第二章 一元二次方程 好题精选（含解析）

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一元二次方程好题精选
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共15小题）
1．方程x2﹣4x＝0的解为（　　）
A．2 B．4 C．0或4 D．±2
2．一个等腰三角形的底边长是5，腰长是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则此三角形的周长是（　　）
A．12 B．13 C．14 D．12或14
3．下列一元二次方程中没有实数根的方程是（　　）
A．（x﹣1）2＝1 B．x2+2x﹣10＝0 C．x2+4＝7 D．x2+x+1＝0
4．一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为x1和x2，其中x1＜x2，则x12﹣2x22的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣8 C．8 D．4
5．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣8＝0，下列变形正确的是（　　）
A．（x﹣6）2＝﹣8+36 B．（x﹣6）2＝8+36
C．（x﹣3）2＝8+9 D．（x﹣3）2＝﹣8+9
6．某次足球比赛中，每两个足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，所以共组织了20场比赛，这次比赛共有几个队参加比赛（　　）
A．10个 B．6个 C．5个 D．4个
7．如图，在一块长为30m，宽为24m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路，其余部分建成花园，已知小路的占地面积为53m2，那么小路的宽为多少？（　　）
A．1m B．1.5m C．2m D．2.5m
8．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）
①若方程两根为﹣1和2，则2a+c＝0；
②b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；
③若b＝2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；
④若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有b2﹣4ac＝（2am+b）2成立
其中正确的是（　　）
A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有①②③④ D．只有①④
9．超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，日销售量减少20千克，现超市要保证每天盈利6000元，每千克应涨价（　　）
A．15元或20元 B．10元或15元 C．10元 D．5元或10元
10．若一元二次方程x2﹣8x﹣33＝0的两根分别为x1、x2，则（x1+1）（x2+1）的值为（　　）
A．﹣24 B．24 C．﹣40 D．40
11．若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜且k≠﹣2 B．k C．k≤且k≠﹣2 D．k
12．若一元二次方程x2+2x+m＝0中的b2﹣4ac＝0，则这个方程的两根为（　　）
A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．不确定
13．已知m，n是方程x2﹣2018x+2019＝0的两个根，则（m2﹣2019m+2018）（n2﹣2019n+2018）的值是（　　）
A．1 B．2 C．4037 D．4038
14．因为（x﹣1）2≥0，所以x2﹣2x+1≥0，即x2+1≥2x，由此可得出结论：若x为实数，则x2+1≥2x，运用这个结论求代数式的最大值为（　　）
A．0 B． C．1 D．
15．已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（　　）
A．0，﹣ B．0， C．﹣1，2 D．1，﹣2
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共10小题）
16．方程x（x﹣5）＝2x的根是　 　．
17．已知方程x2+mx+3＝0的一个根是3，则它的另一个根是　 　．
18．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为　 　．
19．在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为　 　．
20．已知x1，x2是方程2x2+14x﹣16＝0的两实数根，那么的值为　 　．
21．一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的两根分别是一次函数y＝kx+b在x轴上的横坐标和y轴上的纵坐标，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是　 　．
22．观察下面的表格，探究其中的规律并填空：
一元二次方程 方程的两个根 二次三项式分解因式
x2﹣x﹣2＝0 x1＝﹣1，x2＝2 x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2）
x2+3x﹣4＝0 x1＝1，x2＝﹣4 x2+3x﹣4＝（x﹣1）（x+4）
3x2+x﹣2＝0 x1＝，x2＝﹣1 3x2+x﹣2＝
4x2+9x+2＝0 x1＝﹣，x2＝﹣2 4x2+9x+2＝4（x　 　）（x　 　）
2x2﹣7x+3＝0 x1＝　 　，x2＝　 　 2x2﹣7x+3＝　 　
ax2+bx+c＝0 x1＝m，x2＝n ax2+bx+c＝　 　
23．已知a是方程x2﹣2017x+1＝0的一个根，则a3﹣2017a2﹣＝　 　．
24．设α、β是方程x2+2013x﹣2＝0的两根，则（α2+2016α﹣1）（β2+2016β﹣1）＝　 　．
25．对于每个非零自然数n，一元二次方程的两个根在数轴上对应的点分别为An，Bn，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+…+A2015B2015的值是　 　．
三．解答题（共15小题）
26．（1）解方程：x（x﹣2）+x﹣2＝0；（2）用配方法解方程：x2﹣10x+22＝0
27．关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为负整数，求此时方程的根．
28．关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2．是否存在这样的实数k，使得|x1|﹣|x2|＝？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．
