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2022-2023八年级数学上册夯基课课练
2.2 等腰三角形
一、单选题
1．等腰三角形的周长是13，其中一边长为3，则该三角形的底为（ ）
A．3或5 B．5 C．3或7 D．3
2．若等腰三角形的顶角为80 ，则它的底角度数为（ ）
A．20° B．50° C．80° D．100°
3．若等腰三角形的两条边的长分别为3cm和7cm，则它的周长是（ ）
A．10cm B．13cm C．17cm D．13cm或17cm
4．已知△ABC≌△A′B′C′，等腰△ABC的周长为18cm，BC＝8cm，那么△A′B′C′中一定有一条底边的长等于（ ）
A．5cm B．2cm或5cm C．8cm D．2cm或8cm
5．等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．如图，直线，等腰的直角顶点C在直线l上，另一个顶点B在直线m上，若，则∠2＝（ ）
A．62° B．72° C．73° D．75°
7．已知实数x，y满足|x 5|+=0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．21或27 B．21 C．27 D．以上答案均不对
8．一个等腰三角形的周长为13cm，一边长为5cm，则另两边长分别为（ ）
A．3cm，5cm B．4cm，4cm
C．3cm，5cm或4cm，4cm D．以上都不对
9．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( )
A．40° B．100° C．或 D．40°或100°
10．若二元一次方程组的解x，y的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为（ ）
A．4 B．1.5或2 C．2 D．4或2
11．我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公成法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做分组分解法．例如：，根据上述方法，解决问题：已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题
12．等腰三角形的一个外角为130°，则顶角的度数是______．
13．已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是____．
14．如图，AB=AC=CD，CD⊥AB于E，BD⊥BC于B，BC=4，则△BCD的面积是___________．
15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形底角是_________．
16．在等腰三角形中，已知顶角与底角的度数比为1∶2，则顶角的度数是________．
17．定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”，若一个等腰三角形恰好是“倍角三角形”，则它的顶角度数为______．
18．如图，是的中线，，把沿对折，使点C落在点的位置，则图中的的形状是___________
19．如图，在中，，，，直线将分割成2个三角形，其中至少一个是等腰三角形，这样的直线共有______条．
20．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的顶角度数为_____；已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的底边BC的长为_____．
三、解答题
21．如图：与交于点E．求证：是等腰三角形．
22．若是△ABC的两边且
(1)试求的值，并求第三边的取值范围．
(2)若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．
23．已知a，b，c为△ABC的三条边的长．
(1)证明：a2－2ac＋c2－b2；
(2)当a，b，c满足条件时，请判断△ABC的形状，并说明理由．
24．在△ABC中，∠B＝25°，∠A＝100°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC成为等腰三角形时，其顶角的度数是多少度呢？请画出图形，在相应图形下方直接写出答案．
25．将一根长为的铁丝，剪掉一部分后，剩下部分围成一个等腰三角形（接头部分忽略不计），这个等腰三角形的底为，腰为．
(1)求剪掉部分的铁丝长度．
(2)若围成的等腰三角形的周长为，求铁丝的长度．
试卷第1页，共3页
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2022-2023八年级数学上册夯基课课练
2.2 等腰三角形
一、单选题
1．等腰三角形的周长是13，其中一边长为3，则该三角形的底为（ ）
A．3或5 B．5 C．3或7 D．3
【答案】D
【分析】分别从腰长为3与底边长为3，去分析求解即可求得答案．
【详解】
解：若腰长为3，则底边长为：13 3 3＝7，
∵3＋3＜7，
∴不能组成三角形，舍去；
若底边长为3，则腰长为：（13 3）÷2＝5；
∵3+5＞5
∴该等腰三角形的底边长为3．
故选：D．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．注意分别从腰长为3与底边长为3去分析求解是关键．
2．若等腰三角形的顶角为80 ，则它的底角度数为（ ）
A．20° B．50° C．80° D．100°
【答案】B
【分析】根据等腰三角形两底角相等即可得解．
【详解】
解：∵等腰三角形的顶角为80°，
∴它的底角度数为×（180°-80°）=50°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，关键是根据等腰三角形的性质解答．
3．若等腰三角形的两条边的长分别为3cm和7cm，则它的周长是（ ）
A．10cm B．13cm C．17cm D．13cm或17cm
【答案】C
【分析】分两种情况讨论：当腰是3cm，底边是7cm时；当底边是3cm，腰长是7cm时，即可求解．
