2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册4.6 反证法 同步练习
一、单选题
1．（2018八上·海口期中）下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（ ）
A．a=-2 B．a=-1 C．a= 1 D．a=2
2．（2018八下·乐清期末）对于命题“已知：a∥b，b∥c，求证：a∥c”．如果用反证法，应先假设（ ）
A．a不平行b B．b不平行c C．a⊥c D．a不平行c
3．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册4.6反证法 同步练习）应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（ ）
①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
4．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册4.6反证法 同步练习）命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是（ ）
A．a5．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册4.6反证法 同步练习）否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为（ ）
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C．a、b、c都是偶数
D．a、b、c中至少有两个偶数
6．（2018·兴化模拟）用反证法证明：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF．证明该命题的第一个步骤是（ ）
A．假设CD∥EF B．假设AB∥EF
C．假设CD和EF不平行 D．假设AB和EF不平行（ ）
7．（2017八下·萧山期中）用反证法证明命题“四边形四个内角中至少有一个角大于等于 ”，我们应该假设（ ）
A．四个角都小于 B．最多有一个角大于或等于
C．有两个角小于 D．四个角都大于或等于
8．（2016八上·浙江期中）在下列各数中可以用来证明命题“质数一定是奇数”是假命题的反例是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．设a、b、c是互不相等的任意正数，则x、y、z这三个数（ ）
A．都不大于2 B．至少有一个大于2
C．都不小于2 D．至少有一个小于2
10．（2017八下·宁波期中）用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45 ”，应先假设这个直角三角形中（ ）
A．有一个锐角小于45 B．每一个锐角都小于45
C．有一个锐角大于45 D．每一个锐角都大于45
二、填空题
11．（湘教版八年级数学上册 2.2.3证明 同步练习）如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠1、∠2是同位角，如果∠1≠∠2，那么AB与CD不平行．用反证法证明这个命题时，应先假设： .
12．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册4.6反证法 同步练习）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为
13．（2018八上·南召期末）为说明命题“如果a＞b，那么 ”是假命题，你举出的反例是 ．
14．（湘教版八年级数学上册 2.2.3证明 同步练习）某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“902班得冠军，904班得第三”；乙说：“901班得第四，903班得亚军”；丙说：“903班得第三，904班得冠军”．赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是 ．
15．（2018八下·宁波期中）用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果内错角不相等，那么这两条直线不平行
已知：如图，直线a，b被直线c所截，∠1，∠2是内错角，且∠1≠∠2
求证：a不平行b.
证明：假设 ，
则 （ ）
又∴ ∠1=∠3
∴ ∠1=∠2. 这与已知 矛盾，
∴ 不成立.
∴ .
16．用反证法证明命题“在△ABC中，如果∠B≠∠C，那么AB≠AC．”第一步应假设
三、解答题
17．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册4.6反证法 同步练习）设a，b，c是不全相等的任意整数，若x＝a2－bc，y＝b2－ac，z＝c2－ab.求证：x，y，z中至少有一个大于零．
18．判断下列命题的真假，并给出证明（若是真命题给出证明，若是假命题举出反例）：
（1）若，则a=3；
（2）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，且BE=CF．则AD是△ABC的中线．
19．阅读以下证明过程：
已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB=c，AC=b，BC=a．求证：a2+b2≠c2．
证明：假设a2+b2=c2，则由勾股定理逆定理可知∠C=90°，这与已知中的∠C≠90°矛盾，故假设不成立，所以a2+b2≠c2．
请用类似的方法证明以下问题：
已知：a，b是正整数，若关于x的一元二次方程x2+2a（1﹣bx）+2b=0有两个实根x1和x2，求证：x1≠x2．
20．（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°．先假设所求证的结论不成立，即 三角形内角中全都小于60° ；
（2）写出命题“一次函数y=kx+b，若k＞0，b＞0，则它的图象不经过第二象限．”的逆命题，并判断逆命题的真假．若为真命题，请给予证明；若是假命题，请举反例说明．
21．（第14讲 待定系数——练习题）已知 x3+bx2+cx+d 的系数都是整数．若bd+cd为奇数，求证：这个多项式不能表示为两个整系数的多项式的乘积．
22．（第12讲 平行——练习题）平面上有8条直线两两相交．试证明在所有的交角中至少有一个角小于23°．
23．（第12讲 平行——例题） 7条直线两两相交，试证明：在所有的交角中，至少有一个角小于26°．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a=-2，
∵（-2）2＞1，但是a=-2＜1，
∴A符合题意；
故答案为：A．
【分析】此题实际上是用举例子的方法来证明结论的错误性，只要举出的例子满足 a2＞1，但又不满足a＞1 即可。
2．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：对于命题“已知：a∥b，b∥c，求证：a∥c”．如果用反证法
应先假设a不平行c
故答案为：D
【分析】根据反证法的第一步就是假设结论的反面，即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立可知可以作为条件使用的有①②③。
【分析】利用反证法的证题思想，即可得到结论。
4．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】“a>b”的否定应为“a＝b或a【分析】因为a与b的大小关系有三种情况：“a>b”、“a＝b、ab”的否定应为a≤b。
5．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故答案为：B.
