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初中数学浙教版七年级上册3.4 实数的运算 强化提升训练
一、单选题
1．（2019·建华模拟）若x与3互为相反数，则|x|+3等于( )
A．﹣3 B．0 C．3 D．6
2．在实数范围内定义运算“♀”，该运算同时满足下列条件：（1）x♀x=5，（x≠5）；（2）x♀（y♀z）=（x♀y）+z，则2015♀2017的值是（ ）
A．2 B．3 C．2015 D．2017
3．若6－ 的整数部分为x，小数部分为y，则(2x＋ )y的值是( )
A．5－3 B．3 C．3 －5 D．－3
4．实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简 －|a＋b|的结果为( )
A．2a＋b B．－2a＋b C．b D．2a－b
二、填空题
5．数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b-1，例如把（3，-2）放入其中，就会得到32+（-2）-1=6．现将实数对（9，-6）放入其中，得到的实数是 ．
6．在数轴上，表示数x的点到原点的距离用|x|表示，如果表示数m的点和﹣5的点之间的距离是3，那么m= ；|c﹣ |+|c﹣4|+|c+1|的最小值是
三、解答题
7．
（1）计算： +| ﹣2|﹣ + ﹣
（2）一个正数的平方根是2x+4和﹣3x﹣2，求这个数的立方根．
8．定义新运算：a★b=a（1-b），a，b是实数，如-2★3=-2×（1-3）=4．
（1）求（-2）★（-1）的值；
（2）已知a≠b，试说明：a★b≠b★a．
9．
大家知道 无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 －1来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
请解答：已知10＋ ＝x＋y，其中x是整数，且010．如图1，数轴上，O点与C点对应的数分别是0、60（单位：单位长度），将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．
（1）直尺的长为 个单位长度（直接写答案）
（2）如图2，直尺AB在数轴上移动，有BC=3OA，求此时A点对应的数；
（3）如图3，以OC为边搭一个横截面为长方形的不透明的篷子，将直尺放入篷内的数轴上的某处（看不到直尺的任何部分，A在B的左边），将直尺AB沿数轴以5个单位/秒的速度分别向左、向右移动，直到完全看到直尺，所经历的时间为t1、t2，若t1﹣t2=2（秒），求直尺放入蓬内，A点对应的数为多少？
11．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2﹣i）+（5+3i）=（2+5）+（﹣1+3）i=7+2i；
（1+i）×（2﹣i）=1×2﹣i+2×i﹣i2=2+（﹣1+2）i+1=3+i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3= ，i4= ；
（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）；
（3）计算：i+i2+i3+…+i2017．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；实数的运算
【解析】【解答】∵x与3互为相反数，
∴x＝﹣3，
∴|x|+3＝|﹣3|+3＝3+3＝6.
故答案为：D.
【分析】由于3与-3互为相反数，故x=-3，将x的值代入算式，根据绝对值的意义先去绝对值符号，再按有理数的加法法则算出答案。
2．【答案】B
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：2015♀2017
=（2015♀2017+2017）﹣2017
=2015♀（2017♀2017）﹣2017
=2015♀5﹣2017
=2015♀（2015♀2015）﹣2017
=2015♀2015+2015﹣2017
=5﹣2
=3
故答案为：B
【分析】根据规定的运算法则运算即可。首先在2015♀2017添加2017构成（2）式进行推导，将（1）式代入进行求值，最后代入（2）式得出最终答案。
3．【答案】B
【知识点】估算无理数的大小；实数的运算
【解析】【解答】解：因为 ， 所以 ，所以 ，所以
的整数部分x=2，小数部分y= ，所以(2x＋ )y= ，故答案为：B.
【分析】由3=＜＜4=，得到2＜6-＜3，得到它的整数部分是2，小数部分是4-，再由平方差公式求出代数式的值.
4．【答案】C
【知识点】实数在数轴上的表示；实数的运算
【解析】【解答】解：利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可：
∵由数轴可知，b＞0＞a，且 |a|＞|b|，
∴ .
故答案为：C．
【分析】由数轴和|a|＞|b|，得到a+b＜0，再利用绝对值和二次根式的性质求出代数式的值.
