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2022-2023八年级数学上册夯基课课练（浙教版）
1.6 尺规作图
一、单选题
1．通过如下尺规作图，能确定点P是BC边中点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】逐项判断即可．
【详解】
A、这是作线段AB的垂直平分线，则点P是BC的中点，故符合题意；
B、这是作线段AC的垂直平分线，则点P不是BC的中点，故不符合题意；
C、这是作∠BAC的平分线，则点P不是BC的中点，故不符合题意；
D、这是作线段BC的垂线，则点P不是BC的中点，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了几种尺规作图：作线段的垂直平分线，作角平分线，作线段的垂线，掌握这三种基本作图是解题的关键．
2．如图，是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）
两角及夹边 B．两边及夹角
C．两角及一角的对边 D．两边及一边的对角
【答案】B
【分析】观察图像可知已知线段AB，AC，∠A，由此即可判断．
【详解】
解：根据作图痕迹可以知道，∠A为已知角，AB和AC是已知的边，
符合“两边及夹角”，
故选：B．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．
3．在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3
【答案】C
【分析】利用基本作图可对图1和图2进行判断；利用基本作图和全等三角形的判定与性质、角平分线性质定理的逆定理对图3进行判断．
【详解】
在图1中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC；
在图2中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线；
在图3中，根据作法可知：
AE=AF，AM=AN，
在△AMF和△ANE中，
，
∴△AMF≌△ANE（SAS），
∴∠AMD=∠AND，
∵AE=AF，AM=AN，
∴ME=NF，
在△MDE和△NDF中，
，
∴△MDE≌△NDF（AAS），
所以D点到AM和AN的距离相等，
∴AD平分∠BAC．
综上，能判断射线AD平分∠BAC的是图1和图3．
故选：C．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
4．如图，是四个基本作图的痕迹，下列关于①、②、③、④四条弧的说法正确的是（ ）
A．弧①是以O为圆心，长为半径所画的弧
B．弧②是以P为圆心，任意长为半径所画的弧
C．弧③是以A为圆心，任意长为半径所画的弧
D．弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧
【答案】D
【分析】根据基本作图的方法即可得到结论．
【详解】
解：A、弧①是以O为圆心，适当长为半径所画的弧，故本选项错误，不符合题意；
B、弧②是以P为圆心，不是以任意长为半径所画的弧，故本选项错误，不符合题意；
C、弧③是以A为圆心，大于长为半径所画的弧，故本选项错误，不符合题意；
D、弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧，故本选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】
此题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握基本作图的方法．
5．下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（ ）
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB 作法：（1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q； （2）作射线EG，并以点E为圆心◎长为半径画弧交EG于点D； （3）以点D为圆心⊙长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F； （4）作，∠DEF即为所求作的角．
A．●表示点E B．◎表示PQ C．⊙表示OQ D．表示射线EF
【答案】D
【分析】根据用尺规作一个角等于已知角的性质分析，即可得到答案．
【详解】
根据题意，●表示点O，故选项A不正确；
◎表示OP或OQ，故选项B不正确；
⊙表示PQ，故选项C不正确；
表示射线EF，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了角的知识；解题的关键是熟练掌握用尺规作一个角等于已知角的性质，从而完成求解．
6．作一个三角形与已知三角形全等：
已知：．
求作：，使得．
作法：如图．
（1）画；
（2）分别以点，为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点；
（3）连接线段，，则即为所求作的三角形．
这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是（ ）
A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS
【答案】D
【分析】根据SSS证明三角形全等即可．
【详解】
解：根据傻得，A′B′=AB，A′C′=AC；
在△A′B′C′和△ABC中，
，
∴△A'B'C′≌△ABC（SSS）．
故选：D．
【点睛】
本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
