，求∠AOE的度数.
24．（2019七上·德清期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1：2的两个角的射线，叫做这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图1所示，若∠BOC=2∠AOC，则OC是∠AOB的一条三分线．
（1）如图1所示，OC是∠AOB的一条三分线，且∠BOC>∠AOC，若∠AOB=60°，求∠AOC的度数：
（2）已知∠AOB=90°，如图2所示，若OC，OD是∠AOB的两条三分线．
①求∠COD的度数；
②现以点O为中心，将∠COD顺时针旋转n度得到∠C’DD’，当OA恰好是∠C’OD’的三分线时，求n的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【解答】解：根据甲：它有10个面；乙：它有24条棱；丙：它有8个面是正方形，2个面是多边形；丁：如果把它的侧面展开，是一个长方形.可知它符合棱柱的特征，而且是一个八棱柱.
故答案为：A.
【分析】由甲的说法可知，有8个侧面2个底面，由乙的说法可知，侧面是8个正方形，底面是多边形，再根据丁的说法，可得到几何体的形状。
2．【答案】D
【知识点】七巧板
【解析】【解答】解：1×1÷2﹣ × ÷2
= ﹣
=
∴阴影部分的面积为 ．
故选：D．
【分析】根据图示，可得阴影部分的面积等于边长为1的正方形的面积的一半减去两条直角边的长度都是 的直角三角形的面积．
3．【答案】D
【知识点】常用角的单位及换算
【解析】【解答】解：A、63.5°=63°30′≠63°50′，故A不符合题意；
B、23.48°=23°28′48″≠23°12′36″，故B不符合题意；
C、18.33°=18°19′48″≠18°18′18″，故C不符合题意；
D、22.25°=22°15′，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据大单位化小单位乘以进率，小单位化单位除以进率，可得答案．
4．【答案】B
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：有两种方法：
（Ⅰ）先数出以OA为一边的角，再数出以OB、OC、OD、OE为一边的角，把他们加起来．
（Ⅱ）可根据公式： 来计算，
其中，n指从点O发出的射线的条数．
图中角共有4+3+2+1=10个，
根据题意要去掉平角，所以图中小于180°的角共有10﹣1=9个．
故选B．
【分析】按一定的规律数即可．
5．【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；线段的计算
【解析】【解答】解：∵|a﹣c|=|b﹣c|=1，
∴点C在点A和点B之间，点A与点C之间的距离为1，点B与点C之间的距离为1，
∵ |d﹣a|=1，
∴|d﹣a|=2.5，
∴点D与点A之间的距离为2.5，
如图：
线段BD的长度为DA+AC+CB=2.5+1+1=4.5
如图：线段BD的长度为DA -AB=2.5-1-1=0.5
故答案为：D.
【分析】由 |a-c|=|b-c| 可得点C在点A和点B之间，由 |d-a|=1 可得点D与点A之间的距离为2.5，根据点D在点A左侧和右侧可分类讨论即可。
6．【答案】D
【知识点】角的概念
【解析】【解答】A. 一个角由有公共端点的两射线组成，一个平角的两边在一条直线上，则一条直线不是一个平角，所以错误；B．角的两边是射线，射线是无限长的，不能说无限延伸射线，故说法错误； C．角的两边应该是射线，延长线段AB至点C，AB和BC都是线段，故错误; D . 在一条直线上顺次取三点A、B、C,则∠ABC是平角，等于180°，正确；故答案选D.
【分析】根据角的定义意义进行分析，然后排出错误的答案.
7．【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：①如图1，当OC、OD在AB的一旁时，
∵OC⊥OD，
∴∠DOC=90°，
∵∠AOC=30 ，
∴∠BOD=180 ∠COD ∠AOC=60
②如图2，当OC、OD在AB的两旁时，
∵OC⊥OD，∠AOC=30 ，
∴∠AOD=60 ，
∴∠BOD=180 ∠AOD=120 .
综上所述， ∠BOD度数为 60°或120°
故答案为：D.
