初中数学浙教版八年级下册4.6 反证法 同步训练
一、基础夯实
1．（2020八上·遂宁期末）用反证法证明：“三角形三内角中至少有一个角不大于60°”时，第一步应是（ ）
A．假设三角形三内角中至多有一个角不大于60°
B．假设三角形三内角中至少有一个角不小于60°
C．假设三角形三内角都大于60°
D．假设三角形三内角中至少有一个角大于60°
2．（2019八下·南浔期末）用反证法证明命题“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”，第一步应假设（ ）
A．这两条直线互相垂直 B．这两条直线互相平行
C．这两条直线不平行 D．这两条直线不垂直
3．（2019八下·莲都期末）用反证法证明“a＞b”时,应先假设（ ）
A．a≥b B．a≤b C．a=b D．a＜b
4．（2019·常州）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例.反例中的n可以为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．
5．（2019八下·永康期末）用反证法证明“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”时，第一步应假设（ ）
A．AB＝AC B．AB≠AC C．∠B＝∠C D．∠B≠∠C
6．（2019八下·鄞州期末）利用反证法证明命题“在 中，若 ，则 ”时，应假设 ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
7．（2019八下·余姚期末）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不小于直角”时应假设（ ）
A．没有一个角大于直角 B．至多有一个角不小于直角
C．每一个内角都为锐角 D．至少有一个角大于直角
8．（2019·嘉兴模拟）用反证法证明“在同面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时应假设（ ）
A．a不垂直于b B．a⊥b
C．a与b相交 D．a，b不垂直于c
9．（2019八下·温州期末）用反证法证明“如果lal>a，那么a<0．”是真命题时，第一步应先假设 ．
10．如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠1、∠2是同位角，如果∠1≠∠2，那么AB与CD不平行．用反证法证明这个命题时，应先假设： .
11．用反证法证明（填空）：
两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2＝180°．
求证：l1∥l2
证明：假设l1 l2，即l1与l2交与相交于一点P．
则∠1+∠2+∠P 180°
所以∠1+∠2 180°，这与 矛盾，故 不成立．
所以 ．
12．如图，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截．在下面三个条件中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．
①AB⊥BC，CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1＝∠2.
二、提高特训
13．（2019八下·辽阳月考）已知： 中， ，求证： ，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴ ，这与三角形内角和为 180° 矛盾,②因此假设不成立.∴ ,③假设在 中， ,④由 ，得 ，即 .这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．③④②① B．③④①② C．①②③④ D．④③①②
14．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为（ ）
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C．a、b、c都是偶数
D．a、b、c中至少有两个偶数
15．某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“902班得冠军，904班得第三”；乙说：“901班得第四，903班得亚军”；丙说：“903班得第三，904班得冠军”．赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是 ．
16．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为
17．已知 x3+bx2+cx+d 的系数都是整数．若bd+cd为奇数，求证：这个多项式不能表示为两个整系数的多项式的乘积．
18．平面上有8条直线两两相交．试证明在所有的交角中至少有一个角小于23°．
19． 7条直线两两相交，试证明：在所有的交角中，至少有一个角小于26°．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】不大于的反面是大于，
则第一步应是假设三角形三内角都大于60°．
故答案为：C．
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
2．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】 解：两条直线互相平行的反面应是两条直线不平行，同一平面内不平行有重合和
相交两种情况，其中相交包含垂直。
故答案为：C
【分析】 用反证法证明命，第一步应假结论的反面成立，两条直线互相平行的反面应是两条直线不平行。
3．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 反证法证明“a＞b”时,应先假设 a≤b 。
故答案为：B。
【分析】反证法证明命题的第一步就是假设原命题的反面成立，而“a＞b”的反面就是 a≤b，从而即可得出答案。
4．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，
所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2.
故答案为：A.
【分析】将各选项中n的值代入只要满足n2-1≥0，即可得出选项。
5．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”时，
第一步应假设∠B＝∠C .
故答案为：C
【分析】用反证法证明命题的第一步是假设结论的反面，可得结果。
6．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，则∠B＜90°，
∴应该假设∠B≥90°.
