初中数学浙教版九年级下册3.1 投影 同步练习
一、单选题
1．下列图形是平行投影的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下面属于中心投影的是( )
A．太阳光下的树影 B．皮影戏
C．月光下房屋的影子 D．海上日出
3．正方形在太阳光的投影下得到的几何图形一定是（ ）
A．正方形 B．平行四边形或线段
C．矩形 D．菱形
4．平行投影为一点的几何图形不可能是（ ）
A．点 B．线段 C．射线 D．三角形
5．（2020九上·秦都期末）小亮同学在教学活动课中，用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是（ ）
A．线段 B．三角形 C．平行四边形 D．正方形
6．（2019九上·辽阳期末）在同一天的四个不同时刻，某学校旗杆的影子如图所示，按时间先后顺序排列的是（ ）
A．①②③④ B．②③④① C．③④①② D．④③①②
7．（2019九上·昌平期中）如果在同一时刻的阳光下，小莉的影子比小玉的影子长，那么在同一路灯下（ ）
A．小莉的影子比小玉的影子长
B．小莉的影子比小玉的影子短
C．小莉的影子与小玉的影子一样长
D．无法判断谁的影子长
8．（2019九上·南岸月考）学校墙边有甲、乙两根木杆，某一时刻甲、乙两根木杆在阳光下的影子长分别为1.2米和1米.已知乙木杆的高度为1.5米，那么甲木杆的高度为（ ）
A．0.8 B．1.25 C．1.5 D．1.8
9．如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子( )
A．逐渐变短 B．逐渐变长
C．先变短后变长 D．先变长后变短
10．如图是王老师展示的他昨天画的一幅写生画，他让四个学生猜测他画这幅画的时间．根据王老师标出的方向，下列给出的时间比较接近的是（ ）
A．小丽说：“早上8点” B．小强说：“中午12点”
C．小刚说：“下午3点” D．小明说：“哪个时间段都行”
二、填空题
11．（2019九下·沈阳月考）如图，地面A处有一支燃烧的蜡烛(长度不计)，一个人在A与墙BC之间运动，则他在墙上的投影长度随着他离墙的距离变小而 (填“变大”、“变小”或“不变”).
12．皮影戏中的皮影是由 投影得到.
13．（2021九上·会宁期末）张三和李四并排站立在阳光下，张三身高1.80米，他的影长2.0米，李四比张三矮9厘米，此时李四的影长是 米.
14．（2020九上·迎泽月考）将一个矩形纸片（厚度不计）置于太阳光下，改变纸片的摆放位置和方向，则其留在地面上的影子的形状可能是 ．（只需写一个条件）
三、解答题
15．（2020九上·无锡月考）在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB=2米，它的影子BC=1.6米，木杆PQ的影子有一部分落在墙上，PM=1.2米，MN=0.8米，求木杆PQ的长度.
16．（2020九下·广州月考）如图所示，小红想利用竹竿来测量旗杆AB的高度，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（BC），另一部分落在斜坡上（CD），他测得落在地面上的影长为10米，落在斜坡上的影长为4 米，∠DCE＝45°，求旗杆AB的高度？
17．如图所示，分别是两棵树及其影子的情形
（1）哪个图反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形．
（2）请画出图中表示小丽影长的线段．
（3）阳光下小丽影子长为1.20m树的影子长为2.40m，小丽身高1.88m，求树高．
18．（2021九上·舞钢期末）如图，A、B、C分别表示甲、乙、丙三个物体的顶端，甲物体高3米，影长2米，乙物体高2米，影长3米，甲乙两物体相距4米.
（1）请在图中画出光源灯的位置及灯杆，并画出物体丙的影子.
（2）若甲、乙、丙及灯杆都与地面垂直，且在同一直线上，求灯杆的高度.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解，通过作图可知A、C、D中影子的顶端和木杆的顶端连线不平行，只有选项B中影子的顶端和木杆的顶端连线平行．
故答案为：B．
【分析】连接影子的顶端和木杆的顶端得到投影线，若投影线平行则为平行投影，根据定义即可一一判断。
2．【答案】B
【知识点】中心投影
【解析】【解答】中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有B选项得到的投影为中心投影．
故答案为：B．
【分析】把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影，根据定义即可判断出答案。
3．【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：因为太阳光线是平行光线，
当正方形竖着放置在投影面的上方时，所得到投影的图形是线段；
当正方形不是竖着放置在投影面的上方时，因为正方形一组对边平行且相等，则在地面上形成的投影相对的边平行且相等，是平行四边形．
故一定是平行四边形或线段。
故答案为B.
