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初中数学浙教版八年级下册2.2 一元二次方程的解法-配方法 同步训练
一、单选题
1．（2019九上·天台月考）将方程 左边变成完全平方式后，方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019九上·台州期中）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣8＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣6）2＝﹣8+36 B．（x﹣6）2＝8+36
C．（x﹣3）2＝8+9 D．（x﹣3）2＝﹣8+9
3．（2019八下·瑞安期末）用配方法将方程x2+4x﹣4＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（ ）
A．﹣2，0 B．2，0 C．﹣2，8 D．2，8
4．（2019九上·镇原期末）将方程x2+4x＝5左边配方成完全平方式，右边的常数应该是( )
A．9 B．1 C．6 D．4
5．对一元二次方程x2﹣ax=3进行配方时，两边同时加上（ ）
A． B． C． D．a2
6．（2019九上·白云期末）用配方法解下列方程时，配方有错误的是( )
A． -2x-99=0化为 =100
B．2 -7x-4=0化为
C． +8x+9=0化为 =25
D．3 -4x-2=0化为
7．（2018·泰安）一元二次方程 根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3
8．用配方法解下列方程，其中应在方程的左右两边同时加上4的是（ ）
A． -2x=5 B． +4x=5 C． +2x=5 D．2 -4x=5
二、填空题
9．（2019九上·农安期中）将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab= ．
10．已知： ，则 = ．
11．如果一元二次方程 经过配方后，得 ，那么a= .
12．用配方法解方程时，将方程x2+8x+9=0配方为（x+ ）2=
13．配方法解一元二次方程ax2+bx﹣c=0（a≠0，c＞0）得到（x﹣c）2=4c2，从而解得方程一根为1，则a﹣3b= ．
三、解答题
14．用配方法解下列方程：
（1）x2+2x-8=0
（2）x2+12x-15=0
（3）x2-4x=16
（4）x2=x+56
15．（2019九上·凤翔期中）解下列方程
（1）
（2） （配方法）
16．用配方法求一元二次方程 的实数根．
17．（2018九上·南京期中）请用配方法解关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．
18．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．
小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”
（1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的．
（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2+8x+9=0,
移项：x2+8x=-9,
配方：x2+8x+16=16-9,
(x+4)2=7.
故答案为：B.
【分析】把原方程移项、左边配方即得结果.
2．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】x2-6x-8=0，
x2-6x=8，
x2-6x+9=8+9，
（x-3）2=17，
故选C．
【分析】移项，配方，即可得出答案．
3．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2+4x﹣4＝0 ，
移项得:x2+4x=4 ，
配方得：x2+4x+4=4+4，
（x+2）2＝8，
则m=2,n=8;
故答案为：D.
【分析】把原方程移项、配方，和 （x+m）2＝n比较，即可求得m、n的值。
4．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】∵ ，∴ ，∴ ，故A选项为正确答案.
【分析】直接将方程左右两边都加上4，左边写成完全平方式，据此解答即可.
5．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：B．
【分析】配方时要加上一次项系数一半的平方。
6．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】A. ∵ -2x-99=0，∴ -2x+1=99+1，∴可化为 =100，不符合题意；
B. 2 -7x-4=0，∴ - x+ =2+ ，∴可化为 ，不符合题意；
C. +8x+9=0，∴ +8x+16=-9+16，∴可化为 =7，故符合题意；
D. 3 -4x-2=0，∴ - 4x+ = + ，∴可化为 ，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据配方法的步骤逐项分析即可.
7．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（x+1）（x﹣3）=2x﹣5
整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，
则x2﹣4x+2=0，（x﹣2）2=2，
解得：x1=2+ ＞3，x2=2﹣ ，
故有两个正根，且有一根大于3．
故答案为：D．
【分析】利用配方法求出方程的两个根，判断即可得出答案。
8．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A.因为本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1，不符合题意；
B.因为本方程的一次项系数是4，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方4，符合题意；
C.因为本方程的一次项系数是2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1，不符合题意；
D.将该方程的二次项系数化为1 -2x= ，所以本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1，不符合题意；
故答案为：B
【分析】观察各选项的系数，要在方程的左右两边同时加上4，必须满足二次项系数是1，且一次项系数的绝对值是4，即可求解。
9．【答案】12
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】x2 6x+5=0，
x2 6x= 5，
x2 6x+9= 5+9，
(x 3)2=4，
所以a=3，b=4，
ab=12，
故答案为：12.
