1.1二次函数 课件（共20张PPT）
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1.1 二次函数
浙教版 九年级上册
教学目标
教学目标：
1、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式；
2、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围；
3、会用待定系数法求二次函数的解析式.
重点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c（a、b、c）是常数，且a≠0）的概念
难点：本课时中的“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的抽象概括能力
新知导入
如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后落到池中央，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？
上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示？
新知讲解
用适当的函数表达式表示下列问题中两个变量y与x之间的关系.
(1)圆的面积 y ( )与圆的半径 x ( cm ).
y =πx2
(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为 x, 两年后王先生共得本息y元;
y = 2(1+x)2=2x2+4x+2
(3）一个温室连同外围通道的矩形平面图如图 1-1这个矩形的周长为 120m，设一条边长为x（m），种植用地面积为y（m2）
y = (60-x-4)(x-2)=-x2+58x-112
新知讲解
认真观察这三个函数表达式，它们有什么共同点？
y =πx2
y = 2(1+x)2=2x2+4x+2
y = (60-x-4)(x-2)=-x2+58x-112
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
新知讲解
一般地，形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数.
二次项系数
自变量
一次项系数
常数项
二次函数的定义
新知讲解
注意：1. 等号左边是函数，等式右边是关于自变量的整式；
2. 二次项系数a≠0；
3. 二次项系数、一次项系数、常数项包含前面的符号；
4. 自变量的最高次数是2；
5. 自变量的取值范围：
一般情况是全体实数，实际问题要符合实际意义.
新知讲解
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
当b＝0时， y＝ax2＋c（只含有二次项和常数项）
当c＝0时， y＝ax2＋bx（只含有二次项和一次项）当b＝0，c＝0时， y＝ax2（只含有二次项）
二次函数的特殊形式:
针对训练
下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项系数，一次项系数，常数项.
(1)y=3(x-1) +1
(2)
(3) s=3-2t
(4) y=(x+3) -x
(5)v=10πr
(6) y=ax2
√ 二次项系数:3，一次项系数:-6，常数项:4
×
√ 二次项系数:-2，一次项系数:0，常数项:3
× 先整理化简后，再作判断
√ 二次项系数:10π，一次项系数:0，常数项:0
× 强调a≠0
新知讲解
例1 如图，一 张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去 4 个全等的直角三角形（图中阴影部分） ,设AE＝BF＝CG＝DH＝X（cm），四边形EFGH的面积为y（cm2） .
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.
（2）当x分别为 0.25， 0.5， 1， 1.5， 1.75 时，求对应的四边形EFGH的面积， 并列表表示.
解：(1)由题意，0y=
即所求函数表达式为：
新知讲解
解：(2)当x=0.25cm时，
y=2×
依次计算可得，
当x=0.5cm时，y=2.5(cm2)；当x=1cm时，y=2(cm2)
当x=1.5cm时， y=2.5(cm2)；当x=1.75cm时，y=3.125(cm2)
列表如下：
X(cm) 0.25 0.5 1 1.5 1.75
y(cm2)
3.125
2.5
2
2.5
3.125
新知讲解
例2 已知二次函数y=x +bx+c,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式.
解：把x=1，y=4和x=2，y=-5分别代入函数y=
解得，b=-12，c=15
∴所求的二次函数是y=
待定系数法
课堂练习
1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+c
C.s=2t2-2t+1 D.y=x2+
C
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )
A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数
C
课堂练习
3.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项系数为______，常数项为 .
-3x2
-16
12
3. 关于x的函数 是二次函数, 则m=______ .
2. 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式_______．
S=4πr2
2
课堂练习
1.已知二次函数y＝ax2 ＋ bx，当x=-2时，函数值是8；当x=-1时，函数值是5，求这个二次函数的表达式．
解:∵把x=-2，y=8；x=-1，y=5分别代入函数式y＝ax2 ＋ bx，
得方程组
8=4a-2b，
5=a-b，
解得
所以，这个二次函数的表达式为y=-x2-6x.
{
{
a=-1,
b=-6.
课堂练习
5.若函数 是二次函数，求：
（1）求a的值.
(2) 求函数关系式.
（3）当x=-2时，y的值是多少？
解：
（1）由题意，得
解得
（2）当a=-1时，函数关系式为 .
（3）将x=-2代入函数关系式中，有
课堂练习
8.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).求
（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x=3时矩形的面积.
解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 cm2 .
课堂总结
二次函数
定 义
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数)
一般形式
一般地，形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数.
特殊形式
y=ax2；
y=ax2+bx；
y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数).
