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2022-2023八年级数学上册夯基课课练（浙教版）
1.5 三角形全等的判定
一、单选题
1．如图所示，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，BD＝BD，由以上三个条件可以证明BAD≌BCD的理由是（ ）．
A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
2．下列命题中，假命题是（ ）
A．如果两边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等
B．如果两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等
C．如果两角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等
D．如果两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等
3．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，P点到OA的距离PE＝2，点F是OB上任意一点，则线段PF的长的取值范围是（ ）
A．PF＜2 B．PF＞2 C．PF≥2 D．PF≤2
4．如图，点，在上，，．添加一个条件，不一定能证明的是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，，，直线m是中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则的周长的最小值为（ ）
A．6 B．10 C．11 D．13
6．如图，在中，D，E是边上的两点，，则的度数为（ ）
A．90° B．80° C．70° D．60°
7．如图，△ABC中，AB=5，AC=7，BC=10．∠BAC的平分线AD交BC于点D．则DC的长度为 （ ）
A． B．6 C． D．
8．如下，给定三角形的六个元素中的三个元素，画出的三角形的形状和大小完全确定的是（ ）
①三边；②两角及其中一角的对边；③两边及其夹角；④两边及其中一边的对角．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．小明同学发现，只用两把宽度相同的长方形直尺就可以画一个角的平分线．如图，一把直尺压住∠AOB的一边OB，另一把直尺压住∠AOB的另一边OA，并且与第一直尺交于点P，则射线OP就是∠AOB的平分线．他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
D．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
10．投影屏上是对“定理：角平分线上的点到角两边的距离相等”的证明．
已知：如图，是的平分线，点P是上任意一点，， ，垂足分别为E、F． 求证：． 证明：∵是的平分线， ∴， ∵，，∴， ∴，∴．
小明为了保证以上证明过程更加严谨，想在投影屏上“∴”和“∴”之间作补充，下列正确的是（ ）A．投影屏上推理严谨，不必补充 B．应补充：“又∵”
C．应补充：“又” D．应补充：“又”
11．已知AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，点E，B，D到直线l的距离分别为6，3，4，则图中实线所围成的图形的面积是（ ）
A．50 B．62 C．65 D．68
12．如图，在中，点D在AC上，BD平分，延长BA到点E，使得，连接DE．若，则的度数是（ ）
A．68° B．69° C．71° D．72°
13．在和中，，，，，则这两个三角形的关系是（ ）
A．不一定全等 B．不全等 C．根据“ASA”全等 D．根据“SAS”全等
14．如图，在ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交下点F，连接并延长CF交AB于点G，∠AEB的平分线交CG的延长线于点H，连接AH．则下列结论：
①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③ABD≌CFD；④CH＝AB+AH；⑤BD＝CD﹣AF．其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
15．如图，中，，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且，则的周长是______cm．
16．如图，已知AD平分∠BAC，添加一个条件______，使△ABD≌△ACD（填一个即可）．
17．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，∠A＝∠D，BF＝10，BC＝6，则EC＝_____．
18．在中，DE、MN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D、M，若，，则______．
19．如图，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，已知垂直于河岸，现在上取两点C、D，使，过点D作的垂线，使点A、C、E在一条直线上，若米，则的长是_____米．
20．在△ABC中，AB=5，BC边上的中线AD=4，则AC的长m的取值范围是______．
21．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E，D，AD＝25，DE＝17，则BE＝_____．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD，交BC延长线于F，交AC于H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③=HC；④PH=PD；其中正确的有____________________．
