初中数学浙教版八年级上册2.8 直角三角形全等的判定 同步练习
一、单选题
1．（2019八上·江津期中）下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等。 B．斜边和一锐角对应相等。
C．斜边和一条直角边对应相等。 D．两锐角相等。
2．如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2019八上·衢州期中）下列条件不能保证两个三角形全等的是（ ）
A．三边对应相等 B．两边一角对应相等
C．两角一边对应相等 D．直角边和一个锐角对应相等
4．（2019八上·天台期中）如图△ABC和△DEF,下列条件中①∠B=∠E=90°，AC=DF；②∠B=∠E，AB=DE,AC=DF;③在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF;④∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；⑤∠A=∠D，BC=EF，∠C=∠F，能证明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．③ ⑤ B．① ③⑤ C．①② ③⑤ D．①② ③④⑤
5．（2019八下·来宾期末）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（ ）
A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD或BC＝BD
C．AC＝AD且BC＝BD D．以上都不正确
6．（2019八下·桂林期末）如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
7．（2018八上·番禺月考）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（ ）
A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC
8．（2018八上·丹徒月考）如图，在∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（ ）
A．HL B．SAS C．AAS D．SSS
9．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交边AD、BC于E、F两点，则阴影部分的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB＋CD，四个结论中成立的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
二、填空题
11．如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌ ，全等的根据是 ．
12．（2018八上·左玉月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP= 时，△ABC和△PQA全等．
13．（2018八上·阳江月考）如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，若AE=12cm，则DE的长为 cm．
14．（2018八上·北京期中）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8cm，则AB＝ cm．
15．（2019八上·台州开学考）如图所示，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝ ．
三、解答题
16．（2019八上·官渡期末）如图，已知AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AF＝BE，CE＝DF，求证：∠C＝∠D．
17．（2019八上·江门期中）已知DC=EC，AB∥DC，∠D=90°， AE⊥BC于点E．求证：∠ACB=∠BAC．
18．（2019八上·温州开学考）如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90度，E是AB上一点，且AE=BC，∠1=∠2
（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？请说明理由；
（2）AB＝AD＋BC
（3）△CDE是不是直角三角形？请说明理由.
19．（2019八下·南山期中）如图所示∠A=∠D=90°，AB=DC，点E，F在BC上且BE=CF．
（1）求证：AF=DE．
（2）若PO⊥EF，求证：OP平分∠EOF．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：如果在两个直角三角形中，两条直角边对应相等，那么根据SAS即可判断两三角形全等，故答案为：A正确.
如果在两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，那么根据AAS也可判断两三角形全等，故答案为：B正确.
如果在两个直角三角形中，斜边和一直角边对应相等，那么根据HL也可判断两三角形全等，故答案为：C正确.
如果在两个直角三角形中，两锐角相等，无法判断两三角形全等，故答案为：D错误.
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形全等的判定方法：SSS,SAS,ASA,AAS,HL即可一一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】根据矩形的性质，△CDA、△BAD、△DCB与△ABC全等，因为DE∥AC，所以∠CDE＝∠DCA，因为CD＝DC，∠ADC＝∠ECD，所以△ADC≌△ECD，所以与△ABC全等的三角形有4个.
故答案为：D.
【分析】根据题中条件，结合图形，可得出与△ABC全等的三角形为△ADC，△ABD，△DBC，△DCE共4个．
3．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：A、 三边对应相等 （SSS），则三角形全等，正确，不符合题意；
B、 两边一角对应相等 ，无边边角定理，不能证明三角形全等，错误，不符合题意；
C、 两角一边对应相等（AAS），则三角形全等，正确，不符合题意；
D、 直角边和一个锐角对应相等 （ASA），则三角形全等，正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】三角形全等的判定定理有：边角边、角角边、角边角和边边边定理，逐项分析即可判断.
4．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解： ①∠B=∠E=90°，AC=DF，只有两个要素对应相等不能证明三角形全等，不符合题意；
②∠B=∠E，AB=DE, AC=DF，无边边角定理，不能证明两三角形全等，不符合题意 ;
③在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF，则△ABC≌△DEF （HL），符合题意;
④∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，三个角对应相等，不能证明两三角形全等，不符合题意；
⑤∠A=∠D，BC=EF，∠C=∠F，则△ABC≌△DEF（AAS），符合题意；
综上，只有 ③⑤ 符合题意.
故答案为：A.