【详解】
解：①当腰是3cm，底边是7cm时：
3+3<7，，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3cm，腰长是7cm时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17（cm）．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的定义，熟练掌握有两边相等的三角形是等腰三角形是解题的关键．
4．已知△ABC≌△A′B′C′，等腰△ABC的周长为18cm，BC＝8cm，那么△A′B′C′中一定有一条底边的长等于（ ）
A．5cm B．2cm或5cm C．8cm D．2cm或8cm
【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，分为两种情况进行讨论，求解即可．
【详解】
解：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，
分为两种情况：
①当BC是底边时，腰AB＝AC，A′B′＝A′C′，
∵△ABC≌△A′B′C′，
∴AB＝AC＝A′B′＝A′C′，
∵等腰△ABC的周长为18cm，BC＝8cm，
∴△A′B′C′中一定有一条底边B′C′的长是8cm，
②BC是腰时，腰是8cm，
∵等腰△ABC的周长为18cm，
∴△A′B′C′中一定有一条底边的长是18cm﹣8cm﹣8cm＝2cm，
即底边长是8cm或2cm，
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是要进行分类讨论．
5．等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】这个底角的度数为x，则顶角的度数为（2x+20°），根据三角形的内角和等于180°，即可求解．
【详解】
解：设这个底角的度数为x，则顶角的度数为（2x+20°），根据题意得：
，
解得：，
即这个底角的度数为40°．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解题的关键．
6．如图，直线，等腰的直角顶点C在直线l上，另一个顶点B在直线m上，若，则∠2＝（ ）
A．62° B．72° C．73° D．75°
【答案】C
【分析】利用等腰直角三角形的性质和“两直线平行，内错角相等”即可求解．
【详解】
解：因为△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴∠DBC=∠1+∠ABC=28°+45°=73°
∵l∥m，
∴∠DBC=∠2=73°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，解题关键是牢记概念．
7．已知实数x，y满足|x 5|+=0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．21或27 B．21 C．27 D．以上答案均不对
【答案】C
【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分x的值是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】
解：根据题意得，x-5=0，y-11=0，
解得x=5，y=11，
①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、11，不能组成三角形；
②5是底边时，三角形的三边分别为5、11、11，
能组成三角形，5+11+11=27；
所以，三角形的周长为：27；
故选；C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
8．一个等腰三角形的周长为13cm，一边长为5cm，则另两边长分别为（ ）
A．3cm，5cm B．4cm，4cm
C．3cm，5cm或4cm，4cm D．以上都不对
【答案】C
【分析】分5cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．
【详解】
解：当长是5cm的边是底边时，腰为cm，三边为4cm，4cm，5cm，等腰三角形成立；
当长是5cm的边是腰时，底边长是：13-5-5=3cm，三边为5cm，5cm，3cm，等腰三角形成立．
故另两边的长是：3cm，5cm或4cm，4cm．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键．
9．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( )
A．40° B．100° C．或 D．40°或100°
【答案】D
【分析】分顶角为40°和底角为40°，根据三角形内角和定理计算求值即可；
【详解】
解：当顶角为40°时，这个等腰三角形顶角为40°，
当底角为40°时，这个等腰三角形顶角为180°-40°-40°=100°，
∴这个等腰三角形顶角为40°或100°，
故选： D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理；分类讨论是解题关键．
10．若二元一次方程组的解x，y的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为（ ）
A．4 B．1.5或2 C．2 D．4或2
【答案】C
【分析】解二元一次方程组，分三种情况考虑，根据周长为7得关于m的方程求得m，并结合构成三角形的条件判断即可．
【详解】
①-②得：y=3-m
把y=3-m代入②，得x=3m-3
故方程组的解为
①若x为腰，y为底，则2x+y=7，
即2(3m-3)+3-m=7，解得：m=2，
此时x=3，y=1，满足构成三角形的条件
②若y为腰，x为底，则2y+x=7，
即2(3-m)+3m-3=7，解得：m=4，
此时x=9，y=-1，不合题意；
③若x=y，即3m-3=3-m，
解得：，此时腰为，底为，
但+<4，不符合构成三角形的条件，
故不合题意，
所以满足条件的m为2．