23．如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有_____对．
24．如图，中，，，，点为边的垂直平分线上一个动点，则周长的最小值为________．
三、解答题
25．如图，点C是AB的中点，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝BE．求证：DC＝EC．
26．如图，A、D、C、F在一条直线上，BC与DE交于点G，，，，求证：．
27．如图，中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且．
(1)求证：≌；
(2)若，，试求DE的长．
28．如图，已知∠1＝∠2，AB＝AD，请添加一个条件，使△ABC≌△ADE，并加以证明．
(1)你添加的条件是______（只需添加一个条件）；
(2)写出证明过程．
29．如图，已知AB＝AC，BD＝CD，过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E、DF⊥AC交AC的延长线于点F，垂足分别为点E、F．
(1)求证：∠DBE＝∠DCF．
(2)求证：BE＝CF．
30．在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE＝AD＋BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
试卷第1页，共3页
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2022-2023八年级数学上册夯基课课练（浙教版）
1.5 三角形全等的判定
一、单选题
1．如图所示，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，BD＝BD，由以上三个条件可以证明BAD≌BCD的理由是（ ）．
A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
【答案】D
【分析】由于∠BAD=∠BCD=90°，AB=CB，题中还有公共边这个条件，由此就可以证明△BAD≌△BCD，全等容易看出．
【详解】
解：∵∠BAD=∠BCD=90°，AB=CB，BD＝BD，
∴△BAD≌△BCD(HL) ．
故选：D
【点睛】
本题需注意：当两个三角形有公共边时，公共边是常用的条件之一．
2．下列命题中，假命题是（ ）
A．如果两边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等
B．如果两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等
C．如果两角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等
D．如果两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定定理对各选项分析论证得出正确选项．
【详解】
解：A．如果两边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等，符合判定定理边角边，是真命题．
B．如果两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等．因为两边相等，其夹角不一定相等，所以两三角形不一定全等，故是假命题．
C．如果两角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等，符合判定定理角边角，是真命题．
D．如果两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等．两角相等，则根据三角和内角和定理可推出三个角分别相等，有一边相等，所以符合判定定理角边角，是真命题．
故选：B．
【点睛】
此题考查的是全等三角形的判定，关键是每个选项是否符合全等三角形的判定定理．
3．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，P点到OA的距离PE＝2，点F是OB上任意一点，则线段PF的长的取值范围是（ ）
A．PF＜2 B．PF＞2 C．PF≥2 D．PF≤2
【答案】C
【分析】首先根据角平分线的性质，求出点P到OB的距离为2，再根据“垂线段最短”可知PF的取值范围．
【详解】
解：∵P点到OA的距离PE=2，
∴P点到OB的距离2，
∵垂线段最短，且点F在OB上，
∴PF≥2．
故选：C．
【点睛】
此题考查了角平分线的性质和垂线段最短，解题的关键是知道点到直线的距离垂线段最短．
4．如图，点，在上，，．添加一个条件，不一定能证明的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定定理判断即可．
【详解】
A：∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，正确，故本选项错误；
B：∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，正确，故本选项错误；
C：∵在和中，
，
∴，正确，故本选项错误；
D：根据，，不能推出，错误，
故本选项正确．
故选D．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定的应用，平行线的性质．熟练掌握全等三角形的判定定理是解本题的关键．
5．在中，，，，直线m是中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则的周长的最小值为（ ）
A．6 B．10 C．11 D．13
【答案】B
【分析】连接BP，设直线m交AB于点D，根据线段垂直平分线的性质可得BP=CP，从而得到当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，即可求解．
【详解】
解：如图，连接BP，设直线m交AB于点D，
∵直线m垂直平分AB，
∴BP=CP，
∴CP+AP=BP+AP≥AB，
