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2022-2023八年级数学上册夯基课课练（浙教版）
1.4 全等三角形
第I卷（选择题）
一、单选题
1．如图，，若，则的度数是（ ）
A．80° B．70° C．65° D．60°
2．下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指面积相等的三角形
B．全等三角形是指能完全重合的三角形
C．周长相等的三角形是全等三角形
D．所有的等边三角形都是全等三角形
3．如图，，，，则的长是（ ）
A．18 B．17 C．16 D．15
4．如图，已知△ABC≌△ADC，∠1与∠2互余，则∠B等于（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
5．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若，∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
6．如图，点，在线段上，与全等，点A与点，点与点是对应顶点，与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，△ABC的周长为40cm，AB＝10cm，BC＝16cm，则DF的长为（ ）
A．10cm B．16cm C．14cm D．24cm
8．如图，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，若则下列结论中不成立的是（ ）
A． B．
C．DA平分 D．
10．如图所示，≌，下面四个结论中，不一定成立的是（ ）．
A．和的面积相等 B．和的周长相等
C． D．
11．如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于F，∠B＝∠D＝25°，∠ACB＝∠AED＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
12．如图，将Rt△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，已知，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．24
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠B＝∠C ，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为（ ）厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
A．4或6 B．4或8 C．6或8 D．6
第II卷（非选择题）
二、填空题
14．若△ABC≌△DEF，AB＝DE＝4，△DEF面积为10，则在△ABC中AB边上的高为 ___．
15．如图，已知△ABC与△DEF全等，且∠A＝72°、∠B＝45°、∠E＝63°、BC＝10，EF＝10，那么∠D＝_____度．
16．如图，已知，∠ABC与∠ADE是对应角，则图中与∠DAC相等的角是______．
17．如图，，分别是的边，上的点，若，则的度数为___________．
18．如图，△ABC≌△ADE，若∠CAE＝41°，AC⊥DE，则∠C的度数为________．
19．如图，ABE≌DCE，AE＝2cm，BE＝1.2cm，∠A＝25°，∠B＝48°，那么DE＝_____cm，∠C＝_________°．
．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝10，点P从点A出发沿线段AC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，点Q从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F，当△PEC与△QFC全等时，CQ的长为______．
三、解答题
21．如图，，点E在线段上，点F在延长线上，，求证：．
22．如图，在方格纸上，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，请按要求完成下列操作：
(1)将△ABC先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，画出平移后的△A1B1C1；
(2)若△ABC与△ABD全等，则图中与点C不重合的点D共有______个；
(3)画出△ABC的AB边上的中线CD以及BC边上的高AE．
23．如图，≌，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
24．如图，已知，且点B，C，D在同一条直线上，延长交于点F．
(1)求证：；
(2)已知，，求的长度．
25．如图，点A，B，C在同一直线上，点E在BD上，且ABD≌EBC．
（1）若AB＝2，BC＝3，求DE的长；
（2）判断AD与CE所在直线的位置关系，并说明理由．
26．我国古代数学家刘微将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．如图，在△ABC中，∠C＝90°，四边形CDEF为正方形，△ADE≌△AGE，△BGE≌△BFE．
（1）求∠AEB的度数；
（2）设BC＝a，AC＝b，AB＝c，求正方形CDEF的边长．（用含a，b，c的式子表示）
27．如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts，且t≤5
（1）PC＝ cm（用含t的代数式表示）
（2）如图2，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A﹑B﹑P为顶点的三角形与以P﹑Q﹑C为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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2022-2023八年级数学上册夯基课课练（浙教版）
1.4 全等三角形
第I卷（选择题）
一、单选题
1．如图，，若，则的度数是（ ）
A．80° B．70° C．65° D．60°
