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2022-2023八年级数学上册夯基课课练
2.1 图形的轴对称
一、单选题
1．剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．
【详解】
∵不是轴对称图形,
∴A不符合题意；
∵不是轴对称图形,
∴B不符合题意；
∵不是轴对称图形,
∴C不符合题意；
∵是轴对称图形,
∴D符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合，熟练掌握定义是解题的关键．
2．下列艺术字中，轴对称图形的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义进行判断，若将图形沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够完全重合，则该图形为轴对称图形．
【详解】
解：轴对称图形有，，，共个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称图形，充分理解轴对称图形的含义是解题的关键．
3．下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的性质确定出各选项图形的对称轴的条数，然后选择即可．
【详解】
A.图形有1条对称轴；
B.图形不是轴对称图形；
C.图形有5条对称轴；
D.图形有3条对称轴；
所以，是轴对称图形且对称轴条数最多的是C选项图形．
故选：C．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称．
4．如图1，若点A与点B关于一个点对称，则这个点是（ ）
A．点P B．点M C．点Q D．点N
【答案】B
【分析】连接两个点，取中点即为所求的点．
【详解】
连接AB，AB的中点为点M，可知点A与点B关于点M对称．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了点的对称，掌握对称的性质是解题的关键．
5．如图，若△ABC与关于直线MN对称，交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据题意可知这两个三角形关于直线MN对称，根据对应线段相等，对称轴垂直平分对应点的连线，逐项判断即可．
【详解】
∵△ABC和△A1B1C1关于直线MN对称，
∴AC=A1C1，MN⊥BB1，MN⊥CC1，
∴A，B，C正确；
∵不能判断AB和B1C1的位置关系，
∴D不正确．
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了成轴对称图形的性质，掌握性质是解题的关键．即成轴对称的两个图形的对应边相等，对应角相等，对称轴垂直平分对应点连接的线段．
6．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”．将右图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形对各选项进行判断即可．
【详解】
解：由题意知，C中图形为轴对称图形；
故选：C．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的定义．解题的关键在于熟练掌握轴对称图形的定义．
7．将长方形纸片沿AC折叠后点B落在点E处，则线段BE与AC的关系是（ ）
A． B．
C．且 D．且平分
【答案】D
【分析】由翻折得到AE=AB，CE=CB，再根据线段的垂直平分线的判定即可得到答案．
【详解】
解：∵ACE是由ABC翻折得到，
∴AE=AB,CE=CB
∴AC⊥BE且AC平分BE，
故选D．
【点睛】
此题考查矩形的性质，线段的垂直平分线的判定，关键是熟练掌握线段的垂直平分线的判定．
8．图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是轴对称图形，并且有两条对称轴，这个位置是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）进行判断即可得．
【详解】
解：A、放入①的位置的图形为
，
是轴对称图形，并且有两条对称轴，则此项符合题意；
B、放入②的位置的图形为
，
不是轴对称图形，则此项不符题意；
C、放入③的位置的图形为
，
是轴对称图形，但只有一条对称轴，则此项不符题意；
D、放入④的位置的图形为
，
不是轴对称图形，则此项不符题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称图形，熟记定义是解题关键．
9．如图，已知，AC⊥AB，点P是AB上的一点，连接CP，将△ACP沿CP所在直线折叠，点A落在点M处，连接MB，MD．若∠B＝∠D，∠CMD＝∠PMB+12°，则∠ACP＝（ ）
A．24° B．24.5° C．25° D．25.5°
【答案】D
【分析】连接PM并延长交CD于点E，根据折叠与平行线的性质以及三角形内角和定理求出∠APC的值，并进一步得到∠ACP的值．
【详解】
