初中数学浙教版九年级上册1.2 二次函数的图象（1） 同步练习
一、单选题
1．二次函数y=（a﹣1）x2（a为常数）的图象如图所示，则a的取值范围为（ ）
A．a＞1 B．a＜1 C．a＞0 D．a＜0
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：如图，
抛物线的开口方向向下，则a﹣1＜0，
解得a＜1．
故答案为：B．
【分析】观察图象的开口方向向下，可知a﹣1＜0，解不等式即可。
2．抛物线y＝－x2的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】抛物线y＝－x2对称轴是y轴，开口向下，顶点为原点，所以必定经过三四象限，故答案为：B.
【分析】二次函数的解析式中b=0，c=0，a小于0，故抛物线的对称轴是y轴，开口向下，顶点为原点，从而得出答案。
3．（2018九上·北京月考）已知物体下落高度h关于下落时间t的函数关系式h＝ gt2，则此函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解:∵ g表示的是重力加速度；
∴ g为正常数；
∴ h= ×g×t2(其中g为正常数)为二次函数,其图象为抛物线；
∵ ×g＞0；
∴ 抛物线开口向上；
∵ t≥0；
∴ h= ×g×t2(其中g为正常数)的图象只是抛物线在第一象限的部分；
故答案为：A.
【分析】由题意知g＞0，根据二次函数的性质知抛物线的开口向上，且抛物线只有在第一象限的一部分，由此即可判断求解。
4．（2017九上·江门月考）当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】A选项中一次函数a＞0，b＜0，与ab＞0相矛盾，故错误；
B选项中一次函数a＜0，b＞0，与ab＞0相矛盾，故错误；
C选项中一次函数a＞0，b＜0，与ab＞0相矛盾，故错误；
D选项中一次函数a＜0，b＜0，二次函数a＜0，符合题意，故正确；
故答案为：D．
【分析】由ab＞0，可得出a、b同号，分两种情况讨论：a＜0，b＜0；a＞0，b＞0，再对各选项逐一判断可解答。
5．（2018九上·前郭期末）抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝ x2的共同性质是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是y轴
C．都有最高点 D．y随x的增大而增大
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】观察抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝ x2，发现三个抛物线b=0，c=0，所以他们的对称轴均为y轴；三个函数a的正负不同所以开口方向不同；开口向上的有最低点，开口向下的有最高点；三个函数在不同的定义域内，增减性不同，并不是单调递增的.
故答案为：B.
【分析】因为抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝ x2， 函数的系数a正负决定开口方向，三个函数的正负不同，所以A错误：三个函数的b，c都等于0，所以对称轴为y轴；开口向上的有最低点，开口向下的有最高点，即C错误；二次函数在不同的定义域内，增减性都是不同的，即D错误。
6．（2019·嘉定模拟）如果A(-2，n)，B(2，n)，C(4，n+12)这三个点都在同一个函数的图象上，那么这个函数的解析式可能是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的图象；反比例函数的性质；二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】∵A(-2，n)，B(2，n)
∴点A与点B关于y轴对称
∵ 、 的图像都关于原点对称
∴选项A、B不符合题意
∵由B(2，n)、C(4，n+12)得，在对称轴右侧y随x增大而增大
∴a＞0
∴选择D：
故答案为：D
【分析】分析给出的三个点的特点，可知A，B关于y轴对称，所以排除关于原点对称的函数A，B选项，然后再利用函数的增减性可得出答案.
7．（2018九上·瑶海期中）下列判断中唯一正确的是（ ）
A．函数 的图象开口向上，函数 的图象开口向下
B．二次函数 ，当 时， 随 的增大而增大
C． 与 图象的顶点、对称轴、开口方向、开口大小完全相同
D．抛物线 与 的图象关于 轴对称
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解： 、若当 时，则函数 的图象开口向下，函数 的图象开口向上，故 不符合题意；
、若 时，则二次函数 开口向上，当 时， 随 的增大而减小，故 不符合题意；
、由于两函数中二次项系数互为相反数，故两抛物线的开口方向相反，故 不符合题意；
、因为 和 互为相反数，所以抛物线 与 的开口方向相反，对称轴、顶点坐标都相同，故其图象关于 轴对称；
故答案为：D.
