初中数学浙教版九年级上册3.4 圆心角 基础巩固训练
一、单选题
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A.在同圆或等圆中，等弦所对的弧相等，故错误，A不符合题意；
B.相等的弧所对的弦相等，故正确，B符合题意；
C.在同圆或等圆中，相等的圆心角，所对的弦相等，故错误，C不符合题意；
D.在同圆或等圆中，等弦所对的圆心角相等，故错误，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】在同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；等弦所对的圆心角相等；相等的圆心角，所对的弦相等；由此可一一判断对错，从而得出答案.
2．如果两条弦相等，那么（ ）
A．这两条弦所对的圆心角相等 B．这两条弦所对的弧相等
C．这两条弦所对的弦心距相等 D．以上说法都不对
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】选项A、B、C成立的前提都是在同圆或等圆中．故答案为：D
【分析】根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得，A、B、C选项都不对，缺少了前提条件“在同圆或等圆中”。
3．将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数之比为2：3：4，则这个扇形圆心角的度数为（ ）
A．30°，60°，90° B．60°，120°，180°
C．50°，100°，150° D．80°，120°，160°
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：设圆心角的度数分别为2x、3x、4x，
由题意得，2x+3x+4x=360°，
解得，x=40°，
则这三个扇形圆心角的度数为80°、120°、160°，
故答案为：D．
【分析】根据这三个扇形的圆心角的度数之比为2：3：4，而这三个角组成一个周角，可列方程求解。
4．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB=CD，那么 与 的关系是（ ）
A． = B． ＞
C． ＜ D．不能确定
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：在同圆和等圆中相等的弦所对的弧才会相等，要注意同圆和等圆的条件，本题是两个不同的圆，所以无法判断两弦所对的弧的大小，
故答案为：D
【分析】根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可知，题目中缺少了条件“在同圆或等圆中”。
5．如图，已知AB是☉O的直径，D，C是劣弧EB的三等分点，∠BOC=40°，那么∠AOE=（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ∵D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC=40° ，
∴∠EOD=∠COD=∠BOC=40° ，
∴∠AOE=60°．
故答案为：B
【分析】根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得∠EOD=∠COD=∠BOC，则∠AOE=180-3∠BOC即可求解。
6．（2019九上·光明期中）如图，已知AB是⊙O的直径，∠CBA=25°，则∠D的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CBA=25°，
∴∠CAB=90°-∠CBA=65°，
∴∠D=∠CAB=65°．
故答案为：B．
【分析】根据直径所对的圆心角为直角，利用角度的换算可得出∠D的度数。
7．（2018九上·泰州月考）已知，如图， ，下列结论不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D． 、 都是等边三角形
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵∠AOB=∠COD，
∴AB=CD，OA=OB=OC=OD，
∴△AOB≌△COD，
∴A、B、C成立，则D不成立，
故答案为：D
【分析】利用圆心角、弧、弦的关系定理，可证得AB=CD，弧AB=CD，再利用SSS可证得△AOB≌△COD，即可得出不一定成立的结论。
二、填空题
8．（2017九上·南涧期中）在半径为R的⊙O中，有一条弦等于半径，则弦所对的圆心角为 .
【答案】60°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】如图，
AB=OA=OB，
所以△ABC为等边三角形，
所以∠AOB=60°．
故答案为60°．
【分析】由由已知弦与半径相等，可得出△AOB是等边三角形，就可得出弦所对的圆心角的度数。
9．（2019九上·龙山期末）一条弦把圆分为2∶3的两部分，那么这条弦所对的圆周角度数为 。
【答案】72°或108°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】由题意可知，这条弦将圆分割成两个弧，两个弧的比为2：3，两个弧的所对的圆心角的比也为2：3，
所以这两个弧所对的圆心角分别为144°，216°，
根据圆周角定理，即可求得这条弦所对的圆周角的度数为72°或108°。
故答案为：72°或108°。
【分析】此题主要考查圆弧所对的圆心角，由弦将圆分成两部分的比即可求得两部分圆心角的度数，再由同圆或等圆中，圆周角的度数等于圆心角的一半这个圆周角定理，即可求得弦所对的圆周角的度数。
10．如图，已知AB，CD是☉O的直径， = ，∠AOE=32°，那么∠COE的度数为 度.
【答案】64
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴∠AOE=∠COA；
又∠AOE=32°，
∴∠COA=32°，
∴∠COE=∠AOE+∠COA=64°.