解：如图，连接PM并延长交CD于点E，
由折叠与平行线的性质可知：∠CME=∠CMP=∠A=90°，∠2=∠3，
∵∠2=∠1+∠D，∠B＝∠D，
∴∠3=∠1+∠B=∠CMD-90°+180°-∠3-∠PMB，
∴2∠3=90°+∠CMD-∠PMB=102°，
∴∠3=51°，
∴∠APC=°，
∴∠ACP=90°-∠APC=90°-64.5°=25.5°，
故选D．
【点睛】
本题考查三角形的折叠问题，熟练掌握折叠的性质、三角形内角和定理、平行线的性质是解题关键．
10．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸CD的距离分别为AC、BD，且，若A到河岸CD的中点的距离为500m.牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，牧童回家所走的最短路程为（ ）
A．500m B．1000m C．1500m D．2000m
【答案】B
【分析】根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”，连接A′B，得到最短距离为A′B，再根据全等三角形的性质和A到河岸CD的中点的距离为500米，即可求出A'B的值．
【详解】
解：作出A的对称点A′，连接A′B与CD相交于M，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是A′B的长．
由题意：AC=BD，∠A’CM=∠BDM=90°，
∴A′C=BD，
在△A′CM与△BDM中，
，
∴△A′CM≌△BDM，
∴CM=DM，M为CD的中点，A′M=BM，
由于A到河岸CD的中点的距离为500米，
所以A′到M的距离为500米，
A′B=2A′M=1000米．
故最短距离是1000米．
故选：B．
【点睛】
此题考查了轴对称的性质和“两点之间线段最短”，全等三角形的判定和性质等，解答时注意应用全等三角形的性质是解题关键．
11．将一张细条的长方形纸条按如图方式折叠，始终使得边AB∥CD，则下列关于翻折角∠1与∠2的判断正确的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1＝2∠2
C．无论怎么折叠，∠1与∠2不可能相等 D．若∠1＝50°，则∠2＝40°
【答案】D
【分析】根据折叠的性质及平行线的性质求解即可．
【详解】
解：如图，
由折叠知∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCF，
∴∠BAB'＝2∠1，∠DCD'＝2∠2，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCD'，
∴180°﹣2∠1＝2∠2，
∴2∠1+2∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝90°，
当∠1＝∠2＝45°时，∠1＝∠2，
故选项C错误，不符合题意，选项A错误，不符合题意，
当∠1＝60°，∠2＝30°时，才有∠1＝2∠2，
故选项B错误，不符合题意，
∵∠1+∠2＝90°，∠1＝50°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝40°，
故选项D正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查折叠的性质及平行线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
12．如图①是长方形纸带，，将纸带沿EF折叠成图②，再沿GE折叠成图③，则图③中的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两条直线平行，内错角相等，则∠AEF=∠CFE=50°，根据折叠的性质得出图②中的∠DEG=80°，进一步求得图③中∠GEF=50°，进而求得图③中的∠DEF的度数．
【详解】
解：∵ADBC，∠CFE=50°，
∴∠AEF=∠CFE=50°，∠DEF=130°，
∴图②中的∠GEF=50°，∠DEG=∠DEF -∠AEF =130°-50°=80°，
∴图③中∠GEF=50°，
∴图中∠DEF=80°-50°=30°．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
13．如图，将长方形纸片ABCD的沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若，，则的度数是（ ）
A．90° B．120° C．100° D．60°
【答案】C
【分析】根据折叠的性质可得，根据，，即可求得的度数.
【详解】
解：∵将长方形纸片ABCD的沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，
∴，
∵，，
∴，∠EFH=∠BFE-∠BFH=40°，
∴，
∴，
∴.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了角的计算、折叠的性质、角的倍数关系，熟练根据角的关系进行推理和计算是解题的关键.