【分析】由于太阳光线照射的方向不一样所得到投影也不一样，投影可以是正方形，平行四边形，矩形，菱形，线段。
4．【答案】D
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据平行投影特点可知三角形不可能为一点．
故答案为：D．
【分析】根据平行投影特点可知点，线段，射线的平行投影都可能是一点，只有三角形不可能为一点。
5．【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：将长方形硬纸的板面与投影线平行时，形成的影子为线段；
将长方形硬纸板与地面平行放置时，形成的影子为矩形；
将长方形硬纸板倾斜放置形成的影子为平行四边形；
由物体同一时刻物高与影长成比例，且长方形对边相等，故得到的投影不可能是三角形.
故答案为：B.
【分析】根据长方形放置的不同角度，得到的不同影子，发挥想象能力逐个实验即可.
6．【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：西为②，西北为③，东北为④，东为①，
∴将它们按时间先后顺序排列为②③④①.
故答案为：B.
【分析】根据从早晨到傍晚物体影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长.
7．【答案】D
【知识点】中心投影
【解析】【解答】由一点所发出的光线形成的投影叫做中心投影,而中心投影的影子长短与距离光源的距离有关,由题意可得,小莉和小玉在同一路灯下由于位置不同,影长也不相同,故无法判断谁的影子长,
故答案为：D.
【分析】由题意可得,小莉和小玉在同一路灯下由于位置不同,影长也不相同,故无法判断谁的影子长.
8．【答案】D
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设甲杆的高度为xm，
根据题意得： ，
解得：x＝1.8，
即甲杆的高度是1.8m.
故答案为：D.
【分析】设甲杆的高度为xm，利用在同一时刻物高与影长的比相等得 ，然后解方程即可.
9．【答案】A
【知识点】中心投影
【解析】【解答】根据光源是由远到近的过程和中心投影的特点可得：小亮在路灯下由远及近向路灯靠近时，其影子应该逐渐变短，
故答案为：A．
【分析】该投影是中心投影， 小亮从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处 的过程中，光源是由远到近的过程，根据中心投影的特点，小亮在路灯下由远及近向路灯靠近时，其影子应该逐渐变短。
10．【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据题意：影子在物体的东方，根据北半球，从早晨到傍晚影子的指向是：西-西北-北-东北-东，可得应该是下午．
故答案为：C．
【分析】由图可知：影子在物体的东方，故时间应该是在中午以后，从而判断出答案。
11．【答案】变小
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：易知投影为光线路程从蜡烛A点到人物头所连接的直线延伸到墙上，设为AD.
当人离墙的距离变小时候（即往右边移动），易知其AD与AB的夹角会变小，AD长度变小，根据勾股定理易知，斜边变小，其中一条直角边固定不变，则另一条直角边肯定会长度变小.
故答案为：变小.
【分析】可连接光源和人的头顶可知，墙上的影长和人到墙的距离变化规律是：距离墙越近，影长越短，距离墙越远影长越长．
12．【答案】中心
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：中心投影的定义：由同一点出发的投影线所形成的投影线叫做中心投影。
皮影是由灯光发出的线所形成的投影。
故答案为：中心。
【分析】由平行投影和中心投影的定义判断即可。
13．【答案】1.9
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设李四的影长是x米，
根据题意得 ，
解得x=1.9.
答：李四的影长是1.9米.
故答案为：1.9.
【分析】设李四的影长是x米，利用同一时刻，同一地点，同一平面内影长与物体的高度成正比得到 ，然后解方程即可.
