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2.1 一元二次方程教学设计
课题 2.1 一元二次方程 单元 1 学科 数学 年级 八
学习 目标 1．理解一元二次方程的概念． 2．掌握一元二次方程的一般形式
重点 一元二次方程的概念
难点 一元二次方程的一般形式。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 判断下列式子是否是一元一次方程： 学生思考回答 学生与老师共同回顾上节课所学内容，温故而知新。
讲授新课 1．把面积为4㎡的一张纸分割成如图所示的正方形和长方形两部分，求正方形的边长。 设未知数 设正方体的边长为x。 正方体的面积为______。 长方体的面积为__ ____。 分析等量关系 2．某放射性元素经过2天后。质量衰变为原来的 ，问平均每天的衰减率为多少？ 设平均每天的衰减率为x。 一天的衰减为__ ____。 两天的衰减为__ ____。 思考;这些方程是一元一次方程吗？如果不是，请说明理由。 这些方程不是一元一次方程，因为它们未知数的系数都为2。 想一想它们都有什么共同点： 整式方程 未知个数数1个 含有未知数项的次数2次 一元二次方程的定义： 含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都为2的方程。 一元二次方程的一般形式： ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0） a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项 为什么a≠0 b,c可以为零吗 例1 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 例2 已知一元二次方程的两个根为和求这个方程. 注意:要确定一元二次方程的系数和常数项 ,必须先将方程化为一般形式 在写一元二次方程的一般形式时,通常按未知数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写一次项,最后是常数项。 找学生代表回答问题 自主探究后小组讨论，并归纳一元二次方程的概念 观察 思考 由生活中的实例 引入新课的学习，引起学生的学习兴趣 采用学生先自主解答，然后小组交流，从而得出结果，通过自己解答，提高学生自主探索的能力 通过学生运用自主探究与小组合作交流相结合的方式探索发现结论，在与同伴交流中，达到学习经验共享，进而培养学生合作的意识，交流的能力。
课堂练习 1.下列方程中是一元二次方程的是( ) ① ②=7 ③6x2－x＝0；④2x2－5y＝0； ⑤－x2＝0；⑥x(x－1)＋(x＋1)2＝2(x－1)(x＋3)． A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．③④⑥ 2.把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，b，c的值分别是 ( ) A．1，－3，10 B．1，7，－10 C．1，－5，12 D．1，3，2 3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0, 当k 时，是一元二次方程． 当k 时，是一元一次方程． 4.已知方程5x +mx-6=0的一个根为4，则ｍ的值为_______． 5.公园里有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为( ) A．(x＋1)(x＋2)＝18 B．x2－3x＋16＝0 C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝0 6.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值. 7. （2020·广西中考真题）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A． x（x+1）＝110 B． x（x﹣1）＝110 C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110 学生自主解答，老师订正答案 课堂测试，检验学习结果
课堂小结 方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的方程，叫做一元二次方程． 2.一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0的形式，我们把ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式. 学生自由回答 梳理和巩固知识
板书 2.1 一元二次方程 1.一元二次方程定义： ①方程两边都是整式 ②只含有一个未知数 ③未知数的最高次数是2次 2.一元二次方程的形式：ax2+bx+c=0
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2.1 一元二次方程
浙教版 八年级下
复习导入
一元一次方程
未知量
未知量的最高次幂
未知量的最高次幂是1
【提示】
判断下列式子是否是一元一次方程：
×
√
一个未知量
新知讲解
列出下列问题中关于未知数x的方程：
(1)把面积为4m2的一张纸分割成如图的正方形和长方形两部分，求正方形的边长。设正方形的边长为x，可列出方程_______________.
3
x
x
x
新知讲解
如果设正方形的边长为x，
那么正方形的面积为______。长方形的面积为______。
x2
3x
相加
+
=
新知讲解
列出下列问题中关于未知数x的方程：
(2)某放射性元素经过2天质量衰变为原来的，问：平均每天的减少率为多少？
设平均每天的减少率为x，一天减少为______，两天减少为__________.