5．【答案】74
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】∵当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b-1，∴现将实数对（9，-6）放入其中时，得到的实数是92+（-6）-1=74，故答案为：74．
【分析】根据魔术盒得到的新的实数：a2+b-1，只须将a=9、b=-6代入新的实数中计算即可求解。
6．【答案】﹣2或﹣8；5
【知识点】实数在数轴上的表示；实数的运算
【解析】【解答】解：由题意，得：
|m+5|=3，m+5=3或m+5=﹣3，解得：m=﹣2，或m=﹣8．
由线段上的点到线段两端点的距离相等，得：
当c在﹣1与4的线段上时，|c﹣4|+|c+1|最小=5，
当c≠ 时，|c﹣ |＞0，|c﹣ |+|c﹣4|+|c+1|的最小值＞5；
当c= 时，|c﹣ |=0，|c﹣ |+|c﹣4|+|c+1|的最小值=0+|c﹣4|+|c+1|=5．
故答案为：﹣2或﹣8；5．
【分析】根据绝对值的意义，由数m的点和﹣5的点之间的距离是3，可得出|m+5|=3，解方程求出m的值；分别求出当c在﹣1与4的线段上时，|c﹣4|+|c+1|最小=5，然后分当c≠ 时和当c= 时，代数式的最小值，比较即可解答
7．【答案】（1）解： +| ﹣2|﹣ + ﹣
=﹣2
（2）解：∵一个正数的平方根是2x+4和﹣3x﹣2，
∴2x+4﹣3x﹣2=0，
解得x=2，
∴这个数是：（2×2+4）2=82=64，
∴这个数的立方根是： ．
【知识点】立方根及开立方；实数的运算
【解析】【分析】（1）先开平方和开立方，从左到右依次加减运算，算出最后结果。
（2）正数的平方根的和为0，据此列出等式求出x的值，进一步得出这个正数，最后开立方即可。
8．【答案】（1）解：（-2）★（-1）=（-2）×[1-（-1）] =（-2）×2=-4
（2）解：a★b=a（1-b）=a-ab，b★a=b（1-a）=b-ab，∵a≠b，∴a-ab≠b-ab，∴a★b≠b★a
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】（1）根据新运算的意义，将-2代换a，-1代换b计算即可求解；
（2）根据新运算的意义分别计算a★b和b★a的值，即可比较大小。
9．【答案】解：∵1<<2
∴11<10+<12
∴x=11，y=10+-11=
∴x-y的相反数为-（x-y）=y-x=
【知识点】估算无理数的大小；实数的运算
【解析】【分析】因为是介于1与2之间的数，所以是介于11与12之间的数，即这个数的整数部分为11，也就是x是11，y是这个数的小数部分，所以y是，x-y的相反数为y-x，将x与y所表示的数代入y-x即可。
10．【答案】（1）20
（2）解：设A点表示的数为x，则B点表示的数为（x+20）
当x＞0时
由BC=3OA得60-（x+20）=3x
x= 10
当x＜0时
60-（x+20）=-3x
x=-20
（3）解：设A点对应的数为a（a＞0），
则 =2，
解得a=25，
答：A点对应的数为25
【知识点】实数在数轴上的表示；实数的运算
【解析】【解答】解：（1）如图1，由题意得：OA=AB=BC，
∵OC=60，
∴AB=20，
故答案为：20；
【分析】（1）根据题意，线段OA=AB=BC，根据OC的长度，即可求出直尺AB的长度。
（2）设A点对应的数为x，根据BC=4OA的等量关系列方程，即可得出A点对应数。
（3）设A点对应的数为a，根据t1-t2=2的等量关系构建方程，即可得出A点对应的数。
11．【答案】（1）﹣i；1
（2）解：（1+i）×（3﹣4i）
=3﹣4i+3i﹣4i2
=3﹣i+4
=7﹣i
（3）解：i+i2+i3+…+i2017
=i﹣1﹣i+1+…+i
=i
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：（1）i3=i2 i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1．
故答案为：﹣i，1；
【分析】（1）根据题目中i2=-1，将其代入两个式子即可求出正确答案。
（2）将式子去括号，将i2=-1代入，化简求值即可。
（3）将i2=-1代入式子中，根据化简后的式子得出规律，可以隔项作和，和为0，最终得出结果i。
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初中数学浙教版七年级上册3.4 实数的运算 强化提升训练
一、单选题
1．（2019·建华模拟）若x与3互为相反数，则|x|+3等于( )
A．﹣3 B．0 C．3 D．6
【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；实数的运算
【解析】【解答】∵x与3互为相反数，
∴x＝﹣3，
∴|x|+3＝|﹣3|+3＝3+3＝6.