14．如图，将△ABC沿AC所在的直线翻折得到△AB′C，再将△AB′C沿AB′所在的直线翻折得到△AB′C′，点B，B′，C′在同一条直线上，∠BAC=α，由此给出下列说法：①△ABC≌△AB′C′，②AC⊥BB′，③∠CB′B=2α．其中正确的说法是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】①由翻折可得△ABC≌△AB′C，△AB′C≌△AB′C′，进而可以进行判断；
②由翻折可得点B与点B′关于AC对称，进而可以进行判断；
③由翻折可得∠B′AC′=∠B′AC=∠BAC=α，∠AB′C′=∠AB′C，再根据角的和差即可进行判断．
【详解】
解：①由翻折可知：△ABC≌△AB′C，△AB′C≌△AB′C′，
∴△ABC≌△AB′C′；故①正确；
②由翻折可知：点B与点B′关于AC对称，
∴AC⊥BB'；故②正确；
③由翻折可知：∠B′AC′=∠B′AC=∠BAC=α，∠AB′C′=∠AB′C，
∴∠AB′B=90°-∠B′AC=90°-α，
∴∠AB′C′=180°-∠AB′B=180°-（90°-α）=90°+α，
∴∠AB′C=90°+α，
∴∠CB′B=∠AB′C-∠AB′B=90°+α-（90°-α）=2α，
∴∠CB′B=2α．故③正确．
综上所述：正确的说法是：①②③．
故选：D．
【点睛】
本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
二、填空题
15．若折叠一条数轴，表示的点与表示3的点重合，则表示2020的点与表示________的点重合．
【答案】
【分析】设该数轴沿表示x的点折叠，则表示的点与表示3的点到表示x的点的距离相等，由此求出x，再根据表示2020的点与其重合点到表示x的点的距离相等列一元一次方程，求解即可．
【详解】
解：设该数轴沿表示x的点折叠，
∵表示的点与表示3的点重合，
∴，
∴，
设表示2020的点与表示y的点重合，
则，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的实际应用，掌握折叠的性质是解题的关键．
16．如图，和关于直线于称，并且，如果的长用m表示，则m的取值范围是______________．
【答案】3【分析】据△ABC和△A′B′C′关于MN对称，得出△ABC≌△A′B′C′，即可得出AC＝A′C′，再利用三角形三边关系得出A′C′的取值范围．
【详解】
解：∵△ABC和△A′B′C′关于MN对称，
∴得出△ABC≌△A′B′C′，
∴AC＝A′C′，
∵AB BC＜AC＜AB＋BC，
∴6 3＜AC＜6＋3
∴A′C′的取值范围是：3＜m＜9．
故答案为：3＜m＜9．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形的性质，利用两图形全等得出AC＝A′C′，再利用三角形三边关系得出是解题关键．
17．图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在区域______．（填序号）
【答案】④
【分析】直接利用轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，分析得出答案．
【详解】
解：如图所示，在④处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，
故答案为：④．
【点睛】此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．
18．如图，点为内一点，分别作出点关于，的对称点，，连结交于，交于，若线段的长为，则的周长为______．
【答案】12
【分析】根据轴对称的性质可得，，然后求出的周长．
【详解】
解：点关于、的对称点，，
，，
的周长，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．
19．如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕．若BD为∠A′BE的平分线，则∠CBD＝________．
【答案】90°（90度）
【分析】根据折叠的性质和角平分线的定义，进行角度计算即可；
【详解】
解：由折叠性质可得∠ABC=∠A′BC，
BD为∠A′BE的平分线，则∠A′BD=∠EBD，
∵∠ABE=180°=∠ABC+∠A′BC+∠A′BD+∠EBD=2（∠A′BC+∠A′BD），
∴∠CBD=∠A′BC+∠A′BD=90°，
故答案为：90°；
【点睛】
本题考查了翻折变换，角平分线的定义（平分所在的角）；掌握轴对称的性质是解题关键．
20．如图，中，，为的中点，将沿折叠至，边与相交于点若面积是面积的一半，则 ______ ．
【答案】
【分析】根据三角形中线把三角形面积分成相等的两部分即可得到和的面积相等，，，，即可证明≌，得到，从而推出，由此即可得到答案．
【详解】
解：为的中点，
和的面积相等，．
面积是面积的一半，
的面积是面积的一半，
，．
又，
≌，
．
由折叠的性质可知
，
，
，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了与三角形中线有关的面积问题，全等三角形的性质与判定，折叠的性质，正确理解题意是解题的关键．
21．如图，三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点C落在内，则__________度．
【答案】80
【分析】如图延长AE、BF交于点C′，连接CC′．首先证明∠1+∠2=2∠AC′B，求出∠AC′B即可解决问题．
【详解】
解：如图延长AE、BF交于点C′，连接CC′．
在△ABC′中，∠AC′B=180°65°75°=40°，
∵∠ECF=∠AC′B=40°，∠1=∠ECC′+∠EC′C，∠2=∠FCC′+∠FC′C，
∴∠1+∠2=∠ECC′+∠EC′C+∠FCC′+∠FC′C=2∠AC′B=80°；
故答案为：80
【点睛】
本题考查翻折变换、三角形的内角和定理、三角形的外角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住基本结论∠1+∠2=2∠AC′B解决问题．
22．在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为再将，分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处．请完成下列探究：
（1）∵，∴与位置关系为_________；
（2）线段与的数量关系为__________．
【答案】
【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行即可得出；（2）由折叠的性质即可得出．
【详解】
（1）由折叠性质可得： ，
，
，
；
（2）由折叠性质可知： ，
．
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，平行线的判定，掌握折叠的性质是解题的关键.
