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2022-2023八年级数学上册夯基课课练（浙教版）
1.3 证明
一、解答题
1．证明：两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直.
已知:
求证： .
证明：
【答案】见详解.
【分析】根据题意画出图形，写出已知与求证，证明过程为：由AB与CD平行，利用两直线平行同旁内角互补得到∠BEF+∠EFD=180°，再由EG与FG为角平分线，利用角平分线定义及等量代换得到∠GEF+∠EFG=90°，根据三角形的内角和定理即可得∠EGF=90°，结论得证．
【详解】
已知：直线AB∥CD，直接EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF，∠EFD的平分线交于G点.
求证：EG⊥FG
证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°，
∵EG平分∠BEF,FG平分∠EFD，
∴∠GEF=∠BEF，∠EFG=∠EFD，
∴∠GEF+∠EFG=∠BEF+∠EFD=×180°=90°，
∴∠EGF=180°-(∠GEF+∠EFG)=90°，
∴EG⊥FG
2．如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3，证明：AD平分∠BAC.
【答案】证明见详解
【分析】根据平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，得到AD∥EG，再利用平行线的性质和已知条件求出∠1=∠2，即可的结论．
【详解】
证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴AD∥EG(垂直于同一条直线的两条直线互相平行)，
∴∠1＝∠E(两直线平行，同位角相等)，
∠2＝∠3(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠3＝∠E，∴∠1＝∠2，
∴AD平分∠BAC(角平分线的定义)．
3．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．
【答案】证明见详解.
【分析】根据互余、角平分线及对顶角等相关知识即可得出答案．
【详解】
证明：如图，
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠2+∠4=90°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
即∠CFE=∠CEF.
点睛：本题主要考查的知识有直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、对顶角相等.利用等量代换是解题的关键.
4．求证：两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行．
【答案】见详解.
【分析】根据题意画出图形，再根据平行线的性质即可得出结论．
【详解】
已知：如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别交于M，H，MN平分∠BMH，GH平分∠CHM．
求证：MN∥GH．
证明：∵MN平分∠BMH，GH平分∠CHM．
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，
∴MN∥GH．
点睛：平行线的性质：两直线平行，内错角相等.
5．已知以下基本事实：①对顶角相等；②一条直线截两条平行线所得的同位角相等；③两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行；④经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线．
(1)在利用以上基本事实作为依据来证明命题“两直线平行，内错角相等”时，必须要用的基本事实有____（填入序号即可）；
(2)根据在(1)中的选择，结合所给图形，请你证明命题“两直线平行，内错角相等”，
已知：如图，_____________________________．
求证：________.
证明：____________________.
【答案】见详解.
【分析】（1）利用图示：根据平行线的性质，证明“两直线平行，内错角相等”的过程解答；
（2）根据“两直线a∥b，判定同位角∠1=∠3”，然后由对顶角∠3=∠2及等量代换证得∠1=∠2．
【详解】
(1)①②；(2)已知：a∥b，直线a、b被直线c所截．
求证：∠1=∠2．
证明：∵a∥b，∴∠1=∠3．
∵∠3 =∠2，∴∠1 =∠2.
6．已知：如图，在△ABC中，∠B>∠C，AE为∠BAC的平分线，AD⊥BC于点D．求证：∠DAE＝(∠B－∠C)．
【答案】证明见详解
【分析】利用三角形内角和为180°可把∠BAC用含∠B、∠C的式子表达出来，再利用AE平分∠BAC可把∠BAE表达出来；由AD为△ABC的高，可把∠BAD用含∠B的式子表达出来，最后用∠BAE-∠BAD=∠DAE可得结论.
【详解】
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝ (180°－∠B－∠C)．
∵AD⊥BC，∴∠BAD＝90°－∠B，
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝ (180°－∠B－∠C)－(90°－∠B)＝ (∠B－∠C)．
7．如图，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截．在下面三个条件中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．①AB⊥BC，CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1＝∠2.
【答案】见详解
【分析】可以有①②得到③：由于AB⊥BC、CD⊥BC,得到 又BE∥CF，则∠EBC=∠FCB，可得到∠ABC ∠EBC=∠DCB ∠FCB，即有∠1=∠2．
【详解】
已知：如图,AB⊥BC、CD⊥BC,BE∥CF.
求证：∠1=∠2.
证明：∵AB⊥BC、CD⊥BC，
∴∠ABC=∠DCB，
又∵BE∥CF，
∴∠EBC=∠FCB，
∴∠ABC ∠EBC=∠DCB ∠FCB，
∴∠1=∠2.
8．（1）求证：三角形三个内角的和等于180°．
（2）阅读材料并回答问题：
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD．像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的“外角”，在每个顶点处取这个三角形的一个外角，它们的和叫做这个三角形的“外角和”．补全图形并求△ABC的“外角和”．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）过A点作MN∥BC，根据平行线的性质及平角的定义解答.
（2）结合三角形的内角和与平角的定义求解即可.
【详解】
（1）过A点作MN∥BC，
∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C (同位角相等)
∵∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°
∴∠B+∠BAC+∠C=180°
∴三角形的内角和为180°
（2）如图：
∵∠ACD+∠ACB=180°，∠EAF+∠BAC=180°，∠FBC+∠ABC=180°
∴∠ACD+∠ACB+∠EAF+∠BAC+∠FBC+∠ABC=540°
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°
∴∠ACD+∠EAF+∠FBC=360°
即三角形的外角和等于360°
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和及外角和的证明，熟练的掌握平行线的性质及平角的定义是关键.