14．【答案】平行四边形（答案不唯一）
【知识点】平行投影
【解析】【解答】矩形在阳光下的投影对边应该是相等的，影子的形状可能是矩形、正方形、平行四边形；
故答案为：平行四边形．
【分析】利用中心投影的性质求解即可。
15．【答案】解：如图，过点N作ND⊥PQ于D，则DN=PM，
∴△ABC∽△QDN，
.
∵AB=2米，BC=1.6米，PM=1.2米，NM=0.8米，
=1.5（米），
∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（米）.
答：木杆PQ的长度为2.3米.
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【分析】先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长,再根据此影长列出比例式即可
16．【答案】解：延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC于点E，
∵CD 米，∠DCE=45°，
∴DE=CE=CD =4，
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴ ，解得EF=2DE=8，
∴BF=10+4+8=22，
∵DE⊥BC，AB⊥BC，
∴△EDF∽△BAF，
∴ ，即 ，
∴AB=11米．
答：旗杆的高度为11米．
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】 延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC于点E， 证出 △EDF∽△BAF， 再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可。
17．【答案】（1）解：如图所示：
甲图反映了阳光下的情形，乙图反映了路灯下的情形；
（2）解：如图所示：AB，CD是小丽影长的线段
（3）解：∵阳光下小丽影子长为1.20m，树的影子长为2.40m，小丽身高1.88m，设树高为xm，
∴
解得：x=3.76，
答：树的高度为3.76m
【知识点】平行投影
【解析】【分析】（1）利用太阳光线是平行光线与路灯的光线是从一个点发出进而得出答案；（2）结合光线的照射不同得出小丽影长的线段；（3）利用同一时刻太阳照射影长与实际长度比值相等进而得出答案．
18．【答案】（1）点O为灯的位置，QF为丙物体的影子；
（2）作OM⊥QH，设OM=x，EM=y，
由△GAE∽△GOM得 ，
即： ①，
由△BDH∽△OMH得
即： ②
结合①②得，
x=6，y=2.
经检验，x=6、y=2是方程的解，
答：灯的高度为6米.
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）首先连接GA、HB并延长交于点O，从而确定点光源，然后连接OC并延长即可确定影子；
（2）作OM⊥QH ，设OM=x，EM=y，根据三角形相似列出比例式即可确定灯的高度.
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一、单选题
1．下列图形是平行投影的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解，通过作图可知A、C、D中影子的顶端和木杆的顶端连线不平行，只有选项B中影子的顶端和木杆的顶端连线平行．
故答案为：B．
【分析】连接影子的顶端和木杆的顶端得到投影线，若投影线平行则为平行投影，根据定义即可一一判断。
2．下面属于中心投影的是( )
A．太阳光下的树影 B．皮影戏
C．月光下房屋的影子 D．海上日出
【答案】B
【知识点】中心投影
【解析】【解答】中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有B选项得到的投影为中心投影．
故答案为：B．
【分析】把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影，根据定义即可判断出答案。
3．正方形在太阳光的投影下得到的几何图形一定是（ ）
A．正方形 B．平行四边形或线段
C．矩形 D．菱形
【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：因为太阳光线是平行光线，
当正方形竖着放置在投影面的上方时，所得到投影的图形是线段；
当正方形不是竖着放置在投影面的上方时，因为正方形一组对边平行且相等，则在地面上形成的投影相对的边平行且相等，是平行四边形．
故一定是平行四边形或线段。
故答案为B.
【分析】由于太阳光线照射的方向不一样所得到投影也不一样，投影可以是正方形，平行四边形，矩形，菱形，线段。
4．平行投影为一点的几何图形不可能是（ ）
A．点 B．线段 C．射线 D．三角形
【答案】D
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据平行投影特点可知三角形不可能为一点．
故答案为：D．
【分析】根据平行投影特点可知点，线段，射线的平行投影都可能是一点，只有三角形不可能为一点。
5．（2020九上·秦都期末）小亮同学在教学活动课中，用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是（ ）
A．线段 B．三角形 C．平行四边形 D．正方形
【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：将长方形硬纸的板面与投影线平行时，形成的影子为线段；
将长方形硬纸板与地面平行放置时，形成的影子为矩形；
将长方形硬纸板倾斜放置形成的影子为平行四边形；
由物体同一时刻物高与影长成比例，且长方形对边相等，故得到的投影不可能是三角形.