【分析】根据配方法的步骤：先移项，然后等号左右两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方，最后进行配方，变形后即可求出对应的a,b的值.
10．【答案】3
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原式可化为：
所以可得：
解得
故答案为3
【分析】配方法化这个二元一次方程的表达式，最终得到答案
11．【答案】-6
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： =3 即 则a=-6
【分析】由(x 3)2=3，可得出x2 6x+6=0，从而可求得a的值。
12．【答案】4；7
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程x2+8x+9=0，
移项得：x2+8x=-9，
配方得：x2+8x+16=7，即（x+4）2=7．
故答案为：4；7
【分析】将常数项移到方程的右边，根据等式的性质，方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，即可得出答案。
13．【答案】3
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由（x﹣c）2=4c2可得x﹣c=±2c，
∴x=c±2c，
即x=﹣c或x=3c，
∵方程一根为1，且c＞0，
则3c=1，即c= ，
∴原方程为（x﹣ ）2= ，
整理得：x2﹣ x﹣ =0，
∴a=1，b=﹣ ，
∴a﹣3b=1+2=3，
故答案为：3．
【分析】由（x﹣c）2=4c2可得x=﹣c或x=3c，根据方程一根为1且c＞0得c= ，将其代入（x﹣c）2=4c2并整理可得x2﹣ x﹣ =0，从而得知a、b的值，即可得答案．
14．【答案】（1）解：x2+2x-8=0，
x2+2x=8，
x2+2x+12=8+12，即(x+1)2=9，
则x+1=±3，
x= 1±3，
即
（2）解：x2+12x-15=0，
x2+12x=15，
x2+12x+62=15+62，即(x+6)2=51，
则x+6=± ，
x= 6± ，
即
（3）解：x2-4x=16，
x2-4x+22=16+22，即(x-2)2=20，
则x-2=± ，
x=2± ，
（4）解：x2=x+56，
x2-x+ 2=56+ 2，
（ 2= ，
则x- =± ，
x- =± + ，
即 .
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】用配方法解一元二次方程的步骤：1、将二次项系数化为1，并把常数项移到等号的右边；2、方程两边加上一次项系数一半的平方；3、左边配成完全平方式；4、当右边的常数项为非负数时，方程两边开平方；5、写出方程的两个根。
15．【答案】（1）解：
∴
解得： ，
（2）解：
∴
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解方程；（2）利用配方法解方程；
16．【答案】解：原方程化为一般形式为 ，
，
，
，
，
所以
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】将原方程化为一般形式 。等式两边同时除以2，化简二次项的系数。再进行配方法。配方法：将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式，或几个完全平方式的和。
17．【答案】解：（x＋ ）2＝b2－4ac. 当b2－4ac＜0时，此方程无解； 当b2－4ac＝0时， x1＝x2＝－ ； 当b2－4ac＞0时， x＝
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】移项，将常数项移到方程的右边，然后方程两边都除以二次项的系数a，再在方程的左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，然后分类讨论： ①当b2－4ac＜0时，此方程无解； ②当b2－4ac＝0时， x1＝x2＝－ ； ③当b2－4ac＞0时， x＝ ，即可。
18．【答案】（1）⑤
（2）解：x2+2nx﹣8n2=0，
x2+2nx=8n2，
x2+2nx+n2=8n2+n2，
（x+n）2=9n2，
x+n=±3n，
x1=2n，x2=﹣4n
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，
故答案为：⑤；
【分析】（1）阅读解答过程，可得出答案。
（2）根据用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把常数项移到方程的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将原方程转化为（x-m）2=n的形式，然后利用直接开平方法求出方程的解。
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初中数学浙教版八年级下册2.2 一元二次方程的解法-配方法 同步训练
一、单选题
1．（2019九上·天台月考）将方程 左边变成完全平方式后，方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2+8x+9=0,
移项：x2+8x=-9,
配方：x2+8x+16=16-9,
(x+4)2=7.