故选C．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次方程的解法，三条线段构成三角形的条件，涉及分类讨论思想，方程思想，要注意的是，求出m的值后，要验证是否符合构成三角形的条件．
11．我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公成法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做分组分解法．例如：，根据上述方法，解决问题：已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据材料方法进行分组分解，最后根据多个因数之积为0，得出边长关系即可．
【详解】
解：由题意：
∵，
∴，
∵a、b、c是△ABC的三边，
∴，
∴，即：，
∴△ABC的形状是等腰三角形，
故选：A．
【点睛】
本题考查因式分解的实际应用，掌握材料介绍的因式分解方法，并且理解多个因数乘积为0时的情况是解题关键．
二、填空题
12．等腰三角形的一个外角为130°，则顶角的度数是______．
【答案】50°或80°
【分析】等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
【详解】
解：∵等腰三角形一个外角等于130°，
∴等腰三角形的一个内角为：180° 130°＝50°，
当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，
当50°为底角时，其他两角为50°、80°，
所以等腰三角形的顶角为50°或80°．
故答案为：50°或80°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题时，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
13．已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是____．
【答案】40°或100°
【分析】分∠A为三角形顶角或底角两种情况讨论，即可求解．
【详解】
解：当∠A为三角形顶角时，则△ABC的顶角度数是40°；
当∠A为三角形底角时，则△ABC的顶角度数是180°-40°-40°=100°；
故答案为：40°或100°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论．
14．如图，AB=AC=CD，CD⊥AB于E，BD⊥BC于B，BC=4，则△BCD的面积是___________．
【答案】4
【分析】过A作AF⊥BC于F，证明即可得到最后根据面积公式计算即可．
【详解】
过A作AF⊥BC于F
∵AB=AC，BC=4，
∴
∵BD⊥BC, CD⊥AB
∴
在和中
∴(AAS)
∴
∴
故答案为：4．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据等腰三角形三线合一作垂线．
15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形底角是_________．
【答案】或
【分析】分高线在等腰三角形内部和外部两种情况求解．
【详解】
当高线在三角形内部时，
根据题意，∠ABD=20°，则∠BAD=70°，
故底角为；
当高线在三角形外部时，
根据题意，∠ACD=20°，则∠CAD=70°，
故底角为；
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和分类思想，熟练掌握分类的标准是解题的关键．
16．在等腰三角形中，已知顶角与底角的度数比为1∶2，则顶角的度数是________．
【答案】36
【分析】设等腰三角形的各角为，根据三角形的内角和定理列出方程，求出顶角的度数；
【详解】
解：设顶角为，则，
解得，
即顶角的度数为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，根据内角和定理列出方程是解题关键．
17．定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”，若一个等腰三角形恰好是“倍角三角形”，则它的顶角度数为______．
【答案】36°或90°
【分析】设三角形两个相等角的度数是x，则顶角为2x或x，根据三角形内角和定理构建方程即可；
【详解】
设三角形两个相等角的度数是x，则顶角为2x或x，
∵x+x+2x=180°或2x+x=180°
解得x=45°或72°
∴2x=90°，x=36°，
故它的顶角的度数是90°或36°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，掌握三角形的内角和180°是解决问题的关键，需要注意分类讨论．
18．如图，是的中线，，把沿对折，使点C落在点的位置，则图中的的形状是___________
【答案】等腰直角三角形
【分析】由折叠性质证明，，再由AD是BC的中线证得CD=BD，则，可得为等腰直角三角形．
【详解】
解：由折叠性质得：，，
∴，
∵AD是BC的中线，
∴BD=CD，
∴，
∴为等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形．
【点睛】
本题考查折叠性质、等腰直角三角形判定与性质、三角形的中线性质，熟练掌握各知识的灵活运用是解答的关键．
19．如图，在中，，，，直线将分割成2个三角形，其中至少一个是等腰三角形，这样的直线共有______条．
【答案】5
【分析】首先根据等腰三角形的性质分别利用AC、BC为腰以及AB为底得出符合题意的图形即可．
【详解】
如图所示，
当，，，，，都能得到符合题意的等腰三角形，
∴符合条件的直线有直线AF、直线AD、直线BE、直线AG、直线AM，一共有5条．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论是解题关键．
20．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的顶角度数为_____；已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的底边BC的长为_____．