故答案为：64
【分析】根据在同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等，即可解答。
11．如图，圆心角∠AOB＝20°，将 旋转n°得到 ，则 的度数是 度．
【答案】20
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：弦AB=弦CD，所以 的度数还是20°
【分析】根据定理在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦这三组量中，有一组量相等，则其余各组量也相等即可求解。
12．如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE，OF分别为AB，CD的弦心距，连接OA，OB，OC，OD，如果AB＝CD，则可得出结论： ．(至少填写两个)
【答案】OE＝OF(∠AOB＝∠COD本题答案不唯一)
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE=OF， ∠AOB=∠COD
【分析】本题答案不唯一。根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得∠AOB=∠COD；OE=OF；弧AB=弧CD等。
三、解答题
13．（2018九上·库伦旗期末）如图，在⊙O中，= ，∠ACB=60°，
求证∠AOB=∠BOC=∠COA.
【答案】证明：∵= ，∴AB=AC，△ABC为等腰三角形（相等的弧所对的弦相等）∵∠ACB=60°∴△ABC为等边三角形，AB=BC=CA∴∠AOB=∠BOC=∠COA（相等的弦所对的圆心角相等）
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆内弧相等可得AB=AC，即△ABC为等腰三角形。再根据∠ACB=60°可判定△ABC为等边三角形，所以AB=BC=CA。最后根据相等的弦所对的圆心角相等可得AOB=∠BOC=∠COA。
14．（2018九上·金华期中）已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，且AB=CD，求证：∠AOC=∠BOD．
【答案】证明：∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD，∴∠AOB－∠COB=∠COD－∠COB，∴∠AOC=∠BOD
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理，可得出∠AOB=∠COD，再证明∠AOC=∠BOD即可。
15．（2018九上·邗江期中）如图： ，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD=CE．
【答案】证明：连接OC，如图所示：在⊙O中，∵∴∠AOC=∠BOC∵OA=OB， 分别是半径 和 的中点∴OD=OE，又∵OC=OC∴△COD≌△COE(SAS)∴CD=CE
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接OC，根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可证得∠AOC=∠BOC，再利用SAS证明△COD≌△COE，然后利用全等三角形的性质，可证得结论。
1 / 1初中数学浙教版九年级上册3.4 圆心角 基础巩固训练
一、单选题
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等
2．如果两条弦相等，那么（ ）
A．这两条弦所对的圆心角相等 B．这两条弦所对的弧相等
C．这两条弦所对的弦心距相等 D．以上说法都不对
3．将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数之比为2：3：4，则这个扇形圆心角的度数为（ ）
A．30°，60°，90° B．60°，120°，180°
C．50°，100°，150° D．80°，120°，160°
4．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB=CD，那么 与 的关系是（ ）
A． = B． ＞
C． ＜ D．不能确定
5．如图，已知AB是☉O的直径，D，C是劣弧EB的三等分点，∠BOC=40°，那么∠AOE=（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
6．（2019九上·光明期中）如图，已知AB是⊙O的直径，∠CBA=25°，则∠D的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2018九上·泰州月考）已知，如图， ，下列结论不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D． 、 都是等边三角形
二、填空题
8．（2017九上·南涧期中）在半径为R的⊙O中，有一条弦等于半径，则弦所对的圆心角为 .
9．（2019九上·龙山期末）一条弦把圆分为2∶3的两部分，那么这条弦所对的圆周角度数为 。
10．如图，已知AB，CD是☉O的直径， = ，∠AOE=32°，那么∠COE的度数为 度.
11．如图，圆心角∠AOB＝20°，将 旋转n°得到 ，则 的度数是 度．
12．如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE，OF分别为AB，CD的弦心距，连接OA，OB，OC，OD，如果AB＝CD，则可得出结论： ．(至少填写两个)
三、解答题
13．（2018九上·库伦旗期末）如图，在⊙O中，= ，∠ACB=60°，
求证∠AOB=∠BOC=∠COA.
14．（2018九上·金华期中）已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，且AB=CD，求证：∠AOC=∠BOD．
15．（2018九上·邗江期中）如图： ，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD=CE．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A.在同圆或等圆中，等弦所对的弧相等，故错误，A不符合题意；
B.相等的弧所对的弦相等，故正确，B符合题意；
C.在同圆或等圆中，相等的圆心角，所对的弦相等，故错误，C不符合题意；
D.在同圆或等圆中，等弦所对的圆心角相等，故错误，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】在同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；等弦所对的圆心角相等；相等的圆心角，所对的弦相等；由此可一一判断对错，从而得出答案.