【分析】根据a的值与抛物线的开口方向、开口大小的关系以及抛物线对称轴两侧图象的增减情况判断即可。
8．（2019九上·南关期末）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝ x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝ x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】设A（m，m2），则B（m， m2），
∵ACx轴交抛物线y＝ x2于点C，BDx轴交抛物线y＝x2于点D，
∴C（2m，m2），D（ m， m2），
∴BD＝m﹣ m＝ m，AC＝2m﹣m＝m，
.
故答案为：C．
【分析】设A（m，m2），则B（m， m2），根据题意得出C（2m，m2），D（ m， m2），即可求得BD＝m﹣ m＝ m，AC＝2m﹣m＝m，从而求得 ＝ ．
二、填空题
9．（2018·奉贤模拟）如果抛物线y=2x2与抛物线y=ax2关于x轴对称，那么a的值是 ．
【答案】-2
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】根据关于x轴对称的抛物线的开口方向改变，开口大小不变，可由抛物线y=2x2与抛物线y=ax2关于x轴对称，知两抛物线开口大小不变，方向相反，因此可得a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】根据关于x轴对称的抛物线的开口方向改变，开口程度不变可得a=﹣2。
10．（2020九上·宽城期末）如图，在平面直角坐标系中，两条开口向上的抛物线所对应的函数表达式分别为y=(2a2-1)x2与y=ax2若其中一个函数的二次项系数是另一个函数二次项系数的2倍，则a的值为 。
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】 y=(2a2-1)x2与y=ax2若其中一个函数的二次项系数是另一个函数二次项系数的2倍 故根据题意，2a2-1=2a且a>0,然后求解a=
【分析】抛物线的开口大小由二次项系数决定，二次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越小.
11．（2020九上·宽城期末）在平面直角坐标系中，点A、B是抛物线y=ax2(a>0)上两点若点A、B的坐标分别为(3，m)、(4，n)，则m n。(填“>”、“=”或“<”)
【答案】<
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】 抛物线y=ax2(a>0)，开口方向向上且抛物线有单调性，当x>0，y随x的增大而增大，故m【分析】根据抛物线函数的性质，判断函数的单调性，分析判断即可。
12．（2018九上·濮阳月考）如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.则a、b、c、d的大小关系为 .
【答案】a＞b＞d＞c
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】因为直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），
所以，a＞b＞d＞c.
【分析】用特殊值法求解，找出当x=1时与这四条抛物线的交点，根据交点所在的位置即可判断求解。
三、解答题
13．已知二次函数y=ax2的图象经过点A(-1，- ).
（1）求这个二次函数的解析式并画出其图象；
（2）请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴.
【答案】（1）解：将点A（-1， ）代入y=ax2，得 =a×12，解得，a= ，
所以解析式为：y=- x2.
