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初中数学浙教版八年级下册2.1 一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．（2020八上·浦东月考）下列方程中，属于一元二次方程( )
A．3x2-5x=6 B． -2=0 C．x2+y2=4 D．6x+1=0
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是一元二次方程，故A符合题意；
B、是分式方程，不是一元二次方程，故B不符合题意；
C、不是一元二次方程，故C不符合题意；
D、是一元一次方程，不是一元二次方程，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】本题考查一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程.根据一元二次方程的定义，逐项进行判断，即可求解.
2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．
B． （其中a、b、c是常数）
C．
D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A． ，整理，得 ，是一元二次方程，故符合题意；
B．当a=0时， （其中a、b、c是常数）不是一元二次方程，故不符合题意；
C． 不是整式方程，所以不是一元二次方程，故不符合题意；
D． ，整理，得 ，不是一元二次方程，故不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程的含义，判断得到答案即可。
3．（2020八上·咸阳开学考）若（x＋3）（x－5）＝x2＋mx＋n，则（ ）
A．m＝－2，n＝15 B．m＝2，n＝－15
C．m＝2，n＝15 D．m＝－2，n＝－15
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：（x＋3）（x－5）
＝x2-5x＋3x-15
= x2-2x-15
= x2＋mx＋n
∴m=-2，n=-15，
故答案为：D.
【分析】将等式左边展开，再合并同类项，
4．（2020八下·越城期末）若a，b，c满足 ，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是（ ）
A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：当x＝1时，a+b+c＝0，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，
所以关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为1或﹣1.
故答案为：C.
【分析】分别把x＝1或x＝﹣1代入方程可得到足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则根据一元二次方程的解的定义可判断方程的根.
5．（2020八下·门头沟期末）关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，
∴a2﹣4＝0，
解得a＝±2，
∵a﹣2≠0，
∴a≠2，
∴a＝﹣2．
故答案为：C．
【分析】将 代入一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0中得到一个关于a的一元二次方程，解方程得出a的两个值，然后利用一元二次方程的定义即可确定最终a的值．
6．（2020八下·温州期中）若k是一元二次方程x -5x-1=0的一个实数根，则2020-k2+5k的值是( )
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】将x=k代入x -5x-1=0中，得k -5k-1=0,
∴k -5k=1，
原式=2020-（k -5k）=2020-1=2019.
故答案为B.
【分析】将x=k代入方程中，可得k -5k=1，将原式变形为2020-（k -5k），然后整体代入计算即可.
7．（2017八下·丰台期末）关于x的一元二次方程 有两个实数根，那么实数k的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． 且 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】由一元二次方程 有两个实数根，可得△=4-4k≥0，且k≠0，解得 k≤1且k≠0，
故答案为：C
【分析】一元二次方程有两个根说明△0，注意一元二次方程二次项系数不为0.
二、填空题
8．方程5x2﹣x﹣3＝x2﹣3+x的二次项系数是 .
【答案】4
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：方程整理得：4x2﹣2x＝0，
则方程的二次项系数为4.
故答案为：4.
【分析】方程整理为一般形式，找出二次项系数即可.
9．（2020八上·浦东月考）若关于x的方程(a-1)xa2+1+1+2x-7=0是一元二次方程，则a= 。
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 方程(a-1)xa2+1+1+2x-7=0是一元二次方程，
∴，
∴a=-1.
故答案为-1.
【分析】根据一元二次方程的定义，得出，求出a的值，即可求解.