即当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，
∵的周长为AP+PC+AC，
∴△APC周长的最小值是AB+AC=6+4=10．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
6．如图，在中，D，E是边上的两点，，则的度数为（ ）
A．90° B．80° C．70° D．60°
【答案】B
【分析】先证明BD=CE，然后证明△ADB≌△AEC，∠ADE=∠AED=70°，得到∠BAD=∠CAE，根据三角形内角和定理求出∠DAE=40°，从而求出∠BAD的度数即可得到答案．
【详解】
解：∵BE=CD，
∴BE-DE=CD-DE，即BD=CE，
∵∠1=∠2=110°，AD=AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS），∠ADE=∠AED=70°，
∴∠BAD=∠CAE，∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=40°，
∵∠BAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE=20°，
∴∠BAC=80°，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，邻补角互补，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
7．如图，△ABC中，AB=5，AC=7，BC=10．∠BAC的平分线AD交BC于点D．则DC的长度为 （ ）
A． B．6 C． D．
【答案】A
【分析】作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由角平分线性质得DE=DF，则△ABD与△ACD分别以AB、AC为底时高相等，则△ABD与△ACD的面积比=AB：AC=5：7；同时△ABD与△ACD分别以BD、DC为底时高也相等，则△ABD与△ACD的面积比=BD：DC=5：7；求解即可．
【详解】
作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
AD是∠BAC的平分线，
DE=DF，
AB=5，AC=7，
，
BC=10，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理及三角形的面积，熟练掌握知识点并能够准确作出辅助线是解题的关键．
8．如下，给定三角形的六个元素中的三个元素，画出的三角形的形状和大小完全确定的是（ ）
①三边；②两角及其中一角的对边；③两边及其夹角；④两边及其中一边的对角．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容判断即可．
【详解】
解：∵三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，
∴根据SSS定理可知能作出唯一三角形，故①符合题意，
根据AAS定理可知能作出唯一三角形，故②符合题意，
根据SAS定理可知能作出唯一三角形，故③符合题意，
根据已知两边及其中一边的对角不能作出唯一三角形，故④不符合题意，
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，熟记全等三角形的判定方法是解题的关键.
9．小明同学发现，只用两把宽度相同的长方形直尺就可以画一个角的平分线．如图，一把直尺压住∠AOB的一边OB，另一把直尺压住∠AOB的另一边OA，并且与第一直尺交于点P，则射线OP就是∠AOB的平分线．他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
D．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
【答案】A
【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB．
【详解】
解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
10．投影屏上是对“定理：角平分线上的点到角两边的距离相等”的证明．
已知：如图，是的平分线，点P是上任意一点，， ，垂足分别为E、F． 求证：． 证明：∵是的平分线， ∴， ∵，，∴， ∴，∴．
小明为了保证以上证明过程更加严谨，想在投影屏上“∴”和“∴”之间作补充，下列正确的是（ ）A．投影屏上推理严谨，不必补充 B．应补充：“又∵”
C．应补充：“又” D．应补充：“又”
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）；即可解答；
【详解】
解：根据全等三角形的判定条件，应补充：“又∵”，利用（AAS）证明，从而有．
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质；掌握（AAS）的判定条件是解题关键．
11．已知AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，点E，B，D到直线l的距离分别为6，3，4，则图中实线所围成的图形的面积是（ ）
A．50 B．62 C．65 D．68
【答案】A
【分析】由全等三角形的判定定理可得出△EFA≌△AGB，同理可证△BGC≌△CHD，从而得出FA、AG、GC、CH的长度，用割补法求出实线所围成的图像面积.
【详解】
解：如图，
∵EA⊥AB，
∴∠EAF+∠BAG=90°，
∵EF⊥AF，BG⊥AG，
∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EFA=∠BGA=90°，
∴∠BAG=∠FEA，
∵在△EFA与△AGB中，
∴△EFA≌△AGB，
∴BG=AF=3，EF=AG=6，
同理可证：△BGC≌△CHD，
∴GC=4，CH=3，
∴S=S梯形EFHD﹣2S△AEF﹣2S△CHD=（4+6）×（3+6+3+4）﹣×6×3×2﹣×4×3×2=50.
故选A.
