1.2.1二次函数的图象(1) 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
1.2.1二次函数的图象
浙教版 九年级上册
教学目标
知识目标：1. 了解二次函数图象的概念
2. 学会用描点法画y=ax2图象。
3.学会观察、归纳、概括函数图象的特征
4. 掌握y=ax2图象的位置关系及有关性质
能力目标：1.经历描点法画函数图象的过程
2.经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理
重点：函数 y=ax2型二次函数的描绘和图象特征的归纳
难点：选择适当的自变量和相应的函数值来画函数图象，该过程较为复杂；还有提高题实际的应用难度较高。
新知导入
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
问题1：
新知导入
1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是 ．
特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是 ．
一条经过(0，b)的直线
2．描点法画出一次函数的步骤：分别为 、 、_______三个步骤．
过原点的直线
3.我们把形如 的函数叫做二次函数．
列表
描点
连线
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
问题2：
新知讲解
x … -3.5 -3 -2 -1 0 1 2 3 3.5 …
y … 0 1 …
按下列步骤用描点法画二次函数y＝的图象
1.完成自变量与函数的对应值表
12.25
9
4
1
4
9
12.25
新知讲解
2、建立适当的直角坐标系，并以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点。
3、用光滑曲线顺次连结各点。
新知讲解
函数图象画法
列表
描点
连线
总结：二次函数图象的画法
在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象．
新知讲解
-3
3
o
3
6
9
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
x
y
二次函数y=x2的图象是一条关于y轴对称,过坐标原点并向上伸展的曲线，像这样的曲线通常叫做抛物线。
这条抛物线关于y轴对称,
y轴就是它的对称轴.
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点.
新知讲解
x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 …
… 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
… -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 …
在同一个坐标系中画出二次函数 和的图象。
1. 列自变量y与函数x的对应值表.
2. 描点， 并用光滑曲线顺次连结各点， 即可得到函数与 的图象。
探究1：二次函数图象的性质
新知讲解
思考：二次函数的图象与的图象关于什么对称？
x轴
如果已知的图象，你认为可怎样更方便地得到的图象？
画关于x轴的对称图像即可得到的图象
新知讲解
一般地,二次函数y=ax2 (a≠0)的图象具有以下特征:
二次函数y=ax2 (a≠0)的图象是一条抛物线，它关于y轴对称,顶点是坐标原点.
当a>0时,抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点.
x
y
O
y=ax2
y=-ax2
新知讲解
探究2：二次函数图象的性质
解：分别填表，再画出它们的图象，如图：
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．
x … 3 2 1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9　 4　 1　 0　 1　 4　 9　 …　
x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
新知讲解
x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
【思考】二次函数 的图象开口大小与a的大小有什么关系？
当a>0时，a越大，开口越小.
新知讲解
y＝ax2 a>0 a<0
图象
位置、开
口方向
对称性
顶点、最值
增减性
开口向上，在x轴上方
开口向下，在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
顶点坐标是（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
针对训练
1.函数y=2x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧，y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
2.函数y=-3x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧, y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
向上
向下
y轴
y轴
(0,0)
(0,0)
减小
减小
增大
增大
x
y
O
x
y
O
新知讲解
例1、已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(-2,-3).
(1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式.
(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置.
解：(1)把点(-2，-3)的坐标代入，得-3=，
解得：a=-
这个二次函数的表达式是
(2)顶点为(0,0)，对称轴为y轴
因为a=-,所以这个二次函数图象的开口向下，顶点是图象上的最高点，图象在x轴的下方(除顶点外)。
课堂练习
1.两条抛物线 与 在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（　　）
A. 顶点坐标均为(0,0) B. 对称轴均为x=0
C．开口都向上 D. 都有(0,0)处取最值
C
2. 下列函数中，当x＞0时，y随x增大而减小的是( )
A. y＝x B. y＝2x－2
C. y＝－x2 D. y＝x2
C
课堂练习
3.已知抛物线y=ax2(a＞0)过点A（-2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（ ）．
A.y1＞0＞y2 B.y2＞0＞y1
C.y1＞y2＞0 D.y2＞y1＞0
C
4．抛物线y＝－x2上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，若x1＜x2＜0，则y1____y2.
＜
5．若点(x1，5)和点(x2，5)(x1≠x2)均在抛物线y＝ax2上，则当y＝x1＋x2时，y的值是____．
0
课堂练习
6. 二次函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝x＋3交于点(1，b).
(1)求a和b的值；
(2)当x取何值时，二次函数中的y随x的增大而增大？
解：(1)把(1，b)代入y＝x＋3，得
b＝1＋3＝4.
∴交点的坐标为(1,4).
把(1,4)代入y＝ax2，得a＝4.
∴a＝4，b＝4.
(2)由(1)可得y＝4x2，
∴抛物线开口向上，且对称轴为y轴.
∴当x＞0时，y随x的增大而增大.
课堂练习
7. 已知函数y＝（m－3）x－3m－2为二次函数.
（1）若其图象开口向上，求函数的关系式；
（2）若当x＞0时，y随x的增大而减小，求函数的关系式.
解：∵该函数为二次函数，
∴m2-3m-2=2且m-3≠0.
解得m1=4，m2=-1.
（1）∵函数的图象开口向上，
∴m-3＞0. 解得m＞3.
∴m=4.
∴函数关系式为y=x2.
（2）∵当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴m-3＜0. 解得m＜3.
∴m=-1.
∴函数关系式为y=-4x2.
课堂总结
二次函数y=ax2的图象及性质
画法
描点法
列表、描点、连线
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
增减性
谢谢
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