29．庆阳市是传统的中药材生产区，拥有丰富的中药材资源，素有“天然药库”“中药之乡”的美称．优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和优良品种．某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年三年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求该种植户每年投资的增长率；
（2）按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少元种植中药材．
30．水果店老板以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，老板决定降价销售．
（1）若这种水果每斤售价降低x元，则每天的销售量是　 　斤（用含x的代数式表示，需要化简）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，老板需将每斤的售价定为多少元？
31．在2018年俄罗斯世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套，设销售单价为x（120＞x≥60）元，销售量为y套．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元，此月共盈利多少元．
32．小明同学说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法：
若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的系数a、c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．
他的发现正确吗？请你先举实例验证一下是否正确，若你认为他的发现是一般规律，请加以证明．
33．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？
34．已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围
（2）若两实数根分别为x1和x2，且x12+x22＝11，求m的值．
35．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加　 　件，每件商品，盈利　 　元（用含x的代数式表示）；
（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
36．因抖音等新媒体的传播，西安已成为最著名的网红旅游城市之一，2016年“十一”黄金周期间，西安接待游客近1000万人次，2018年“十一”黄金周期间，接待游客已达1690万人次，古城西安美食无数，一家特色小面店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该小面的成本价为每碗6元，借鉴以往经验；若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗
（1）求出2016年至2018年十一长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了维护城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天盈利6300元？
37．某水果店以每公斤2元的价格购进某种水果若干公斤，然后以每公斤4元的价格出售，每天可售出100公斤．通过市场调查发现，这种水果每公斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20公斤．为了保证每天至少售出260公斤，该水果店决定降价销售．
（1）若将这种水果每公斤的售价降低x元，则每天的销售量是　 　公斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，售价应为多少？
38．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？
39．阅读下列材料：求函数y＝的最大值．
解：将原函数转化成关于x的一元二次方程，得（y﹣2）x2+（y﹣3）x+0.25y＝0当y≠2时，∵x为实数，∴△＝（y﹣3）2﹣4 （y﹣2） 0.25y＝﹣4y+9≥0．
∴y≤且y≠2；
当y＝2时，（y﹣2）x2+（y﹣3）x+0.25y＝0即为﹣x+0.5＝0，方程有解（x的值存在）；
∴y≤．因此，y的最大值为．
根据材料给你的启示，求函数y＝的最小值．
40．已知方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来，如果x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，那么以x1，x2为两根的一元二次方程是x2+px+q＝0．请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x2+mx+n＝0（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数．
（2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5＝0，b2﹣15b﹣5＝0，求的值．
（3）已知a、b、c均为实数，且a+b+c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．方程x2﹣4x＝0的解为（　　）
A．2 B．4 C．0或4 D．±2
【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：∵x2﹣4x＝0，
∴x（x﹣4）＝0，
则x＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝0，x2＝4，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
2．一个等腰三角形的底边长是5，腰长是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则此三角形的周长是（　　）
A．12 B．13 C．14 D．12或14
【分析】先求出方程的解，再得出三角形的三边长，最后求出即可．
【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4或2，