7．如图，射线DM的端点D在直线AB上，点C是射线DM上不与点D重合的一点，根据尺规作图痕迹，下列结论中不能体现的是（ ）
A．作一条线段等于已知线段 B．作的平分线
C．过点C作AB的平行线 D．过点C作DM的垂线
【答案】D
【分析】由作图痕迹可知作了的平分线并截取了，所以选项A，B可以体现，由，得，所以，所以选项C可以体现，故选D．
【详解】
解：A．根据尺规作图作线段相等的方法可得，画弧就是在做“作一条线段等于已知线段”，故该选项不符合题意；
B．根据尺规作图作角平分线的方法可得，以为圆心，以恰当长度为半径画弧，再以弧和交点为圆心画弧交于一点，连接交点与形成的射线就是“作的平分线”，故该选项不符合题意；
C．根据尺规作图，在有“角平分线”与“等腰三角形”两个基本图形的基础上，一定会有“平行线”，因此，以为圆心画弧得到的等腰即可得出“过点C作AB的平行线”，故该选项不符合题意；
D．根据尺规作图作垂线的方法可知，要用作“中垂线”的方法才能做出垂线，而图中并没有作中垂线的相关痕迹，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查基本尺规作图，涉及到作线段相等、作角平分线、作平行线、作垂线等相关操作，熟练掌握五类基本尺规作图的操作方法，能通过痕迹识别五类基本尺规作图是解决问题的关键．
8．如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据作法得：PC平分∠APB，DE垂直平分PQ，可得无法判断与的大小关系，然后过点H作HM⊥AP于点M，根据角平分线的性质可得HM=HG，即可求解．
【详解】
解：根据作法得：PC平分∠APB，DE垂直平分PQ，
∴无法判断与的大小关系，故A、B选项不符合题意；
过点H作HM⊥AP于点M，如图，
∵PC平分∠APB，DE⊥PQ，
∴HM=HG，
在中，，
∴，故C选项不符合题意，D选项符合题意；
故选：D
【点睛】
本题主要考查了尺规作图——作已知角的平分线，作已知线段的垂直平分线，角平分线的性质，熟练掌握作已知角的平分线，作已知线段的垂直平分线的作法，角平分线的性质定理是解题的关键．
9．如图，分别以点A，B为圆心，以大于同样长为半径作弧，两弧相交于C，D两点，连接AB，CD，AC，BC，AD，BD，则下列说法中正确的是（ ）．
A．，但CD不一定平分AB
B．CD垂直平分AB，但AB不一定垂直平分CD
C．且
D．CD与AB互相垂直平分
【答案】D
【分析】根据作图方法可知线段CD垂直平分AB，AC=BC=AD=BD，由此即可得到答案．
【详解】
解：由作图方法可知线段CD垂直平分AB，AC=BC=AD=BD，
∴线段AB垂直平分线段CD，
∴只有D选项符合题意，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．
10．下列尺规作图．能得到∠ADC＝2∠B的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据5种基本作图对各项进行判断即可．
【详解】
A项，从作图痕迹可知，AD是△ABC的边BC上的中线，无法得到∠ADC＝2∠B，故不合题意；
B项，从作图痕迹可知，点D在△ABC的边AB的垂直平分线上，即有AD=BD，则有∠BAD=∠B，根据∠ADC=∠B+∠BAD，可得到∠ADC＝2∠B，此项符合题意；
C项，从作图痕迹可知，AD是∠BAC的角平分线，无法得到∠ADC＝2∠B，故不合题意；
D项，AD是△ABC的边BC上的高线，无法得到∠ADC＝2∠B，故不合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了作图---基本作图：熟练掌握5种基本作图是解答本题的关键．
11．如图，点在的边上，利用尺规过点作的平行线，其作图过程如下：在OB上取一点D，以O圆心、OD为半径画弧，弧交OA于点F，再以C圆心、OD为半径画弧，该弧与CB交于点E，再以E为圆心、DF为半径画弧，圆心为C的弧与圆心为E的弧交于点M，作射线CM，则，，可得，进而可以得到，，以上作图过程中的依据不包括（ ）
A．圆的半径相等 B．两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．同位角相等，两直线平行 D．全等三角形的对应角相等
【答案】B
【分析】根据作一个角等于已知角的尺规作图法进行判断即可．
【详解】
根据圆的半径相等有：OF=OD=CE=CM，DF=ME，
则有△OFD≌△CME，
根据全等的性质：对应角相等有∠FOD=∠MCE，
根据同位角相等，两直线平行有：，
根据上述证明过程可知：B选项没有作为依据参与证明，
故选：B．
【点睛】
本题考查了作图—复杂作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤．
12．如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心、适当长为半径画弧，分别交边，于点，；②分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线交边于点．若的面积为50，，则的长为（ ）
A． B．5 C．7 D．10
【答案】B
【分析】过点Q作QH⊥AB于点H，根据角平分线的性质定理可得QH=QC，再根据的面积为50，即可求解．
【详解】
解：如图，过点Q作QH⊥AB于点H，
根据作法得：AQ为∠BAC的角平分线，
∵．即QC⊥AC，
∴QH=QC，
∵的面积为50，，
∴
解得：QH=5，
∴QC=5．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了尺规作图——作已知角的平分线，角平分线的性质定理，熟练掌握作已知角的平分线的作法，角平分线的性质定理是解题的关键．
