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2022-2023八年级数学上册夯基课课练
2.3 等腰三角形的性质定理
一、单选题
1．以下判断中错误的是（ ）
A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线
B．有一内角为的等腰三角形是等边三角形
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合
【答案】C
【分析】根据等边三角形、等腰三角形的性质，对各选项进行判断即可．
【详解】
解：A中等边三角形的每条高线都是角平分线和中线，正确，故不符合题意；
B中有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形，正确，故不符合题意；
C中等腰三角形不一定是锐角三角形，错误，故符合题意；
D中等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合，正确，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质．解题的关键在于熟练掌握等边三角形和等腰三角形的性质．
2．下列直线不是等边三角形的对称轴的是（ ）
A．三条中位线所在的直线 B．三条高所在的直线
C．三条中线所在的直线 D．三条角平分线所在的直线
【答案】A
【分析】根据对称轴的定义和等边三角形的性质依此作答即可．
【详解】
A.三条中位线所在的直线，不是等边三角形的对称轴，故A错误，符合题意；
B.三条高所在的直线，是等边三角形的对称轴，故B正确，不符合题意；
C.三条中线所在的直线，是等边三角形的对称轴，故C正确，不符合题意；
D.三条角平分线所在的直线，是等边三角形的对称轴，故D正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了对称轴的定义和等边三角形的性质，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．
3．顶角为60°的等腰三角形的两底角平分线所夹的锐角的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【答案】C
【分析】根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和定理解答．
【详解】
解：如图，
等腰三角形ABC中，∠A=60°，
平分，平分
故选：C．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
4．如图，△ABC是等边三角形，，若，则∠2的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质和平行线的性质求解即可．
【详解】
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∵AD∥BE，
∴∠DAB+∠ABE=180°，又∠1=40°，
∴40°+60°+60°+∠2=180°，
∴∠2=20°，
故选D．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质和平行线的性质是解答的关键．
5．如图，点是的垂直平分线与边的交点，作于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据线段垂直平分线性质定理可得，其次根据等边对等角可得，再根据角的差可得。进而利用互余进行计算即可．
【详解】
∵点是的垂直平分线与边的交点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质与判定，根据角的差可得是解本题的关键．
6．如图，将一块等边三角板与直尺叠放在一起，且等边三角板的一个顶点在直尺的一边上，则当∠2＝81°时，∠1的度数为（ ）
A．40° B．39° C．41° D．60°
【答案】B
【分析】根据平行的性质、等边三角形的性质即可作答．
【详解】
为了便于描述，设置了∠3、∠4，如图，
根据等边三角形的性质可知，∠4=60°，
∵∠2=81°，
∴∠3=180°-∠2-∠4=180°-81°-60°=39°，
∵直尺的对边相互平行，
∴∠1=∠3=39°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、平行的性质，利用两直线平行同位角相等是解答本题的关键．
7．如图，在中，，，为边的中点，平分，交于点，交于点，则的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ACB=∠B=40°，，再由平分，可得∠DCF=20°，然后根据为边的中点，可得∠ADC=90°再利用三角形外角的性质，即可求解．
【详解】
解：∵，，
∴∠ACB=∠B=40°，
∵平分，
∴∠DCF=20°，
∵为边的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，
∴∠AFC=∠DCF+∠ADC=110°．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
8．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
【答案】C
【分析】根据DF=DE，CG=CD，可得∠E=∠EFD，∠GDC=∠DGC，∠GDC是△EFD的外角，∠ACB是△DGC的外角，根据外角的性质及等边三角形的每个内角都是60°，即可得到答案．
【详解】
解：∵DF=DE，CG=CD，
∴∠E=∠EFD，∠GDC=∠DGC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°
∵∠ACB=∠GDC+∠DGC=60°，
∴∠GDC=30°．
又∵∠GDC=∠E+∠EFD，
∴∠E=15°．
故选C
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及等边三角形的性质，灵活应用外角的性质是解题的关键．
9．如图，△ABC、△DEF和△GMN都是等边三角形，且点E、M在线段AC上，点G在线段EF上，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．90° B．120° C．150° D．180°