【分析】三角形全等的判定定理有：边角边、角角边、角边角和边边边定理，直角三角形全等还有斜边直角边定理，逐项分析即可判断.
5．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵AB为公共边，也为 Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，
∴ 若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需要一组直角边对应相等，
即 AC＝AD或BC＝BD ；
故答案为：B.
【分析】 用“HL”证明两个直角三角形全等，需要证明斜边和一组直角边对应相等。现知斜边相等，则只需一组直角边对应相等，据此分析判断即可。
6．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵AC=BC，AE=CD，
∴△AEC≌△CDB（HL），
∴CD=AE=7，CE=BD=2，
∴ED=CD-CE=7-2=5，
故答案为：B.
【分析】根据斜边直角边定理证明△AEC≌△CDB，再由全等三角形的性质定理得对应边相等，则CD和CE的长度可求，于是求出ED的长度。
7．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】条件是AB=CD，
理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD=∠AEB=90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
故答案为：D．
【分析】这个题目考查的是直角三角形的判定定理的运用。前提条件必须是两个直角三角形，必须有斜边，再加一条直角边，用两个条件即可证明全等。特别注意证明过程的格式书写。
8．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在Rt△OMP和Rt△ONP中，
，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP=∠NOP，
∴OP是∠AOB的平分线.
故答案为：A.
【分析】由作图可知OM=ON ，∠OMP=∠ONP再根据OP是公共边即可作出判断.
9．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EDB=∠OBF，DO=BO，
在△EDO和△FBO中，
∴△DEO≌△BFO(ASA)，
∴S△DEO=S△BFO，
阴影面积
故答案为：A
【分析】在正方形ABCD中，根据三角形的的两个角及其夹边对应相等，两个三角形全等，可证△DEO≌△BFO(ASA)，所以阴影部分的面积可以转化为正方形面积的即可。
10．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴EB=EF，
又∵AE=AE
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴AB=AF，∠AEF=∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC=EF=BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；
∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；
∴∠AED=∠AEF+∠FED= ∠BEC=90°，所以①正确．
故答案为：A
【分析】过E作EF⊥AD于F，如图，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出EB=EF，然后利用HL判断出Rt△AEF≌Rt△AEB，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出AB=AF，∠AEF=∠AEB；根据中点的定义从而得出EC=EF=BE；然后利用HL判断出Rt△EFD≌Rt△ECD，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出DC=DF，∠FDE=∠CDE，然后根据线段的和差及等量代换，由AD=AF+FD=AB+DC得出AD＝AB＋CD，根据平角的定义及角的和差得出∠AED=∠AEF+∠FED= ∠BEC=90°。
11．【答案】△DFE；HL
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】EB＋BF＝FC＋BF，即EF＝BC，斜边相等
【分析】根据等式的性质由EB＝FC得出EF＝BC，这两个直角三角形中有一条直角边对应相等，斜边也对应相等，故可以利用HL判断出ΔABC≌△DFE。
12．【答案】5或10
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】当AP=5或10时，△ABC和△PQA全等，
理由是：∵∠C=90°，AO⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°，
①当AP=5=BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中
，
∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），
②当AP=10=AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中
，
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），
故答案为：5或10．
【分析】根据直角三角形全等的判定定理，分别证明三角形全等，即可得到答案。
13．【答案】12
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】连接BE，
∵D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，
∴∠A=∠BDE=90°，
∴在Rt△DBE和Rt△ABE中，
BD=AB(已知),BE=EB(公共边)，
∴Rt△DBE≌Rt△ABE(HL)，
∴AE=ED，
又∵AE=12cm，
∴ED=12cm.
故填12.
【分析】根据直角三角形全等的判定定理容易证得Rt△DBE≌Rt△ABE(HL)，从而可以得出结论
14．【答案】8
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】∵∠C=90 ，BD平分∠CBA，DE⊥AB，
∴CD=DE，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
∵
∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL)，
∴BC=BE，
∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AE+AD+CD=AE+AC=AE+BC=AE+BE=AB，
∵△ADE的周长为8cm，
∴AB=8cm.
故答案为：8cm.
【分析】根据题意，结合角平分线的性质，即可得到CD=DE，在题目中，结合已知条件证明直角三角形BCD≌直角三角形BED，即可根据全等三角形的性质得到BC=BE，将△ADE的周长转化为三角形ACB中已知边的长度求出答案即可。
15．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD ∠BPC=(x 40)°，
∴∠BAC=∠ACD ∠ABC=2x° (x° 40°) (x° 40°)=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
PA=PA
PM=PF，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL)，
∴∠FAP=∠PAC=50°.