【分析】由于此题没有图形，故需要分OC、OD在AB的一旁时与OC、OD在AB的两旁时，两种情况分别根据垂直的定义及角的和差、平角的定义即可算出答案。
8．【答案】D
【知识点】角的运算；角的大小比较
【解析】【解答】当α=10°，β=20°时，α＋β=30°， 即两锐角的和为锐角． 当α=30°， β=60°时， α＋β=90°， 即两锐角的和为直角． 当α=60°，β=70°时，α＋β=130°，即两锐角的和为钝角．综上所述，两锐角的和可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角．故选D．
【分析】在0度到90度之间的叫锐角，可以用赋值法讨论．
9．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1的余角为90°-∠1，
∠1=180°-∠2，
∴90°-∠1=90°-（180°-∠2）
=∠2-90°
=∠2-（∠1+∠2）
=∠2-∠1
=（∠2-∠1），
故答案为：C .
【分析】根据余角的性质，先把∠1的余角表示出来，然后根据∠1和∠2互补的关系，把∠1用含∠2的代数式表示，再把90°转换成∠1和∠2之和的一半即可得出结果.
10．【答案】A
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短
【解析】【解答】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和＝15×100+10×300＝4500（米），
②以点B为停靠点，则所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米），
③以点C为停靠点，则所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米），
④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）＝4500+5m＞4500，
⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200﹣n）＝5000+35n＞4500.
∴该停靠点的位置应设在点A；
故答案为：A.
【分析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理.
11．【答案】6
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】解：由图可知图上的线段为AC、AD、AB、CD、CB、DB共6条，所以共需6种，
故答案为：6.
【分析】先找出所有线段的条数，再根据车票有顺序，求解即可.
12．【答案】2或8
【知识点】线段的中点
【解析】【解答】(1)当C在线段AB延长线上时，如图1，
∵M、N分别为AB、BC的中点，
∴MN=8
(2)当C在AB上时，如图2，
同理可知BM=5，BN=3，
∴MN=2.
所以MN=8或2，
故答案为：8或2.
【分析】考虑C点在线段AB延长线上和在AB上两个情况，利用中点的性质计算。
13．【答案】20°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角是x°，根据题意，得
3（90-x）=2（180-x）-110，
解得x=20.
即这个角的度数为20°.
故答案为：20°.
【分析】若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补.结合已知条件列方程求解.
14．【答案】129°，51°或12°，12°
【知识点】垂线；根据数量关系列方程；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：设另一个角为α，则这个角是3α-24°，
∵两个角的两边分别垂直，
∴α+3α-24°=180°或α=3α-24°，
解得α=51°或α=12°，
∴3α-24°=129°或3α-24°=12°，
这两个角是129°，51°或12°，12°．
故答案为：129°，51°或12°，12°．
【分析】设另一个角为α，则这个角是3α-24°，然后根据两边分别垂直的两个角相等或互补列式计算即可得解．
15．【答案】80°或20°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：①如图：
∵∠AOB=50°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC，
=50°-30°，
=20°；
②如图：
∵∠AOB=50°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC，
=50°+30°，
=80°；
综上所述：∠AOC的度数为20°或80°.
故答案为：20°或80°.
【分析】根据题意画出两种情况 的图形，根据图形结合角的计算即可求得答案.