当三角形的三边为5，2，2时，2+2+＜5，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当三角形的三边为5，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时三角形的周长为5+4+4＝13，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程和等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
3．下列一元二次方程中没有实数根的方程是（　　）
A．（x﹣1）2＝1 B．x2+2x﹣10＝0 C．x2+4＝7 D．x2+x+1＝0
【分析】根据方程和根的判别式逐个判断即可．
【解答】解：A、（x﹣1）2＝1，
x﹣1＝±1，
即方程有两个实数根，故本选项不符合题意；
B、x2+2x﹣10＝0，
△＝22﹣4×1×（﹣10）＝44＞0，
方程有两个实数根，故本选项不符合题意；
C、x2+4＝7，
x2＝3，
x＝，
方程有两个实数根，故本选项不符合题意；
D、x2+x+1＝0，
△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，
方程无实数根；
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
4．一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为x1和x2，其中x1＜x2，则x12﹣2x22的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣8 C．8 D．4
【分析】解方程得出方程的两根，代入计算可得．
【解答】解：∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∵x1＜x2，
∴x1＝0，x2＝2，
则x12﹣2x22＝0﹣2×22＝﹣8，
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择合适的方法解方程．
5．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣8＝0，下列变形正确的是（　　）
A．（x﹣6）2＝﹣8+36 B．（x﹣6）2＝8+36
C．（x﹣3）2＝8+9 D．（x﹣3）2＝﹣8+9
【分析】移项，配方，即可得出答案．
【解答】解：x2﹣6x﹣8＝0，
x2﹣6x＝8，
x2﹣6x+9＝8+9，
（x﹣3）2＝17，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
6．某次足球比赛中，每两个足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，所以共组织了20场比赛，这次比赛共有几个队参加比赛（　　）
A．10个 B．6个 C．5个 D．4个
【分析】每个队与其他队都要进行主、客场比赛，即每两个队之间要进行两场比赛，设有x个足球队，比赛场次共有x（x﹣1）场，再根据共有20场比赛活动来列出方程，从而求解．
【解答】解：设有x个足球队参加，依题意，
x（x﹣1）＝20，
整理，得x2﹣x﹣20＝0，
（x﹣5）（x+4）＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣4（舍去）；
即：共有5个足球队参加比赛．
故选：C．
【点评】考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
7．如图，在一块长为30m，宽为24m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路，其余部分建成花园，已知小路的占地面积为53m2，那么小路的宽为多少？（　　）
A．1m B．1.5m C．2m D．2.5m
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．
【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有
（30﹣x）（24﹣x）＝30×24﹣53，
解得：x＝53（舍去）或x＝1．
答：修建的路宽为1米．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
8．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）
①若方程两根为﹣1和2，则2a+c＝0；
②b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；
③若b＝2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；
④若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有b2﹣4ac＝（2am+b）2成立
其中正确的是（　　）
A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有①②③④ D．只有①④
【分析】利用根与系数的关系判断①；取特殊值判断②；由判别式可判断③；将x＝m代入方程得am2＝﹣（bm+c），再代入＝（2am+b）2变形可判断④．
【解答】解：若方程两根为﹣1和2，则＝﹣1×2＝﹣2，即c＝﹣2a，2a+c＝2a﹣2a＝0，故①正确；
若b＞a+c，设a＝4，b＝10，c＝5，则△＜0，一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实数根，故②错误；
若b＝2a+3c，则△＝b2﹣4ac＝4（a+c）2+5c2＞0，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，故③正确．
若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以有am2+bm+c＝0，即am2＝﹣（bm+c），
而（2am+b）2＝4a2m2+4abm+b2
＝4a[﹣（bm+c）]+4abm+b2
＝4abm﹣4abm﹣4ac+b2
＝b2﹣4ac．故④正确；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系及根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
9．超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，日销售量减少20千克，现超市要保证每天盈利6000元，每千克应涨价（　　）
A．15元或20元 B．10元或15元 C．10元 D．5元或10元
【分析】设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额＝每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可．
【解答】解：设每千克水果应涨价x元，
依题意得方程：（500﹣20x）（10+x）＝6000，
整理，得x2﹣15x+50＝0，