【分析】 根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案.
16．【答案】证明：∵AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AF＝BE，
∴AE＝BF，
∵CE＝DF，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL），
∴∠C＝∠D．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】先根据等量加等量和相等得出 AE＝BF， 然后利用“HL”判断Rt△ACE≌Rt△BDF，由全等三角形的对应角相等可得 ∠C＝∠D．
17．【答案】证明：∵AB∥DC
∴∠ACD＝∠BAC
∵AE⊥BC
∴∠AEC＝90°
在Rt△ACE和Rt△ACD中
∴Rt△ACE≌Rt△ACD（HL)
∴∠ACB＝∠ACD.
∴∠ACB＝∠BAC.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据直角三角形的判定定理（HL）可判断出三角形全等，根据全等三角形的性质可得出对应角相等。
18．【答案】（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等 ，
证明：∵ ∠A=∠B=90 °，
AE=BC，
∵∠1=∠2 ，
则DE=CE，
∴ Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；
（2）证明，∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
则AD=BE，AE=BC，
∴AE+EB=AD+BC，
即AB=AD+BC.
（3）解：∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴ ∠AED=∠BCE，∵ ∠AED+∠BEC= ∠BCE+∠BEC=90°，∴∠DEC=90°.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）利用斜边直角边定理，证明两三角形全等即可；
（2）由全等三角形对应边分别相等，结合等式的性质，即可证得AB=AD+BC；
（3）由全等三角形对应角相等，结合等式的性质，求得∠AED和∠BEC之和等于90°，则∠DEC等于90°。
19．【答案】（1）证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°
∴△ABF与ADCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
∴Rt△ABF=Rt△DCE（HL），
∴AF=DE
（2）证明：∵Rt△ABF=Rt△DCE（已证），
∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF，
∵OP⊥FE
∴OP平分∠EOF
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）由BE=CF，可得到BF=CE，在Rt
△ABF与Rt△ADC中，利用“HL”定理即可证得Rt△ABF=Rt△DCE，可得AF=DE；
（2）由（1）中结论可判断∠AFB=∠DEC，△OEF是等腰三角形，根据“三线合一”即可判断OP平分∠EOF。
1 / 1初中数学浙教版八年级上册2.8 直角三角形全等的判定 同步练习
一、单选题
1．（2019八上·江津期中）下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等。 B．斜边和一锐角对应相等。
C．斜边和一条直角边对应相等。 D．两锐角相等。
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：如果在两个直角三角形中，两条直角边对应相等，那么根据SAS即可判断两三角形全等，故答案为：A正确.
如果在两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，那么根据AAS也可判断两三角形全等，故答案为：B正确.
如果在两个直角三角形中，斜边和一直角边对应相等，那么根据HL也可判断两三角形全等，故答案为：C正确.
如果在两个直角三角形中，两锐角相等，无法判断两三角形全等，故答案为：D错误.
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形全等的判定方法：SSS,SAS,ASA,AAS,HL即可一一判断得出答案.
2．如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】根据矩形的性质，△CDA、△BAD、△DCB与△ABC全等，因为DE∥AC，所以∠CDE＝∠DCA，因为CD＝DC，∠ADC＝∠ECD，所以△ADC≌△ECD，所以与△ABC全等的三角形有4个.
故答案为：D.
【分析】根据题中条件，结合图形，可得出与△ABC全等的三角形为△ADC，△ABD，△DBC，△DCE共4个．
3．（2019八上·衢州期中）下列条件不能保证两个三角形全等的是（ ）
A．三边对应相等 B．两边一角对应相等
C．两角一边对应相等 D．直角边和一个锐角对应相等
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：A、 三边对应相等 （SSS），则三角形全等，正确，不符合题意；
B、 两边一角对应相等 ，无边边角定理，不能证明三角形全等，错误，不符合题意；
C、 两角一边对应相等（AAS），则三角形全等，正确，不符合题意；
D、 直角边和一个锐角对应相等 （ASA），则三角形全等，正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】三角形全等的判定定理有：边角边、角角边、角边角和边边边定理，逐项分析即可判断.