16．【答案】3；6；
【知识点】角的概念
【解析】【解答】解：以点O为端点引3条射线时，共有1+2=3个角；
引4条射线时，共有1+2+3=6个角；
以点O为端点引n条射线时，共有1+2+3+…+n﹣1= 个角，
故答案为：3、6、 ．
【分析】有公共顶点的n条射线，可构成 n（n﹣1）个角，依据规律回答即可．
17．【答案】解：如图所示：
【知识点】直线、射线、线段；线段的中点
【解析】【分析】① 根据直线没有端点，故作直线AB时两端延伸出头即可；由于射线只有一个端点，而且表示端点的字母都写成前面，故作射线CD的时候，只需要D端延伸出头即可，两线的交点就是点M； ② 连接AC、BD ，就是作线段AC、BD ，由于线段有两个端点，故两端都不能出头，两条线段的交点就是点N； ③ 连接 MN，就是作线段MN，由于延长具有方向性，故延长MN就是N端延长出去至点E，使 NE＝NM 。
18．【答案】（1）解：如图1，两条直线因其位置不同，可以分别把平面分成3个或4个区域；
如图2，三条直线因其位置关系的不同，可以分别把平面分成4个、6个和7个区域．
（2）解：如图3，四条直线最多可以把平面分成11个区域，此时这四条直线位置关系是两两都相交，且无三线共点．
（3）解：平面上n条直线两两相交，且没有三条直线交于一点，把平面分成 个区域，平面本身就是一个区域，当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，……由此可以归纳公式
【知识点】探索图形规律；平面中直线位置关系；相交线
【解析】【分析】（1）两条直线的位置关系要么平行要么相交，当两条直线平行的时候把平面分成三个区域，当两条直线相交的时候把平面分成4个区域；三条直线的位置关系有三种，①三条互相平行的时候把平面分割成4个区域，②当其中的两条平行，一条与它们相交的时候把平面分割成6个区域，③当三条直线互不平行的时候，把平面分割成7个区域或6个区域；
（2）由（1）可知几条直线任意两条都不平行，且任意两条都相交，任意三条都不相交于同一点的时候将平面分割的区域最多，从而画出图形得出答案；
（3）平面上n条直线两两相交，且没有三条直线交于一点，把平面分成 an个区域，平面本身就是一个区域，分别算出一条直线，两条直线，三条直线，四条直线的时候，将平面分成的区域个数，通过观察发现规律从而得出通用公式。
19．【答案】（1）①解：因为点M，N分别是线段AC，BC的中点，
所以
因为AC=8cm，CB=6cm，
所以MC=4cm，CN=3cm，
所以MN=7cm
②MN=
（2）
【知识点】线段的中点
【解析】【解答】解：（1）②MN=CM+CN= （AB+BC）= ；
（2）MN= ，理由如下：
如图：
由M、N分别是AC、BC的中点，
得MC= AC，CN= BC．
由线段的和差，得MN=MC﹣CN= AC﹣ BC= （AC﹣BC）= cm.
【分析】（1）根据中点的性质，结合图像，求出MN的值。
（2）可画出图，结合图像，根据中点的性质和线段的和差关系，得出MN与b的关系。
20．【答案】（1）解： ；
故答案为： .
（2）∠AOD，∠BOE
（3）解：设∠AOB=x，则∠AOC=5x，∠COD=3x.
∴∠BOC=4x，
∵∠AOC和∠BOD互为补角，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠BOC+∠COD=180°，
即5x+7x=180°，
解得：x=15°.
∴∠AOD=8x=120°.
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（2）解：∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOC=∠COE，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，
∴∠AOD=3∠AOB，∠BOE=3∠AOB；
∴图中∠AOB的所有3倍角有：∠AOD，∠BOE
【分析】（1）根据题意，列式计算即可得到答案；（2）由角平分线性质定理，结合∠AOC=∠COE，得到∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，即可得到∠AOD=3∠AOB，∠BOE=3∠AOB；（3）设∠AOB=x，则∠AOC=5x，∠BOC=4x，∠COD=3x，则利用∠AOC和∠BOD互为补角的关系，列出方程，即可得到x的值，然后得到答案.
21．【答案】（1）解：∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，以点D为左端点的线段有线段DB，∴共有3+2+1=6条线段
（2）解： ，
理由：设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，
则x=（m-1）+（m-2）+（m-3）+…+3+2+1，
∴倒序排列有x=1+2+3+…+（m-3）+（m-2）+（m-1），
∴2x= =m（m-1），
∴x=
（3）解：把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段，
直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，
因此一共要进行 场比赛
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）线段AB上共有4个点A、B、C、D，得到线段共有4×（4-1）÷2条；（2）根据规律得到该线段上共有m（m-1）÷2条线段；（3）由每两位同学之间进行一场比赛，得到要进行8×（8-1）÷2场比赛.