故答案为：D.
【分析】由于3与-3互为相反数，故x=-3，将x的值代入算式，根据绝对值的意义先去绝对值符号，再按有理数的加法法则算出答案。
2．在实数范围内定义运算“♀”，该运算同时满足下列条件：（1）x♀x=5，（x≠5）；（2）x♀（y♀z）=（x♀y）+z，则2015♀2017的值是（ ）
A．2 B．3 C．2015 D．2017
【答案】B
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：2015♀2017
=（2015♀2017+2017）﹣2017
=2015♀（2017♀2017）﹣2017
=2015♀5﹣2017
=2015♀（2015♀2015）﹣2017
=2015♀2015+2015﹣2017
=5﹣2
=3
故答案为：B
【分析】根据规定的运算法则运算即可。首先在2015♀2017添加2017构成（2）式进行推导，将（1）式代入进行求值，最后代入（2）式得出最终答案。
3．若6－ 的整数部分为x，小数部分为y，则(2x＋ )y的值是( )
A．5－3 B．3 C．3 －5 D．－3
【答案】B
【知识点】估算无理数的大小；实数的运算
【解析】【解答】解：因为 ， 所以 ，所以 ，所以
的整数部分x=2，小数部分y= ，所以(2x＋ )y= ，故答案为：B.
【分析】由3=＜＜4=，得到2＜6-＜3，得到它的整数部分是2，小数部分是4-，再由平方差公式求出代数式的值.
4．实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简 －|a＋b|的结果为( )
A．2a＋b B．－2a＋b C．b D．2a－b
【答案】C
【知识点】实数在数轴上的表示；实数的运算
【解析】【解答】解：利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可：
∵由数轴可知，b＞0＞a，且 |a|＞|b|，
∴ .
故答案为：C．
【分析】由数轴和|a|＞|b|，得到a+b＜0，再利用绝对值和二次根式的性质求出代数式的值.
二、填空题
5．数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b-1，例如把（3，-2）放入其中，就会得到32+（-2）-1=6．现将实数对（9，-6）放入其中，得到的实数是 ．
【答案】74
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】∵当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b-1，∴现将实数对（9，-6）放入其中时，得到的实数是92+（-6）-1=74，故答案为：74．
【分析】根据魔术盒得到的新的实数：a2+b-1，只须将a=9、b=-6代入新的实数中计算即可求解。
6．在数轴上，表示数x的点到原点的距离用|x|表示，如果表示数m的点和﹣5的点之间的距离是3，那么m= ；|c﹣ |+|c﹣4|+|c+1|的最小值是
【答案】﹣2或﹣8；5
【知识点】实数在数轴上的表示；实数的运算
【解析】【解答】解：由题意，得：
|m+5|=3，m+5=3或m+5=﹣3，解得：m=﹣2，或m=﹣8．
由线段上的点到线段两端点的距离相等，得：
当c在﹣1与4的线段上时，|c﹣4|+|c+1|最小=5，
当c≠ 时，|c﹣ |＞0，|c﹣ |+|c﹣4|+|c+1|的最小值＞5；
当c= 时，|c﹣ |=0，|c﹣ |+|c﹣4|+|c+1|的最小值=0+|c﹣4|+|c+1|=5．
故答案为：﹣2或﹣8；5．
【分析】根据绝对值的意义，由数m的点和﹣5的点之间的距离是3，可得出|m+5|=3，解方程求出m的值；分别求出当c在﹣1与4的线段上时，|c﹣4|+|c+1|最小=5，然后分当c≠ 时和当c= 时，代数式的最小值，比较即可解答
三、解答题
7．
（1）计算： +| ﹣2|﹣ + ﹣
（2）一个正数的平方根是2x+4和﹣3x﹣2，求这个数的立方根．
【答案】（1）解： +| ﹣2|﹣ + ﹣
=﹣2
（2）解：∵一个正数的平方根是2x+4和﹣3x﹣2，
∴2x+4﹣3x﹣2=0，
解得x=2，
∴这个数是：（2×2+4）2=82=64，
∴这个数的立方根是： ．
【知识点】立方根及开立方；实数的运算
【解析】【分析】（1）先开平方和开立方，从左到右依次加减运算，算出最后结果。
（2）正数的平方根的和为0，据此列出等式求出x的值，进一步得出这个正数，最后开立方即可。