4．（2019八上·天台期中）如图△ABC和△DEF,下列条件中①∠B=∠E=90°，AC=DF；②∠B=∠E，AB=DE,AC=DF;③在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF;④∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；⑤∠A=∠D，BC=EF，∠C=∠F，能证明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．③ ⑤ B．① ③⑤ C．①② ③⑤ D．①② ③④⑤
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解： ①∠B=∠E=90°，AC=DF，只有两个要素对应相等不能证明三角形全等，不符合题意；
②∠B=∠E，AB=DE, AC=DF，无边边角定理，不能证明两三角形全等，不符合题意 ;
③在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF，则△ABC≌△DEF （HL），符合题意;
④∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，三个角对应相等，不能证明两三角形全等，不符合题意；
⑤∠A=∠D，BC=EF，∠C=∠F，则△ABC≌△DEF（AAS），符合题意；
综上，只有 ③⑤ 符合题意.
故答案为：A.
【分析】三角形全等的判定定理有：边角边、角角边、角边角和边边边定理，直角三角形全等还有斜边直角边定理，逐项分析即可判断.
5．（2019八下·来宾期末）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（ ）
A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD或BC＝BD
C．AC＝AD且BC＝BD D．以上都不正确
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵AB为公共边，也为 Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，
∴ 若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需要一组直角边对应相等，
即 AC＝AD或BC＝BD ；
故答案为：B.
【分析】 用“HL”证明两个直角三角形全等，需要证明斜边和一组直角边对应相等。现知斜边相等，则只需一组直角边对应相等，据此分析判断即可。
6．（2019八下·桂林期末）如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵AC=BC，AE=CD，
∴△AEC≌△CDB（HL），
∴CD=AE=7，CE=BD=2，
∴ED=CD-CE=7-2=5，
故答案为：B.
【分析】根据斜边直角边定理证明△AEC≌△CDB，再由全等三角形的性质定理得对应边相等，则CD和CE的长度可求，于是求出ED的长度。
7．（2018八上·番禺月考）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（ ）
A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】条件是AB=CD，
理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD=∠AEB=90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
故答案为：D．
【分析】这个题目考查的是直角三角形的判定定理的运用。前提条件必须是两个直角三角形，必须有斜边，再加一条直角边，用两个条件即可证明全等。特别注意证明过程的格式书写。
8．（2018八上·丹徒月考）如图，在∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（ ）
A．HL B．SAS C．AAS D．SSS
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在Rt△OMP和Rt△ONP中，
，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP=∠NOP，
∴OP是∠AOB的平分线.
故答案为：A.
【分析】由作图可知OM=ON ，∠OMP=∠ONP再根据OP是公共边即可作出判断.
9．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交边AD、BC于E、F两点，则阴影部分的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EDB=∠OBF，DO=BO，
在△EDO和△FBO中，
∴△DEO≌△BFO(ASA)，
∴S△DEO=S△BFO，
阴影面积
故答案为：A
【分析】在正方形ABCD中，根据三角形的的两个角及其夹边对应相等，两个三角形全等，可证△DEO≌△BFO(ASA)，所以阴影部分的面积可以转化为正方形面积的即可。
10．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB＋CD，四个结论中成立的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴EB=EF，
又∵AE=AE
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴AB=AF，∠AEF=∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC=EF=BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；
∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；
∴∠AED=∠AEF+∠FED= ∠BEC=90°，所以①正确．
故答案为：A
【分析】过E作EF⊥AD于F，如图，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出EB=EF，然后利用HL判断出Rt△AEF≌Rt△AEB，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出AB=AF，∠AEF=∠AEB；根据中点的定义从而得出EC=EF=BE；然后利用HL判断出Rt△EFD≌Rt△ECD，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出DC=DF，∠FDE=∠CDE，然后根据线段的和差及等量代换，由AD=AF+FD=AB+DC得出AD＝AB＋CD，根据平角的定义及角的和差得出∠AED=∠AEF+∠FED= ∠BEC=90°。
二、填空题
11．如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌ ，全等的根据是 ．
【答案】△DFE；HL
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】EB＋BF＝FC＋BF，即EF＝BC，斜边相等
【分析】根据等式的性质由EB＝FC得出EF＝BC，这两个直角三角形中有一条直角边对应相等，斜边也对应相等，故可以利用HL判断出ΔABC≌△DFE。
12．（2018八上·左玉月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP= 时，△ABC和△PQA全等．
【答案】5或10
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】当AP=5或10时，△ABC和△PQA全等，
理由是：∵∠C=90°，AO⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°，
①当AP=5=BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中
，
∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），
②当AP=10=AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中
，
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），
故答案为：5或10．
【分析】根据直角三角形全等的判定定理，分别证明三角形全等，即可得到答案。
13．（2018八上·阳江月考）如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，若AE=12cm，则DE的长为 cm．
【答案】12
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】连接BE，
∵D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，
∴∠A=∠BDE=90°，
∴在Rt△DBE和Rt△ABE中，
BD=AB(已知),BE=EB(公共边)，
∴Rt△DBE≌Rt△ABE(HL)，
∴AE=ED，
又∵AE=12cm，
∴ED=12cm.