故答案为：C
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可作答。
7．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法的第一步先假设结论不成立，即四边形的每个内角都为锐角。
故答案为：C
【分析】反证法的第一步是先假设结论不成立，四边形中至少有一个角不小于直角，应先假设：四边形中每个角都小于直角，即锐角.
8．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明“在同面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时应假设a与b相交，
故答案为：C.
【分析】根据反证法的意义第一步是假设某命题不成立，所以只需假设若a⊥c，b⊥c，则a与b相交即可.
9．【答案】a≥0
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 如果>a，那么a<0．”是真命题时 ,用反证法证明第一步应假设a≥0.
故答案为：a≥0
【分析】用反正法证明命题应先假设结论的反面成立，本题结论a<0的反面应是a≥0.
10．【答案】AB∥CD
【知识点】反证法
【解析】【解答】利用假设法来进行证明时，首先假设结论成立，即应先假设AB∥CD。
故答案为：AB∥CD.
【分析】利用反证法进行证明时，第一个步骤是假设结论成立，即AB和CD平行。
11．【答案】不平行；＝；＜；∠1+∠2＝180°；假设；结论成立．
【知识点】反证法
【解析】【解答】证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．则∠1+∠2+∠P＝180°（三角形内角和定理），所以∠1+∠2＜180°，这与∠1+∠2＝180°矛盾，故假设不成立．所以结论l1∥l2成立。
【分析】用反证法证明一个命题，首先假设原命题的结论不成立，从假设出发，经过推理得出和假设矛盾，或与性质，定义，公理，定理矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证明题成立；故该题首先假设“设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P”，那么根据三角形的内角和定理得出“∠1+∠2+∠P＝180°”，故“∠1+∠2＜180°”从而与题设“∠1+∠2=180°”相矛盾，故假设不成立，所以结论“l1∥l2．”成立。
12．【答案】解：已知：如图，AB⊥BC、CD⊥BC，BE∥CF.
求证：∠1=∠2.
证明：∵AB⊥BC、CD⊥BC，
∴∠ABC=∠DCB，
又∵BE∥CF，
∴∠EBC=∠FCB，
∴∠ABC ∠EBC=∠DCB ∠FCB，
∴∠1=∠2.
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】选择两个条件作为题设，即为已知条件；另外一个条件为结论，即为证明的结论。根据任选的题设和结论进行证明即可。
13．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】题目中“已知：△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°”，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
应该为：(1)假设∠B≥90°，(2)那么，由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，(3)所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，(4)因此假设不成立.∴∠B＜90°，
原题正确顺序为：③④①②，
故答案为：B.
【分析】根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可.
14．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故答案为：B.
【分析】因为a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数。根据命题的否定形式可知“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为“a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数”。
15．【答案】902班
【知识点】反证法
【解析】【解答】假设甲说的“902班得冠军”是正确的，那么丙说的“904班得冠军”是错误的，“903班得第三”就是正确的，那么乙说的“903班得亚军”是错误的，“901班得第四”是正确的，这样三人都猜对了一半，且没矛盾．则甲猜测是正确的。
故答案为：902班．
【分析】根据一个人的猜测为起点，检验其他人的预测结果，是否只猜对一半即可。
16．【答案】③①②
【知识点】反证法
【解析】【解答】由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②
【分析】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立。所以正确顺序的序号排列③①②。
17．【答案】证明：假设该多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，
∴x3+bx2+cx+d（x+a）（x2+mx+n）（a，m，n均是整数），
即x3+bx2+cx+dx3+（m+a）x2+（am+n）x+an，
∴b=m+a，c=am+n，d=an，
∵bd+cd=（b+c）d为奇数，
∴b+c是奇数且d也是奇数，
∴d=an可得a是奇数，n也是奇数，
∴b+c=m+a+am+n=m（a+1）+（a+n），
∴a+1是偶数，a+n也是偶数，
∴b+c也是偶数，这与题意相矛盾，
∴假设不成立，a，m，n不是整数，
∴这个多项式不能表示为两个整系数的多项式的乘积．
【知识点】反证法
【解析】【分析】假设该多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，即x3+bx2+cx+d（x+a）（x2+mx+n）x3+（m+a）x2+（am+n）x+an（a，m，n均是整数），根据恒等式相对应的系数相等，再分析，可得假设与题意相矛盾，即假设不成立，故得证.