【答案】D
【分析】由等边三角形的性质和平角的定义以及三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】
解：∵△ABC、△DEF和△GMN都是等边三角形，
∴∠GMN＝∠MGN＝∠DEF＝60°，
∵∠1+∠GMN+∠GME＝180°，∠2+∠MGN+∠EGM＝180°，∠3+∠DEF+∠MEG＝180°，
∴∠1+∠GMN+∠GME+∠2+∠MGN+∠EGM+∠3+∠DEF+∠MEG＝3×180°，
∵∠GME+∠EGM+∠MEG＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝3×180°﹣180°﹣3×60°＝180°；
故选：D．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、三角形内角和定理、平角的定义；熟练掌握等边三角形的性质和三角形内角和定理是解决问题的关键．
10．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则的度数为（ ）
A．72 B．68 C．75 D．80
【答案】A
【分析】由作图法可得MN是AB的垂直平分线；利用等腰三角形等边对等角的性质，可得∠A=∠DBA=36°，进而求得∠BDC，最后由三角形内角和为180°便可解答．
【详解】
解：由作法得垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质，外角的性质，三角形的内角和定理；解题的关键是掌握等腰三角形的性质．
11．在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，E为AC的中点，P为AD上一动点，若AD=12，则PC+PE的最小值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】A
【分析】连接BP，先由等边三角形对称性知BP=CP，再根据两点之间线段最短知，当B、P、E共线时PC+PE取最小值，最后根据等边三角形性质求值即可．
【详解】
解：连接BP，如图所示，
∵AD是等边三角形ABC的高，
∴AD是三角形ABC的对称轴，
∴BP=PC，
即PC+PE=PB+PE，
∴当B、P、E共线时PC+PE取最小值，最小值为线段BE的长，
连接BE，
∵E是AC中点，
∴BE是等边三角形ABC的高，
∴BE=AD=12，
故选：A．
【点睛】
本题考查了最短路线问题及等边三角形的性质等知识点，熟知两点之间线段最短的知识是解题关键．
12．如图，已知是边长为4的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，动点、分别在边、上，且，则的周长是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】C
【分析】延长EB到G，使BG=FC，连接DG，通过△DCF≌△DBG得到DG=DF、∠FDC=∠GDB，再利用△EDG≌△EDF得到EF=EB+FC，求出结果．
【详解】
解：延长EB到G，使BG=FC，连接DG，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
又∵BD=CD，
∴∠DCB=∠DBC= ，
∴∠DCF=∠DBE=90°，
在直角△DCF和直角△DBG中，
，
∴△DCF≌△DBG，
∴DG=DF，∠FDC=∠GDB，
∴∠GDF=∠BDC=120°，
又∵∠EDF=60°，
∴∠EDG=60°，
在△EDG和△EDF中，
，
∴△EDG≌△EDF，
∴EF=EG=EB+GB=EB+FC，
∴△AEF的周长为：AE+AF+EF=AE+AF+BE+FC=AB+AC=8，
故选择C．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，解决问题的关键构造全等三角形．
13．如图．，点，，，，在射线上，点，，，在射线上．，，，均为等边三角形，若，则的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质和，可求得，进而证得是等腰三角形，可求得的长，再证得是等腰三角形，可得，同理得规律，即可求得结果．
【详解】
解：∵，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，则是等腰三角形，
∴，
∵，
∴=1，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形，可得=2，
同理得、，
根据以上规律可得：，即的边长为，
故选：B．
【点睛】
本题属于探索规律题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°、等角对等边和探索规律并归纳公式是解题的关键．
14．如图，在△AOB和△DOC中，，，，．连接AC、BD交于点M，连接OM．下列结论：①，②；③OM平分∠AOD；④MO平分∠BMC．其中正确的结论个数有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】证明△AOC≌△BOD，判断②正确；根据△AOC≌△BOD，推出∠OAC=∠OBD，根据三角形内角和判断①；根据全等的性质得到，推出OE=OF即可判断④；假设∠DOM=∠AOM，证明△COM≌△BOM，推出OA=OC，由与OA＜OC矛盾判断③．
【详解】
∵OA=OB，OC=OD，
∴∠OAB=∠OBA，∠OCD=∠ODC，
∵∠AOB＝∠COD＝108°，
∴∠OAB+∠OBA＝∠OCD+∠ODC=72°，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠OCD＝∠ODC＝36°，
∵∠AOB＝∠COD，∠BOD=∠AOB+∠AOD，∠AOC=∠AOD+∠COD，
即∠AOC=∠BOD，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC＝BD，∠OAC=∠OBD，故②正确；
∵∠OAB+∠OBA=36°，
∵∠OAB+∠OBA=∠OAB+∠OAC+∠ABD=∠MAB+∠ABM=∠AMD=36°×2=72°，
∴∠AMB=180°-∠AMD=180°-72°=108°，故①正确；
过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，即有∠OFM=∠OEM=90°，