故答案为：B.
【分析】把原方程移项、左边配方即得结果.
2．（2019九上·台州期中）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣8＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣6）2＝﹣8+36 B．（x﹣6）2＝8+36
C．（x﹣3）2＝8+9 D．（x﹣3）2＝﹣8+9
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】x2-6x-8=0，
x2-6x=8，
x2-6x+9=8+9，
（x-3）2=17，
故选C．
【分析】移项，配方，即可得出答案．
3．（2019八下·瑞安期末）用配方法将方程x2+4x﹣4＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（ ）
A．﹣2，0 B．2，0 C．﹣2，8 D．2，8
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2+4x﹣4＝0 ，
移项得:x2+4x=4 ，
配方得：x2+4x+4=4+4，
（x+2）2＝8，
则m=2,n=8;
故答案为：D.
【分析】把原方程移项、配方，和 （x+m）2＝n比较，即可求得m、n的值。
4．（2019九上·镇原期末）将方程x2+4x＝5左边配方成完全平方式，右边的常数应该是( )
A．9 B．1 C．6 D．4
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】∵ ，∴ ，∴ ，故A选项为正确答案.
【分析】直接将方程左右两边都加上4，左边写成完全平方式，据此解答即可.
5．对一元二次方程x2﹣ax=3进行配方时，两边同时加上（ ）
A． B． C． D．a2
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：B．
【分析】配方时要加上一次项系数一半的平方。
6．（2019九上·白云期末）用配方法解下列方程时，配方有错误的是( )
A． -2x-99=0化为 =100
B．2 -7x-4=0化为
C． +8x+9=0化为 =25
D．3 -4x-2=0化为
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】A. ∵ -2x-99=0，∴ -2x+1=99+1，∴可化为 =100，不符合题意；
B. 2 -7x-4=0，∴ - x+ =2+ ，∴可化为 ，不符合题意；
C. +8x+9=0，∴ +8x+16=-9+16，∴可化为 =7，故符合题意；
D. 3 -4x-2=0，∴ - 4x+ = + ，∴可化为 ，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据配方法的步骤逐项分析即可.
7．（2018·泰安）一元二次方程 根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（x+1）（x﹣3）=2x﹣5
整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，
则x2﹣4x+2=0，（x﹣2）2=2，
解得：x1=2+ ＞3，x2=2﹣ ，
故有两个正根，且有一根大于3．
故答案为：D．
【分析】利用配方法求出方程的两个根，判断即可得出答案。
8．用配方法解下列方程，其中应在方程的左右两边同时加上4的是（ ）
A． -2x=5 B． +4x=5 C． +2x=5 D．2 -4x=5
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A.因为本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1，不符合题意；
B.因为本方程的一次项系数是4，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方4，符合题意；
C.因为本方程的一次项系数是2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1，不符合题意；
D.将该方程的二次项系数化为1 -2x= ，所以本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1，不符合题意；
故答案为：B
【分析】观察各选项的系数，要在方程的左右两边同时加上4，必须满足二次项系数是1，且一次项系数的绝对值是4，即可求解。
二、填空题
9．（2019九上·农安期中）将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab= ．
【答案】12
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】x2 6x+5=0，
x2 6x= 5，
x2 6x+9= 5+9，
(x 3)2=4，
所以a=3，b=4，
ab=12，
故答案为：12.
【分析】根据配方法的步骤：先移项，然后等号左右两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方，最后进行配方，变形后即可求出对应的a,b的值.
10．已知： ，则 = ．
【答案】3
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原式可化为：
所以可得：
解得
故答案为3
【分析】配方法化这个二元一次方程的表达式，最终得到答案
11．如果一元二次方程 经过配方后，得 ，那么a= .