9．如图所示，AB∥DE．
（1）猜测∠A，∠ACD，∠D有什么关系，并证明你的结论．
（2）若点C向右移动到线段AD的右侧，此时∠A，∠ACD，∠D之间的关系仍然满足（1）中的结论吗？若仍满足，请证明；若不满足，请你写出正确的结论并证明（要求：画出相应的图形）．
【答案】（1）∠A+∠ACD+∠D=360°；（2）∠A+∠D=∠ACD.
【分析】（1）∠A+∠ACD+∠D=360°，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，根据平行线的性质，同旁内角互补即可得三角的关系．
（2）同（1）作法，根据两直线平行，内错角相等可得∠ACD=∠A-∠D．
【详解】
如图，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，
∵CF∥AB，
∴∠A+∠ACF=180°，
∵CF∥DE，
∴∠D+∠FCD=180°，
∵∠ACD=∠ACF+∠DCF，
∴∠A+∠ACD+∠D=360°．
（2）如图，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，
∵CF∥AB，
∴∠A=∠ACF，
∵CF∥DE，
∴∠D=∠FCD，
∵∠ACD=∠ACF-∠DCF，
∴∠ACD=∠A-∠D．
考点：本题考查了平行线的性质
点评：正确作出辅助线是解题的关键．同时要熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．
10．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，已知条件①∠BAC=∠BDC；②∠AFE=∠FED；③mn．
（1）从①②③中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出多少个命题
（2）写出一个真命题，并证明．
【答案】（1）3个；（2）见详解
【分析】（1）直接利用命题的定义进而得出答案；
（2）结合平行线的判定与性质分别分析得出答案．
【详解】
（1）从①②③中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为①② ③；②③ ①；①③ ②．
（2）以上3个命题都是真命题．
(i)∵∠AFE=∠FED，
∴b∥c，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∴m∥n；
(ii)∵∠AFE=∠FED，
∴b∥c，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∵m∥n，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∴∠BAC=∠BDC；
(iii)∵m∥n，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∴b∥c，
∴∠AFE=∠FED．
【点睛】
本题主要考查了命题与定理，正确掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
11．如图，从①，②，③三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．
（1）这三个命题中，真命题的个数为________；
（2）选择一个真命题，并且证明．（要求写出每一步的依据）
【答案】（1）3；（2）（答案不唯一）选①②为条件，③为结论，证明见详解
【分析】（1）先得出所有的情况，再根据平行线的判定和性质即可得出答案；
（2）选①②为条件，③为结论，如图所示．易得，则DB∥EC，然后利用平行线的性质和已知可得，于是有DF∥AC，进而可得结论．
【详解】
解：（1）由①②，得③；由①③，得②；由②③，得①；均为真命题，故答案为3；
（2）（答案不唯一）选①②为条件，③为结论，如图所示：
（已知），（对顶角相等），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等）．
∵（已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等）．
【点睛】
本题考查了命题与定理以及平行线的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握平行线的判定和性质是解答的关键．
12．如图，有如下四个论断：①，②，③平分，④平分．
（1）若选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个数学命题，其中正确的有哪些？不需说明理由．
（2）请你在上述正确的数学命题中选择一个进行说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，即可得到结论；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】
解：（1）如果①②③，那么④，正确；
如果①②④，那么③，正确；
如果①③④，那么②，正确；
如果②③④，那么①，正确；
（2）已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，
求证：EF平分∠BED．
证明：∵AC∥DE，
∴∠BCA=∠BED，
即∠1+∠2=∠4+∠5，
∵DC∥EF，
∴∠2=∠5，
∵CD平分∠BCA，
∴∠1=∠2，
∴∠4=∠5，
∴EF平分∠BED．
【点睛】
本题考查了命题与定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
试卷第1页，共3页
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2022-2023八年级数学上册夯基课课练（浙教版）
1.3 证明
一、解答题
1．证明：两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直.
已知:
求证： .
证明：
2．如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3，证明：AD平分∠BAC.
3．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．
4．求证：两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行．
5．已知以下基本事实：①对顶角相等；②一条直线截两条平行线所得的同位角相等；③两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行；④经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线．
(1)在利用以上基本事实作为依据来证明命题“两直线平行，内错角相等”时，必须要用的基本事实有____（填入序号即可）；
(2)根据在(1)中的选择，结合所给图形，请你证明命题“两直线平行，内错角相等”，
已知：如图，_____________________________．
求证：________.
证明：____________________.
6．已知：如图，在△ABC中，∠B>∠C，AE为∠BAC的平分线，AD⊥BC于点D．求证：∠DAE＝(∠B－∠C)．
7．如图，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截．在下面三个条件中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．①AB⊥BC，CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1＝∠2.
8．（1）求证：三角形三个内角的和等于180°．
（2）阅读材料并回答问题：
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD．像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的“外角”，在每个顶点处取这个三角形的一个外角，它们的和叫做这个三角形的“外角和”．补全图形并求△ABC的“外角和”．
9．如图所示，AB∥DE．
（1）猜测∠A，∠ACD，∠D有什么关系，并证明你的结论．
（2）若点C向右移动到线段AD的右侧，此时∠A，∠ACD，∠D之间的关系仍然满足（1）中的结论吗？若仍满足，请证明；若不满足，请你写出正确的结论并证明（要求：画出相应的图形）．
10．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，已知条件①∠BAC=∠BDC；②∠AFE=∠FED；③mn．
（1）从①②③中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出多少个命题
（2）写出一个真命题，并证明．
11．如图，从①，②，③三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．
（1）这三个命题中，真命题的个数为________；
（2）选择一个真命题，并且证明．（要求写出每一步的依据）
12．如图，有如下四个论断：①，②，③平分，④平分．
（1）若选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个数学命题，其中正确的有哪些？不需说明理由．
（2）请你在上述正确的数学命题中选择一个进行说明理由．
试卷第1页，共3页
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