∵△AOC≌△BOD，
∴AC＝BD，，
∴OE=OF，
∴Rt△OFM≌Rt△OEM，
∴∠FMO=∠EMO，
∴MO平分∠BMC，故④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM=∠AOM时，OM平分∠AOD，
假设∠DOM=∠AOM，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠COM=∠BOM，
∵MO平分∠AMD，∠AMB=∠DMC，
∴∠CMO=∠BMO，
∴△COM≌△BOM，
∴OB=OC，
∵OA=OB，
∴OA=OC，
与OA＜OC矛盾，
∴③错误；
故选：B．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理，假设法，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
二、填空题
15．如图，在中，D、E是BC的三等分点，是等边三角形，则______度．
【答案】120
【分析】由三等分点，可知，由是等边三角形，可知，，则，由等边对等角可得，，根据三角形外角的性质可求的值，在中，根据三角形内角和定理知，计算求解即可．
【详解】
解：∵D，E是BC的三等分点，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：120．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识．解题的关键在于明确角度的数量关系．
16．如图，CD是等边△ABC的中线，，垂足为点E．若DE的长度为3cm，则点D到BC的距离为_________cm．
【答案】3
【分析】过点D作DF⊥BC于F，因为CD是等边△ABC的中线，根据“三线合一”性质得CD平分∠ACB，再由DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得DF=DE，即可求解．
【详解】
解：如图，过点D作DF⊥BC于F，
∵CD是等边△ABC的中线，
∴CD平分∠ACB，
∵DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，
∴DF=DE=3cm，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握等边三角形“三线合一”与角平分线的性质是解题的关键．
17．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，且顶角，则的大小为_______．
【答案】30°（30度）
【分析】先由等边对等角得到，再根据三角形的内角和进行求解即可．
【详解】
，
，
，，
，
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
18．如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝50°，则∠DEF的度数是_____．
【答案】65°
【分析】首先证明△DBE≌△ECF，进而得到∠EFC＝∠DEB，再根据三角形内角和计算出∠CFE+∠FEC的度数，进而得到∠DEB+∠FEC的度数，然后可算出∠DEF的度数．
【详解】
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF（SAS），
∴∠EFC＝∠DEB，
∵∠A＝50°，
∴∠C＝（180°﹣50°）÷2＝65°，
∴∠CFE+∠FEC＝180°﹣65°＝115°，
∴∠DEB+∠FEC＝115°，
∴∠DEF＝180°﹣115°＝65°，
故答案为：65°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，以及三角形内角和的定理，关键是熟练掌握三角形内角和是180°．
19．如图，点为等边外一点，，，点，分别在和上，且，，，则的边长为______．
【答案】
【分析】先证明∠DBM=∠DCN=90°，如图，延长AC至H，使CH=BM，连接DH，再证明△DBM≌△DCH（SAS）， 证明△MDN≌△HDN（SAS），可得MN=HN=BM+CN，从而可得答案．
【详解】
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵∠BDC=120°，BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB=×（180°-120°）=30°，
∴∠DBM=∠DCN=90°，
如图，延长AC至H，使CH=BM，连接DH，
∴∠DCH=90°，
∴∠DBM=∠DCH，
在△DBM和△DCH中，，
∴△DBM≌△DCH（SAS），
∴DM=DH，∠BDM=∠CDH，
∵∠BDM+∠CDN=60°，
∴∠CDN+∠CDH=60°，
∴∠MDN=∠HDN，
在△MDN和△HDN中，，
∴△MDN≌△HDN（SAS），
∴MN=HN=BM+CN，
，，，
即等边三角形的边长为：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．
20．如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD=1，AC=3，△OCD周长的最小值是___________．
【答案】5
【分析】如图，连接BD，OB，由折叠的性质可得EF是BD的对称轴，可得OB=OD，当点B，点O，点C共线时，△OCD周长最小值=2+BC=5．
【详解】
解：如图，连接BD，OB，
∵将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，
∴EF是BD的对称轴，
∴OB=OD，
∵AD=1，AC=3，
∴CD=2，
∵△OCD周长=CD+OD+OC=2+BO+OC，
∴当点B、O、C共线时，△OCD周长最小值=2+BC=5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了翻折变换，考查了折叠的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
21．如图，已知，O是等边内任意一点． ， ，且，，则_______________．
【答案】
【分析】连接OA、OB、OC，利用等边三角形的性质得到三边相等，根据等面积法进行求解即可．