【答案】-6
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： =3 即 则a=-6
【分析】由(x 3)2=3，可得出x2 6x+6=0，从而可求得a的值。
12．用配方法解方程时，将方程x2+8x+9=0配方为（x+ ）2=
【答案】4；7
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程x2+8x+9=0，
移项得：x2+8x=-9，
配方得：x2+8x+16=7，即（x+4）2=7．
故答案为：4；7
【分析】将常数项移到方程的右边，根据等式的性质，方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，即可得出答案。
13．配方法解一元二次方程ax2+bx﹣c=0（a≠0，c＞0）得到（x﹣c）2=4c2，从而解得方程一根为1，则a﹣3b= ．
【答案】3
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由（x﹣c）2=4c2可得x﹣c=±2c，
∴x=c±2c，
即x=﹣c或x=3c，
∵方程一根为1，且c＞0，
则3c=1，即c= ，
∴原方程为（x﹣ ）2= ，
整理得：x2﹣ x﹣ =0，
∴a=1，b=﹣ ，
∴a﹣3b=1+2=3，
故答案为：3．
【分析】由（x﹣c）2=4c2可得x=﹣c或x=3c，根据方程一根为1且c＞0得c= ，将其代入（x﹣c）2=4c2并整理可得x2﹣ x﹣ =0，从而得知a、b的值，即可得答案．
三、解答题
14．用配方法解下列方程：
（1）x2+2x-8=0
（2）x2+12x-15=0
（3）x2-4x=16
（4）x2=x+56
【答案】（1）解：x2+2x-8=0，
x2+2x=8，
x2+2x+12=8+12，即(x+1)2=9，
则x+1=±3，
x= 1±3，
即
（2）解：x2+12x-15=0，
x2+12x=15，
x2+12x+62=15+62，即(x+6)2=51，
则x+6=± ，
x= 6± ，
即
（3）解：x2-4x=16，
x2-4x+22=16+22，即(x-2)2=20，
则x-2=± ，
x=2± ，
（4）解：x2=x+56，
x2-x+ 2=56+ 2，
（ 2= ，
则x- =± ，
x- =± + ，
即 .
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】用配方法解一元二次方程的步骤：1、将二次项系数化为1，并把常数项移到等号的右边；2、方程两边加上一次项系数一半的平方；3、左边配成完全平方式；4、当右边的常数项为非负数时，方程两边开平方；5、写出方程的两个根。
15．（2019九上·凤翔期中）解下列方程
（1）
（2） （配方法）
【答案】（1）解：
∴
解得： ，
（2）解：
∴
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解方程；（2）利用配方法解方程；
16．用配方法求一元二次方程 的实数根．
【答案】解：原方程化为一般形式为 ，
，
，
，
，
所以
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】将原方程化为一般形式 。等式两边同时除以2，化简二次项的系数。再进行配方法。配方法：将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式，或几个完全平方式的和。
17．（2018九上·南京期中）请用配方法解关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．
【答案】解：（x＋ ）2＝b2－4ac. 当b2－4ac＜0时，此方程无解； 当b2－4ac＝0时， x1＝x2＝－ ； 当b2－4ac＞0时， x＝
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】移项，将常数项移到方程的右边，然后方程两边都除以二次项的系数a，再在方程的左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，然后分类讨论： ①当b2－4ac＜0时，此方程无解； ②当b2－4ac＝0时， x1＝x2＝－ ； ③当b2－4ac＞0时， x＝ ，即可。
18．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．
小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”
（1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的．
（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）
【答案】（1）⑤
（2）解：x2+2nx﹣8n2=0，
x2+2nx=8n2，
x2+2nx+n2=8n2+n2，
（x+n）2=9n2，
x+n=±3n，
x1=2n，x2=﹣4n
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，
故答案为：⑤；
【分析】（1）阅读解答过程，可得出答案。
（2）根据用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把常数项移到方程的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将原方程转化为（x-m）2=n的形式，然后利用直接开平方法求出方程的解。
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