1-x
(1-x)2
=
等量关系
新知讲解
x2+3x=4
观察下面两个方程，思考回答下面问题。
(1)上面两个方程是一元一次方程吗？
(2)上面方程整理后含有几个未知数？
(3)它的最高次数是几次？
不是
含有一个未知数
最高次数是2次
新知讲解
想一想它们都有什么共同点：
整式方程
未知个数数1个
含有未知数项的次数2次
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
※一元二次方程的概念
归纳总结
做一做
判断下列方程是否为一元二次方程：
① 10x2=9 ( ) ②2(x-1)=3x ( )
③2x2-3x-1=0 ( ) ④ ( )
√
×
√
×
【点睛】判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.
新知讲解
【思考】下列两个方程还可以怎样表示呢？
x2+3x=4
x2+3x-4=0
上面两个方程有什么特点？
都是ax2+bx+c=0的形式
新知讲解
一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0的形式，我们把ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
其中ax2,bx,c分别称为二次项，一次项，常数项；
a,b分别称为二次项系数,一次项系数.
新知讲解
思考 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？
当 a = 0 时
bx＋c = 0
当 a ≠ 0 ， b = 0时 ，
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ， c = 0时 ，
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
典例精析
【例1】把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)9x2=5-4x； (2)(2-x)(3x+4)=3.
解：（1）移项，整理得9x2+4x-5=0
这个方程的二次项系数是9，一次项系数是4，常数项是-5。
（2）方程左边多项式相乘，得-3x2+2x+8=3，
移项，整理得-3x2+2x+5=0
这个方程的二次项系数是-3，一次项系数是2，常数项是5。
注意：
1.要先化成 ax +bx+c=0 的形式.
2.若方程中含有整式乘法，要先利用法则展开再进行等式变形.
3.在写一元二次方程一般式时，通常按未知数次数从高到低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常数项。写系数时，要带上前面的符号.
方法点拨
典例精析
【例2】已知一元二次方程 2x2+bx+c=0的两个根分别为x1= 和x2=-3，求这个方程.
解得
所以这个一元二次方程是2x2+x-15=0
解：将x1= 和x2=-3带入方程 2x2+bx+c=0得
2×()2+2.5b+c=0
2×(-3)2+(-3)b+c=0
b=1
c=-15
总结归纳
1.要先化成 ax +bx+c=0 的形式.
2.若方程中含有整式乘法，要先利用法则展开再进行等式变形。
3.在写一元二次方程一般式时，通常按未知数次数从高到低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常数项.写系数时，要带上前面的符号.
4、一般情况下，二次项系数应化为正数.
课堂练习
1.下列方程中是一元二次方程的是( )
① ②=7
③6x2－x＝0；④2x2－5y＝0；
⑤－x2＝0；⑥x(x－1)＋(x＋1)2＝2(x－1)(x＋3)．
A．①②③ B．②③④
C．①③⑤ D．③④⑥
C
课堂练习
2.把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，b，c的值分别是
( )
A．1，－3，10 B．1，7，－10
C．1，－5，12 D．1，3，2
A
课堂练习
4.已知方程5x +mx-6=0的一个根为4，则ｍ的值为_______．
3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,
当k 时，是一元二次方程．
当k 时，是一元一次方程．
≠±1
＝－1
课堂练习
5.公园里有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为( )
A．(x＋1)(x＋2)＝18 B．x2－3x＋16＝0
C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝0
C
拓展提高
6.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0
9+4a=0
4a=-9
中考链接
7. （2020·广西中考真题）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A． x（x+1）＝110 B． x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
D
课堂总结
这节课你学到了什么？
1.方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的方程，叫做一元二次方程．
2.一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0的形式，我们把ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
板书设计
1.一元二次方程定义：
①方程两边都是整式
②只含有一个未知数
③未知数的最高次数是2次
2.一元二次方程的形式：ax2+bx+c=0
2.1 一元二次方程
作业布置
课本 P28 练习题
谢谢
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