故答案为：B.
【分析】根据长方形放置的不同角度，得到的不同影子，发挥想象能力逐个实验即可.
6．（2019九上·辽阳期末）在同一天的四个不同时刻，某学校旗杆的影子如图所示，按时间先后顺序排列的是（ ）
A．①②③④ B．②③④① C．③④①② D．④③①②
【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：西为②，西北为③，东北为④，东为①，
∴将它们按时间先后顺序排列为②③④①.
故答案为：B.
【分析】根据从早晨到傍晚物体影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长.
7．（2019九上·昌平期中）如果在同一时刻的阳光下，小莉的影子比小玉的影子长，那么在同一路灯下（ ）
A．小莉的影子比小玉的影子长
B．小莉的影子比小玉的影子短
C．小莉的影子与小玉的影子一样长
D．无法判断谁的影子长
【答案】D
【知识点】中心投影
【解析】【解答】由一点所发出的光线形成的投影叫做中心投影,而中心投影的影子长短与距离光源的距离有关,由题意可得,小莉和小玉在同一路灯下由于位置不同,影长也不相同,故无法判断谁的影子长,
故答案为：D.
【分析】由题意可得,小莉和小玉在同一路灯下由于位置不同,影长也不相同,故无法判断谁的影子长.
8．（2019九上·南岸月考）学校墙边有甲、乙两根木杆，某一时刻甲、乙两根木杆在阳光下的影子长分别为1.2米和1米.已知乙木杆的高度为1.5米，那么甲木杆的高度为（ ）
A．0.8 B．1.25 C．1.5 D．1.8
【答案】D
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设甲杆的高度为xm，
根据题意得： ，
解得：x＝1.8，
即甲杆的高度是1.8m.
故答案为：D.
【分析】设甲杆的高度为xm，利用在同一时刻物高与影长的比相等得 ，然后解方程即可.
9．如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子( )
A．逐渐变短 B．逐渐变长
C．先变短后变长 D．先变长后变短
【答案】A
【知识点】中心投影
【解析】【解答】根据光源是由远到近的过程和中心投影的特点可得：小亮在路灯下由远及近向路灯靠近时，其影子应该逐渐变短，
故答案为：A．
【分析】该投影是中心投影， 小亮从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处 的过程中，光源是由远到近的过程，根据中心投影的特点，小亮在路灯下由远及近向路灯靠近时，其影子应该逐渐变短。
10．如图是王老师展示的他昨天画的一幅写生画，他让四个学生猜测他画这幅画的时间．根据王老师标出的方向，下列给出的时间比较接近的是（ ）
A．小丽说：“早上8点” B．小强说：“中午12点”
C．小刚说：“下午3点” D．小明说：“哪个时间段都行”
【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据题意：影子在物体的东方，根据北半球，从早晨到傍晚影子的指向是：西-西北-北-东北-东，可得应该是下午．
故答案为：C．
【分析】由图可知：影子在物体的东方，故时间应该是在中午以后，从而判断出答案。
二、填空题
11．（2019九下·沈阳月考）如图，地面A处有一支燃烧的蜡烛(长度不计)，一个人在A与墙BC之间运动，则他在墙上的投影长度随着他离墙的距离变小而 (填“变大”、“变小”或“不变”).
【答案】变小
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：易知投影为光线路程从蜡烛A点到人物头所连接的直线延伸到墙上，设为AD.
当人离墙的距离变小时候（即往右边移动），易知其AD与AB的夹角会变小，AD长度变小，根据勾股定理易知，斜边变小，其中一条直角边固定不变，则另一条直角边肯定会长度变小.
故答案为：变小.
【分析】可连接光源和人的头顶可知，墙上的影长和人到墙的距离变化规律是：距离墙越近，影长越短，距离墙越远影长越长．
12．皮影戏中的皮影是由 投影得到.
【答案】中心
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：中心投影的定义：由同一点出发的投影线所形成的投影线叫做中心投影。
皮影是由灯光发出的线所形成的投影。
故答案为：中心。
【分析】由平行投影和中心投影的定义判断即可。
13．（2021九上·会宁期末）张三和李四并排站立在阳光下，张三身高1.80米，他的影长2.0米，李四比张三矮9厘米，此时李四的影长是 米.