13．如图，已知等腰△ABC的周长为18，底边BC＝4．尺规作图如下：分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，连接两弧交点的直线交AB边于点D，则△BCD的周长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】A
【分析】由题可知，所作直线为的垂直平分线，由垂直平分线的性质可知，由此可将的周长转化为的值．
【详解】
解：由题可知，图中所作直线为的垂直平分线，故．
，
的周长为．
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解决本题的关键．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于D，E，再分别以D，E为圆心，大于DE长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF交BC于点M，若CM=3，AB=10，则△ABM的面积为（ ）
A．30 B．15 C．10 D．3
【答案】B
【分析】如图所示，过点M作MH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到MH=CM=3，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：如图所示，过点M作MH⊥AB于H，
由作图方法可知，AM平分∠BAC，
∵∠C=90°，MH⊥AB，
∴MH=CM=3，
∴，
故选B．
【点睛】
本题主要查了角平分线的性质、角平分线的尺规作图，三角形面积，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
二、填空题
15．如图是教科书中的一个片段，由画图我们可以得到△，判定这两个三角形全等的依据是 __________．
（1）画； （2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，．
【答案】
【分析】根据全等三角形的判定方法解决问题即可．
【详解】
解：在和△中，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了作图 复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用所学知识解决问题．
16．如图，已知线段a，b，c，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c，下面作法中：①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；②作线段BC＝a；③连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形．正确顺序应为___．（填序号）
【答案】②①③
【分析】根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答．
【详解】
解：先作线段BC＝a，再分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A，然后连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形．
故答案为：②①③．
【点睛】
本题考查的是学生利用基本作图做三角形的能力，以及用简练、准确地运用几何语言表达作图方法与步骤的能力．
17．在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，则点D到的距离是______．
【答案】6
【分析】由题意可知平分，然后根据角平分线的性质即可得出结论．
【详解】
解：由题意可知平分，
∵，，
∴点到的距离等于到的距离，
∴到的距离为6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了尺规作图－角平分线，以及角平分线的性质，熟知角平分线上的任意一点到角两边的距离相等是解本题的关键．
18．如图，是我们七上学过的利用尺规“作一个角等于已知角”的过程，爱思考的小明一直不知道这样作出的角和已知角为何相等，在学习了三角形全等的证明之后，终于解开了谜团，原来只要证明△DOC≌△D'O'C'就能得出∠O=∠O'，那么小明证明△DOC≌△D'O'C'的依据是___________．
【答案】SSS
【分析】利用基本作图得到OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，然后根据全等三角形的判定方法进行判断．
【详解】
解：由作法得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，
所以根据“SSS”可判断△DOC≌△D'O'C'．
故答案为：SSS．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角）是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定．
19．如图，在中，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，直线PQ交BC于点D，连接AD；再分别以A、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN交BC于点E，连接AE．若的周长为17，则BD的长为____________．
【答案】6
【分析】由作图方法可知，PQ和MN分别是AB、AC的垂直平分线，则BD=AD，AE=CE，再根据△ADE的周长为17进行求解即可．
【详解】
解：由作图方法可知，PQ和MN分别是AB、AC的垂直平分线，