解这个方程，得x1＝5，x2＝10．
答：每千克水果应涨价5元或10元．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
10．若一元二次方程x2﹣8x﹣33＝0的两根分别为x1、x2，则（x1+1）（x2+1）的值为（　　）
A．﹣24 B．24 C．﹣40 D．40
【分析】直接利用根与系数的关系得出答案即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣8x﹣33＝0的两根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝8，x1x2＝﹣33．
∴（x1+1）（x2+1）＝x1+x2+x1x2+1＝8+1﹣33＝﹣24，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解题关键是会利用根与系数的关系来求方程中的字母系数．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1 x2＝．
11．若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜且k≠﹣2 B．k C．k≤且k≠﹣2 D．k
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k+2≠0且△＝（﹣3）2﹣4（k+2） 1≥0，求出即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，
∴k+2≠0且△＝（﹣3）2﹣4（k+2） 1≥0，
解得：k且k≠﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k的不等式是解此题的关键．
12．若一元二次方程x2+2x+m＝0中的b2﹣4ac＝0，则这个方程的两根为（　　）
A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．不确定
【分析】先利用△＝0求出m的值，再代入方程求得方程的根．
【解答】解：∵△＝b2﹣4ac＝0，
∴4﹣4m＝0，
解得：m＝1，
∴原方程可化为：x2+2x+1＝0，
∴（x+1）2＝0，
∴x1＝x2＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．解题关键是先利用△求出m的值再代入方程求方程的解．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 方程没有实数根．
13．已知m，n是方程x2﹣2018x+2019＝0的两个根，则（m2﹣2019m+2018）（n2﹣2019n+2018）的值是（　　）
A．1 B．2 C．4037 D．4038
【分析】根据根与系数的关系得出m+n＝2018，mn＝2019，根据一元二次方程解的定义得出m2﹣2018m+2019＝0，n2﹣2018n+2019＝0，求出m2﹣2019m+2018＝﹣m﹣1，n2﹣2019n＝﹣n﹣1，代入求出即可．
【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2018x+2019＝0的两个根，
∴m+n＝2018，mn＝2019，m2﹣2018m+2019＝0，n2﹣2018n+2019＝0，
∴m2﹣2019m+2018＝﹣m﹣1，n2﹣2019n＝﹣n﹣1，
∴（m2﹣2019m+2018）（n2﹣2019n+2018）
＝（﹣m﹣1）（﹣n﹣1）
＝mn+m+n+1
＝2019+2018+1
＝4038，
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系和一元一次方程解的定义，能根据题意求出m+n＝2018、mn＝2019、m2﹣2018m+2019＝0、n2﹣2018n+2019＝0是解此题的关键．
14．因为（x﹣1）2≥0，所以x2﹣2x+1≥0，即x2+1≥2x，由此可得出结论：若x为实数，则x2+1≥2x，运用这个结论求代数式的最大值为（　　）
A．0 B． C．1 D．
【分析】由x2+1≥2x，要求代数式的最大值，推出x必须大于0，可得≤，即≤；
【解答】解：∵x2+1≥2x，要求代数式的最大值，
∴x必须大于0，
∴≤，即≤，
∴的最大值为，
故选：B．
【点评】本题考查数与式，完全平方公式等知识，理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（　　）
A．0，﹣ B．0， C．﹣1，2 D．1，﹣2
【分析】根据一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，可得关于a的方程，解方程可求a的值，将a的值代入方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0求解即可．
【解答】解：∵一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，
∴（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝（a+1）x2+ax﹣a2+a+2，
a2﹣a﹣2＝0，
（a+1）（a﹣2）＝0，
解得a1＝﹣1（舍去），a2＝2，
把a＝2代入（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0得3x2+2x﹣4+2+2＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣．
故选：A．
【点评】考查了相反数、一元二次方程的解，关键是根据相反数的定义得到关于a的方程，解方程求得a的值．
二．填空题（共10小题）
16．方程x（x﹣5）＝2x的根是　x1＝0，x2＝7　．
【分析】将方程整理成一般式，再利用因式分解法求解可得．
【解答】解：将方程x（x﹣5）＝2x整理成一般式得：x2﹣7x＝0，
则x（x﹣7）＝0，
∴x＝0或x﹣7＝0，
解得：x1＝0，x2＝7，
故答案为：x1＝0，x2＝7．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
17．已知方程x2+mx+3＝0的一个根是3，则它的另一个根是　1　．
【分析】设方程的另一根为x2，利用根与系数的关系可得到关于x2的方程，可求得答案．
【解答】解：设方程的另一个根为x2，
则3x2＝3，
解得：x2＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1 x2＝．
18．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为　m＜5且m≠1　．
【分析】由一元二次方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围．
【解答】解：
∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0且m﹣1≠0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）＞0且m≠1，
解得m＜5且m≠1，
故答案为：m＜5且m≠1．
【点评】本题主要考查根的判别式，掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
19．在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为　x（x﹣1）＝110　．
【分析】设有x人参加聚会，则每人送出（x﹣1）件礼物，根据共送礼物110件，列出方程．
【解答】解：设有x人参加聚会，则每人送出（x﹣1）件礼物，
由题意得，x（x﹣1）＝110．
故答案是：x（x﹣1）＝110．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
20．已知x1，x2是方程2x2+14x﹣16＝0的两实数根，那么的值为　　．
【分析】由韦达定理得x1+x2＝﹣7，x1x2＝﹣8，将其代入到＝可得答案．
【解答】解：∵x1，x2是方程2x2+14x﹣16＝0的两实数根，
∴x1+x2＝﹣7，x1x2＝﹣8，
则
＝
＝
＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
21．一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的两根分别是一次函数y＝kx+b在x轴上的横坐标和y轴上的纵坐标，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是　6　．
【分析】先求出方程的解，再求出三角形的面积即可．
【解答】解：解方程x2﹣4x﹣12＝0得：x＝6或﹣2，
∵一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的两根分别是一次函数y＝kx+b在x轴上的横坐标和y轴上的纵坐标，
∴这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是×6×|﹣2|＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了解一元二次方程，一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，求出一元二次方程的解是解此题的关键．
22．观察下面的表格，探究其中的规律并填空：
一元二次方程 方程的两个根 二次三项式分解因式
x2﹣x﹣2＝0 x1＝﹣1，x2＝2 x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2）
x2+3x﹣4＝0 x1＝1，x2＝﹣4 x2+3x﹣4＝（x﹣1）（x+4）
3x2+x﹣2＝0 x1＝，x2＝﹣1 3x2+x﹣2＝
4x2+9x+2＝0 x1＝﹣，x2＝﹣2 4x2+9x+2＝4（x　+　）（x　+2　）
2x2﹣7x+3＝0 x1＝　　，x2＝　3　 2x2﹣7x+3＝　2（x﹣）（x﹣3）　
ax2+bx+c＝0 x1＝m，x2＝n ax2+bx+c＝　a（x﹣m）（x﹣n）　
【分析】利用公式法对方程的左边进行因式分解．
【解答】解：4x2+9x+2＝4（x+）（x+2）；
2x2﹣7x+3＝2（x﹣）（x﹣3）；
ax2+bx+c＝a（x﹣m）（x﹣n）．
故答案是：
一元二次方程 方程的两个根 二次三项式分解因式
x2﹣x﹣2＝0 x1＝﹣1，x2＝2 x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2）
x2+3x﹣4＝0 x1＝1，x2＝﹣4 x2+3x﹣4＝（x﹣1）（x+4）
3x2+x﹣2＝0 x1＝，x2＝﹣1 3x2+x﹣2＝
4x2+9x+2＝0 x1＝﹣，x2＝﹣2 4x2+9x+2＝4（x+）（x+2）
2x2﹣7x+3＝0 x1＝，x2＝3 2x2﹣7x+3＝2（x﹣）（x﹣3）
ax2+bx+c＝0 x1＝m，x2＝n ax2+bx+c＝a（x﹣m）（x﹣n）
【点评】考查了解一元二次方程﹣因式分解法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
23．已知a是方程x2﹣2017x+1＝0的一个根，则a3﹣2017a2﹣＝　﹣2017　．
【分析】由方程的根的定义得a2﹣2017a＝﹣1、a2+1＝2017a，代入原式＝a（a2﹣2017a）﹣逐步化简可得．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2017x+1＝0的一个根，
∴a2﹣2017a+1＝0，即a2﹣2017a＝﹣1，a2+1＝2017a，
则原式＝a（a2﹣2017a）﹣
＝﹣a﹣
＝﹣
＝﹣
＝﹣2017，
故答案为：﹣2017．
【点评】本题主要考查方程的解的定义，熟练掌握整体代入思想是解题的关键．
24．设α、β是方程x2+2013x﹣2＝0的两根，则（α2+2016α﹣1）（β2+2016β﹣1）＝　﹣6056　．
【分析】根据α、β是方程x2+2013x﹣2＝0的两实数根，把x＝α与x＝β代入得到关系式，利用根与系数得到关系式，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：∵α、β是方程x2+2013x﹣2＝0的两实数根，
∴α2+2013α﹣2＝0，β2+2013β﹣2＝0，α+β＝﹣2013，αβ＝﹣2，
则（α2+2016α﹣1）（β2+2016β﹣1）＝（α2+2013α﹣2+3α+1）（β2+2013β﹣2+3β+1）＝（3α+1）（3β+1）＝9αβ+3（α+β）+1＝﹣18﹣6039+1＝﹣6056．
故答案为：﹣6056．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
25．对于每个非零自然数n，一元二次方程的两个根在数轴上对应的点分别为An，Bn，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+…+A2015B2015的值是　　．
【分析】首先求出抛物线与x轴两个交点坐标，然后由题意得到AnBn＝﹣，进而求出A1B1+A2B2+…+A2015B2015的值．
【解答】解：令y＝，
∴解得x＝，或x＝，
∴抛物线y＝x2﹣x+与x轴的交点为（，0），（，0），
∴AnBn＝﹣，
∴A1B1+A2B2+…+A2015B2015＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是用n表示出抛物线与x轴的两个交点坐标，此题难度不大．
三．解答题（共15小题）
26．（1）解方程：x（x﹣2）+x﹣2＝0；
（2）用配方法解方程：x2﹣10x+22＝0
【分析】（1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
