浙教版八年级数学下册 2.4 一元二次方程的根与系数的关系(选学) 教案

2.4一元二次方程根与系数的关系教学设计
【教学目标】
1.经历一元二次方程根与系数关系的发现过程，培养学生善于观察、思考、归纳、概括的能力；
2.理解一元二次方程根与系数关系及其证明过程，培养学生逻辑推理能力及严谨的学习态度；
3.会应用一元二次方程根与系数关系求含两根的代数式的值；构造满足某种条件的一元二次方程，培养学生的转化、类比等知识迁移能力。
【教学重点】一元二次方程根与系数关系及其应用
【教学难点】一元二次方程根与系数关系的证明及应用定理解决相关问题。
【教学过程】
一、自主探究 发现规律
1.知识回顾：若，则一元二次方程的两根为：
【设计意图】使学生通过复习旧知了解到一元二次方程的根与系数存在着必然的联系。
2.情景引入：已知长方形相邻的两边长是方程的两个根，求这个长方形的周长和面积。
【设计意图】由课本习题中的实际问题引入，学生根据已有知识解出方程的根得到长方形的长和宽，进而求出长方形的周长和面积，较为繁琐。本题实质上只要求出方程的两根之和与两根之积即可，由此提出问题：能不能不解方程直接求出两根之和与两根之积呢？设置疑问，激发学生学习兴趣和探究热情。
3.规律探究：解下列表格中的方程，并计算这些方程的两根之和与两根之积，你能发现它们与方程的系数之间的关系吗？（小组合作交流）
一元二次方程 结论
这个结论是否对所有有根的一元二次方程都成立呢？
猜想：
【设计意图】让学生通过计算、对比、归纳，感性地得出一元二次方程的根与系数关系的一般规律，培养学生发现问题，探求规律的良好学习习惯。
二、合作求证 理解定理
1.验证定理：根据上面探究得出的规律，我们猜想：设和是方程的两个根，则 ， 。
能不能运用我们以前学过的知识证明一下？（学生合作交流后得出定理）
【设计意图】让学生发现问题、探求规律，再从理论角度加以验证，经历从特殊到一般（观察、分析--归纳、猜想--验证）的科学探究过程，培养学生严谨科学的求学态度。
2.理解定理：不解方程，你能否口答出下列方程的两根之和与两根之积？
（1）
（2）
（3）
（4）
【设计意图】通过本环节使学生熟悉并理解一元二次方程的根与系数关系，并在应用定理时注意以下几个事项：（1）方程是一元二次方程，即：（2）方程要有实根，即：；（3）一元二次方程应化为一般形式，（4）特别当二次项系数为1时，，。
三、应用新知 拓展提高
应用一：求含方程两根的代数式的值
1.设，是一元二次方程的两个根，求下列各代数式的值。
（1） （2）
（3）试一试：根据（1）、（2）代数式的特点写出1个含方程两根的代数式并求值。
【设计意图】通过求关于一元二次方程的两根，的代数式的值，让学生进一步熟悉根与系数关系，让学生通过观察找出代数式与、之间的联系，运用整体代换的数学思想简化运算。
应用二：构造根要满足某种条件的一元二次方程
3.已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两根分别是，1.写出这个方程。
变式：已知两数之和为8，积为-9，求这两个数。
【设计意图】利用待定系数法确定满足某种条件的方程，学生在求解过程中可能出现不同解法，使学生体会到应用根与系数构造方程解题的灵活性和简便性。特别地，当二次项系数不确定时，可根据、的值构造一元二次方程：解决问题。
四、查漏补缺 总结提升
引导学生谈谈本节课的收获：
【知识】一元二次方程根与系数的关系及应用
【方法】（1）从特殊到一般的科学探究方法；
待定系数法
【数学思想】转化思想、整体思想、简化思想
【设计意图】通过对本节课的内容的整理与分享，提升学生总结归纳能力，形成知识体系，养成良好的学习习惯。
拓展提升：已知是方程的两个实数根，且一个根大于2，另一个根小于2，求的取值范围。
【设计意图】本题需要灵活应用根与系数的关系，具有较强的综合性。关键是引导学生把条件转化为：，然后利用根与系数关系很容易求解，使学生了解一元二次方程根与系数关系是解决一元二次方程根的问题的重要工具，同时还要注意。
五、课后作业：《全品作业本》 必做题:A组、B组
选做题：C组
【设计意图】设计不同层次的作业，关注每一个学生的发展要求。必做题：使学生在作业中发现问题，及时查漏补缺；选做题：拓展提高，使不同层次的学生都有不同的发展。