10．若关于x的一元二次方程 的两根为 ，其中a、m为两数，则 ， ．
【答案】4；
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：
移项，得
∴
解得：
∵关于x的一元二次方程 的两根为
∴ ， =
解得：a=4
故答案为：4； ．
【分析】根据方程的根表示以及两个根的值，即可得到a的值。
11．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若 是倍根方程，则 的值是 ．
【答案】0
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：
解得：
∵ 是倍根方程，
∴ 或
∴ 或
若 ， = ；
若 ， =
综上： =0
故答案为：0．
【分析】将方程去括号，合并同类项，根据倍根方程的含义，即可得到n和m之间的代数关系，分类讨论，得到答案即可。
12．（2020八上·上海月考）若关于x的方程|x2+ax|=2共有三个不同的实数解，则a的值为 。
【答案】a=±
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：根据题意可知
对于抛物线y=x2+ax有最小值-2
∴即=-2
a2=8
解得，a=±2
【分析】根据题目中的描述即可得到方程在对称轴处取得最小值-2，代入求出a的值即可。
13．（2020八上·上海月考）若方程x2+mx+2=0与x2+2x+m=0有一个相同的实数根，m的值为 。
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵两个方程有相同的实数根
∴x2+mx+2=x2+2x+m有一个实数根
∴x=1
将x=1，代入x2+mx+2=0
m=-3
【分析】根据两个方程有共同的实数根，即可得到x的值为1，将x的值代入到方程即可得到m的值。
三、综合题
14．如果方程 与方程 有且只有一个公共根，求a的值．
【答案】解：∵有且只有一个公共根
∴
∴
∵当a=-1时两个方程完全相同，故a≠-1，
∴
∴
当 时，代入第一个方程可得
1-a+1=0
解得：
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】根据两个方程 有且只有一个公共根 ，可得 ，再进行求解即可。
15．（2020八上·上海月考）解关于x的方程：kx2-2x+1=0
【答案】解：当k=0时，方程为一元一次方程-2x+1=0
解得，x=；
当k≠0时，方程为一元二次方程，
解得，x==
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】根据题意，由k取值范围的不同，分别解方程得到答案即可。
16．（2019八下·北京期中）已知m是方程x2﹣x﹣3＝0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣ +1）的值．
【答案】解：∵m是方程x2﹣x﹣3＝0的一个实数根，
∴m2﹣m﹣3＝0，
∴m2﹣m＝3，m﹣1﹣ ＝0，即m﹣ ＝1，
∴（m2﹣m）（m﹣ +1）＝3×（1+1）＝6．
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义得到m ﹣m﹣3＝0，则m ﹣2m＝3，把m ﹣m﹣3＝0两边都除以m得m﹣1﹣ ＝0，则m﹣ ＝1，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
17．一元二次方程 化为一般式后为 ，试求 a2+b2-c2的值的算术平方根．
【答案】解：a（x+1）2+b（x+1）+c=0化作一元二次方程的一般形式为ax2+(2a+b)x+a+b+c=0，
又一般形式为3x2+2x-1=0，
∴a=3，2a+b=2，a+b+c=-1，
解得，a=3，b=-4，c=0，
∴a2+b2-c2=25，则其算术平方根是5．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】把a（x+1）2+b（x+1）+c=0去括号、合并同类项，化作一元二次方程的一般形式，对照3x2+2x-1=0，求出a、b、c的值，再代入计算．
18．求证：关于x的方程 ，无论m取何值，该方程都是一元二次方程.
【答案】证明：经分析知 ，且 恒成立
由此即可证明无论m取何值关于x的方程 的二次项系数一直大于0，
所以该方程会一直为一元二次方程
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据题意可知，方程总是为一元二次方程，即可得到二次项的系数不为0，结合偶次幂的非负性即可进行证明。
19．（2019八下·瑶海期末）已知关于x的一元二次方程x2-mx-3=0．
（1）求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一根为3，求另一个根．
【答案】（1）解：∵在方程x2-mx-3=0中，△=（-m）2-4×1×（-3）=m2+12≥12，
∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：方法一：将x=3代入x2-mx-3=0中，得：9-3m-3=0，
解得：m=2，
当m=2时，原方程为x2-2x-3=（x+1）（x-3）=0，
解得：x1=-1，x2=3，
∴方程的另一根为-1．
方法二：设方程的另一个根为a，
则3a=-3，
解得：a=-1，
即方程的另一根为-1．
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=m2+12≥12，由此即可得出结论．（2）将x=3代入原方程求出m值，再将m得值代入原方程利用十字相乘法即可求出方程的另一根，或者直接利用两根之积等于-3可得．
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初中数学浙教版八年级下册2.1 一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．（2020八上·浦东月考）下列方程中，属于一元二次方程( )
A．3x2-5x=6 B． -2=0 C．x2+y2=4 D．6x+1=0
2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．
B． （其中a、b、c是常数）
C．
D．
3．（2020八上·咸阳开学考）若（x＋3）（x－5）＝x2＋mx＋n，则（ ）
A．m＝－2，n＝15 B．m＝2，n＝－15
C．m＝2，n＝15 D．m＝－2，n＝－15
4．（2020八下·越城期末）若a，b，c满足 ，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是（ ）
A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无实数根
5．（2020八下·门头沟期末）关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2
6．（2020八下·温州期中）若k是一元二次方程x -5x-1=0的一个实数根，则2020-k2+5k的值是( )
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
7．（2017八下·丰台期末）关于x的一元二次方程 有两个实数根，那么实数k的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． 且 D．
二、填空题
8．方程5x2﹣x﹣3＝x2﹣3+x的二次项系数是 .
