浙教版九年级下册2.3 三角形的内切圆(共18张PPT)

(共18张PPT)
第2章 直线与圆的位置关系
2.3 三角形的内切圆
1、切线长定理
∵ PA、PB分别切⊙O于A、B
∴ PA=PB, OA⊥PA,OB ⊥PB,OA=OB
∴ OP分别平分∠APB，∠AOB
2、△ABC的外接圆
∵⊙O是△ABC的外接圆（或点O是外心）
∴ OA=OB=OC
3、叙述角平分线的性质与判定
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
这条美丽的花边图案主要是由哪些几何图形组成的？它们之间有着怎样的位置关系？
这条美丽的花边图案，同学们是否也可以轻易的画出来？今天我们一起去探讨一下！
小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
一起探究
获取新知
（1）当裁得的圆最大时，它与三角形三边应有怎样的位置关系？
O
O
O
O
最大的圆与三角形三边都相切
作出三个内角的平分线，三条内角平分线相交于一点，这点就是圆心，
O
C
A
B
D
（2）与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？
（3）如何确定这个圆的圆心位置与半径的长？
过圆心作一边的垂线，垂线段的长就是半径。
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
M
N
D
作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
☉O就是所求的圆.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
总结：
画三角形的内切圆:
画角平分线→定内心→定半径→画圆→结论
2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
B
A
C
I
☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.
1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.
知识总结
1.三角形的内心到三角形各边的距离相等。
三角形的内心性质
C
B
A
D
F
E
O
r
2.三角形的内心在三角形的角平分线上。
拓 展
OA，OB，OC是△ABC的角平分线，OD=OE=OF.
内心、外心的区别与联系
名称 内心 外心
图形
由来 三角形三条角平分线的交点 三角形三边垂直平分线的交点
性质 到三角形三边的距离相等 到三角形三个顶点的距离相等
位置 一定在三角形内部 不一定在三角形内部
角度关系 ∠BOC＝90°＋ ∠A ∠BIC＝2∠A
比 较
例1 如图，等边三角形ABC的边长为3 cm，求△ABC的内切圆⊙O的半径.
如图,设⊙O切AB于点D，连结OA，OB，OD.
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，
∴AO,BO 是∠BAC, ∠ABC的角平分线.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OAB=∠OBA = 30°.
解：
例题讲解
∵OD⊥AB，AB=3cm，
∴AD=BD= AB=1.5(cm),
∴OD=AD×tan30°
答：△ABC的内切圆的半径为
例2 已知:如图, ⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F.设△ABC的周长为l，求证: AE+BC= l.
∵⊙O是△ABC的内切圆，E,F为切点，
∴AE=AF.
同理，BD=BF，CD=CE.
∴AE+BC=AE+BD+CD
= (AE+AF+BD+BF+CD+CE)
=
证明：
1.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= .
A
B
C
O
110 °
随堂演练
（3）若∠BIC=100 °，则∠A = 度.
（2）若∠A=80 °，则∠BIC = 度.
130
20
2.如图，在△ABC中，点I是内心，
（1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，∠BIC=_____.
A
B
C
I
（4）试探索： ∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？
120°
3. △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.
B
A
C
E
D
F
O
解:
设AF=xcm，则AE=xcm.
∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，
BF=BD=AB-AF=13-x(cm).
由 BD+CD=BC，可得
(13-x)+(9-x)=14，
解得 x=4.
∴ AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).
4.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DI＝DB.
证明：连接BI.
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴BD=ID．
名称 确定方法 图形 性质
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三条
角平分线的
交点
1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内部．
A
B
C
O