∴BD=AD，AE=CE，
∵△ADE的周长为17，
∴AD+AE+DE=17，
∴BD+DE+CE=17，
又∵CD=11，
∴BD=6，
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．
20．如图，在中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点F；
③作射线BF，交AC于点G．
如果，，的面积为9，则的面积为______．
【答案】
【分析】过G作GH⊥BC于H，GM⊥AB于M，由作图步骤可知BG为∠ABC的角平分线，可得GM=GH
,然后再结合已知条件和三角形的面积比求得求出S△BCG解答即可．
【详解】
解：过G作GH⊥BC于H，GM⊥AB于M，
由作图作法可知：BG为∠ABC的角平分线
∴GM=GH
∴,
∴S△ABC=S△ABG+S△BCG=
故答案为．
【点睛】
本题考查了角平分线性质和三角形面积公式的应用，通过作法发现角平分线并灵活应用角平分线定理是解答本题的关键．
21．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，CB于点E和F；②分别以E，F为圆心，大于EF为半径画弧，两弧交于点D；③作射线CD交AB于点G；延长CA至H，使CH＝CB，连接HG，若AH＝2，AB＝5，则△AHG的周长为 _____．
【答案】7
【分析】利用全等三角形的性质，证明GH=GB，根据△AHG的周长=AH+AG+GH=AH+AG+GB=AH+AB，可得结论．
【详解】
解：由作图可知，CH=CB，∠GCH=∠GCB，
在△GCH和△GCB中，
，
∴△GCH≌△GCB（SAS），
∴GH=GB，
∴△AHG的周长=AH+AG+GH=AH+AG+GB=AH+AB=2+5=7．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，连接并延长交于点，则___．
【答案】125°（125度）
【分析】根据角平分线的作法可得平分，再根据三角形内角和定理可得的度数．
【详解】
解：由题意可得：平分，
，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的作法以及角平分线的定义，解题的关键是熟练根据角平分线的定义得出度数．
23．李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当，时，可得到形状唯一确定的
②当，时，可得到形状唯一确定的
③当，时，可得到形状唯一确定的
其中所有正确结论的序号是______________．
【答案】②③（③②）
【分析】分别在以上三种情况下以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，观察弧与直线AM的交点即为Q点，作出后可得答案．
【详解】
如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，所以不唯一，所以①错误．
如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以唯一，所以②正确．
如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，所以唯一，所以③正确．
综上：②③正确．
故答案为：②③
【点睛】
本题考查的是三角形形状问题，为三角形全等来探索判定方法，也考查三角形的作图，利用对称关系作出另一个Q是关键．
三、解答题
24．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实，求作△DEF，使△DEF≌△ABC．
【答案】见详解
【分析】作∠E=∠B，ED=BA，EF=BC即可．
【详解】
解：△DEF即为所求．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，全等三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25．如图，已知，射线上一点和直线，请利用尺规作图法，在上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见详解
【分析】首先作，再根据平行线的判定定理即可证得．
【详解】
解：点如图所示．
作法：
(1)以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点F，H；
(2)以点E为圆心，OF长为半径画弧，交OA于点M；
(3)以点M为圆心，FH长为半径画弧，交前弧于点N；
(4)过点N，画射线EN交CD于点P，点P即为所求作的点．
，
．
【点睛】
本题考查了作一个角等于已知角，平行线的判定定理，准确画出图形是解决本题的关键．
26．如图，在四边形中，//，，连接．
(1)求证：；
(2)尺规作图：过点作的垂线，垂足为点（不要求写作法，保留作图痕迹）．
【答案】(1)证明过程见详解 (2)作图过程见详解
【分析】（1）根据，得到，结合，，即可证明；
（2）以点为圆心，为半径作弧，与线段延长线有两个交点，分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离一半为半径画弧，相交于一点，和点连接，即可得到过点作的垂线，垂足为．
【详解】
(1)
证明：∵
∴
在和中
∵
∴
(2)
解：以点为圆心，以合适的长为半径作弧，与直线有两个交点，分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离一半为半径画弧，相交于一点，和点连接，交直线于点，如图所示即为所求．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定、过直线外一点作已知直线的垂线等知识点，熟知相关知识点并灵活运用是解答本题的关键．