故填12.
【分析】根据直角三角形全等的判定定理容易证得Rt△DBE≌Rt△ABE(HL)，从而可以得出结论
14．（2018八上·北京期中）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8cm，则AB＝ cm．
【答案】8
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】∵∠C=90 ，BD平分∠CBA，DE⊥AB，
∴CD=DE，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
∵
∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL)，
∴BC=BE，
∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AE+AD+CD=AE+AC=AE+BC=AE+BE=AB，
∵△ADE的周长为8cm，
∴AB=8cm.
故答案为：8cm.
【分析】根据题意，结合角平分线的性质，即可得到CD=DE，在题目中，结合已知条件证明直角三角形BCD≌直角三角形BED，即可根据全等三角形的性质得到BC=BE，将△ADE的周长转化为三角形ACB中已知边的长度求出答案即可。
15．（2019八上·台州开学考）如图所示，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝ ．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD ∠BPC=(x 40)°，
∴∠BAC=∠ACD ∠ABC=2x° (x° 40°) (x° 40°)=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
PA=PA
PM=PF，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL)，
∴∠FAP=∠PAC=50°.
【分析】 根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案.
三、解答题
16．（2019八上·官渡期末）如图，已知AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AF＝BE，CE＝DF，求证：∠C＝∠D．
【答案】证明：∵AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AF＝BE，
∴AE＝BF，
∵CE＝DF，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL），
∴∠C＝∠D．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】先根据等量加等量和相等得出 AE＝BF， 然后利用“HL”判断Rt△ACE≌Rt△BDF，由全等三角形的对应角相等可得 ∠C＝∠D．
17．（2019八上·江门期中）已知DC=EC，AB∥DC，∠D=90°， AE⊥BC于点E．求证：∠ACB=∠BAC．
【答案】证明：∵AB∥DC
∴∠ACD＝∠BAC
∵AE⊥BC
∴∠AEC＝90°
在Rt△ACE和Rt△ACD中
∴Rt△ACE≌Rt△ACD（HL)
∴∠ACB＝∠ACD.
∴∠ACB＝∠BAC.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据直角三角形的判定定理（HL）可判断出三角形全等，根据全等三角形的性质可得出对应角相等。
18．（2019八上·温州开学考）如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90度，E是AB上一点，且AE=BC，∠1=∠2
（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？请说明理由；
（2）AB＝AD＋BC
（3）△CDE是不是直角三角形？请说明理由.
【答案】（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等 ，
证明：∵ ∠A=∠B=90 °，
AE=BC，
∵∠1=∠2 ，
则DE=CE，
∴ Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；
（2）证明，∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
则AD=BE，AE=BC，
∴AE+EB=AD+BC，
即AB=AD+BC.
（3）解：∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴ ∠AED=∠BCE，∵ ∠AED+∠BEC= ∠BCE+∠BEC=90°，∴∠DEC=90°.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）利用斜边直角边定理，证明两三角形全等即可；
（2）由全等三角形对应边分别相等，结合等式的性质，即可证得AB=AD+BC；
（3）由全等三角形对应角相等，结合等式的性质，求得∠AED和∠BEC之和等于90°，则∠DEC等于90°。
19．（2019八下·南山期中）如图所示∠A=∠D=90°，AB=DC，点E，F在BC上且BE=CF．
（1）求证：AF=DE．
（2）若PO⊥EF，求证：OP平分∠EOF．
【答案】（1）证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°
∴△ABF与ADCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
∴Rt△ABF=Rt△DCE（HL），
∴AF=DE
（2）证明：∵Rt△ABF=Rt△DCE（已证），
∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF，
∵OP⊥FE
∴OP平分∠EOF
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）由BE=CF，可得到BF=CE，在Rt
△ABF与Rt△ADC中，利用“HL”定理即可证得Rt△ABF=Rt△DCE，可得AF=DE；
（2）由（1）中结论可判断∠AFB=∠DEC，△OEF是等腰三角形，根据“三线合一”即可判断OP平分∠EOF。
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