【分析】因为a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数。根据命题的否定形式可知“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为“a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数”。
6．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】
用反证法证明：“如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF”，这一命题时，第一步应该是：“假设CD和EF不平行”.
故答案为：C.
【分析】因为“用反证法证明命题的第一步：通常是假设所证结论不成立”，故用反证法证明：“如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF”，这一命题时，第一步应该是：“假设CD和EF不平行”.
7．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】应该假设四个角都小于 .
故答案为：A.
【分析】假设问题的反面成立即可.
8．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】2为质数，但是2不是奇数.
故答案为：A
【分析】举出反例即可.
9．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：a、b、c是互不相等的任意正数，不妨设a＞b＞c＞0，
∵a＞b＞c＞0，
∴z一定大于2，而x，y不确定．
故至少有一个大于2．
故选B．
【分析】a、b、c是互不相等的任意正数，不妨设a＞b＞c＞0，根据a2+b2≥2ab，即可作出判断．
10．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°．
故选D．
【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．
11．【答案】AB∥CD
【知识点】反证法
【解析】【解答】利用假设法来进行证明时，首先假设结论成立，即应先假设AB∥CD。
故答案为：AB∥CD.
【分析】利用反证法进行证明时，第一个步骤是假设结论成立，即AB和CD平行。
12．【答案】③①②
【知识点】反证法
【解析】【解答】由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②
【分析】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立。所以正确顺序的序号排列③①②。
13．【答案】当a=2，b=1时，a＞b，但 ．
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：当a=2，b=1时，满足命题的题设a＞b的要求，
而 = ， =1，显然 ，不支持原命题的结论 ，
故填当a=2，b=1时，a＞b，但 ．
【分析】开放性的命题，只要举出的例子满足题设a＞b的要求，然后再分别算出其倒数，不支持原命题的结论 的即可。
14．【答案】902班
【知识点】反证法
【解析】【解答】假设甲说的“902班得冠军”是正确的，那么丙说的“904班得冠军”是错误的，“903班得第三”就是正确的，那么乙说的“903班得亚军”是错误的，“901班得第四”是正确的，这样三人都猜对了一半，且没矛盾．则甲猜测是正确的。
故答案为：902班．
【分析】根据一个人的猜测为起点，检验其他人的预测结果，是否只猜对一半即可。
15．【答案】a//b；∠1=∠3；两直线平行，同旁内角互补；∠1≠∠2；假设；a不平行于b
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：
求证：a不平行b.
证明：假设a//b，
则∠1=∠3（两直线平行，同旁内角互补）
又∴ ∠1=∠3
∴ ∠1=∠2. 这与已知 ∠1≠∠2矛盾，
∴ 假设不成立.
∴ a不平行于b.