27．（1）如图，在中，按以下步骤作图（保留作图痕迹）：
①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点D、E．
②分别以点D、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．
③作射线交于点．则是的______线．
（2）如果，，的面积为18．则的面积为______．
【答案】（1）角平分；（2）27
【分析】（1）根据尺规作图要求，按给定的步骤与作法画图即可；
（2）根据角分线性质可知，两三角形的AB与BC边上的高相等，则得面积比为底的比，依此列式求解即可．
【详解】
解：（1）如图所示，BG即为所求；
故答案为：角平分；
（2）如图，作GM⊥AB于M，作GN⊥BC于N，
∵由（1）得BG为∠ABC的角平分线，
∴GM=GN，
∴ ，
解得：．
故答案为：27．
【点睛】
本题考查尺规作图，角平分线性质，三角形面积；掌握尺规作图步骤与要求，根据角平分线性质得出两三角形的高相等，则面积比等于底的比是解题关键．
28．如图，在中，．
求作：直线，使得//．
小明的作法如下：
①以点A为圆心、适当长为半径画弧，交的延长线于点，交线段于点；
②分别以点为圆心、大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；
③画直线．
直线即为所求，
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明。
证明：由作法可知：平分．
∴（______________）．（填推理的依据）
∵，
∴
∵，
∴．
∵，
∴__________．
∴//（___________________________）．（填推理的依据）
【答案】(1)补画图形见详解 (2)角平分线的定义，，同位角相等，两直线平行
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据角平分线的定义和平行线的判定解决问题即可．
【详解】
(1)
解：补画图形如下：
(2)
由作法可知：平分．
∴（角平分线的定义）．
∵，
∴
∵，
∴．
∵，
∴．
∴//（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义，，同位角相等，两直线平行．
【点睛】
本题主要考查了尺规作图—作角平分线以及平行线的判定等知识，解题关键是掌握基本尺规作图方法和平行线的判定方法．
29．如图，已知△ABC，∠A＝100°，∠C＝30°，请用尺规作图法在AC上求作一点D，使得∠ABD＝25°．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】作图见详解
【分析】因为∠A＝100°，∠C＝30°，所以∠B＝50°，若使得∠ABD＝25°，则作∠B的角平分线即可．
【详解】
解：∵∠A＝100°，∠C＝30°，
∴∠B＝50°，
若使得∠ABD＝25°，则作∠B的角平分线即可．
作图如下：
【点睛】
本题考查作角平分线，解题的关键是分析题意知道作∠B的角平分线，掌握作角平分线的方法．
30．（1）如图，求作△ABD，使点D在线段BC的延长线上，且；再作△ABD边AD上的中线BE；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
（2）在（1）的基础上，取AB的中点F，连接DF，求证：直线BE，CA，DF相交于同一点．
【答案】（1）作图见详解 （2）证明见详解
【分析】(1)直接利用圆规截取即可得到D点，再利用作线段的垂直平分线的方法得到AD中点E，连接后得到中线BE．
(2)利用面积法进行转化即可证明三条中线交于一点．
【详解】
解：（1）作图如图所示．
（2）证明：如图①，将AC和BE的交点记为点O，连接DO并延长与AB交于点M，
设，
∵C、E分别是BD、AD的中点，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴B点和A点到OD的距离相等，
∴，
∴，
∴M点是AB的中点，
∴DM是AB边上的中线，
∴△ABD的三条中线都经过O点，
∴图②中，直线BE，CA，DF相交于同一点．
【点睛】
本题考查了尺规作图问题和三角形的中线的性质，解题关键是掌握作线段的垂直平分线的尺规作图的方法和利用面积转化得到三角形三条中线交于同一点的结论．
31．如图，OD平分∠AOB，点P为OA上一点．
(1)尺规作图：以P为顶点，作∠APQ=∠AOB，交OD于点Q（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若∠AOB=60°，求∠DQP的度数．
【答案】(1)见详解 (2)∠DQP=150°．
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法作图即可；
（2）依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠DQP的度数．
【详解】(1)
解：如图即为所求；
；
(2)
解：由（1）知PQ∥OB，
∴∠PQO=∠DOB，
∵OD为∠AOB的角平分线，且∠AOB=60°，
∴∠AOD=∠BOD=30°，
∴∠PQO=∠DOB=30°，
∴∠DQP=180°-30°=150°．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质．
32．如图，对∠AOB进行以下操作：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，点D．