【答案】B
【分析】由根据全等三角形的性质可得，再利用三角形内角和进行求解即可．
【详解】
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指面积相等的三角形
B．全等三角形是指能完全重合的三角形
C．周长相等的三角形是全等三角形
D．所有的等边三角形都是全等三角形
【答案】B
【详解】
全等三角形是指三条边及三个角都对应相等的两个三角形，仅面积或周长相等的三角形不一定是全等三角形，故A、C错误；
等边三角形的边长相等时，是全等三角形，故D错误；
全等三角形能够完全重合，故B正确．
故选B．
【点睛】
本题考查全等三角形的定义：经过翻转、平移、旋转后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等．
3．如图，，，，则的长是（ ）
A．18 B．17 C．16 D．15
【答案】D
【分析】由全等三角形的性质可得BE＝CD，即可求解．
【详解】
解：∵△ABE≌△ACD，
∴BE＝CD，
∴BE+CD＝BC+DE＝30，
∴2CD＝30，
∴CD＝15，
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是本题的关键．
4．如图，已知△ABC≌△ADC，∠1与∠2互余，则∠B等于（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【答案】C
【分析】根据三角形全等的性质可得∠1=∠BCA，再根据互余和三角形内角和定理可得∠B的值 ．
【详解】
解：∵△ABC≌△ADC，
∴∠1=∠BCA，
又∠1与∠2互余，
∴∠2+∠BCA=90°，
∴∠B=90°，
故选C ．
【点睛】
本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的性质、互余的意义和三角形内角和定理是解题关键 ．
5．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若，∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】D
【分析】由于折叠，可得三角形全等，运用三角形全等得出，利用平行线的性质可得出，则即可求．
【详解】
解：沿线段DE折叠，使点B落在点F处，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质及三角形内角和定理、平行线的性质；解题的关键是理解折叠就是得到全等的三角形，根据全等三角形的对应角相等就可以解决．
6．如图，点，在线段上，与全等，点A与点，点与点是对应顶点，与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由三角形全等的性质和对应点即可得出答案．
【详解】
∵与全等，点A与点，点与点是对应顶点，
∴．
故选A．
【点睛】
本题考查三角形全等的性质．找准对应点是解题关键．
7．已知，△ABC的周长为40cm，AB＝10cm，BC＝16cm，则DF的长为（ ）
A．10cm B．16cm C．14cm D．24cm
【答案】C
【分析】首先由△ABC的周长是40cm，AB=10cm，BC=16cm，求出△ABC中边AC的长度，再根据△ABC≌△DEF，对应边相等求出边DF的长度．
【详解】
解：已知，如图，
△ABC的周长是40cm，AB=10cm，BC=16cm，
∴AC=△ABC的周长-AB-BC=40-10-16=14（cm），
∵△ABC≌△DEF，
∴DF=AC=14cm，
故选：C．
【点睛】
此题考查的知识点是全等三角形的性质，找准对应边是解决问题的关键．
8．如图，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质得出ED=AC，∠E=∠A，据此即可一一判定，得出答案．
【详解】
解：∵△ABC≌△EFD，
∴ED=AC，∠E=∠A，故C错误，
∴ED-CD=AC-CD，，故B正确，
∴EC=AD，故A错误，
AC与ED在一条直线上，故D错误，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
9．如图，若则下列结论中不成立的是（ ）
A．
B．
C．DA平分
D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质得出∠B＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠E＝∠C，再逐个判断即可．
【详解】
解：A．∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC ∠DAC＝∠DAE ∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，故本选项不符合题意；
B．如图，∵△ABC≌△ADE，
∴∠C＝∠E，
∵∠AOE＝∠DOC，∠E＋∠CAE＋∠AOE＝180°，∠C＋∠COD＋∠CDE＝180°，
∴∠CAE＝∠CDE，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＝∠CDE，故本选项不符合题意；
C．∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠ADE，AB＝AD，
∴∠B＝∠BDA，
∴∠BDA＝∠ADE，
∴AD平分∠BDE，故本选项不符合题意；
D．∵△ABC≌△ADE，
∴BC＝DE，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
10．如图所示，≌，下面四个结论中，不一定成立的是（ ）．
A．和的面积相等 B．和的周长相等
C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形全等的性质，可知：全等三角形的对应边相等，对应角相等，周长相等，面积相等．
【详解】
根据三角形全等的性质可知：面积相等，所以A不符合题意．
根据三角形全等的性质可知：周长相等，所以B不符合题意．
根据三角形全等的性质可知：对应边相等，AD=CD，AB=CB，应为，所以C符合题意．
根据三角形全等的性质可知：对应边相等AD=CD，所以D不符合题意．
故选C
【点睛】