2．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】选项A、B、C成立的前提都是在同圆或等圆中．故答案为：D
【分析】根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得，A、B、C选项都不对，缺少了前提条件“在同圆或等圆中”。
3．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：设圆心角的度数分别为2x、3x、4x，
由题意得，2x+3x+4x=360°，
解得，x=40°，
则这三个扇形圆心角的度数为80°、120°、160°，
故答案为：D．
【分析】根据这三个扇形的圆心角的度数之比为2：3：4，而这三个角组成一个周角，可列方程求解。
4．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：在同圆和等圆中相等的弦所对的弧才会相等，要注意同圆和等圆的条件，本题是两个不同的圆，所以无法判断两弦所对的弧的大小，
故答案为：D
【分析】根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可知，题目中缺少了条件“在同圆或等圆中”。
5．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ∵D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC=40° ，
∴∠EOD=∠COD=∠BOC=40° ，
∴∠AOE=60°．
故答案为：B
【分析】根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得∠EOD=∠COD=∠BOC，则∠AOE=180-3∠BOC即可求解。
6．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CBA=25°，
∴∠CAB=90°-∠CBA=65°，
∴∠D=∠CAB=65°．
故答案为：B．
【分析】根据直径所对的圆心角为直角，利用角度的换算可得出∠D的度数。
7．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵∠AOB=∠COD，
∴AB=CD，OA=OB=OC=OD，
∴△AOB≌△COD，
∴A、B、C成立，则D不成立，
故答案为：D
【分析】利用圆心角、弧、弦的关系定理，可证得AB=CD，弧AB=CD，再利用SSS可证得△AOB≌△COD，即可得出不一定成立的结论。
8．【答案】60°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】如图，
AB=OA=OB，
所以△ABC为等边三角形，
所以∠AOB=60°．
故答案为60°．
【分析】由由已知弦与半径相等，可得出△AOB是等边三角形，就可得出弦所对的圆心角的度数。
9．【答案】72°或108°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】由题意可知，这条弦将圆分割成两个弧，两个弧的比为2：3，两个弧的所对的圆心角的比也为2：3，
所以这两个弧所对的圆心角分别为144°，216°，
根据圆周角定理，即可求得这条弦所对的圆周角的度数为72°或108°。
故答案为：72°或108°。
【分析】此题主要考查圆弧所对的圆心角，由弦将圆分成两部分的比即可求得两部分圆心角的度数，再由同圆或等圆中，圆周角的度数等于圆心角的一半这个圆周角定理，即可求得弦所对的圆周角的度数。
10．【答案】64
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴∠AOE=∠COA；
又∠AOE=32°，
∴∠COA=32°，
∴∠COE=∠AOE+∠COA=64°.
故答案为：64
【分析】根据在同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等，即可解答。
11．【答案】20
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：弦AB=弦CD，所以 的度数还是20°
【分析】根据定理在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦这三组量中，有一组量相等，则其余各组量也相等即可求解。
12．【答案】OE＝OF(∠AOB＝∠COD本题答案不唯一)
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE=OF， ∠AOB=∠COD
【分析】本题答案不唯一。根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得∠AOB=∠COD；OE=OF；弧AB=弧CD等。
13．【答案】证明：∵= ，∴AB=AC，△ABC为等腰三角形（相等的弧所对的弦相等）∵∠ACB=60°∴△ABC为等边三角形，AB=BC=CA∴∠AOB=∠BOC=∠COA（相等的弦所对的圆心角相等）
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆内弧相等可得AB=AC，即△ABC为等腰三角形。再根据∠ACB=60°可判定△ABC为等边三角形，所以AB=BC=CA。最后根据相等的弦所对的圆心角相等可得AOB=∠BOC=∠COA。
14．【答案】证明：∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD，∴∠AOB－∠COB=∠COD－∠COB，∴∠AOC=∠BOD
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理，可得出∠AOB=∠COD，再证明∠AOC=∠BOD即可。
15．【答案】证明：连接OC，如图所示：在⊙O中，∵∴∠AOC=∠BOC∵OA=OB， 分别是半径 和 的中点∴OD=OE，又∵OC=OC∴△COD≌△COE(SAS)∴CD=CE
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接OC，根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可证得∠AOC=∠BOC，再利用SAS证明△COD≌△COE，然后利用全等三角形的性质，可证得结论。
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