②分别以C，D两点为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P．
③作射线OP．
请解答下列问题：
(1)作线段OP的垂直平分线，分别交OA，OB于点E，点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图中，求证：OE＝OF．
【答案】(1)见详解 (2)见详解
【分析】（1）分别以为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的两个交点，过两个交点画直线，分别交OA，OB于点E，点F即可；
（2）利用ASA证明即可得到结论.
【详解】
(1)
解：如图，直线EF即为所求．
(2)
证明：∵OP平分，
∴，
∵，
∴，
而
∴
∴．
【点睛】
本题考查的是角平分线的作图，线段的垂直平分线的作图，全等三角形的判定与性质，掌握“线段的垂直平分线的作图”是解本题的关键.
试卷第1页，共3页
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2022-2023八年级数学上册夯基课课练（浙教版）
1.6 尺规作图
一、单选题
1．通过如下尺规作图，能确定点P是BC边中点的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ）
两角及夹边 B．两边及夹角
C．两角及一角的对边 D．两边及一边的对角
3．在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3
4．如图，是四个基本作图的痕迹，下列关于①、②、③、④四条弧的说法正确的是（ ）
A．弧①是以O为圆心，长为半径所画的弧
B．弧②是以P为圆心，任意长为半径所画的弧
C．弧③是以A为圆心，任意长为半径所画的弧
D．弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧
5．下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容（ ）
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB 作法：（1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q； （2）作射线EG，并以点E为圆心◎长为半径画弧交EG于点D； （3）以点D为圆心⊙长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F； （4）作，∠DEF即为所求作的角．
A．●表示点E B．◎表示PQ C．⊙表示OQ D．表示射线EF
6．作一个三角形与已知三角形全等：
已知：．
求作：，使得．
作法：如图．
（1）画；
（2）分别以点，为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点；
（3）连接线段，，则即为所求作的三角形．
这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是（ ）
A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS
7．如图，射线DM的端点D在直线AB上，点C是射线DM上不与点D重合的一点，根据尺规作图痕迹，下列结论中不能体现的是（ ）
A．作一条线段等于已知线段 B．作的平分线
C．过点C作AB的平行线 D．过点C作DM的垂线
8．如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，分别以点A，B为圆心，以大于同样长为半径作弧，两弧相交于C，D两点，连接AB，CD，AC，BC，AD，BD，则下列说法中正确的是（ ）．
A．，但CD不一定平分AB
B．CD垂直平分AB，但AB不一定垂直平分CD
C．且
D．CD与AB互相垂直平分
10．下列尺规作图．能得到∠ADC＝2∠B的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，点在的边上，利用尺规过点作的平行线，其作图过程如下：在OB上取一点D，以O圆心、OD为半径画弧，弧交OA于点F，再以C圆心、OD为半径画弧，该弧与CB交于点E，再以E为圆心、DF为半径画弧，圆心为C的弧与圆心为E的弧交于点M，作射线CM，则，，可得，进而可以得到，，以上作图过程中的依据不包括（ ）
A．圆的半径相等 B．两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．同位角相等，两直线平行 D．全等三角形的对应角相等
12．如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心、适当长为半径画弧，分别交边，于点，；②分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线交边于点．若的面积为50，，则的长为（ ）
A． B．5 C．7 D．10
13．如图，已知等腰△ABC的周长为18，底边BC＝4．尺规作图如下：分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，连接两弧交点的直线交AB边于点D，则△BCD的周长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于D，E，再分别以D，E为圆心，大于DE长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF交BC于点M，若CM=3，AB=10，则△ABM的面积为（ ）
A．30 B．15 C．10 D．3
二、填空题
15．如图是教科书中的一个片段，由画图我们可以得到△，判定这两个三角形全等的依据是 __________．