求表达式方法
待定系数法
谢谢
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1.1 二次函数
浙教版 九年级上册
教学目标
教学目标：
1、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式；
2、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围；
3、会用待定系数法求二次函数的解析式.
重点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c（a、b、c）是常数，且a≠0）的概念
难点：本课时中的“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的抽象概括能力
新知导入
如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后落到池中央，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？
上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示？
新知讲解
用适当的函数表达式表示下列问题中两个变量y与x之间的关系.
(1)圆的面积 y ( )与圆的半径 x ( cm ).
y =πx2
(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为 x, 两年后王先生共得本息y元;
y = 2(1+x)2=2x2+4x+2
(3）一个温室连同外围通道的矩形平面图如图 1-1这个矩形的周长为 120m，设一条边长为x（m），种植用地面积为y（m2）
y = (60-x-4)(x-2)=-x2+58x-112
新知讲解
认真观察这三个函数表达式，它们有什么共同点？
y =πx2
y = 2(1+x)2=2x2+4x+2
y = (60-x-4)(x-2)=-x2+58x-112
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
新知讲解
一般地，形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数.
二次项系数
自变量
一次项系数
常数项
二次函数的定义
新知讲解
注意：1. 等号左边是函数，等式右边是关于自变量的整式；
2. 二次项系数a≠0；
3. 二次项系数、一次项系数、常数项包含前面的符号；
4. 自变量的最高次数是2；
5. 自变量的取值范围：
一般情况是全体实数，实际问题要符合实际意义.
新知讲解
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
当b＝0时， y＝ax2＋c（只含有二次项和常数项）
当c＝0时， y＝ax2＋bx（只含有二次项和一次项）当b＝0，c＝0时， y＝ax2（只含有二次项）
二次函数的特殊形式:
针对训练
下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项系数，一次项系数，常数项.
(1)y=3(x-1) +1
(2)
(3) s=3-2t
(4) y=(x+3) -x
(5)v=10πr
(6) y=ax2
√ 二次项系数:3，一次项系数:-6，常数项:4
×
√ 二次项系数:-2，一次项系数:0，常数项:3
× 先整理化简后，再作判断
√ 二次项系数:10π，一次项系数:0，常数项:0
× 强调a≠0
新知讲解
例1 如图，一 张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去 4 个全等的直角三角形（图中阴影部分） ,设AE＝BF＝CG＝DH＝X（cm），四边形EFGH的面积为y（cm2） .
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.
（2）当x分别为 0.25， 0.5， 1， 1.5， 1.75 时，求对应的四边形EFGH的面积， 并列表表示.
解：(1)由题意，0
即所求函数表达式为：
新知讲解
解：(2)当x=0.25cm时，
y=2×
依次计算可得，
当x=0.5cm时，y=2.5(cm2)；当x=1cm时，y=2(cm2)
当x=1.5cm时， y=2.5(cm2)；当x=1.75cm时，y=3.125(cm2)
列表如下：
X(cm) 0.25 0.5 1 1.5 1.75
y(cm2)
3.125
2.5
2
2.5
3.125
新知讲解
例2 已知二次函数y=x +bx+c,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式.
解：把x=1，y=4和x=2，y=-5分别代入函数y=
解得，b=-12，c=15
∴所求的二次函数是y=
待定系数法
课堂练习
1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+c
C.s=2t2-2t+1 D.y=x2+
C
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )
A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数
C
课堂练习
3.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项系数为______，常数项为 .
-3x2
-16
12
3. 关于x的函数 是二次函数, 则m=______ .
2. 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式_______．
S=4πr2
2
课堂练习
1.已知二次函数y＝ax2 ＋ bx，当x=-2时，函数值是8；当x=-1时，函数值是5，求这个二次函数的表达式．
解:∵把x=-2，y=8；x=-1，y=5分别代入函数式y＝ax2 ＋ bx，
得方程组
8=4a-2b，
5=a-b，
解得
所以，这个二次函数的表达式为y=-x2-6x.
{
{
a=-1,
b=-6.
课堂练习
5.若函数 是二次函数，求：
（1）求a的值.
(2) 求函数关系式.
（3）当x=-2时，y的值是多少？
解：
（1）由题意，得
解得
（2）当a=-1时，函数关系式为 .
（3）将x=-2代入函数关系式中，有
课堂练习
8.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).求
（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x=3时矩形的面积.
解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 cm2 .
课堂总结
二次函数
定 义
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数)
一般形式
一般地，形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数.
特殊形式
y=ax2；
y=ax2+bx；
y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数).
求表达式方法
待定系数法
谢谢
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