【点睛】
本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积．
12．如图，在中，点D在AC上，BD平分，延长BA到点E，使得，连接DE．若，则的度数是（ ）
A．68° B．69° C．71° D．72°
【答案】C
【分析】设，则，根据题意证明，可得，即，解方程即可求解．
【详解】
BD平分，
，
与中，
，
，
，
由，
即，
设，则，
又，
，
解得．
故选C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，邻补角的定义，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
13．在和中，，，，，则这两个三角形的关系是（ ）
A．不一定全等 B．不全等 C．根据“ASA”全等 D．根据“SAS”全等
【答案】D
【分析】由角度数量关系与三角形内角和定理可得，，由线段的数量关系可得，，进而可证明三角形全等．
【详解】
解：∵，
∴，
∵
①+②得
②-①得
∴在和中，
∵
∴
故选D．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定．解题的关键在于找出三角形全等的条件．
14．如图，在ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交下点F，连接并延长CF交AB于点G，∠AEB的平分线交CG的延长线于点H，连接AH．则下列结论：
①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③ABD≌CFD；④CH＝AB+AH；⑤BD＝CD﹣AF．其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】①利用三角形内角和定理即可说明其正确；②利用垂直平分线的性质即可说明其正确；③利用SAS判定全等即可；④利用③中的结论结合等量代换和等式的性质即可得出结论；⑤利用③中的结论结合等量代换和等式的性质即可得出结论．
【详解】
如图所示，设EH与AD交于点M，
∵∠ACB＝45°，BE⊥AC，
∴∠EBD＝90°﹣∠ACD＝45°，
故①正确；
∵AD⊥BC，∠EBD＝45°，
∴∠BFD＝45°，
∴∠AFE＝∠BFD＝45°，
∵BE⊥AC，
∴∠FAE＝∠AFE＝45°，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∵EM是∠AEF的平分线，
∴EM⊥AF，AM＝MF，即EH为AF的垂直平分线，
∴AH＝HF，
∴②正确；
∵AD⊥BC，∠ACD＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
同理，BD＝DF，
在△ABD和△CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（SAS）,
∴③正确；
∵△ABD≌△CFD，
∴CF＝AB，
∵CH＝CF+HF，
由②知：HF＝AH，
∴CH＝AB+AH，
∴④正确；
∵BD＝DF，CD＝AD，
又∵DF＝AD﹣AF，
∴BD＝CD﹣AF，
∴⑤正确，
综上，正确结论的个数为5个．
故选：A．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质等相关知识，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系．
二、填空题
15．如图，中，，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且，则的周长是______cm．
【答案】22
【分析】由垂直平分线的性质可得AD＝BD，然后计算△DBC的周长即可．
【详解】
解：∵MN垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴BC＋BD＋DC＝BC＋AD＋DC＝BC＋AC＝8＋14＝22cm，
∴△DBC的周长是22cm，
故答案为：22．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
16．如图，已知AD平分∠BAC，添加一个条件______，使△ABD≌△ACD（填一个即可）．
【答案】AB＝AC（答案不唯一）
【分析】根据全等三角形的判定定理添加条件即可．
【详解】
解：当AB=AC时．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∵AD是△ABD和△ACD的公共边，
∴．
故答案为：AB=AC（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定定理，熟练掌握该知识点是解题关键．
17．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，∠A＝∠D，BF＝10，BC＝6，则EC＝_____．
【答案】2
【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠DEF，即可利用ASA证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质得出BC＝EF＝6，即可根据线段的和差得解．
【详解】
解：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴BC＝EF，
∵BF＝10，BC＝6，
∴EF＝6，CF＝BF﹣BC＝4，
∴EC＝EF﹣CF＝2，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用ASA证明△ABC≌△DEF是解题的关键．
18．在中，DE、MN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D、M，若，，则______．
【答案】7或3（3或7）
【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=BD，AM=CM，然后利用等线段转化AD+AM= BC+DM或BC-DM即可．
【详解】
解：当BD与CM有公共点时
∵DE是AB的垂直平分线，MN是AC的垂直平分线，
∴AD=BD，AM=CM，
∴AD+AM=BD+CM=BD+CD+DM=BC+DM=5+2=7．
当BD与CM没有公共点时
AD+AM=BD+CM=BC-DM=5-2=3
故答案为:7或3．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线性质，线段和差计算，掌握线段垂直平分线性质，线段和差计算是解题关键．