18．【答案】证明：在平面上任取一点O，过O点分别作这8条直线的平行线l1'、l2'、l3'、l4'、l5'、l6'、l7' 、l8'；由平行线的性质知： l1'、l2'、l3'、l4'、l5'、l6'、l7' 、l8'之间互成的角与原来的8条直线 l1、l2、...、l8之间互成的角相等．
∴我们可考察l1'、l2'、l3'、l4'、l5'、l6'、l7' 、l8'与 l1' 所成的角，不难发现这8个角的和为一个平角，即180°．
假设这八个角没有一个小于23°，则这8个角的和至少为：23°×8=184°；这是不可能的．
∴这七个角中至少有一个小于23°，
不妨设为 l1' 与 l2' 的交角小于23°，
即原来的直线 l1与l2 所成的角小于23°．
【知识点】反证法
【解析】【分析】假设这八个角没有一个小于23°，算出这8个角的和大于180°，与已知矛盾，从而得出原命题成立.
19．【答案】证明：在平面上任取一点O．过O点分别作这7条直线的平行线
由平行线的性质知， 之间互成的角与原来的7条直线 之间互成的角相等．
所以我们可考察 与 ， ， ，…， 与 所成的角，由图，不难发现这7个角的和为一个平角，即180°．
假设这七个角没有一个小于26°，则这7个角的和至少为：26°×7=182°．这是不可能的．
因此，这七个角中至少有一个小于26°．
不妨设为 与 的交角小于26°，则原来的直线 所成的角小于26°．
【知识点】反证法
【解析】【分析】假设这七个角没有一个小于26°，算出这7个角的和大于180°，与已知矛盾，从而得出原命题成立.
1 / 1初中数学浙教版八年级下册4.6 反证法 同步训练
一、基础夯实
1．（2020八上·遂宁期末）用反证法证明：“三角形三内角中至少有一个角不大于60°”时，第一步应是（ ）
A．假设三角形三内角中至多有一个角不大于60°
B．假设三角形三内角中至少有一个角不小于60°
C．假设三角形三内角都大于60°
D．假设三角形三内角中至少有一个角大于60°
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】不大于的反面是大于，
则第一步应是假设三角形三内角都大于60°．
故答案为：C．
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
2．（2019八下·南浔期末）用反证法证明命题“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”，第一步应假设（ ）
A．这两条直线互相垂直 B．这两条直线互相平行
C．这两条直线不平行 D．这两条直线不垂直
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】 解：两条直线互相平行的反面应是两条直线不平行，同一平面内不平行有重合和
相交两种情况，其中相交包含垂直。
故答案为：C
【分析】 用反证法证明命，第一步应假结论的反面成立，两条直线互相平行的反面应是两条直线不平行。
3．（2019八下·莲都期末）用反证法证明“a＞b”时,应先假设（ ）
A．a≥b B．a≤b C．a=b D．a＜b
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 反证法证明“a＞b”时,应先假设 a≤b 。
故答案为：B。
【分析】反证法证明命题的第一步就是假设原命题的反面成立，而“a＞b”的反面就是 a≤b，从而即可得出答案。
4．（2019·常州）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例.反例中的n可以为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，
所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2.
故答案为：A.
【分析】将各选项中n的值代入只要满足n2-1≥0，即可得出选项。
5．（2019八下·永康期末）用反证法证明“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”时，第一步应假设（ ）
A．AB＝AC B．AB≠AC C．∠B＝∠C D．∠B≠∠C
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”时，
第一步应假设∠B＝∠C .