23．如图，将沿边对折，使点C落在点D处，延长到E，使，连接交于F，连接，则下列结论中：①若的周长为12，，则四边形ABDE的周长为17；②；③；④，正确的有_____________．
【答案】①②③④
【分析】①由题知AE＝AC，BD＝BC，可得结论正确；
②由三角形外角知∠CAB+∠DAB＝∠ADE+∠AED，又知∠CAB＝∠DAB，∠ADE＝∠AED，即可得∠CAB＝∠DAB＝∠ADE＝∠AED，即可得证结论；
③由对称知CD⊥AB，由AB∥DE可得结论；
④由③知S△ADE＝DF DE，S△ADF＝DF AF，证AF是中位线可得AF＝DE，即可得证结论．
【详解】
解：①由图形翻折可知，AD＝AC，BD＝BC，
∵AE＝AD，
∴AE＝AC，
∴C四边形ABDE＝C△ABC+DE，
∵C△ABC＝12，DE＝5，
∴C四边形ABDE＝17，
∴①正确；
②由图形翻折知，∠CAB＝∠DAB，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
又∵∠CAB+∠DAB＝∠ADE+∠AED，
∴∠CAB＝∠DAB＝∠ADE＝∠AED，
∴ABDE，
∴②正确；
③由②知，ABDE，
由图形翻折知，CD⊥AB，
∴∠CFA＝∠CDE＝90°，
∴③正确；
④由③知，∠CFA＝∠CDE＝90°，
∴S△ADE＝DF DE，S△ADF＝DF AF，
∵A是EC的中点，ABDE，
∴AF是△CDE的中位线，
∴AF＝DE，
∴S△ADE＝2S△ADF，
∴④正确，
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题主要考查图形的翻折，三角形的面积，平行线的判定和性质等知识点，证明ABDE是解题的关键．
三、解答题
24．如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．
(1)作关于直线MN对称的图形．
(2)若网格中最小正方形的边长为2，求的面积．
(3)点P在直线MN上，当周长最小时，P点在什么位罝，在图中标出P点．
【答案】(1)见详解 (2)12 (3)见详解
【分析】（1）分别作出三个顶点关于直线MN的对称点，再首尾顺次连接即可得到；
（2）根据三角形的面积公式列式计算即可得到答案；
（3）作点A关于直线MN的对称点，连接C，与直线MN的交点即为所求．
【详解】
(1)
解：如图，即为所求；
(2)
解：由图可知，；
(3)
如图，点P即为所求．
【点睛】
本题考查了作图一轴对称变换、求三角形的面积和将军饮马求最值，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
25．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，于点E．
(1)请用尺规作图法，作BFAD于点F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：BF=CE．
【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解
【分析】（1）根据尺规作图作垂线的方法作图即可；
（2）根据BF⊥AD和CE⊥AD，可证∠AFD=∠CED，由AD是BC边上的中线，可得BD=CD，可得△FDB≌△EDC，即可得答案．
(1)
解：如下图，BF为AD的垂线，即BF⊥AD；
(2)
∵BF⊥AD，
∴∠BFD=90°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△FDB和△EDC中，
∴△FDB≌△EDC，
∴BF=CE．
【点睛】
本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解题的关键是作过点B作AD的垂线．
26．如图，小丽将△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．
(1)如果AC＝6，BC＝8，试求△ACD的周长．
(2)如果，求∠B的度数．
【答案】(1)14cm (2)35°
【分析】（1）根据轴对称的性质就可以得出BD=AD，就有△ACD的周长AD+AC+CD=BD+CD+AC而求出结论；
(2) 设每份为，则∠CAD=4x°，∠BAD=7x°，由BD=AD可以求出∠B=∠BAD=7x°，由直角三角形的性质就可以求出结论.