故答案为：a//b；∠1=∠3；两直线平行，同旁内角互补；∠1≠∠2；假设；a不平行于b.。
【分析】运用反证法，第一步是假设结论不成立；这道题属于填空类，需要按着它的思路解答。
16．【答案】AB=AC
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在△ABC中，∠B≠∠C，那么AB≠AC”的过程中，
第一步应是假设AB=AC．
故答案为：AB=AC．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
17．【答案】解：假设x≤0，y≤0，z≤0，则x＋y＋z≤0.∵x＋y＋z＝a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝ ，又∵a，b，c是不全相等的任意整数，∴x＋y＋z＝ ＞0，这与“x＋y＋z≤0”矛盾．∴假设不成立．∴x，y，z中至少有一个大于零．
【知识点】完全平方公式及运用；反证法；偶次方的非负性
【解析】【分析】此题可用反证法证明。假设x，y，z都小于0，于是有x＋y＋z≤0.根据完全平方公式可得，x＋y＋z＝a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝ =，因为a，b，c是不全相等的任意整数，所以根据平方的非负性可得0，0，0，所以x＋y＋z0，与“x＋y＋z≤0”矛盾，则假设不成立，所以x，y，z中至少有一个大于零．
18．【答案】（1）解：是假命题，
当a=﹣3时，，但a≠3，所以命题（1）是假命题；
（2）是真命题，
证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠DFC=∠DEB=90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS）
∴BD=CD，
∴AD是△ABC的中线，
∴所以命题（2）是真命题．
【知识点】反证法
【解析】【分析】（1）利用a=﹣3时，，但a≠3，得出命题错误；
（2）利用已知得出△BED≌△CFD，进而求出BD=CD，得出AD是△ABC的中线．
19．【答案】证明：假设x1=x2，
则方程x2﹣2abx+2a+2b=0有两个相等的实数根，
∴△=4a2b2﹣8a﹣8b=4a2b2﹣4（2a+2b）=0，
则a2b2=2a+2b，a2b2=2（a+b）．
∵a、b是正整数，
∴2（a+b）是偶数，
∴a2b2也是偶数，
又∵a、b为正整数，
∴a、b中必有一个是2的倍数，不妨设a是偶数，即a是2的倍数，则a2是4的倍数．
∴a2b2是4的倍数．
∴a+b是2的倍数．
∵a是2的倍数，a2b2=2（a+b），
∴=a+b，=，
=+
∵a、b是偶数，
∴位正偶数，
∴+为正整数．
又∵a、b位偶数，
∴a=b=2，
此时，a2b2=16，而2（a+b）=8，
a2b2≠2（a+b）与事实不符．
∴△≠0，即x1≠x2．
【知识点】反证法
【解析】【分析】假设x1=x2，则方程x2﹣2abx+2a+2b=0有两个相等的实数根，即判别式△=0，据此即可得到a和b的关系，然后根据a、b是正整数从而得到错误的结论，从而证明△=0错误，得到所证的结论．
20．【答案】解：（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°．
先假设所求证的结论不成立，即三角形内角中全都小于60°；
故答案为：三角形内角中全都小于60°；
（2）逆命题：“一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，则k＞0，b＞0，”
逆命题为假命题，反例：当b=0时，一次函数图象也不过第二象限 （不唯一）．
【知识点】反证法
【解析】【分析】（1）直接利用反证法的第一步分析得出答案；
（2）利用命题与定理，首先写出假命题进而得出答案；
21．【答案】证明：假设该多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，
∴x3+bx2+cx+d（x+a）（x2+mx+n）（a，m，n均是整数），
即x3+bx2+cx+dx3+（m+a）x2+（am+n）x+an，
∴b=m+a，c=am+n，d=an，
∵bd+cd=（b+c）d为奇数，
∴b+c是奇数且d也是奇数，
∴d=an可得a是奇数，n也是奇数，
∴b+c=m+a+am+n=m（a+1）+（a+n），
∴a+1是偶数，a+n也是偶数，
∴b+c也是偶数，这与题意相矛盾，
∴假设不成立，a，m，n不是整数，
∴这个多项式不能表示为两个整系数的多项式的乘积．
【知识点】反证法
【解析】【分析】假设该多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，即x3+bx2+cx+d（x+a）（x2+mx+n）x3+（m+a）x2+（am+n）x+an（a，m，n均是整数），根据恒等式相对应的系数相等，再分析，可得假设与题意相矛盾，即假设不成立，故得证.