9．（2020八上·浦东月考）若关于x的方程(a-1)xa2+1+1+2x-7=0是一元二次方程，则a= 。
10．若关于x的一元二次方程 的两根为 ，其中a、m为两数，则 ， ．
11．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若 是倍根方程，则 的值是 ．
12．（2020八上·上海月考）若关于x的方程|x2+ax|=2共有三个不同的实数解，则a的值为 。
13．（2020八上·上海月考）若方程x2+mx+2=0与x2+2x+m=0有一个相同的实数根，m的值为 。
三、综合题
14．如果方程 与方程 有且只有一个公共根，求a的值．
15．（2020八上·上海月考）解关于x的方程：kx2-2x+1=0
16．（2019八下·北京期中）已知m是方程x2﹣x﹣3＝0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣ +1）的值．
17．一元二次方程 化为一般式后为 ，试求 a2+b2-c2的值的算术平方根．
18．求证：关于x的方程 ，无论m取何值，该方程都是一元二次方程.
19．（2019八下·瑶海期末）已知关于x的一元二次方程x2-mx-3=0．
（1）求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一根为3，求另一个根．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是一元二次方程，故A符合题意；
B、是分式方程，不是一元二次方程，故B不符合题意；
C、不是一元二次方程，故C不符合题意；
D、是一元一次方程，不是一元二次方程，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】本题考查一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程.根据一元二次方程的定义，逐项进行判断，即可求解.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A． ，整理，得 ，是一元二次方程，故符合题意；
B．当a=0时， （其中a、b、c是常数）不是一元二次方程，故不符合题意；
C． 不是整式方程，所以不是一元二次方程，故不符合题意；
D． ，整理，得 ，不是一元二次方程，故不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程的含义，判断得到答案即可。
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：（x＋3）（x－5）
＝x2-5x＋3x-15
= x2-2x-15
= x2＋mx＋n
∴m=-2，n=-15，
故答案为：D.
【分析】将等式左边展开，再合并同类项，
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：当x＝1时，a+b+c＝0，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，
所以关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为1或﹣1.
故答案为：C.
【分析】分别把x＝1或x＝﹣1代入方程可得到足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则根据一元二次方程的解的定义可判断方程的根.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，
∴a2﹣4＝0，
解得a＝±2，
∵a﹣2≠0，
∴a≠2，
∴a＝﹣2．
故答案为：C．
【分析】将 代入一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0中得到一个关于a的一元二次方程，解方程得出a的两个值，然后利用一元二次方程的定义即可确定最终a的值．
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】将x=k代入x -5x-1=0中，得k -5k-1=0,
∴k -5k=1，
原式=2020-（k -5k）=2020-1=2019.
故答案为B.
【分析】将x=k代入方程中，可得k -5k=1，将原式变形为2020-（k -5k），然后整体代入计算即可.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】由一元二次方程 有两个实数根，可得△=4-4k≥0，且k≠0，解得 k≤1且k≠0，
故答案为：C
【分析】一元二次方程有两个根说明△0，注意一元二次方程二次项系数不为0.