故答案为：C
【分析】用反证法证明命题的第一步是假设结论的反面，可得结果。
6．（2019八下·鄞州期末）利用反证法证明命题“在 中，若 ，则 ”时，应假设 ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，则∠B＜90°，
∴应该假设∠B≥90°.
故答案为：C
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可作答。
7．（2019八下·余姚期末）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不小于直角”时应假设（ ）
A．没有一个角大于直角 B．至多有一个角不小于直角
C．每一个内角都为锐角 D．至少有一个角大于直角
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法的第一步先假设结论不成立，即四边形的每个内角都为锐角。
故答案为：C
【分析】反证法的第一步是先假设结论不成立，四边形中至少有一个角不小于直角，应先假设：四边形中每个角都小于直角，即锐角.
8．（2019·嘉兴模拟）用反证法证明“在同面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时应假设（ ）
A．a不垂直于b B．a⊥b
C．a与b相交 D．a，b不垂直于c
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明“在同面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时应假设a与b相交，
故答案为：C.
【分析】根据反证法的意义第一步是假设某命题不成立，所以只需假设若a⊥c，b⊥c，则a与b相交即可.
9．（2019八下·温州期末）用反证法证明“如果lal>a，那么a<0．”是真命题时，第一步应先假设 ．
【答案】a≥0
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 如果>a，那么a<0．”是真命题时 ,用反证法证明第一步应假设a≥0.
故答案为：a≥0
【分析】用反正法证明命题应先假设结论的反面成立，本题结论a<0的反面应是a≥0.
10．如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠1、∠2是同位角，如果∠1≠∠2，那么AB与CD不平行．用反证法证明这个命题时，应先假设： .
【答案】AB∥CD
【知识点】反证法
【解析】【解答】利用假设法来进行证明时，首先假设结论成立，即应先假设AB∥CD。
故答案为：AB∥CD.
【分析】利用反证法进行证明时，第一个步骤是假设结论成立，即AB和CD平行。
11．用反证法证明（填空）：
两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2＝180°．
求证：l1∥l2
证明：假设l1 l2，即l1与l2交与相交于一点P．
则∠1+∠2+∠P 180°
所以∠1+∠2 180°，这与 矛盾，故 不成立．
所以 ．
【答案】不平行；＝；＜；∠1+∠2＝180°；假设；结论成立．
【知识点】反证法
【解析】【解答】证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．则∠1+∠2+∠P＝180°（三角形内角和定理），所以∠1+∠2＜180°，这与∠1+∠2＝180°矛盾，故假设不成立．所以结论l1∥l2成立。
【分析】用反证法证明一个命题，首先假设原命题的结论不成立，从假设出发，经过推理得出和假设矛盾，或与性质，定义，公理，定理矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证明题成立；故该题首先假设“设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P”，那么根据三角形的内角和定理得出“∠1+∠2+∠P＝180°”，故“∠1+∠2＜180°”从而与题设“∠1+∠2=180°”相矛盾，故假设不成立，所以结论“l1∥l2．”成立。
12．如图，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截．在下面三个条件中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．
①AB⊥BC，CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1＝∠2.
【答案】解：已知：如图，AB⊥BC、CD⊥BC，BE∥CF.
求证：∠1=∠2.
证明：∵AB⊥BC、CD⊥BC，
∴∠ABC=∠DCB，
又∵BE∥CF，
∴∠EBC=∠FCB，
∴∠ABC ∠EBC=∠DCB ∠FCB，
∴∠1=∠2.
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】选择两个条件作为题设，即为已知条件；另外一个条件为结论，即为证明的结论。根据任选的题设和结论进行证明即可。
二、提高特训
13．（2019八下·辽阳月考）已知： 中， ，求证： ，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴ ，这与三角形内角和为 180° 矛盾,②因此假设不成立.∴ ,③假设在 中， ,④由 ，得 ，即 .这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．③④②① B．③④①② C．①②③④ D．④③①②
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】题目中“已知：△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°”，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
应该为：(1)假设∠B≥90°，(2)那么，由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，(3)所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，(4)因此假设不成立.∴∠B＜90°，
原题正确顺序为：③④①②，
故答案为：B.