22．【答案】证明：在平面上任取一点O，过O点分别作这8条直线的平行线l1'、l2'、l3'、l4'、l5'、l6'、l7' 、l8'；由平行线的性质知： l1'、l2'、l3'、l4'、l5'、l6'、l7' 、l8'之间互成的角与原来的8条直线 l1、l2、...、l8之间互成的角相等．
∴我们可考察l1'、l2'、l3'、l4'、l5'、l6'、l7' 、l8'与 l1' 所成的角，不难发现这8个角的和为一个平角，即180°．
假设这八个角没有一个小于23°，则这8个角的和至少为：23°×8=184°；这是不可能的．
∴这七个角中至少有一个小于23°，
不妨设为 l1' 与 l2' 的交角小于23°，
即原来的直线 l1与l2 所成的角小于23°．
【知识点】反证法
【解析】【分析】假设这八个角没有一个小于23°，算出这8个角的和大于180°，与已知矛盾，从而得出原命题成立.
23．【答案】证明：在平面上任取一点O．过O点分别作这7条直线的平行线
由平行线的性质知， 之间互成的角与原来的7条直线 之间互成的角相等．
所以我们可考察 与 ， ， ，…， 与 所成的角，由图，不难发现这7个角的和为一个平角，即180°．
假设这七个角没有一个小于26°，则这7个角的和至少为：26°×7=182°．这是不可能的．
因此，这七个角中至少有一个小于26°．
不妨设为 与 的交角小于26°，则原来的直线 所成的角小于26°．
【知识点】反证法
【解析】【分析】假设这七个角没有一个小于26°，算出这7个角的和大于180°，与已知矛盾，从而得出原命题成立.
1 / 12018-2019学年初中数学浙教版八年级下册4.6 反证法 同步练习
一、单选题
1．（2018八上·海口期中）下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（ ）
A．a=-2 B．a=-1 C．a= 1 D．a=2
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a=-2，
∵（-2）2＞1，但是a=-2＜1，
∴A符合题意；
故答案为：A．
【分析】此题实际上是用举例子的方法来证明结论的错误性，只要举出的例子满足 a2＞1，但又不满足a＞1 即可。
2．（2018八下·乐清期末）对于命题“已知：a∥b，b∥c，求证：a∥c”．如果用反证法，应先假设（ ）
A．a不平行b B．b不平行c C．a⊥c D．a不平行c
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：对于命题“已知：a∥b，b∥c，求证：a∥c”．如果用反证法
应先假设a不平行c
故答案为：D
【分析】根据反证法的第一步就是假设结论的反面，即可得出答案。
3．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册4.6反证法 同步练习）应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（ ）
①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立可知可以作为条件使用的有①②③。
【分析】利用反证法的证题思想，即可得到结论。
4．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册4.6反证法 同步练习）命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是（ ）
A．a【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】“a>b”的否定应为“a＝b或a【分析】因为a与b的大小关系有三种情况：“a>b”、“a＝b、ab”的否定应为a≤b。
5．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册4.6反证法 同步练习）否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为（ ）
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C．a、b、c都是偶数
D．a、b、c中至少有两个偶数
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故答案为：B.
【分析】因为a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数。根据命题的否定形式可知“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为“a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数”。
6．（2018·兴化模拟）用反证法证明：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF．证明该命题的第一个步骤是（ ）
A．假设CD∥EF B．假设AB∥EF
C．假设CD和EF不平行 D．假设AB和EF不平行（ ）
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】
用反证法证明：“如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF”，这一命题时，第一步应该是：“假设CD和EF不平行”.
故答案为：C.