8．【答案】4
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：方程整理得：4x2﹣2x＝0，
则方程的二次项系数为4.
故答案为：4.
【分析】方程整理为一般形式，找出二次项系数即可.
9．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵ 方程(a-1)xa2+1+1+2x-7=0是一元二次方程，
∴，
∴a=-1.
故答案为-1.
【分析】根据一元二次方程的定义，得出，求出a的值，即可求解.
10．【答案】4；
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：
移项，得
∴
解得：
∵关于x的一元二次方程 的两根为
∴ ， =
解得：a=4
故答案为：4； ．
【分析】根据方程的根表示以及两个根的值，即可得到a的值。
11．【答案】0
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：
解得：
∵ 是倍根方程，
∴ 或
∴ 或
若 ， = ；
若 ， =
综上： =0
故答案为：0．
【分析】将方程去括号，合并同类项，根据倍根方程的含义，即可得到n和m之间的代数关系，分类讨论，得到答案即可。
12．【答案】a=±
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：根据题意可知
对于抛物线y=x2+ax有最小值-2
∴即=-2
a2=8
解得，a=±2
【分析】根据题目中的描述即可得到方程在对称轴处取得最小值-2，代入求出a的值即可。
13．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵两个方程有相同的实数根
∴x2+mx+2=x2+2x+m有一个实数根
∴x=1
将x=1，代入x2+mx+2=0
m=-3
【分析】根据两个方程有共同的实数根，即可得到x的值为1，将x的值代入到方程即可得到m的值。
14．【答案】解：∵有且只有一个公共根
∴
∴
∵当a=-1时两个方程完全相同，故a≠-1，
∴
∴
当 时，代入第一个方程可得
1-a+1=0
解得：
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】根据两个方程 有且只有一个公共根 ，可得 ，再进行求解即可。
15．【答案】解：当k=0时，方程为一元一次方程-2x+1=0
解得，x=；
当k≠0时，方程为一元二次方程，
解得，x==
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】根据题意，由k取值范围的不同，分别解方程得到答案即可。
16．【答案】解：∵m是方程x2﹣x﹣3＝0的一个实数根，
∴m2﹣m﹣3＝0，
∴m2﹣m＝3，m﹣1﹣ ＝0，即m﹣ ＝1，
∴（m2﹣m）（m﹣ +1）＝3×（1+1）＝6．
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义得到m ﹣m﹣3＝0，则m ﹣2m＝3，把m ﹣m﹣3＝0两边都除以m得m﹣1﹣ ＝0，则m﹣ ＝1，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
17．【答案】解：a（x+1）2+b（x+1）+c=0化作一元二次方程的一般形式为ax2+(2a+b)x+a+b+c=0，
又一般形式为3x2+2x-1=0，
∴a=3，2a+b=2，a+b+c=-1，
解得，a=3，b=-4，c=0，
∴a2+b2-c2=25，则其算术平方根是5．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】把a（x+1）2+b（x+1）+c=0去括号、合并同类项，化作一元二次方程的一般形式，对照3x2+2x-1=0，求出a、b、c的值，再代入计算．
18．【答案】证明：经分析知 ，且 恒成立
由此即可证明无论m取何值关于x的方程 的二次项系数一直大于0，
所以该方程会一直为一元二次方程
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据题意可知，方程总是为一元二次方程，即可得到二次项的系数不为0，结合偶次幂的非负性即可进行证明。
19．【答案】（1）解：∵在方程x2-mx-3=0中，△=（-m）2-4×1×（-3）=m2+12≥12，
∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：方法一：将x=3代入x2-mx-3=0中，得：9-3m-3=0，
解得：m=2，
当m=2时，原方程为x2-2x-3=（x+1）（x-3）=0，
解得：x1=-1，x2=3，
∴方程的另一根为-1．
方法二：设方程的另一个根为a，
则3a=-3，
解得：a=-1，
即方程的另一根为-1．
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=m2+12≥12，由此即可得出结论．（2）将x=3代入原方程求出m值，再将m得值代入原方程利用十字相乘法即可求出方程的另一根，或者直接利用两根之积等于-3可得．
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