浙教版八年级数学下册《4.6 反证法》教学设计

4.6 反证法
教学目标
结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；
设计有代表性有梯度的例题，让学生经历用反证法解决问题的基本步骤，体会反证法是解决数学问题的一种重要的证明方法；
会用反证法证明数学中的一些简单命题；
了解定理“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”．
让学生感悟数学与日常生活的联系，激发学生学习数学的兴趣．
学情分析
本节的内容设计在八年级下《平行四边形》的最后一节，在这个章节之前，几何部分学生已经学习了图形的初步知识、平行线、三角形、特殊三角形及平行四边形，代数部分学生已经学习了数与式、方程、不等式、数据分析及一次函数，从知识储备的角度来看，学生已经具备了初中阶段大部分的数学知识，从学生的生理发展角度来看，初二的学生已经具备了一定的逻辑推理能力及创造思维能力，对于实际问题的背景也有一些实际生活体会．
重点难点
重点 反证法的意义和步骤
难点 证明三线平行定理教学过程
复习旧识，引出新知
辩一辩
小珍：三角形的三个内角至少有一个不小于60°；
小凡：三角形每一个内角都小于60°．
师：判断小珍和小凡两个人的说法是否正确？ 并说明理由 ．
生：小珍的说法是对的，小凡的说法是错的，因为如果小凡的说法正确，那么三角形三个内角的和就会小于180°，这与“三角形内角和等于180°”矛盾，所以小凡的说法错误，而小珍和小凡的两种说法正好是相反的，所以小珍的说法正确。
设计意图：借用学生熟悉的三角形内角问题，设置两个完全相反的结论，让学生做出判断．①让学生初步感觉到结论的正反两种不同形式，为反证法的引入做铺垫 ；②在验证小凡的说法是错误的过程中，让学生自主体会从结论出发，经过推理，导致矛盾的过程，为后续反证法的证明步骤打下基础．
证一证
求证：三角形的三个内角至少有一个不小于60°．
师：同学们能想到怎么证明这个命题了吗？请简单陈述一下．
生：先证明这个命题的反面是错误的，就可以得到这个命题是正确的了．
师：这个命题的反面是什么？
生：三角形每一个内角都小于60°．
师：所以我们要先提出假设，假设“三角形每一个内角都小于60°”，从而得到三角形三个内角和小于180°，这与“三角形内角和为180°”产生矛盾，所以我们的假设不成立，即原命题正确“三角形的三个内角至少有一个不小于60°” ．
定义：在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.
设计意图：从辩一辩中两个相反的结论到证一证，过度自然，直接引出反证法的定义及证明过程．
例题演练
试一试
①.写出下列各结论的反面：
（1）a=b
（2）a//b
（3）x是负数
（4）a>b
( 5 ) ∠A是锐角
（6）至少有一个
设计意图：用反证法证明的第一步就是反设，先让学生感受一些简单的、基础的练习，入手快，从而调动学生的积极性．
②用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，应如何假设？
③用反证法证明命题“在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B一定是锐角”时，应如何假设？
设计意图：反设的正确与否，直接影响反证法的后续步骤，因此，要让学生先弄清楚所证命题的条件部分和结论部分各是什么，再找出结论的相反情况，要求做到不重不漏．
④常见关键词的否定形式．
原词语 否定词 原词语 否定词
等于 有理数
是 至少有一个
存在 至多有一个
大于 至少有n个
小于 至多有n个
设计意图：因为反设是反证法的基础，所以反设要十分准确，学生必须要掌握一些常见关键词的否定形式 ，值得注意的是，有些结论的反面是多种情况或比较隐晦时，就不太容易做出反设，所以这个环节的设计非常有必要．对部分学生来说，“至少”、“至多”的否定形式是难点，针对这个情况，我设计用一元一次不等式来攻破这一难点，解决学生的困惑．
思考提升
练一练
①已知：如图，四边形ABCD.
求证：四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角．
设计意图：本题是以四边形为背景设计的，是本堂课引入部分三角形内角和的一个延续，所以对学生来说，入手不难．在上面反设练习的基础上，学生很容易提出假设，继而从假设出发，进行推理，导出矛盾，推得结论．基于这是本堂课的第一个例题，在学生思考并在学案中完成证明的基础上，老师会写出详细的板书，以便于规范学生用反证法完成证明的书写格式，强化用反证法证明命题的基本步骤．
方法迁移：
在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
②已知：如图有a、b、c三条直线，且a//b，a//c，求证：b//c
设计意图：本题以平行线知识为背景，证明平行线的传递性，让学生知道这样的问题是不能直接证明的，这就要运用反证法来证明了．通过这个例题，让学生更深刻的感受到有些数学问题从正面入手较繁较难，或出现逻辑上的困境，这时就要运用逆向思维，克服思维定势，用反证法解决问题，同时巩固用反证法证明命题的基本步骤．
挑战自我：
③求证：点A（m-1,m-3）不可能是第二象限内的点．
学生独立思考并在学案中完成证明，叫一个学生上台结合投影完成解说．
设计意图：本题以平面直角坐标系为背景，考察了坐标平面内对应象限上的点的坐标特点．与以上两个例题不同，这是一个代数题，难度不大，按照反证法的解题步骤，学生可以独立完成，让学生感受到反证法不仅能解决几何问题，代数问题同样可以，进一步说明反证法是解决数学问题的一种重要方法．
总结回顾
反证法是一种简明实用的数学解题方法，也是一种重要的数学思想。学会运用反证法，可以让我们提高数学逻辑推理能力、思维能力、辨别能力以及养成严谨治学的习惯，只有了解这些知识，在此基础上再不断加强训练才能熟练运用．
①用反证法证明的基本步骤：假设、归谬、结论．三者之间相辅相成，不可分割，“假设”是基础，“归谬”是关键，“结论”是目的；
②什么情况下使用反证法：⑴结论为否定形式的命题；⑵结论为以“至少”、“至多”、“全部”、“无一”等形式出现的命题；⑶关于存在性的命题等（课堂时间有限，无法让学生感受到其他形式的命题，所以课堂小结时不一一列举）；
③简单介绍反证法的历史起源及重要性．
教学反思
准确定位教学目标．在设计教学目标时，从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面进行了详细准确的定位，课堂上，在实现教学目标的同时提升学生的数学素养，促进学生思维能力、实践能力和逻辑推理能力的发展，践行核心素养统领下的数学教学．
注重创设情境．教材是以“路边苦李”这个故事为情境引入课题的，我认为“路边苦李”的故事有悖于现在的人文教育，所以本节课我以三角形内角为背景，通过辩一辩引入课题，从学生已学的知识出发，引发学生学习的兴趣，激发了学生的求知欲，顺利引入新课．
突出学生的主体地位．把课堂学习的主动权交给学生，让学生学会参与、学会发现、学会应用．本节课始终围绕情境—问题—解决的思路，步步深入的经历了问题解决的过程．课堂气氛和谐、生动、自然，既有学生的独立思考，更有师生间的相互交流和讨论．
融入数学文化．数学课堂不仅仅是传授数学知识，更应该传授数学精神，让学生了解数学的起源、发生和发展，让数学文化的魅力渗入课堂、溶入教学，数学就会更加平易近人，数学教学就会通过文化层面让学生进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学。