【详解】
(1)
解：∵△BDE与△ADE成轴对称，
∴，．
∵的周长，
∴的周长．
∵cm，cm，
∴的周长cm；
(2)
设每份为，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【点睛】
本题考查了轴对称的性质的运用，三角形的周长公式的运用，直角三角形的性质的运用，解答时根据轴对称的性质求解是关键．
27．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，D为BC边上一点，将△ABD沿AD折叠，点B落在AC边上的点E处．
(1)若∠C=30°，求证：△ADE≌△CDE；
(2)对于任意一个直角三角形，能否按照此种折叠方式将其分成三个全等的小三角形？请说明理由．
【答案】(1)见详解 (2)不能，理由见详解
【分析】（1）由折叠的性质，得∠BAD=∠EAD，∠B=∠AED=90°，结合∠C=30°，利用AAS即可证明结论成立；
（2）运用全等三角形的性质和三角形的内角和定理进行判断，即可得到结论．
【详解】
(1)
解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，
∴∠BAC=60°，
由折叠的性质，则∠BAD=∠EAD=∠BAC=，∠B=∠AED=90°，
∴，
∵，，
∴△ADE≌△CDE；
(2)
解：不能；理由如下：
若△ADB≌△ADE≌△CDE，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
∴若一个直角三角形能按照此种折叠方式将其分成三个全等的小三角形，那么该直角三角形应含有一个30°的锐角；
∴对于任意一个直角三角形，不能按照此种折叠方式将其分成三个全等的小三角形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定．
28．如图，线段关于某直线作轴对称变换，得到线段，其中点的对称点是点．
(1)请确定直线的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的情况下，点A位于的上方，点位于的右侧，且均为等边三角形．求证：可由关于直线作轴对称变换得到．
【答案】(1)答案见详解 (2)证明见详解
【分析】（1）连接BE，作线段BE的垂直平分线即可；
（2）令BE交直线l于点H，AD交直线l于点G，连接AH，DH，AD，根据SAS证明△ABH≌△DEH，得出HG垂直平分AD，进而得出结论．
【详解】
(1)
解：如图所示，直线l即为所求．
(2)
证明：令BE交直线l于点H，AD交直线l于点G，连接AH，DH，AD，
∵BC，EF关于直线l对称，
∴∠CBH=∠FEH，BH=EH，
又△ABC和△DEF为等边三角形，
∴AB=BC，EF=DE，∠ABC=∠DEF=60°，
∴∠ABH=∠DEH，
又BC=EF，
∴AB=DE，
∴△ABH≌△DEH（SAS），
∴∠AHB=∠DHE，AH=DH
又∠GHB=∠GHE=90°，
∴∠AHG=∠DHG，
∴HG垂直平分AD，
∴A，D关于直线l对称，
即可由关于直线作轴对称变换得到．
【点睛】
本题考查垂直平分线的作图以及垂直平分线的判定，轴对称的性质，借助于全等三角形以及等腰三角形的性质是解决问题的关键．
29．在△ABC中，点M，N分别在AB，AC边上．
(1)如图①，利用尺规作图，在BC边上找一点P，使得PM＝PN．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)如图②，请用画图的方式在BC边上找一点Q，使得的值最小．
【答案】(1)见详解 (2)见详解
【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线交于点，点即为所求．
（2）作点关于的对称点，连接交于点，连接，点即为所求．
【详解】
(1)
解：如图①中，点即为所求．
(2)
解：如图②，线段与边BC的交点Q即为所求．
【点睛】
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用线段的垂直平分线解决问题．
30．同学们，我们已经学习了角的平分线的定义，请你用它解决下列问题：
(1)如图1，已知∠AOC，若将∠AOC沿着射线OC翻折，射线OA落在OB处，则射线OC一定平分∠AOB．理由如下：
因为∠BOC是由∠AOC翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，所以∠BOC=______，所以射线______是∠AOB的平分线；
(2)如图2，将长方形纸片的一角作折叠，使顶点A落在A′处，EF为折痕．
①若EA′恰好平分∠FEB，求出∠FEB的度数；
②过点E再将长方形的另一角∠B做折叠，使点B落在∠FEB的内部B′处（B′不在射线EA′上），EH为折痕，H为EH与射线BC的交点．请猜想∠A′EF，∠B′EH与∠A′EB′三者的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)∠AOC，OC (2)①