图象如图所示：
（2）解：根据二次函数y=ax2的性质可知：顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【分析】（1）由题意将点A的坐标代入解析式即可求解，由题意列表、描点、连线即可画出函数图象；
（2）由二次函数的性质易知，顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴。
14．在同一直角坐标系中作出y=3x2和y=﹣3x2的图象，并比较两者的异同．
【答案】解：如图所示：两图象开口大小形状相同，但是开口方向不同．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【分析】根据二次函数解析式符合y=ax2得出图象，进而得出图象的异同即可．
15．函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图象交于点（1，b）．
求：
（1）a和b的值；
（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）作y=ax2的草图．
【答案】（1）解：把（1，b）代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1，
把点（1，-1）代入y=ax2中，得a=-1
（2）解：∵在y=-x2中，a=-1<0，∴抛物线开口向下；
抛物线y=ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）
（3）解：作函数y=ax2的草图如下：
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【分析】（1）将点（1，b）代入一次函数解析式，求出b的值，再利用待定系数法求出a的值。
（2）根据二次函数的性质，可得出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标。
（3）利用函数解析式画出函数的图象。
1 / 1初中数学浙教版九年级上册1.2 二次函数的图象（1） 同步练习
一、单选题
1．二次函数y=（a﹣1）x2（a为常数）的图象如图所示，则a的取值范围为（ ）
A．a＞1 B．a＜1 C．a＞0 D．a＜0
2．抛物线y＝－x2的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
3．（2018九上·北京月考）已知物体下落高度h关于下落时间t的函数关系式h＝ gt2，则此函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2017九上·江门月考）当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．（2018九上·前郭期末）抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝ x2的共同性质是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是y轴
C．都有最高点 D．y随x的增大而增大
6．（2019·嘉定模拟）如果A(-2，n)，B(2，n)，C(4，n+12)这三个点都在同一个函数的图象上，那么这个函数的解析式可能是 （ ）
A． B． C． D．
7．（2018九上·瑶海期中）下列判断中唯一正确的是（ ）
A．函数 的图象开口向上，函数 的图象开口向下
B．二次函数 ，当 时， 随 的增大而增大
C． 与 图象的顶点、对称轴、开口方向、开口大小完全相同
D．抛物线 与 的图象关于 轴对称
8．（2019九上·南关期末）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝ x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝ x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2018·奉贤模拟）如果抛物线y=2x2与抛物线y=ax2关于x轴对称，那么a的值是 ．
10．（2020九上·宽城期末）如图，在平面直角坐标系中，两条开口向上的抛物线所对应的函数表达式分别为y=(2a2-1)x2与y=ax2若其中一个函数的二次项系数是另一个函数二次项系数的2倍，则a的值为 。
11．（2020九上·宽城期末）在平面直角坐标系中，点A、B是抛物线y=ax2(a>0)上两点若点A、B的坐标分别为(3，m)、(4，n)，则m n。(填“>”、“=”或“<”)
12．（2018九上·濮阳月考）如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.则a、b、c、d的大小关系为 .
三、解答题
13．已知二次函数y=ax2的图象经过点A(-1，- ).
（1）求这个二次函数的解析式并画出其图象；
（2）请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴.
14．在同一直角坐标系中作出y=3x2和y=﹣3x2的图象，并比较两者的异同．
15．函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图象交于点（1，b）．
求：
（1）a和b的值；
（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）作y=ax2的草图．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：如图，
抛物线的开口方向向下，则a﹣1＜0，
解得a＜1．
故答案为：B．
【分析】观察图象的开口方向向下，可知a﹣1＜0，解不等式即可。
2．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】抛物线y＝－x2对称轴是y轴，开口向下，顶点为原点，所以必定经过三四象限，故答案为：B.
【分析】二次函数的解析式中b=0，c=0，a小于0，故抛物线的对称轴是y轴，开口向下，顶点为原点，从而得出答案。
3．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解:∵ g表示的是重力加速度；
∴ g为正常数；
∴ h= ×g×t2(其中g为正常数)为二次函数,其图象为抛物线；
∵ ×g＞0；
∴ 抛物线开口向上；
∵ t≥0；
∴ h= ×g×t2(其中g为正常数)的图象只是抛物线在第一象限的部分；
故答案为：A.
【分析】由题意知g＞0，根据二次函数的性质知抛物线的开口向上，且抛物线只有在第一象限的一部分，由此即可判断求解。
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】A选项中一次函数a＞0，b＜0，与ab＞0相矛盾，故错误；
B选项中一次函数a＜0，b＞0，与ab＞0相矛盾，故错误；
C选项中一次函数a＞0，b＜0，与ab＞0相矛盾，故错误；
D选项中一次函数a＜0，b＜0，二次函数a＜0，符合题意，故正确；
故答案为：D．
【分析】由ab＞0，可得出a、b同号，分两种情况讨论：a＜0，b＜0；a＞0，b＞0，再对各选项逐一判断可解答。
5．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】观察抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝ x2，发现三个抛物线b=0，c=0，所以他们的对称轴均为y轴；三个函数a的正负不同所以开口方向不同；开口向上的有最低点，开口向下的有最高点；三个函数在不同的定义域内，增减性不同，并不是单调递增的.
故答案为：B.