【分析】因为“用反证法证明命题的第一步：通常是假设所证结论不成立”，故用反证法证明：“如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF”，这一命题时，第一步应该是：“假设CD和EF不平行”.
7．（2017八下·萧山期中）用反证法证明命题“四边形四个内角中至少有一个角大于等于 ”，我们应该假设（ ）
A．四个角都小于 B．最多有一个角大于或等于
C．有两个角小于 D．四个角都大于或等于
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】应该假设四个角都小于 .
故答案为：A.
【分析】假设问题的反面成立即可.
8．（2016八上·浙江期中）在下列各数中可以用来证明命题“质数一定是奇数”是假命题的反例是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】2为质数，但是2不是奇数.
故答案为：A
【分析】举出反例即可.
9．设a、b、c是互不相等的任意正数，则x、y、z这三个数（ ）
A．都不大于2 B．至少有一个大于2
C．都不小于2 D．至少有一个小于2
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：a、b、c是互不相等的任意正数，不妨设a＞b＞c＞0，
∵a＞b＞c＞0，
∴z一定大于2，而x，y不确定．
故至少有一个大于2．
故选B．
【分析】a、b、c是互不相等的任意正数，不妨设a＞b＞c＞0，根据a2+b2≥2ab，即可作出判断．
10．（2017八下·宁波期中）用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45 ”，应先假设这个直角三角形中（ ）
A．有一个锐角小于45 B．每一个锐角都小于45
C．有一个锐角大于45 D．每一个锐角都大于45
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°．
故选D．
【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．
二、填空题
11．（湘教版八年级数学上册 2.2.3证明 同步练习）如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠1、∠2是同位角，如果∠1≠∠2，那么AB与CD不平行．用反证法证明这个命题时，应先假设： .
【答案】AB∥CD
【知识点】反证法
【解析】【解答】利用假设法来进行证明时，首先假设结论成立，即应先假设AB∥CD。
故答案为：AB∥CD.
【分析】利用反证法进行证明时，第一个步骤是假设结论成立，即AB和CD平行。
12．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册4.6反证法 同步练习）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为
【答案】③①②
【知识点】反证法
【解析】【解答】由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②
【分析】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立。所以正确顺序的序号排列③①②。
13．（2018八上·南召期末）为说明命题“如果a＞b，那么 ”是假命题，你举出的反例是 ．
【答案】当a=2，b=1时，a＞b，但 ．
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：当a=2，b=1时，满足命题的题设a＞b的要求，
而 = ， =1，显然 ，不支持原命题的结论 ，
故填当a=2，b=1时，a＞b，但 ．
【分析】开放性的命题，只要举出的例子满足题设a＞b的要求，然后再分别算出其倒数，不支持原命题的结论 的即可。
14．（湘教版八年级数学上册 2.2.3证明 同步练习）某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“902班得冠军，904班得第三”；乙说：“901班得第四，903班得亚军”；丙说：“903班得第三，904班得冠军”．赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是 ．
【答案】902班
【知识点】反证法
【解析】【解答】假设甲说的“902班得冠军”是正确的，那么丙说的“904班得冠军”是错误的，“903班得第三”就是正确的，那么乙说的“903班得亚军”是错误的，“901班得第四”是正确的，这样三人都猜对了一半，且没矛盾．则甲猜测是正确的。
故答案为：902班．
【分析】根据一个人的猜测为起点，检验其他人的预测结果，是否只猜对一半即可。
15．（2018八下·宁波期中）用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果内错角不相等，那么这两条直线不平行
已知：如图，直线a，b被直线c所截，∠1，∠2是内错角，且∠1≠∠2
求证：a不平行b.
证明：假设 ，
则 （ ）
又∴ ∠1=∠3
∴ ∠1=∠2. 这与已知 矛盾，
∴ 不成立.
∴ .
【答案】a//b；∠1=∠3；两直线平行，同旁内角互补；∠1≠∠2；假设；a不平行于b
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：
求证：a不平行b.