【分析】根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可.
14．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为（ ）
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C．a、b、c都是偶数
D．a、b、c中至少有两个偶数
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故答案为：B.
【分析】因为a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数。根据命题的否定形式可知“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为“a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数”。
15．某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“902班得冠军，904班得第三”；乙说：“901班得第四，903班得亚军”；丙说：“903班得第三，904班得冠军”．赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是 ．
【答案】902班
【知识点】反证法
【解析】【解答】假设甲说的“902班得冠军”是正确的，那么丙说的“904班得冠军”是错误的，“903班得第三”就是正确的，那么乙说的“903班得亚军”是错误的，“901班得第四”是正确的，这样三人都猜对了一半，且没矛盾．则甲猜测是正确的。
故答案为：902班．
【分析】根据一个人的猜测为起点，检验其他人的预测结果，是否只猜对一半即可。
16．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为
【答案】③①②
【知识点】反证法
【解析】【解答】由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②
【分析】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立。所以正确顺序的序号排列③①②。
17．已知 x3+bx2+cx+d 的系数都是整数．若bd+cd为奇数，求证：这个多项式不能表示为两个整系数的多项式的乘积．
【答案】证明：假设该多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，
∴x3+bx2+cx+d（x+a）（x2+mx+n）（a，m，n均是整数），
即x3+bx2+cx+dx3+（m+a）x2+（am+n）x+an，
∴b=m+a，c=am+n，d=an，
∵bd+cd=（b+c）d为奇数，
∴b+c是奇数且d也是奇数，
∴d=an可得a是奇数，n也是奇数，
∴b+c=m+a+am+n=m（a+1）+（a+n），
∴a+1是偶数，a+n也是偶数，
∴b+c也是偶数，这与题意相矛盾，
∴假设不成立，a，m，n不是整数，
∴这个多项式不能表示为两个整系数的多项式的乘积．
【知识点】反证法
【解析】【分析】假设该多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，即x3+bx2+cx+d（x+a）（x2+mx+n）x3+（m+a）x2+（am+n）x+an（a，m，n均是整数），根据恒等式相对应的系数相等，再分析，可得假设与题意相矛盾，即假设不成立，故得证.
18．平面上有8条直线两两相交．试证明在所有的交角中至少有一个角小于23°．
【答案】证明：在平面上任取一点O，过O点分别作这8条直线的平行线l1'、l2'、l3'、l4'、l5'、l6'、l7' 、l8'；由平行线的性质知： l1'、l2'、l3'、l4'、l5'、l6'、l7' 、l8'之间互成的角与原来的8条直线 l1、l2、...、l8之间互成的角相等．
∴我们可考察l1'、l2'、l3'、l4'、l5'、l6'、l7' 、l8'与 l1' 所成的角，不难发现这8个角的和为一个平角，即180°．
假设这八个角没有一个小于23°，则这8个角的和至少为：23°×8=184°；这是不可能的．
∴这七个角中至少有一个小于23°，
不妨设为 l1' 与 l2' 的交角小于23°，
即原来的直线 l1与l2 所成的角小于23°．
【知识点】反证法
【解析】【分析】假设这八个角没有一个小于23°，算出这8个角的和大于180°，与已知矛盾，从而得出原命题成立.
19． 7条直线两两相交，试证明：在所有的交角中，至少有一个角小于26°．
【答案】证明：在平面上任取一点O．过O点分别作这7条直线的平行线
由平行线的性质知， 之间互成的角与原来的7条直线 之间互成的角相等．
所以我们可考察 与 ， ， ，…， 与 所成的角，由图，不难发现这7个角的和为一个平角，即180°．
假设这七个角没有一个小于26°，则这7个角的和至少为：26°×7=182°．这是不可能的．
因此，这七个角中至少有一个小于26°．
不妨设为 与 的交角小于26°，则原来的直线 所成的角小于26°．
【知识点】反证法
【解析】【分析】假设这七个角没有一个小于26°，算出这7个角的和大于180°，与已知矛盾，从而得出原命题成立.
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