22．【答案】（1）3
（2）解：线段AB的中点表示的数是： ＝1．
①如果P点恰好运动到线段AB的中点，那么AP＝ AB＝3，t＝ ＝3，
BQ＝2×3＝6，即Q运动到A点， 此时d＝PQ＝PA＝3；
②如果Q点恰好运动到线段AB的中点，那么BQ＝ AB＝3，t＝ ，
AP＝1× ＝ ，
则d＝PQ＝AB﹣AP﹣BQ＝6﹣ ﹣3＝ ．
故d的值为3或
（3）解：当点P运动到线段AB的3等分点时，分两种情况：
①如果AP＝ AB＝2，那么t＝ ＝2，
此时BQ＝2×2＝4，P、Q重合于原点，
则d＝PQ＝0；
②如果AP＝ AB＝4，那么t＝ ＝4，
∵动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动，
∴此时BQ＝6，即Q运动到A点，
∴d＝PQ＝AP＝4．
故所求d的值为0或4
（4）解：当d＝5时，分两种情况： ①P与Q相遇之前， ∵PQ＝AB﹣AP﹣BQ， ∴6﹣t﹣2t＝5，
解得t＝ ；
②P与Q相遇之后，
∵P点运动到线段AB的中点时，t＝3，此时Q运动到A点，停止运动，
∴d＝AP＝t＝5．
故所求t的值为 或5．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；线段的中点；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）当t＝1时，求出AP＝1，BQ＝2，根据PQ＝AB﹣AP﹣BQ即可求解；（2）分①P点恰好运动到线段AB的中点；②Q点恰好运动到线段AB的中点两种情况进行讨论；（3）当点P运动到线段AB的3等分点时，分①AP＝ AB；②AP＝ AB两种情况进行讨论；（4）当d＝5时，分①P与Q相遇之前；②P与Q相遇之后两种情况进行讨论．
23．【答案】（1）解：如图，MN为所求
（2）解：若F在射线OM上，
∵MN⊥AB，OE⊥CD，
∴∠AOC+∠COM=90°，∠EOF+∠COM=90°，
则∠EOF＝∠AOC＝35°；
若F'在射线ON上，
∵MN⊥AB，OE⊥CD，
∴∠DON=∠COM=90°-∠AOC=55°，∠EOD=90°
则∠EOF'＝∠DOE＋∠DON＝145°；
综上所述，∠EOF的度数为35°或145°；
（3）解：∵∠BOD：∠DOA=1：5
∴∠BOD：∠BOC＝1：5，
∴∠BOD＝ ∠COD＝30°，
∴∠AOC＝30°，
又∵EO⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∴∠AOE＝90°＋30°＝120°.
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义即可作图；（2）分F在射线OM上和在射线ON上分别进行求解即可；（3）依据平角的定义以及垂线的定义，即可得到∠AOE的度数.
24．【答案】（1）解：如图1，
∵ OC是∠AOB的一条三分线，且∠BOC＞∠AOC，
∴ ∠AOC= ∠AOB，
又∵∠AOB=60°，
∴∠AOC=20°
（2）解：① 如图2，
∵∠AOB=90°，OC，OD是∠AOB的两条三分线，
∴∠COD = ∠AOB =30°；
② 分两种情况：
当OA是∠C′OD＇的三分线，且∠AOD＇＞∠AOC＇时，
∠AOC＇=10°，
∴∠DOC＇=30°-10°=20°，
∴∠DOD＇=20°+30°=50°；
当OA是∠C＇OD＇的三分线，且∠AOD＇＜∠AOC＇时，
∠AOC＇=20°，
∴∠DOC＇=30°-20°=10°，
∴∠DOD＇=10°+30°=40°；
综上所述，n=40°或50°
【知识点】角的运算
【解析】【分析】（1）根据题中给出的角的三分线的定义结合已知条件可得 ∠AOC=∠AOB ，计算即可得出答案.
（2）①根据题中给出的角的三分线的定义结合已知条件 ∠COD =∠AOB，计算即可得出答案；
②根据题意分情况讨论： 当OA是∠C′OD＇的三分线，且∠AOD＇＞∠AOC＇时； 当OA是∠C＇OD＇的三分线，且∠AOD＇＜∠AOC＇时 ；分别结合角的三分线的定义计算即可得出答案.
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