本题考察的知识点为全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，周长相等，面积相等；熟练掌握全等三角形的性质和对应关系是解答此题的关键．
11．如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于F，∠B＝∠D＝25°，∠ACB＝∠AED＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
【答案】D
【分析】设AD与BF交于点M，要求∠DFB的大小，可以在△DFM中利用三角形的内角和定理求解，转化为求∠AMC的大小，再转化为在△ACM中求∠ACM即可得到结果．
【详解】
解：设AD与BF交于点M，
∵∠ACB＝105，
∴∠ACM＝180°﹣105°＝75°，
∠AMC＝180°﹣∠ACM﹣∠DAC＝180°﹣75°﹣10°＝95°，
∴∠FMD＝∠AMC＝95°，
∴∠DFB＝180°﹣∠D﹣∠FMD＝180°﹣95°﹣25°＝60°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键．
12．如图，将Rt△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，已知，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．24
【答案】B
【分析】根据平移的性质得到△ABC≌△DEF，BE=CF=3，DE=AB=6，则HE=4，利用面积的和差得到阴影部分的面积=S梯形ABEH，然后根据梯形的面积公式计算即可．
【详解】
解：∵直角三角形ABC沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，
∴△ABC≌△DEF，BE=CF=3，DE=AB=6，
∴HE=DE-DH=6-2=4，
∵S△ABC=S△DEF，
∴阴影部分的面积=S梯形ABEH=×（4+6）×3=15．
故选B．
【点睛】
本题考查了全等三角形性质，平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠B＝∠C ，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为（ ）厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
A．4或6 B．4或8 C．6或8 D．6
【答案】A
【分析】
设点Q的速度为x，则运动t秒时，CQ=xt，分两种情况讨论①当△BPD≌△CQP时，②当△BPD≌△CPQ时，根据其运动情况表示出线段的数量关系，根据三角形全等的性质计算得到答案即可．
【详解】
解：设点Q的速度为x厘米/秒，则运动t秒时，CQ=xt，
∵P点的速度为4厘米/秒，BC=16厘米，
∴BP=4t厘米，PC=（16-4t）厘米
又∵AB=AC=24厘米，点D为AB的中点
∴BD=AB=12厘米，
∵∠B=∠C，
∴运动t秒时，△BPD与△CQP全等共有两种情况
①当△BPD≌△CQP时，
则有BD=CP，BP=CQ
即12=16-4t，4t=xt
解得t=1，
∴由4t=xt可知，x=4．
②当△BPD≌△CPQ时，
则有BD=CQ，BP=CP
即12=xt，4t=16-4t
∴t=2，x=6．
综合①②可知速度为4厘米/秒或6厘米/秒．
故选A．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质，分类讨论是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题
14．若△ABC≌△DEF，AB＝DE＝4，△DEF面积为10，则在△ABC中AB边上的高为 ___．
【答案】5
【分析】根据全等三角形的性质可得出△ABC的面积也为10，再利用三角形的面积计算公式即可求解．
【详解】
解：∵△ABC≌△DEF，△DEF面积为10，
∴△ABC的面积也为10，
设△ABC中AB边上的高为h，
∴，
即，
∴，
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
15．如图，已知△ABC与△DEF全等，且∠A＝72°、∠B＝45°、∠E＝63°、BC＝10，EF＝10，那么∠D＝_____度．
【答案】
【分析】△ABC中，根据三角形内角和定理求得∠C＝63°，那么∠C＝∠E．根据相等的角是对应角，相等的边是对应边得出△ABC≌△DFE，然后根据全等三角形的对应角相等即可求得∠D．
【详解】
解：在△ABC中，∵∠A＝72°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝63°，
∵∠E＝63°，
∴∠C＝∠E．
∵△ABC与△DEF全等，BC＝10，EF＝10，
∴△ABC≌△DFE，
∴∠D＝∠A＝72°，
故答案为72．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质；注意：题目条件中△ABC与△DEF全等，但是没有明确对应顶点．得出△ABC≌△DFE是解题的关键．
16．如图，已知，∠ABC与∠ADE是对应角，则图中与∠DAC相等的角是______．
【答案】∠BAE（∠EAB）
【详解】
解：∵
∴∠DAC=∠BAE
故答案为：∠BAE
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
17．如图，，分别是的边，上的点，若，则的度数为___________．
【答案】
【分析】根据全等三角形对应角相等，∠A＝∠BED＝∠CED，∠ABD＝∠EBD＝∠C，根据∠BED+∠CED＝180°，可以得到∠A＝∠BED＝∠CED＝90°，再利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】
解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，
∴∠A＝∠BED＝∠CED，∠ABD＝∠EBD＝∠C，
∴∠ABC＝∠ABD＋∠ EBD＝2∠C
∵∠BED+∠CED＝180°，
∴∠A＝∠BED＝∠CED＝90°，
在△ABC中，∠C＋∠ABC＋∠A＝∠C+2∠C+90°＝180°，
∴∠C＝30°．
故答案为：30°.