（2）利用配方法的步骤求解可得．
【解答】解：（1）∵x（x﹣2）+x﹣2＝0，
∴（x﹣2）（x+1）＝0，
则x﹣2＝0或x+1＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1；
（2）∵x2﹣10x+22＝0，
∴x2﹣10x+25﹣3＝0，
则x2﹣10x+25＝3，即（x﹣5）2＝3，
∴x﹣5＝±，
∴x＝5±，
即x1＝5+，x2＝5﹣．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法和配方法，熟练掌握因式分解和配方的方法是解本题的关键．
27．关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为负整数，求此时方程的根．
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，据此列出关于k的不等式，解之可得；
（2）由所得k的范围，结合k为负整数得出k的值，代入方程，再利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）由题意知，△＞0，
则（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，
解得：k＞﹣；
（2）∵k为负整数，
∴k＝﹣1，
则方程为x2﹣x＝0，
解得：x1＝1，x2＝0．
【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△＝4k+5＞0；（2）将k＝﹣1代入原方程，利用因式分解法解方程．
28．关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2．是否存在这样的实数k，使得|x1|﹣|x2|＝？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列出关于k的不等式求解可得；
（2）由韦达定理知x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2﹣2k+2＝（k﹣1）2+1＞0，将原式两边平方后把x1+x2、x1x2代入得到关于k的方程，求解可得．
【解答】解：（1）由题意知△＞0，
∴[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣2k+2）＞0，
整理，得：4k﹣7＞0，
解得：k＞；
（2）由题意知x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2﹣2k+2＝（k+1）2+1＞0，
∵|x1|﹣|x2|＝，
∴x12﹣2x1x2+x22＝5，即（x1+x2）2﹣4x1x2＝5，
代入得：（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+2）＝5，
整理，得：4k﹣12＝0，
解得：k＝3．
【点评】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握判别式的值与方程的根之间的关系及韦达定理是解题的关键．
29．庆阳市是传统的中药材生产区，拥有丰富的中药材资源，素有“天然药库”“中药之乡”的美称．优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和优良品种．某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年三年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求该种植户每年投资的增长率；
（2）按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少元种植中药材．
【分析】（1）设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为x．根据题意2017年种植投资为 20（1+x）万元，2018年种植投资为20（1+x）2万元．根据题意得方程求解；
（2）用种植户每年投资的增长率即可预测2019年该种植户投资额．
【解答】解：（1）设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为x，则2017年种植投资为 20（1+x）万元，2018年种植投资为20（1+x）2万元，
根题意得：20+20（1+x）+20（1+x）2＝95，
解得：x＝﹣3.5（舍去）或x＝0.5＝50%．
∴该种植户每年投资的增长率为50%；
（2）2019年该种植户投资额为：20（1+50%）3＝67.5（万元）．
【点评】主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率．
30．水果店老板以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，老板决定降价销售．
（1）若这种水果每斤售价降低x元，则每天的销售量是　100+200x　斤（用含x的代数式表示，需要化简）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，老板需将每斤的售价定为多少元？
【分析】（1）销售量＝原来销售量+下降销售量，据此列式即可；
（2）根据销售量×每斤利润＝总利润列出方程求解即可．
【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20＝100+200x（斤）；
故答案为：100+200x
（2）设这种水果每斤售价降低x元，根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，
解得：x＝或x＝1，
当x＝时，销售量是100+200×＝200＜260；
当x＝1时，销售量是100+200＝300（斤）．
∵每天至少售出260斤，
∴x＝1．
4﹣1＝3，
答：老板需将每斤的售价定为3元．
【点评】本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．
31．在2018年俄罗斯世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套，设销售单价为x（120＞x≥60）元，销售量为y套．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元，此月共盈利多少元．
【分析】（1）根据销售单价每提高5元，销售量相应减少20套，列出y与x的关系式即可；
（2）根据售价×销量＝销售额列出方程，计算即可求出值．
【解答】解：（1）y与x的函数关系式为：y＝240﹣×20＝﹣4x+480；
（2）根据题意可得，x（﹣4x+480）＝14000，
解得x1＝70，x2＝50（不合题意舍去），
∴当销售价为70元时，月销售额为14000元．