【答案】1.9
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设李四的影长是x米，
根据题意得 ，
解得x=1.9.
答：李四的影长是1.9米.
故答案为：1.9.
【分析】设李四的影长是x米，利用同一时刻，同一地点，同一平面内影长与物体的高度成正比得到 ，然后解方程即可.
14．（2020九上·迎泽月考）将一个矩形纸片（厚度不计）置于太阳光下，改变纸片的摆放位置和方向，则其留在地面上的影子的形状可能是 ．（只需写一个条件）
【答案】平行四边形（答案不唯一）
【知识点】平行投影
【解析】【解答】矩形在阳光下的投影对边应该是相等的，影子的形状可能是矩形、正方形、平行四边形；
故答案为：平行四边形．
【分析】利用中心投影的性质求解即可。
三、解答题
15．（2020九上·无锡月考）在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB=2米，它的影子BC=1.6米，木杆PQ的影子有一部分落在墙上，PM=1.2米，MN=0.8米，求木杆PQ的长度.
【答案】解：如图，过点N作ND⊥PQ于D，则DN=PM，
∴△ABC∽△QDN，
.
∵AB=2米，BC=1.6米，PM=1.2米，NM=0.8米，
=1.5（米），
∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（米）.
答：木杆PQ的长度为2.3米.
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【分析】先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长,再根据此影长列出比例式即可
16．（2020九下·广州月考）如图所示，小红想利用竹竿来测量旗杆AB的高度，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（BC），另一部分落在斜坡上（CD），他测得落在地面上的影长为10米，落在斜坡上的影长为4 米，∠DCE＝45°，求旗杆AB的高度？
【答案】解：延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC于点E，
∵CD 米，∠DCE=45°，
∴DE=CE=CD =4，
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴ ，解得EF=2DE=8，
∴BF=10+4+8=22，
∵DE⊥BC，AB⊥BC，
∴△EDF∽△BAF，
∴ ，即 ，
∴AB=11米．
答：旗杆的高度为11米．
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】 延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC于点E， 证出 △EDF∽△BAF， 再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可。
17．如图所示，分别是两棵树及其影子的情形
（1）哪个图反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形．
（2）请画出图中表示小丽影长的线段．
（3）阳光下小丽影子长为1.20m树的影子长为2.40m，小丽身高1.88m，求树高．
【答案】（1）解：如图所示：
甲图反映了阳光下的情形，乙图反映了路灯下的情形；
（2）解：如图所示：AB，CD是小丽影长的线段
（3）解：∵阳光下小丽影子长为1.20m，树的影子长为2.40m，小丽身高1.88m，设树高为xm，
∴
解得：x=3.76，
答：树的高度为3.76m
【知识点】平行投影
【解析】【分析】（1）利用太阳光线是平行光线与路灯的光线是从一个点发出进而得出答案；（2）结合光线的照射不同得出小丽影长的线段；（3）利用同一时刻太阳照射影长与实际长度比值相等进而得出答案．
18．（2021九上·舞钢期末）如图，A、B、C分别表示甲、乙、丙三个物体的顶端，甲物体高3米，影长2米，乙物体高2米，影长3米，甲乙两物体相距4米.
（1）请在图中画出光源灯的位置及灯杆，并画出物体丙的影子.
（2）若甲、乙、丙及灯杆都与地面垂直，且在同一直线上，求灯杆的高度.
【答案】（1）点O为灯的位置，QF为丙物体的影子；
（2）作OM⊥QH，设OM=x，EM=y，
由△GAE∽△GOM得 ，
即： ①，
由△BDH∽△OMH得
即： ②
结合①②得，
x=6，y=2.
经检验，x=6、y=2是方程的解，
答：灯的高度为6米.
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）首先连接GA、HB并延长交于点O，从而确定点光源，然后连接OC并延长即可确定影子；
（2）作OM⊥QH ，设OM=x，EM=y，根据三角形相似列出比例式即可确定灯的高度.
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