19．如图，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，已知垂直于河岸，现在上取两点C、D，使，过点D作的垂线，使点A、C、E在一条直线上，若米，则的长是_____米．
【答案】25
【分析】由AB、ED均垂直于BD，即可得出∠ABC=∠EDC=90°，结合CD=CB、∠ACB=∠ECD即可证出，由此即可得出AB=ED=25，此题得解．
【详解】
∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABC=∠EDC=90°，
在△ABC和△EDC中，
∴，
∴AB=ED=25．
故答案为：25．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理（ASA）．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握全等三角形的判定定理是关键．
20．在△ABC中，AB=5，BC边上的中线AD=4，则AC的长m的取值范围是_______．
【答案】3＜m＜13
【分析】延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，利用SAS证明△ABD≌△ECD，可得CE=AB，再根据三角形的三边的关系即可解决问题．
【详解】
解：如图，延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ADB和△CDE中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE=AB，
在△ACE中，AE-CE＜AC＜AE+CE，
∵CE=AB=5，AE=8，
∴8-5＜AC＜8+5，
∴3＜AC＜13，
∴3＜m＜13．
故答案为：3＜m＜13．
【点睛】
此题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边的关系，解题的关键是利用已知条件构造全等三角形，然后利用三角形的三边的关系解决问题．
21．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E，D，AD＝25，DE＝17，则BE＝_____．
【答案】8
【分析】可先证明△BCE≌△CAD，可求得CE＝AD，结合条件可求得CD，则可求得BE．
【详解】
解：∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
又∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠CBE＝∠ACD，
在△CBE和△ACD中，
，
∴△CBE≌△ACD（AAS），
∴BE＝CD，CE＝AD＝25，
∵DE＝17，
∴CD＝CE﹣DE＝AD﹣DE＝25﹣17＝8，
∴BE＝CD＝8；
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质；证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD，交BC延长线于F，交AC于H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③=HC；④PH=PD；其中正确的有____________________．
【答案】①②④
【分析】由角平分线的定义，可得∠PAB+∠PBA=45°，由三角形内角和定理可得结论①；由△BPA≌△BPF可得结论②；由△APH≌△FPD可得结论④；若PH=HC，则PD=HC，由AD＞AC可得AP＞AH不成立，故③错误；
【详解】
解：∵∠CAB+∠CBA=90°，AD、BE平分∠CAB、∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=（∠CAB+∠CBA）=45°，
△PAB中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=135°，
故①正确；
∵∠ADF+∠F=90°，∠ADF+∠DAC=90°，
∴∠F=∠DAC=∠DAB，
△BPA和△BPF中：∠PBA=∠PBF，∠PAB=∠PFB，BP=BP，
∴△BPA≌△BPF（AAS），
∴BA=BF，PA=PF，
故②正确；
△APH和△FPD中：∠PAH=∠PFD，PA=PF，∠APH=∠FPD=90°，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴PH=PD，故④正确；
若PH=HC，则PD=HC，
AD＞AC，则AD-PD＞AC-HC，即AP＞AH，不成立，
故③错误；
综上所述①②④正确，
故答案为：①②④
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识；掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
23．如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有_____对．
【答案】4
【分析】根据已知条件可以找出题目中有哪些相等的角以及线段，然后猜想可能全等的三角形，然后一一进行验证．
【详解】
解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，且AO平分∠BAC，
∴∠ODA=∠OEA=90 ，∠OAD=∠OAE，
在ODA和OEA中，
，
∴ODAOEA，
∴∠B＝∠C，AD＝AE，
在ADC和AEB中，
∴ADCAEB，
∴AB＝AC，
在OAC和OAB中，
，
∴OACOAB，
∴BO=CO，
在和OBD中，
，
∴OCEOBD．
故答案为：4．
【点睛】
此题考查了三角形全等的判定方法；提出猜想，验证猜想是解决几何问题的基本方法，解题的关键是做题时要注意从已知条件开始思考结合全等的判定方法逐一判断，做到不重不漏，由易到难．
24．如图，中，，，，点为边的垂直平分线上一个动点，则周长的最小值为________．
【答案】15
【分析】由为边的垂直平分线上一个动点，得点C和点B关于直线DE对称，则当点动点P和E重合时得△ACP周长的最小值，再结合题目的已知条件求出AB的长即可．
【详解】
解：连接BP
∵为边的垂直平分线上一个动点，
∴点和点关于直线对称，
∴CP=BP
∴
∴当点动点和重合时则的周长为最小值，
∵，，，
∴，
∵，
∴的周长最小值为，
故答案为：15．