此月共盈利（﹣4x+480）（x﹣40）＝200×30＝6000元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，以及一次函数的应用，弄清题意是解本题的关键．
32．小明同学说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法：
若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的系数a、c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．
他的发现正确吗？请你先举实例验证一下是否正确，若你认为他的发现是一般规律，请加以证明．
【分析】根据判别式的值、根与系数的关系即可证明．
【解答】解：小明的发现正确，如x2+x﹣2＝0，a＝1，c＝﹣2，
解方程得：x1＝2，x2＝﹣1，
若a，c异号，则△＝b2﹣4ac＞0，故这个方程一定有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查根与系数的关系，根的判别式等知识，灵活运用所学知识是解题的关键．
33．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？
【分析】根据题意先判断出参加的人数在30人以上，设共有x名同学参加了研学游活动，再根据等量关系：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数＝3150，列出方程，然后求解即可得出答案．
【解答】解：∵100×30＝3000＜3150，
∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．
设共有x名同学参加了研学游活动，由题意得：
x[100﹣2（x﹣30）]＝3150，
解得x1＝35，x2＝45，
当x＝35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）＝90＞80，符合题意；
当x＝45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）＝70＜80，不符合题意，应舍去．
答：共有35名同学参加了研学游活动．
【点评】此题考查一元二次方程的应用；得到人均付费是解决本题的易错点，得到总费用的等量关系是解决本题的关键．
34．已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围
（2）若两实数根分别为x1和x2，且x12+x22＝11，求m的值．
【分析】（1）由关于x的一元二次方程 x2+3x﹣m＝0有实数根，即可得判别式△≥0，即可得不等式32+4m≥0，继而求得答案；
（2）由根与系数的关系，即可得x1+x2＝﹣3、x1x2＝﹣m，又由x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝11，即可得方程：（﹣3）2+2m＝11，解此方程即可求得答案．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程 x2+3x﹣m＝0有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝32+4m≥0，
解得：m≥﹣；
（2）∵x1+x2＝﹣3、x1x2＝﹣m，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝11，
∴（﹣3）2+2m＝11，
解得：m＝1．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式与根与系数的关系．此题难度不大，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
35．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加　2x　件，每件商品，盈利　50﹣x　元（用含x的代数式表示）；
（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
【分析】（1）根据“盈利＝单件利润×销售数量”即可得出结论；
（2）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来没见盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额；
（3）根据“盈利＝单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值．
【解答】解：（1）当天盈利：（50﹣3）×（30+2×3）＝1692（元）．
答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元．
（2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利（50﹣x）元．
故答案为：2x；50﹣x．
（3）根据题意，得：（50﹣x）×（30+2x）＝2000，
整理，得：x2﹣35x+250＝0，
解得：x1＝10，x2＝25，
∵商城要尽快减少库存，
∴x＝25．
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程（或算式）是解题的关键．
36．因抖音等新媒体的传播，西安已成为最著名的网红旅游城市之一，2016年“十一”黄金周期间，西安接待游客近1000万人次，2018年“十一”黄金周期间，接待游客已达1690万人次，古城西安美食无数，一家特色小面店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该小面的成本价为每碗6元，借鉴以往经验；若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗
（1）求出2016年至2018年十一长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了维护城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天盈利6300元？
【分析】（1）可设年平均增长率为x，根据等量关系：2016年“十一”黄金周期间，西安接待游客近1000万人次，2018年“十一”黄金周期间，接待游客已达1690万人次，列出方程求解即可；
（2）可设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，根据利润的等量关系列出方程求解即可．
【解答】解：（1）可设年平均增长率为x，依题意有
1000（1+x）2＝1690，
解得x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（舍去）．
答：年平均增长率为30%；