【答案】 40°或140° 11cm或7cm
【分析】（1）分两种情况讨论：当等腰三角形为锐角三角形时；当等腰三角形为钝角三角形时；先求出顶角∠BAC，即可求出底角的度数．
（2）分两种情况讨论：当AB+AD＝12，BC+DC＝15或AB+AD＝15，BC+DC＝12，所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得，三边长为8，8，11或10，10，7．所以BC的长为7cm或11cm．
【详解】
（1）当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，
∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，
∴∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴三角形的顶角为40°；
当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，
∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，
∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝140°
∴三角形的顶角为140°；
综上，三角形的顶角为40°或140°；
（2）如图3，
设AD＝xcm，则当2x+x＝12时，x＝4，即AB＝AC＝8cm，
∵周长是12+15＝27cm，
∴BC＝11cm；
当2x+x＝15时，x＝5，即AB＝AC＝10cm，
∵周长是12+15＝27cm，
∴BC＝7cm，
综上可知，底边BC的长为7cm或11cm．
故答案为40°或140°；7cm或11cm．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．
三、解答题
21．如图：与交于点E．求证：是等腰三角形．
【答案】证明见详解．
【分析】根据“角角边”判定，由全等三角形的性质可得EA=EB，判定即可．
【详解】
证明：
∵在和中，
，
∴，
∴EA=EB，
∴是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的判定，证明是解题的关键．
22．若是△ABC的两边且
(1)试求的值，并求第三边的取值范围．
(2)若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．
【答案】(1) (2)10或11
【分析】（1）利用非负数的性质可求得a、b的值，根据三角形三边关系可求得c的范围；
（2）分腰长为3或4两种情况进行计算.
【详解】
(1)
解：∵，
， ，
，
；
(2)
解：当腰长为3时，
此时三角形的三边为3、3、4，满足三角形三边关系，周长为：3+3+4=10；
当腰长为4时，
此时三角形的三边长为4、4、3，满足三角形三边关系，周长为：4+4+3=11；
综上可知等腰三角形的周长为10或11；
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的定义，三角形三边的关系，非负数的性质，分类讨论是解题的关键．
23．已知a，b，c为△ABC的三条边的长．
(1)证明：a2－2ac＋c2－b2；
(2)当a，b，c满足条件时，请判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明见详解； (2)等腰三角形
【分析】（1）利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，得到，根据三角形三边关系确定其正负；
（2）利用分组分解的方法将式子进行因式分解，得到，即可求解．
【详解】
(1)
，
∵a，b，c为△ABC的三条边的长，
∴，，
∴；
(2)
∵，
∴，
∴，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】
本题考查因式分解的实际应用、三角形三边关系、等腰三角形的判定等内容，掌握分组分解的方法是解题的关键．
24．在△ABC中，∠B＝25°，∠A＝100°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC成为等腰三角形时，其顶角的度数是多少度呢？请画出图形，在相应图形下方直接写出答案．
【答案】图见详解，100°或70°或55°
【分析】作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解．
【详解】
解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°，
②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°，
∴∠ACB=180°-25°-100°=55°，
如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠ACB=55°，
如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°，
综上所述，顶角为100°或55°或70°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观．
25．将一根长为的铁丝，剪掉一部分后，剩下部分围成一个等腰三角形（接头部分忽略不计），这个等腰三角形的底为，腰为．
(1)求剪掉部分的铁丝长度．
(2)若围成的等腰三角形的周长为，求铁丝的长度．
【答案】(1)剪掉部分的铁丝长度为
(2)铁丝的长度为
【分析】（1）根据题意列出代数式，再进行整式的加减运算即可得解；
（2）根据（1）的结果，代入周长即可求解．
【详解】
(1)
等腰三角形的周长为：
．
故剪掉部分的铁丝长度为．
(2)
根据（1）中的结论等腰三角形的周长为：，
则，
∴，
故铁丝的长度为．
【点睛】
本题考查了整式的加减，解题的关键是根据题意列出代数式．
试卷第1页，共3页
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