【点睛】
本题主要考查全等三角形对应角相等的性质，做题时求出∠A＝∠BED＝∠CED＝90°是正确解本题的突破口．
18．如图，△ABC≌△ADE，若∠CAE＝41°，AC⊥DE，则∠C的度数为________．
【答案】49°（49度）
【分析】先由AC⊥DE，∠CAE＝41°，得出∠E=49°，再根据全等三角形对应角相等，得出答案即可．
【详解】
∵AC⊥DE，
∴∠AFE=90°，
∵∠CAE＝41°，
∴∠E=90°-41°=49°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠C=∠E=49°．
故答案为：49°．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的性质．
19．如图，ABE≌DCE，AE＝2cm，BE＝1.2cm，∠A＝25°，∠B＝48°，那么DE＝_____cm，∠C＝_________°．
【答案】 2 48
【分析】根据全等三角形的性质即可求得结果．
【详解】
∵ABE≌DCE
∴DE=AE=2cm，∠C=∠B=48°
故答案为：2，48
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是关键．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝10，点P从点A出发沿线段AC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，点Q从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F，当△PEC与△QFC全等时，CQ的长为______．
【答案】7或3.5
【分析】分两种情况：（1）当P在AC上，Q在BC上时；（2）当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时；
【详解】
解：当P在AC上，Q在BC上时，
∵∠ACB=90°，
∴∠PCE+∠QCF=90°，
∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．
∴∠PEC=∠CFQ=90°，
∴∠EPC+∠PCE=90°，
∴∠EPC=∠QCF，
∵△PEC与△QFC全等，
∴此时是△PCE≌△CQF，
∴PC=CQ，
∴8-t=10-3t，
解得t=1，
∴CQ=10-3t=7；
当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ=PC，
由题意得，8-t=3t-10，
解得t=4.5，
∴CQ=3t-10=3.5，
综上，当△PEC与△QFC全等时，满足条件的CQ的长为7或3.5，
故答案为：7或3.5．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质，根据题意得出关于的方程是解题的关键．
三、解答题
21．如图，，点E在线段上，点F在延长线上，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】由全等三角形的性质证明结合，证明从而可得结论.
【详解】
解： ，
，
【点睛】
本题考查的是全等三角形的性质，平行线的判定，证明是解本题的关键.
22．如图，在方格纸上，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，请按要求完成下列操作：
(1)将△ABC先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，画出平移后的△A1B1C1；
(2)若△ABC与△ABD全等，则图中与点C不重合的点D共有______个；
(3)画出△ABC的AB边上的中线CD以及BC边上的高AE．
【答案】(1)见详解 (2)3 (3)见详解
【分析】（1）根据平移的方法，现将点进行平移，然后顺次连接即可；
（2）根据全等三角形的性质在方格中找出相等的线段即可得出结果；
（3）根据中线及高线的作法进行作图即可．
【详解】
(1)
解：平移后的△即为所求；
(2)
解：如图所示：由对应边相等，可得：或或，
∴与C不重合的点有三个，
故答案为：3；
(3)如图所示，为等腰直角三角形，理解两个格点与AB交于点D，连接CD即为中线，过点A作AE⊥CB，
∴CD、AE即为所求．
【点睛】
题目主要考查图形的平移，全等三角形的基本性质，三角形高线、中线的作法等，理解题意，掌握基本图形的作法是解题关键．
23．如图，≌，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）35°
【分析】
（1）根据≌，可得∠BAC=∠DAE，即可求证；
（2）由（1）可得∠CAE=35°，再由≌，可得∠C=∠AED，然后根据三角形外角的性质，可得∠BED=∠CAE，即可求解．
【详解】
（1）证明：∵≌，
∴∠BAC=∠DAE，
即∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE，
∴；
（2）∵，，
∴∠CAE=35°，
∵≌，
∴∠C=∠AED，
∵∠AEB=∠C+∠CAE，∠AEB=∠AED+∠BED，
∴∠BED=∠CAE=35°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键．
24．如图，已知，且点B，C，D在同一条直线上，延长交于点F．
(1)求证：；
(2)已知，，求的长度．
【答案】(1)证明见详解 (2)2
【分析】
（1）由三角形全等的性质可得出，．根据点B，C，D在同一条直线上，即可求出，即．由对顶角相等即得出，从而即可求出，即可证明；
（2）由三角形全等的性质可得出，，从而可求出，即得出，进而可求出．
(1)
证明：∵，
∴，．
∵点B，C，D在同一条直线上，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即；
(2)
∵，
∴，，
∴
∴，
∴．
【点睛】
本题考查三角形全等的性质．掌握两个全等三角形的对应角相等和对应边相等是解题关键．
25．如图，点A，B，C在同一直线上，点E在BD上，且ABD≌EBC．
（1）若AB＝2，BC＝3，求DE的长；
（2）判断AD与CE所在直线的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）1；（2）AD⊥CE，见详解
【分析】（1）由全等三角形的性质可得BE=AB=2，BD=BC=3，再利用线段的和差可得答案；
（2）先利用全等三角形的性质与邻补角互补求解∠ABD＝∠EBC＝90°，从而可得，再证明从而可得答案.