证明：假设a//b，
则∠1=∠3（两直线平行，同旁内角互补）
又∴ ∠1=∠3
∴ ∠1=∠2. 这与已知 ∠1≠∠2矛盾，
∴ 假设不成立.
∴ a不平行于b.
故答案为：a//b；∠1=∠3；两直线平行，同旁内角互补；∠1≠∠2；假设；a不平行于b.。
【分析】运用反证法，第一步是假设结论不成立；这道题属于填空类，需要按着它的思路解答。
16．用反证法证明命题“在△ABC中，如果∠B≠∠C，那么AB≠AC．”第一步应假设
【答案】AB=AC
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在△ABC中，∠B≠∠C，那么AB≠AC”的过程中，
第一步应是假设AB=AC．
故答案为：AB=AC．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
三、解答题
17．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册4.6反证法 同步练习）设a，b，c是不全相等的任意整数，若x＝a2－bc，y＝b2－ac，z＝c2－ab.求证：x，y，z中至少有一个大于零．
【答案】解：假设x≤0，y≤0，z≤0，则x＋y＋z≤0.∵x＋y＋z＝a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝ ，又∵a，b，c是不全相等的任意整数，∴x＋y＋z＝ ＞0，这与“x＋y＋z≤0”矛盾．∴假设不成立．∴x，y，z中至少有一个大于零．
【知识点】完全平方公式及运用；反证法；偶次方的非负性
【解析】【分析】此题可用反证法证明。假设x，y，z都小于0，于是有x＋y＋z≤0.根据完全平方公式可得，x＋y＋z＝a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝ =，因为a，b，c是不全相等的任意整数，所以根据平方的非负性可得0，0，0，所以x＋y＋z0，与“x＋y＋z≤0”矛盾，则假设不成立，所以x，y，z中至少有一个大于零．
18．判断下列命题的真假，并给出证明（若是真命题给出证明，若是假命题举出反例）：
（1）若，则a=3；
（2）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，且BE=CF．则AD是△ABC的中线．
【答案】（1）解：是假命题，
当a=﹣3时，，但a≠3，所以命题（1）是假命题；
（2）是真命题，
证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠DFC=∠DEB=90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS）
∴BD=CD，
∴AD是△ABC的中线，
∴所以命题（2）是真命题．
【知识点】反证法
【解析】【分析】（1）利用a=﹣3时，，但a≠3，得出命题错误；
（2）利用已知得出△BED≌△CFD，进而求出BD=CD，得出AD是△ABC的中线．
19．阅读以下证明过程：
已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB=c，AC=b，BC=a．求证：a2+b2≠c2．
证明：假设a2+b2=c2，则由勾股定理逆定理可知∠C=90°，这与已知中的∠C≠90°矛盾，故假设不成立，所以a2+b2≠c2．
请用类似的方法证明以下问题：
已知：a，b是正整数，若关于x的一元二次方程x2+2a（1﹣bx）+2b=0有两个实根x1和x2，求证：x1≠x2．
【答案】证明：假设x1=x2，
则方程x2﹣2abx+2a+2b=0有两个相等的实数根，
∴△=4a2b2﹣8a﹣8b=4a2b2﹣4（2a+2b）=0，
则a2b2=2a+2b，a2b2=2（a+b）．
∵a、b是正整数，
∴2（a+b）是偶数，
∴a2b2也是偶数，
又∵a、b为正整数，
∴a、b中必有一个是2的倍数，不妨设a是偶数，即a是2的倍数，则a2是4的倍数．
∴a2b2是4的倍数．
∴a+b是2的倍数．
∵a是2的倍数，a2b2=2（a+b），
∴=a+b，=，
=+
∵a、b是偶数，
∴位正偶数，
∴+为正整数．
又∵a、b位偶数，
∴a=b=2，
此时，a2b2=16，而2（a+b）=8，
a2b2≠2（a+b）与事实不符．
∴△≠0，即x1≠x2．
【知识点】反证法