8．定义新运算：a★b=a（1-b），a，b是实数，如-2★3=-2×（1-3）=4．
（1）求（-2）★（-1）的值；
（2）已知a≠b，试说明：a★b≠b★a．
【答案】（1）解：（-2）★（-1）=（-2）×[1-（-1）] =（-2）×2=-4
（2）解：a★b=a（1-b）=a-ab，b★a=b（1-a）=b-ab，∵a≠b，∴a-ab≠b-ab，∴a★b≠b★a
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】（1）根据新运算的意义，将-2代换a，-1代换b计算即可求解；
（2）根据新运算的意义分别计算a★b和b★a的值，即可比较大小。
9．
大家知道 无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 －1来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
请解答：已知10＋ ＝x＋y，其中x是整数，且0【答案】解：∵1<<2
∴11<10+<12
∴x=11，y=10+-11=
∴x-y的相反数为-（x-y）=y-x=
【知识点】估算无理数的大小；实数的运算
【解析】【分析】因为是介于1与2之间的数，所以是介于11与12之间的数，即这个数的整数部分为11，也就是x是11，y是这个数的小数部分，所以y是，x-y的相反数为y-x，将x与y所表示的数代入y-x即可。
10．如图1，数轴上，O点与C点对应的数分别是0、60（单位：单位长度），将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．
（1）直尺的长为 个单位长度（直接写答案）
（2）如图2，直尺AB在数轴上移动，有BC=3OA，求此时A点对应的数；
（3）如图3，以OC为边搭一个横截面为长方形的不透明的篷子，将直尺放入篷内的数轴上的某处（看不到直尺的任何部分，A在B的左边），将直尺AB沿数轴以5个单位/秒的速度分别向左、向右移动，直到完全看到直尺，所经历的时间为t1、t2，若t1﹣t2=2（秒），求直尺放入蓬内，A点对应的数为多少？
【答案】（1）20
（2）解：设A点表示的数为x，则B点表示的数为（x+20）
当x＞0时
由BC=3OA得60-（x+20）=3x
x= 10
当x＜0时
60-（x+20）=-3x
x=-20
（3）解：设A点对应的数为a（a＞0），
则 =2，
解得a=25，
答：A点对应的数为25
【知识点】实数在数轴上的表示；实数的运算
【解析】【解答】解：（1）如图1，由题意得：OA=AB=BC，
∵OC=60，
∴AB=20，
故答案为：20；
【分析】（1）根据题意，线段OA=AB=BC，根据OC的长度，即可求出直尺AB的长度。
（2）设A点对应的数为x，根据BC=4OA的等量关系列方程，即可得出A点对应数。
（3）设A点对应的数为a，根据t1-t2=2的等量关系构建方程，即可得出A点对应的数。
11．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2﹣i）+（5+3i）=（2+5）+（﹣1+3）i=7+2i；
（1+i）×（2﹣i）=1×2﹣i+2×i﹣i2=2+（﹣1+2）i+1=3+i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3= ，i4= ；
（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）；
（3）计算：i+i2+i3+…+i2017．
【答案】（1）﹣i；1
（2）解：（1+i）×（3﹣4i）
=3﹣4i+3i﹣4i2
=3﹣i+4
=7﹣i
（3）解：i+i2+i3+…+i2017
=i﹣1﹣i+1+…+i
=i
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：（1）i3=i2 i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1．
故答案为：﹣i，1；
【分析】（1）根据题目中i2=-1，将其代入两个式子即可求出正确答案。
（2）将式子去括号，将i2=-1代入，化简求值即可。
（3）将i2=-1代入式子中，根据化简后的式子得出规律，可以隔项作和，和为0，最终得出结果i。
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