【详解】
解：（1） ∵△ABD≌△EBC，AB＝2，BC＝3，
∴BE=AB=2，BD=BC=3，
∵点E在BD上，
∴DE=BD-BE=3-2=1；
（2）AD与CE所在直线的位置关系为AD⊥CE.
理由如下：如图，延长交于
∵点A，B，C在同一直线上，且△ABD≌△EBC，
∴∠ABD＝∠EBC＝90°，
∴，
∴
，
∴AD⊥CE.
【点睛】
本题考查的是全等三角形的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理的应用，掌握“全等三角形的对应边相等，对应角相等”是解题的关键.
26．我国古代数学家刘微将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．如图，在△ABC中，∠C＝90°，四边形CDEF为正方形，△ADE≌△AGE，△BGE≌△BFE．
（1）求∠AEB的度数；
（2）设BC＝a，AC＝b，AB＝c，求正方形CDEF的边长．（用含a，b，c的式子表示）
【答案】（1）∠AEB=135°；（2）正方形CDEF的边长为．
【分析】（1）根据三角形内角和定理以及全等三角形的性质推出∠GBE+∠GAE=45°，再利用三角形内角和定理即可求解；
（2）设正方形CDEF的边长为x，利用全等三角形的性质推出AD=AG=b-x，BF=BG=a-x，再由AG+ BG=c，即可求解．
【详解】
解：（1）∵△ADE≌△AGE，△BGE≌△BFE，
∴∠GBE=∠FBE，∠GAE=∠DAE，
∵∠C=90°，
∴∠CBA+∠CAB=90°，即∠GBE+∠GAE=45°，
∴∠AEB=180°-(∠GBE+∠GAE)=135°；
（2）∵△ADE≌△AGE，△BGE≌△BFE，
∴BF=BG，AD=AG，
设正方形CDEF的边长为x，
∴AD=AG=b-x，BF=BG=a-x，
∵AG+ BG=c，
∴b-x+ a-x=c，
∴x=，
即正方形CDEF的边长为．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
27．如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts，且t≤5
（1）PC＝ cm（用含t的代数式表示）
（2）如图2，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A﹑B﹑P为顶点的三角形与以P﹑Q﹑C为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）(10﹣2t)；（2）当v=1或v=2.4时，△ABP和△PCQ全等．
【分析】（1）根据题意求出BP，然后根据PC=BC-BP计算即可；
（2）分△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】
解：（1）∵点P的速度是2cm/s，
∴ts后BP=2tcm，
∴PC=BC BP=(10 2t)cm，
故答案为：(10﹣2t)；
（2）由题意得：，∠B=∠C=90°，
∴只存在△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况，
当△ABP≌△PCQ时，
∴AB=PC，BP=CQ，
∴10 2t=6，2t=vt，
解得，t=2，v=2，
当△ABP≌△QCP时，
∴AB=QC，BP=CP，
∴2t=10-2t， vt=6，
解得，t=2.5，v=2.4，
∴综上所述，当v=1或v=2.4时，△ABP和△PCQ全等．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．
试卷第1页，共3页
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