浙教版八年级数学下册2.1 一元二次方程 教学设计

一元二次方程
一、教学目标
（一）知识与技能目标：
．理解一元二次方程的概念；
．了解一元二次方程的一般形式，会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项；
．理解一元二次方程根的概念.
（二）过程与方法目标：
．经历由已知知识，发展推广到新知识的过程；
．从实际问题中抽象出数学问题并进行探索归纳过程；
．体会类比、分类、化归等数学思维方法.
（三）情感、态度价值观目标：
．从实际问题引入新课，培养学生学习数学的兴趣；
．通过辨别几个式子是不是一元二次方程，培养学生辩证思维的能力；
．从已知一个根求方程的一个系数到已知两个根求方程的两个系数最后到三个系数之间的变式问题，让学生感受数学的变化关系、体验成功的喜悦并且激发他们探究的热情.
二、教学的重点和难点
教学重点：理解一元二次方程的概念及它的一般形式；
教学难点：已知方程的根求一元二次方程系数的有关问题.
三、教学方法与手段：类比探索、合作归纳
四、教学过程
（一）问题情境
引言：通过以前的学习我们知道很多的实际问题都可以借助方程加以解决.让我们一起来看看下面几个实际问题.
问题1: 面积为平方米的一张纸分割成如右图的正方形和长方形两部分，求正方形的边长.设正方形的边长为米，可列出方程: _________.
问题2: 有一个两位数，十位数字比个位数字小3 ，个位数字的平方与这个数相等，求这个数.设个位数字是,可列出方程: _________.
问题3: 初二年级家委会召开前，家长们两两握手，共握手28次.假设有个家长，可列出方程: _________
（设计说明：上述三个问题均是从学生的生活中或数学系统中的情境入手，而且是兼顾了几何与代数两方面的实例. 可以让学生初步体会一元二次方程在几何、代数方面的运用.对于问题1、2，学生一般都能够通过自主的探究，快速并准确地列出方程.对于问题3若学生有困难教师可适当引导）
（二）归纳概念、理解概念
（1）归纳一元二次方程的概念
让学生观察上述三个问题的三个方程，提出两个问题：1.是不是我们所学过的一元一次方程，二元一次方程呢？2.观察所列方程有什么相同的特点？接着师生共同归 纳得出一元二次方程的概念.得出4个关键词“一元”，“二次”,“整式”,“方程”.
（设计说明：先引导学生回顾已学的方程发现不是所学过的方程，接着引导他们归纳整理一元二次方程的概念）
（2）辨析一元二次方程的概念
判断下列式子是否为一元二次方程. 若不是一元二次方程，写出理由（不符合哪个关键词）.
式子 填“是”或“不是” 不符合哪个关键词
是
不是 二次
（设计说明：得出概念后我们需要深入理解概念，这里设置的正反辨析问题能让学生更加深入理解一元二次方程的概念.并且所设置的问题密切联系了学生已经学过的知识，比如分式。与此同时，逐步引领学生从一元二次方程的“文字语言”定义向更严谨的“符号语言”（ ”）定义过渡）
（3）归纳一元二次方程的一般形式
先让学生任意写几个一元二次方程,发现一元二次方程是写不完的，也就是说一元二次方程是有无限多个的，那么这些无限个一元二次方程可否用一种统一的形式或式子把它们表示出来呢？接着让学生归纳总结得到：一般地,任何一个关于 的一元二次方程都可以化为 的形式,我们把称为一元二次方程的一般形式.紧接着让学生思考： 关于的方程 是否是一元二次方程呢？
（设计说明：通过写一写方程让学生感知，接着引领学生归纳出一元二次方程的 “符号语言”（ ”）就会很自然，学生易于接受.紧接着提出上述思考题可以让学生对二次项系数不为零的条件加深印象）
（4）典型例题，理解一般形式
例1 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项.
（设计说明：此处笔者以幕课的形式让学生认真看笔者录的视频，自学把方程化为一般形式的方法，接着让学生做相应的巩固练习如下）
完成表格
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
（5）理解一元二次方程根的含义
第一步：先通过方程猜想其中一个根是，接着启发并引导学生类比一元一次方程根的定义给出一元二次方程根的定义: 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根).
第二步：理解根的本质意义，设置如下例题和练习
例2 判断下列括号内的未知数的值是不是方程的根.
练习 判断下列括号内的未知数的值是不是方程的根.
（设计说明：通过具体的方程的这个例子让学生掌握如何判断一个未知数的值是否为方程的解的方法，例题详细讲解之后让学生再做一个相应的练习进一步巩固上述方法很有必要。）
（三）应用概念，变式提升
例3已知关于的一元二次方程的一个根是,求的值.由此引出接下来的几个变式练习：
变式1（即教材中例2）：已知一元二次方程的两个根为 .求这个方程.
变式2 : 若关于的一元二次方程的一个根是 ,你能得出 三者之间的关系式吗？请说明理由.反过来,若满足此关系式,你能得出“有一个根是”的结论吗
变式3 : 若关于的一元二次方程,满足 ,你能观察出方程的其中一个根吗？请说明理由.
变式4: 若关于的一元二次方程,满足 , 你能观察出方程的其中一个根吗？请说明理由.
（设计说明：一方面，以“一元二次方程的解（或根）必满足方程，满足方程的未知数的值必是方程的根”这一“根的意义”为核心,分别从正向思维和逆向思维来帮助学生理解方程根的本质.先设置了一个起点低，更易入手的问题让学生初步体会方程根的意义.接着逐步引出变式1至变式4,从一个字母系数，最后到三个字母系数的值（或关系式）的问题，层层深入，逐步递进.在一系列的变式问题探究中，学生的思维得以顺利提升.另一方面，可以借助这几个变式让学生对一元二次方程的一般形式有更深刻的认识.以变式1为例，当学生看到条件“有一根为”时，必然会用代入法将其代入“”得到“”的关系式.也许很多学生都会省略代入的详细过程（笔者试上过，确实如此），但恰恰是这个看上去漫不经心的省略，却会让学生错过深刻认识一元二次方程一般形式的机会.事实上，我们可以将代入过程呈现给学生：“把代入,可得 ,化简后即为.”这个过程为何要呈现给学生呢？我们知道从“”可推得“”，反过来，也可从“”变形得到“”（这个式子就是一元二次方程的一般形式，其中）,如果我们如此引导，那么学生对于变式1中的第二个问题便会轻松求解，不然第二个问题对于八年级的学生来说是比较困难的.有了变式1中的方法引导，学生自然会将变式2、变式3中,关系式化为一元二次方程的一般形式（即和），这样便可观察得出方程的根.最后师生总结归纳出一元二次方程根的意义的符号语言，即“是方程的根”等价于“满足 .”）
（四）课堂小结、固化提升
引导学生从内容和方法上回顾本节课的内容，接着引导学生比较一元二次方程和一元一次方程的异同的，让学过的知识更加的系统.
（五）作业布置
必做：《课时集训》2.1一元二次方程
选做：构造一个关于的方程.要求同时满足（1）常数项为0 (2)有一个根为2
（设计说明：分层布置作业让不同层次的学生得到适合自身的发展，选做题紧扣本节内容的重点“根的意义”并且延续了上述变式问题，可以拓展学生的思维）
附上学生的学习单如下
学习单
1.判断下列式子是否为一元二次方程. 若不是一元二次方程，写出理由（不符合哪个关键词）.
式子 填“是”或“不是” 不符合哪个关键词
是
不是 二次
2.完成表格
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
3.判断下列括号内未知数的值是不是方程的根.