【点睛】
本题考查轴对称中最短路径的问题以及垂直平分线的性质，正确确定P点的位置是解题的关键．
三、解答题
25．如图，点C是AB的中点，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝BE．求证：DC＝EC．
【答案】见详解
【分析】直接利用SAS判定△ADC≌△BEC全等即可．
【详解】
∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC（SAS）
∴DC＝EC．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握SAS定理．
26．如图，A、D、C、F在一条直线上，BC与DE交于点G，，，，求证：．
【答案】见详解
【分析】只需要利用SSS证明△ABC≌△DEF即可得到∠B=∠E．
【详解】
∵，
∴AD+CD=CF+CD，
∴．
∵，，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定条件，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
27．如图，中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且．
(1)求证：≌；
(2)若，，试求DE的长．
【答案】(1)见详解； (2)；
【分析】（1）根据两直线平行内错角相等；全等三角形的判定（角角边）；即可证明；
（2）由（1）结论计算线段差即可解答；
【详解】
(1)
证明：∵BE∥CF，∴∠BED=∠CFD，
∵∠BDE=∠CDF，BD=CD，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；
(2)
解：由（1）结论可得DE=DF，
∵EF=AE-AF=15-8=7，
∴DE=；
【点睛】
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定（AAS）和性质；掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
28．如图，已知∠1＝∠2，AB＝AD，请添加一个条件，使△ABC≌△ADE，并加以证明．
(1)你添加的条件是______（只需添加一个条件）；
(2)写出证明过程．
【答案】(1)∠ACB=∠AED或AE=AC或∠D=∠B（任选一个即可）．．
(2)证明见详解
【分析】由∠1=∠2，可证，然后结合已知条件，根据全等三角形判定定理AAS，SAS，ASA即可得出证明△ABC≌△ADE的条件．此题开放性较强，答案不唯一．
【详解】
(1)
解：添加的条件可以为：∠ACB=∠AED或AE=AC或∠D=∠B（任选一个即可）．
(2)
证明：∵
∠2+∠BAE=∠BAE+∠1 ，即
又∵AB=AD，
∴添加：∠ACB=∠AED，
则△ABC≌△ADE（AAS）．
【点睛】
本题主要考查学生对全等三角形的判定理解和掌握．解答此题的关键是判定方法确定添加的条件．
29．如图，已知AB＝AC，BD＝CD，过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E、DF⊥AC交AC的延长线于点F，垂足分别为点E、F．
(1)求证：∠DBE＝∠DCF．
(2)求证：BE＝CF．
【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解
【分析】（1）连接AD，证△ABD≌△ACD（SSS），得∠ABD＝∠ACD，即可得出结论；
（2）证△BDE≌△CDF（AAS），即可得出结论．
【详解】
(1)
证明：连接AD，如图：
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠ABD＝∠ACD，
∴∠DBE＝∠DCF．
(2)
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠F＝90°，
由（1）得：∠DBE＝∠DCF，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴BE＝CF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
30．在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE＝AD＋BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
【答案】(1)证明见详解 (2)AD=BE+DE，证明见详解 (3)BE=AD+DE，证明见详解
【分析】（1）先用AAS证明△ADC≌△CEB，得AD=CE，BE=CD，进而得出DE=BE+CD；
（2）先证明△ACD≌△CBE（AAS），可得AD=CE，CD=BE，进而得出AD=CD+DE=BE+DE；
（3）证明过程同（2），进而可得BE=AD+DE．
【详解】
(1)
证明：由题意知，∠BCA=90°，∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ADC和△CEB中，
∵ ，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，BE=CD，
∴DE=DC+CE=BE+AD．
(2)
解：AD=BE+DE．
证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ABD和△ACE中，
∵，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴AD=CD+DE=BE+DE．
(3)
解：BE=AD+DE．
证明：∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠BEC=90 ，
∴∠EBC+∠BCE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ACD和△CBE中，
∵ ，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴BE=CD，AD=CE，
∴BE=CE+DE=AD+DE，
∴BE=AD+DE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于找出证明三角形全等的条件．
试卷第1页，共3页
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