（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，依题意有
（y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300，
解得y1＝20，y2＝21，
∵每碗售价不得超过20元，
∴y＝20．
答：当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天利润6300元．
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
37．某水果店以每公斤2元的价格购进某种水果若干公斤，然后以每公斤4元的价格出售，每天可售出100公斤．通过市场调查发现，这种水果每公斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20公斤．为了保证每天至少售出260公斤，该水果店决定降价销售．
（1）若将这种水果每公斤的售价降低x元，则每天的销售量是　100+200x　公斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，售价应为多少？
【分析】（1）销售量＝原来销售量+下降销售量，据此列式即可；
（2）根据销售量×每斤利润＝总利润列出方程求解即可．
【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20＝100+200x（公斤）；
故答案为：100+200x；
（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，
解得：x＝或x＝1，
当x＝时，销售量是100+200×＝200＜260；
当x＝1时，销售量是100+200＝300（公斤）．
∵每天至少售出260公斤，
∴x＝1．
则4﹣1＝3（元）
答：售价应为3元．
【点评】题主要考查的是一元二次方程的应用，明确利润、销售量、售价之间的关系是解题的关键．
38．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？
【分析】作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出△PQB的面积为，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．
【解答】解：如图，
过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．
∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB．
∴S△PQB＝ PB QE．
设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，
则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．
根据题意， （6﹣t） t＝4．
t2﹣6t+8＝0．
t2＝2，t2＝4．
当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．
答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．
【点评】本题考查了一元二次方程的运用，注意求得的值的取舍问题．
39．阅读下列材料：求函数y＝的最大值．
解：将原函数转化成关于x的一元二次方程，得（y﹣2）x2+（y﹣3）x+0.25y＝0当y≠2时，∵x为实数，∴△＝（y﹣3）2﹣4 （y﹣2） 0.25y＝﹣4y+9≥0．
∴y≤且y≠2；
当y＝2时，（y﹣2）x2+（y﹣3）x+0.25y＝0即为﹣x+0.5＝0，方程有解（x的值存在）；
∴y≤．因此，y的最大值为．
根据材料给你的启示，求函数y＝的最小值．
【分析】模仿例题，利用根的判别式解决问题即可；
【解答】解：将原函数转化成关于x的一元二次方程，得（y﹣3）x2+（2y+2）x+y﹣1＝0，
当y≠3时，∵x为实数，
∴△＝（2y+2）2﹣4 （y﹣3） （y﹣1）＝24y﹣8≥0．
∴y≥且y≠3；
当y＝3时，（y﹣3）x2+（2y+2）x+y﹣1＝0即为8x+2＝0，方程有解（x的值存在）；
∴y≥．因此，y的最小值为．
【点评】本题考查根的判别式，一元二次方程等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
40．已知方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来，如果x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，那么以x1，x2为两根的一元二次方程是x2+px+q＝0．请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x2+mx+n＝0（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数．
（2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5＝0，b2﹣15b﹣5＝0，求的值．
（3）已知a、b、c均为实数，且a+b+c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．
【分析】（1）先写出方程x2+mx+n＝0（n≠0）的两根和与两根的积，计算出新方程的两根和与两根积，再根据根与系数的关系写出新方程即可；
（2）方程结构相同，所以a、b是方程的两根．从a、b相等或者不等两个方面，分别计算要求代数式的值．
（3）把两个等式转化为以a、b为根的一元二次方程的两根和与两根积，写出方程，根据根的判别式确定c的最小值．
【解答】解：（1）设x2+mx+n＝0（n≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣m，xlx2＝n，
则所求新方程的两根为，．
∵+＝＝﹣，×＝＝．
所以，所求的方程为y2+y+＝0，
即ny2+my+1＝0．
（2）从a，b满足的同一种关系可知：①当a≠b时，a、b是一元二次方程
x2﹣15x﹣5＝0的两根，所以a+b＝15，ab＝﹣5，从而
＝＝＝＝﹣4.7．
②当a＝b时，从而＝1+1＝2．
所以的值为﹣47或2．
（3）由a+b+c＝0，abc＝16，得a+b＝﹣c．ab＝，因此，由给出的结论，
得a、b是方程x2+cx+＝0的实数根，所以△＝c2﹣4×≥0，
因为c＞0，所以c3≥64，所以c≥4，故c的最小值为4．
【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，掌握根与系数的关系是解决本题的关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1 x2＝．
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