【分析】因为抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝ x2， 函数的系数a正负决定开口方向，三个函数的正负不同，所以A错误：三个函数的b，c都等于0，所以对称轴为y轴；开口向上的有最低点，开口向下的有最高点，即C错误；二次函数在不同的定义域内，增减性都是不同的，即D错误。
6．【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的图象；反比例函数的性质；二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】∵A(-2，n)，B(2，n)
∴点A与点B关于y轴对称
∵ 、 的图像都关于原点对称
∴选项A、B不符合题意
∵由B(2，n)、C(4，n+12)得，在对称轴右侧y随x增大而增大
∴a＞0
∴选择D：
故答案为：D
【分析】分析给出的三个点的特点，可知A，B关于y轴对称，所以排除关于原点对称的函数A，B选项，然后再利用函数的增减性可得出答案.
7．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解： 、若当 时，则函数 的图象开口向下，函数 的图象开口向上，故 不符合题意；
、若 时，则二次函数 开口向上，当 时， 随 的增大而减小，故 不符合题意；
、由于两函数中二次项系数互为相反数，故两抛物线的开口方向相反，故 不符合题意；
、因为 和 互为相反数，所以抛物线 与 的开口方向相反，对称轴、顶点坐标都相同，故其图象关于 轴对称；
故答案为：D.
【分析】根据a的值与抛物线的开口方向、开口大小的关系以及抛物线对称轴两侧图象的增减情况判断即可。
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】设A（m，m2），则B（m， m2），
∵ACx轴交抛物线y＝ x2于点C，BDx轴交抛物线y＝x2于点D，
∴C（2m，m2），D（ m， m2），
∴BD＝m﹣ m＝ m，AC＝2m﹣m＝m，
.
故答案为：C．
【分析】设A（m，m2），则B（m， m2），根据题意得出C（2m，m2），D（ m， m2），即可求得BD＝m﹣ m＝ m，AC＝2m﹣m＝m，从而求得 ＝ ．
9．【答案】-2
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】根据关于x轴对称的抛物线的开口方向改变，开口大小不变，可由抛物线y=2x2与抛物线y=ax2关于x轴对称，知两抛物线开口大小不变，方向相反，因此可得a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】根据关于x轴对称的抛物线的开口方向改变，开口程度不变可得a=﹣2。
10．【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】 y=(2a2-1)x2与y=ax2若其中一个函数的二次项系数是另一个函数二次项系数的2倍 故根据题意，2a2-1=2a且a>0,然后求解a=
【分析】抛物线的开口大小由二次项系数决定，二次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越小.
11．【答案】<
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】 抛物线y=ax2(a>0)，开口方向向上且抛物线有单调性，当x>0，y随x的增大而增大，故m【分析】根据抛物线函数的性质，判断函数的单调性，分析判断即可。
12．【答案】a＞b＞d＞c
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】因为直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），
所以，a＞b＞d＞c.
【分析】用特殊值法求解，找出当x=1时与这四条抛物线的交点，根据交点所在的位置即可判断求解。
13．【答案】（1）解：将点A（-1， ）代入y=ax2，得 =a×12，解得，a= ，
所以解析式为：y=- x2.
图象如图所示：
（2）解：根据二次函数y=ax2的性质可知：顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【分析】（1）由题意将点A的坐标代入解析式即可求解，由题意列表、描点、连线即可画出函数图象；
（2）由二次函数的性质易知，顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴。
14．【答案】解：如图所示：两图象开口大小形状相同，但是开口方向不同．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【分析】根据二次函数解析式符合y=ax2得出图象，进而得出图象的异同即可．
15．【答案】（1）解：把（1，b）代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1，
把点（1，-1）代入y=ax2中，得a=-1
（2）解：∵在y=-x2中，a=-1<0，∴抛物线开口向下；
抛物线y=ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）
（3）解：作函数y=ax2的草图如下：
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【分析】（1）将点（1，b）代入一次函数解析式，求出b的值，再利用待定系数法求出a的值。
（2）根据二次函数的性质，可得出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标。
（3）利用函数解析式画出函数的图象。
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