（1）画； （2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，．
16．如图，已知线段a，b，c，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c，下面作法中：①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；②作线段BC＝a；③连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形．正确顺序应为___．（填序号）
17．在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，则点D到的距离是______．
18．如图，是我们七上学过的利用尺规“作一个角等于已知角”的过程，爱思考的小明一直不知道这样作出的角和已知角为何相等，在学习了三角形全等的证明之后，终于解开了谜团，原来只要证明△DOC≌△D'O'C'就能得出∠O=∠O'，那么小明证明△DOC≌△D'O'C'的依据是___________．
19．如图，在中，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，直线PQ交BC于点D，连接AD；再分别以A、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN交BC于点E，连接AE．若的周长为17，则BD的长为____________．
20．如图，在中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点F；
③作射线BF，交AC于点G．
如果，，的面积为9，则的面积为______．
21．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，CB于点E和F；②分别以E，F为圆心，大于EF为半径画弧，两弧交于点D；③作射线CD交AB于点G；延长CA至H，使CH＝CB，连接HG，若AH＝2，AB＝5，则△AHG的周长为 _____．
22．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，连接并延长交于点，则___．
23．李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当，时，可得到形状唯一确定的
②当，时，可得到形状唯一确定的
③当，时，可得到形状唯一确定的
其中所有正确结论的序号是______________．
三、解答题
24．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实，求作△DEF，使△DEF≌△ABC．
25．如图，已知，射线上一点和直线，请利用尺规作图法，在上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
26．如图，在四边形中，//，，连接．
(1)求证：；
(2)尺规作图：过点作的垂线，垂足为点（不要求写作法，保留作图痕迹）．
27．（1）如图，在中，按以下步骤作图（保留作图痕迹）：
①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点D、E．
②分别以点D、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．
③作射线交于点．则是的______线．
（2）如果，，的面积为18．则的面积为______．
28．如图，在中，．
求作：直线，使得//．
小明的作法如下：
①以点A为圆心、适当长为半径画弧，交的延长线于点，交线段于点；
②分别以点为圆心、大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；
③画直线．
直线即为所求，
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明。
证明：由作法可知：平分．
∴（______________）．（填推理的依据）
∵，
∴
∵，
∴．
∵，
∴__________．
∴//（___________________________）．（填推理的依据）
29．如图，已知△ABC，∠A＝100°，∠C＝30°，请用尺规作图法在AC上求作一点D，使得∠ABD＝25°．（保留作图痕迹，不写作法）
30．（1）如图，求作△ABD，使点D在线段BC的延长线上，且；再作△ABD边AD上的中线BE；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
（2）在（1）的基础上，取AB的中点F，连接DF，求证：直线BE，CA，DF相交于同一点．
31．如图，OD平分∠AOB，点P为OA上一点．
(1)尺规作图：以P为顶点，作∠APQ=∠AOB，交OD于点Q（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若∠AOB=60°，求∠DQP的度数．
32．如图，对∠AOB进行以下操作：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，点D．
②分别以C，D两点为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P．
③作射线OP．
请解答下列问题：
(1)作线段OP的垂直平分线，分别交OA，OB于点E，点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图中，求证：OE＝OF．
试卷第1页，共3页
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