②2∠A′EF+2∠B′EH＝180°﹣∠A′EB′或2∠A′EF+2∠B′EH＝180°+∠A′EB′
【分析】（1）根据角平分线定义即可解决问题；
（2）①根据折叠的性质和角平分线定义可得3∠AEF＝180°，所以∠AEF＝60°，进而可以解决问题；
②根据题意分两种情况讨论：当EB′落在A′E右侧时，当EB′落在A′E左侧时，根据折叠的性质即可解决问题．
【详解】
(1)
解：因为∠BOC是由∠AOC翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，所以∠BOC＝∠AOC，所以射线OC是∠AOB的平分线；
故答案为：∠AOC，OC；
(2)
解：①由翻折可知：∠AEF＝∠A′EF，
∵EA′恰好平分∠FEB，
∴∠A′EF＝∠A′EB，
∵∠AEF+∠A′EF+∠A′EB＝180°，
∴3∠AEF＝180°，
∴∠AEF＝60°，
∴∠FEB＝180°﹣60°＝120°；
∴∠FEB的度数为120°；
②根据题意点B落在∠FEB的内部B′处（B′不在射线EA′上），EH为折痕，
∴2∠A′EF+2∠B′EH＝180°±∠A′EB′，
所以分两种情况讨论：
当EB′落在A′E右侧时，2∠A′EF+∠A′EB′+2∠B′EH＝180°，
∴2∠A′EF+2∠B′EH＝180°﹣∠A′EB′；
当EB′落在A′E左侧时，2∠A′EF+2∠B′EH﹣∠A′EB′＝180°，
∴2∠A′EF+2∠B′EH＝180°+∠A′EB′．
综上所述：2∠A′EF+2∠B′EH＝180°﹣∠A′EB′或2∠A′EF+2∠B′EH＝180°+∠A′EB′．
【点睛】
本题考查了翻折变换，角平分线的定义，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
试卷第1页，共3页
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2022-2023八年级数学上册夯基课课练
2.1 图形的轴对称
一、单选题
1．剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列艺术字中，轴对称图形的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图1，若点A与点B关于一个点对称，则这个点是（ ）
A．点P B．点M C．点Q D．点N
5．如图，若△ABC与关于直线MN对称，交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”．将右图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为轴对称图形的是（ ）
B．
C． D．
7．将长方形纸片沿AC折叠后点B落在点E处，则线段BE与AC的关系是（ ）
A． B．
C．且 D．且平分
8．图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是轴对称图形，并且有两条对称轴，这个位置是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
9．如图，已知，AC⊥AB，点P是AB上的一点，连接CP，将△ACP沿CP所在直线折叠，点A落在点M处，连接MB，MD．若∠B＝∠D，∠CMD＝∠PMB+12°，则∠ACP＝（ ）
A．24° B．24.5° C．25° D．25.5°
10．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸CD的距离分别为AC、BD，且，若A到河岸CD的中点的距离为500m.牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，牧童回家所走的最短路程为（ ）
A．500m B．1000m C．1500m D．2000m
11．将一张细条的长方形纸条按如图方式折叠，始终使得边AB∥CD，则下列关于翻折角∠1与∠2的判断正确的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1＝2∠2
C．无论怎么折叠，∠1与∠2不可能相等 D．若∠1＝50°，则∠2＝40°
12．如图①是长方形纸带，，将纸带沿EF折叠成图②，再沿GE折叠成图③，则图③中的度数是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，将长方形纸片ABCD的沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若，，则的度数是（ ）
A．90° B．120° C．100° D．60°
