1.3 二次函数的性质 同步课件（17张ppt）

(共17张PPT)
第1章 二次函数
1.3二次函数的性质
运动员投篮后，篮球运动的路线是一条怎样的曲线 怎样计算篮球达到最高点时的高度？
二次函数的性质
条件 图象 增减性 最大（小）值
a>0 b2－4ac>0 b2－4ac=0 b2－4ac<0 当x≤－ 时，y随x的增大而减小； 当x≥－ 时，y随x的增大而增大. 当x=－ 时，
y达到最小值：
无最大值.
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(续表)
条件 图象 增减性 最大（小）值
a<0 b2－4ac>0 b2－4ac=0 b2－4ac<0 当x≤－ 时，y随x的增大而增大； 当x≥－ 时，y随x的增大而减小. 当x=－ 时，
y达到最大值：
无最小值.
例1 已知函数y = -0.5x2-7x＋7.5.
(1)求函数图象的顶点坐标、对称轴，以及图象与坐标轴的交点
坐标，并画出函数的大致图象.
(2)自变量x在什么范围内时，y随x 的增大而增大？何时y 随x的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值.
(3)根据图象，说出x取哪些值时，① y=0; ② y<0; ③ y>0.
例题讲解
x=－7
20
x
y
10
O
10
－10
30
5
－10
－20
－15
－5
(－7，32)
(0，7.5)
(－15，0)
(1，0)
解：（1）∵a=-0.5,b=-7,c=7.5;
所以函数的顶点坐标是（-7，32），对称轴
是直线x=-7.
由x=0，得y=7.5，即图象与y轴的交点坐标
是（0，7.5）；
由y=0，得-0.5x2-7x＋7.5=0，解得x1=-15，x2=1，
所以图象与x轴的交点坐标是（-15，0），（1，0）.
函数y=-0.5x2-7x+7.5的大致图象如右图：
x=－7
20
x
y
10
O
10
－10
30
5
－10
－20
－15
－5
(－7，32)
(0，7.5)
(－15，0)
(1，0)
（2）由函数y=-0.5x2-7x+7.5的图象可知，
当x≤-7时， y随x的增大而增大；
当x≥-7 时，y随x的增大而减小；
当x＝-7时，函数y=-0.5x2-7x+7.5有最大值32.
当-15＜x＜1时， y>0.
（3）由函数y=-0.5x2-7x+7.5的图象可知， 当x=-15或x=1时，y=0.
当x＜-15或x＞1时，y<0.
例2 如图所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为 .下列结论：①ac＜0；②a＋b＝0；③4ac－b2＝4a；
④a＋b＋c＜0.其中正确的有(　　)
A．1个 　 B．2个　 　C．3个　 　D．4个
C
解析 ①因为抛物线开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，所以a<0，c>0，故ac<0；
②由题意知抛物线的对称轴为直线x＝ ，所以 ，即
a＝-b，故a＋b＝0；
③因为抛物线的顶点纵坐标是1，即 ，所以4ac－b2＝4a；
④当x＝1时，y＝a＋b＋c.因为抛物线的对称轴为直线x＝ ，所以当x＝1时与当x＝0时的函数值相同，观察图象，当x＝0时，y>0，所以a＋b＋c>0.综上所述，①②③正确．
1.二次函数y＝x2－8x＋1的最小值是(　　)
A．4 B．－15 C．－4 D．15
2.抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点个数是(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
B
[解析] y＝x2－8x＋1＝(x－4) 2－15，则二次函数y＝x2－8x＋1的最小值是－15.
[解析] 计算出b2－4ac的值，判断出抛物线y＝－3x2－x＋4与x轴的交点个数，再结合抛物线y＝－3x2－x＋4与y轴有1个交点即可得到结论．
A
随堂演练
3．抛物线y＝x2－5x－6与x轴的两个交点坐标分别为 ．
4．对于二次函数y＝-0.5(x－2)2-10，
当x____时，函数值y随x的增大而减小；
当x____时，函数值y随x的增大而增大；
当x＝__时，函数取得最___值为____．
(－1，0)，(6，0)
≤2
≥2
2
小
-12
5.已知二次函数的图象经过点(－1，－8)，顶点坐标为(2，1)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求这个二次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标．
解：(1)设这个二次函数的表达式为y＝a(x－2)2＋1(a≠0)．
把(－1，－8)代入，得－8＝9a＋1，解得a＝－1，
所以这个二次函数的表达式为y＝－(x－2)2＋1＝－x2＋4x－3.
(2)令y＝0，则－x＋4x－3＝0，
解得x1＝3，x2＝1，
所以这个二次函数的图象与x轴的交点坐标是(1，0)，(3，0)．
令x＝0，则y＝－3，
所以这个二次函数的图象与y轴的交点坐标是(0，－3)．
⑴ 球运动路线的函数解析式和
自变量的取值范围；
⑵ 球在运动中离地面的最大高度。
篮球运动员投篮时，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为x=2.5. 求：
思维拓展
3.05米
4米
2.25米
o
x
y
2.52a+k=2.25
(4－2.5)2a+k=3.05
则：a=－0.2,k=3.5
解: ⑴设函数解析式为:
y=a(x－2.5)2+k,根据题意，得：
∴解析式为:y=－0.2x2+x+2.25,
自变量x的取值范围为：0≤x≤4.
⑵球在运动中离地面的最大高度为3.5米。
3.05米
4米
2.25米
o
x
y
二次函数的性质
条件 图象 增减性 最大（小）值
a>0 b2－4ac>0 b2－4ac=0 b2－4ac<0 当x≤－ 时，y随x的增大而减小； 当x≥－ 时，y随x的增大而增大. 当x=－ 时，
y达到最小值：
无最大值.
(续表)
条件 图象 增减性 最大（小）值
a<0 b2－4ac>0 b2－4ac=0 b2－4ac<0 当x≤－ 时，y随x的增大而增大； 当x≥－ 时，y随x的增大而减小. 当x=－ 时，
y达到最大值：
无最小值.