【解析】【分析】假设x1=x2，则方程x2﹣2abx+2a+2b=0有两个相等的实数根，即判别式△=0，据此即可得到a和b的关系，然后根据a、b是正整数从而得到错误的结论，从而证明△=0错误，得到所证的结论．
20．（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°．先假设所求证的结论不成立，即 三角形内角中全都小于60° ；
（2）写出命题“一次函数y=kx+b，若k＞0，b＞0，则它的图象不经过第二象限．”的逆命题，并判断逆命题的真假．若为真命题，请给予证明；若是假命题，请举反例说明．
【答案】解：（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°．
先假设所求证的结论不成立，即三角形内角中全都小于60°；
故答案为：三角形内角中全都小于60°；
（2）逆命题：“一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，则k＞0，b＞0，”
逆命题为假命题，反例：当b=0时，一次函数图象也不过第二象限 （不唯一）．
【知识点】反证法
【解析】【分析】（1）直接利用反证法的第一步分析得出答案；
（2）利用命题与定理，首先写出假命题进而得出答案；
21．（第14讲 待定系数——练习题）已知 x3+bx2+cx+d 的系数都是整数．若bd+cd为奇数，求证：这个多项式不能表示为两个整系数的多项式的乘积．
【答案】证明：假设该多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，
∴x3+bx2+cx+d（x+a）（x2+mx+n）（a，m，n均是整数），
即x3+bx2+cx+dx3+（m+a）x2+（am+n）x+an，
∴b=m+a，c=am+n，d=an，
∵bd+cd=（b+c）d为奇数，
∴b+c是奇数且d也是奇数，
∴d=an可得a是奇数，n也是奇数，
∴b+c=m+a+am+n=m（a+1）+（a+n），
∴a+1是偶数，a+n也是偶数，
∴b+c也是偶数，这与题意相矛盾，
∴假设不成立，a，m，n不是整数，
∴这个多项式不能表示为两个整系数的多项式的乘积．
【知识点】反证法
【解析】【分析】假设该多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，即x3+bx2+cx+d（x+a）（x2+mx+n）x3+（m+a）x2+（am+n）x+an（a，m，n均是整数），根据恒等式相对应的系数相等，再分析，可得假设与题意相矛盾，即假设不成立，故得证.
22．（第12讲 平行——练习题）平面上有8条直线两两相交．试证明在所有的交角中至少有一个角小于23°．
【答案】证明：在平面上任取一点O，过O点分别作这8条直线的平行线l1'、l2'、l3'、l4'、l5'、l6'、l7' 、l8'；由平行线的性质知： l1'、l2'、l3'、l4'、l5'、l6'、l7' 、l8'之间互成的角与原来的8条直线 l1、l2、...、l8之间互成的角相等．
∴我们可考察l1'、l2'、l3'、l4'、l5'、l6'、l7' 、l8'与 l1' 所成的角，不难发现这8个角的和为一个平角，即180°．
假设这八个角没有一个小于23°，则这8个角的和至少为：23°×8=184°；这是不可能的．
∴这七个角中至少有一个小于23°，
不妨设为 l1' 与 l2' 的交角小于23°，
即原来的直线 l1与l2 所成的角小于23°．
【知识点】反证法
【解析】【分析】假设这八个角没有一个小于23°，算出这8个角的和大于180°，与已知矛盾，从而得出原命题成立.
23．（第12讲 平行——例题） 7条直线两两相交，试证明：在所有的交角中，至少有一个角小于26°．
【答案】证明：在平面上任取一点O．过O点分别作这7条直线的平行线
由平行线的性质知， 之间互成的角与原来的7条直线 之间互成的角相等．
所以我们可考察 与 ， ， ，…， 与 所成的角，由图，不难发现这7个角的和为一个平角，即180°．
假设这七个角没有一个小于26°，则这7个角的和至少为：26°×7=182°．这是不可能的．
因此，这七个角中至少有一个小于26°．
不妨设为 与 的交角小于26°，则原来的直线 所成的角小于26°．
【知识点】反证法
【解析】【分析】假设这七个角没有一个小于26°，算出这7个角的和大于180°，与已知矛盾，从而得出原命题成立.
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