14．如图，将△ABC沿AC所在的直线翻折得到△AB′C，再将△AB′C沿AB′所在的直线翻折得到△AB′C′，点B，B′，C′在同一条直线上，∠BAC=α，由此给出下列说法：①△ABC≌△AB′C′，②AC⊥BB′，③∠CB′B=2α．其中正确的说法是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
15．若折叠一条数轴，表示的点与表示3的点重合，则表示2020的点与表示________的点重合．
16．如图，和关于直线于称，并且，如果的长用m表示，则m的取值范围是______________．
17．图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在区域______．（填序号）
18．如图，点为内一点，分别作出点关于，的对称点，，连结交于，交于，若线段的长为，则的周长为______．
19．如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕．若BD为∠A′BE的平分线，则∠CBD＝________．
20．如图，中，，为的中点，将沿折叠至，边与相交于点若面积是面积的一半，则 ______ ．
21．如图，三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点C落在内，则__________度．
22．在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为再将，分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处．请完成下列探究：
（1）∵，∴与位置关系为_________；
（2）线段与的数量关系为__________．
23．如图，将沿边对折，使点C落在点D处，延长到E，使，连接交于F，连接，则下列结论中：①若的周长为12，，则四边形ABDE的周长为17；②；③；④，正确的有_____________．
三、解答题
24．如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．
(1)作关于直线MN对称的图形．
(2)若网格中最小正方形的边长为2，求的面积．
(3)点P在直线MN上，当周长最小时，P点在什么位罝，在图中标出P点．
25．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，于点E．
(1)请用尺规作图法，作BFAD于点F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：BF=CE．
26．如图，小丽将△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．
(1)如果AC＝6，BC＝8，试求△ACD的周长．
(2)如果，求∠B的度数．
27．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，D为BC边上一点，将△ABD沿AD折叠，点B落在AC边上的点E处．
(1)若∠C=30°，求证：△ADE≌△CDE；
(2)对于任意一个直角三角形，能否按照此种折叠方式将其分成三个全等的小三角形？请说明理由．
28．如图，线段关于某直线作轴对称变换，得到线段，其中点的对称点是点．
(1)请确定直线的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的情况下，点A位于的上方，点位于的右侧，且均为等边三角形．求证：可由关于直线作轴对称变换得到．
29．在△ABC中，点M，N分别在AB，AC边上．
(1)如图①，利用尺规作图，在BC边上找一点P，使得PM＝PN．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)如图②，请用画图的方式在BC边上找一点Q，使得的值最小．
30．同学们，我们已经学习了角的平分线的定义，请你用它解决下列问题：
(1)如图1，已知∠AOC，若将∠AOC沿着射线OC翻折，射线OA落在OB处，则射线OC一定平分∠AOB．理由如下：
因为∠BOC是由∠AOC翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，所以∠BOC=______，所以射线______是∠AOB的平分线；
(2)如图2，将长方形纸片的一角作折叠，使顶点A落在A′处，EF为折痕．
①若EA′恰好平分∠FEB，求出∠FEB的度数；
②过点E再将长方形的另一角∠B做折叠，使点B落在∠FEB的内部B′处（B′不在射线EA′上），EH为折痕，H为EH与射线BC的交点．请猜想∠A′EF，∠B′EH与∠A′EB′三者的数量关系，并说明理由．
试卷第1页，共3页
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