【详解】
连接OA、OB、OC
是等边三角形，
， ，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质及等面积法，熟练掌握知识点并准确添加辅助线是解题的关键．
22．如图，△ABC中，∠BAC＞∠B，∠C＝70°，将△ABC折叠，使得点B与点A重合，折痕PD分别交AB、BC于点D、P，当△APC中有两个角相等时，∠B的度数为______．
【答案】20°或27.5°或35°
【分析】分三种情况，利用三角形的内角和定理、等腰三角形的性质先求出∠APC的度数，再利用折叠的性质和三角形的内角和定理求出∠B．
【详解】
由折叠的性质知：∠BPD=∠APD=∠BPA，
∠BDP=∠ADP=90°．
①当AP=AC时，∠APC=∠C=70°，
∵∠BPD=（180°-∠APC）=55°，
∴∠B=90°-55°=35°；
②当AP=PC时，∠PAC=∠C=70°，
则∠APC=40°．
∵∠BPD=（180°-∠APC）=70°，
∴∠B=90°-70°=20°；
③当PC=AC时，∠APC=∠PAC，
则∠APC=55°．
∵∠BPD=（180°-∠APC）=62.5°，
∴∠B=90°-62.5°=27.5°．
故答案为20°或27.5°或35°．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握折叠、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及分类讨论的思想方法是解决本题的关键．
23．如图，点C为线段AE上一点，在AE同侧分别作正三角形ABC和CDE，AD分别与BC、BE交于点P、O，BE与CD交于点Q，以下结论：①；②AD＝BE；③∠AOB＝50°；④AP＝BQ．其中结论正确的有_______（把你认为正确的序号都填上）．
【答案】①②④
【分析】根据等边三角形的性质可得出AC=BC，CD=CE，．即可求出，从而即可证明，故可判断①；由三角形全等的性质可知AD＝BE，故可判断②；根据三角形全等的性质可证明，再根据三角形内角和定理，对顶角相等，即可求出，故可判断③；由三角形全等的性质可知．由，即可求出，从而可证明，得出AP＝BQ，故可判断④．
【详解】
∵和为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，，
∴，即，
∴，故①正确；
∵，
∴AD＝BE，故②正确；
∵，
∴，即．
∵，，，．
∴，
∴，故③错误；
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵AC=BC，
∴，
∴AP＝BQ，故④正确．
综上可知正确的结论有①②④．
故答案为：①②④
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理等知识．掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
三、解答题
24．如图，△是等边三角形， 在直线上，．求证： ．
【答案】答案见详解
【分析】由等边三角形的性质以及题设条件，可证△ADB≌△AEC，由全等三角形的性质可得．
【详解】
证明：∵△是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、补角的性质、全等三角形的判定和性质，综合性强，但是整体难度不大．
25．如图，△ABC中，已知AB＝AC，BC平分∠ABD．
(1)求证：；
(2)若∠A＝100°，求∠1的度数．
【答案】(1)证明详解 (2)40°
【分析】（1）由等边对等角可知，由角平分线的定义可得，则，根据内错角相等，两直线平行证明结论即可；
（2）由∠A＝100°，可得，进而可得的值．
【详解】
(1)
证明：∵，
∴，
∵BC平分∠ABD，
∴，
∴，
∴．
(2)
解：∵∠A＝100°，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了等边对等角，角平分线，平行线的判定，三角形内角和定理等知识．解题的关键在于明确角度的数量关系．
26．如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P．
(1)求证：△ABE≌△CAD；
(2)求∠BPD的度数．
【答案】(1)见详解 (2)∠BPD＝60°
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB＝AC，∠BAC＝∠C，再依据SAS即可判定三角形全等；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ABE＝∠CAD，再利用外角性质即可得到结果．
【详解】
(1)
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，
又∵AE＝CD，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
(2)
解：由（1）得△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠BPD＝∠BAD＋∠ABE＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝60°．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各性质及判定定理是解题的关键．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
(1)在AD上求作点G，使得GA＝GB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接GC，若AG＝1，∠BAC＝45°，求△BGC的面积．
【答案】(1)见详解 (2)
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线，交AD于点G，
（2）首先证明∠BGC=90°，然后利用面积公式求得结果．
【详解】
(1)
解：尺规作图如下：
∴点G即为所求；
(2)
∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝45°
∴∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝22.5°，BD＝CD
∴GC＝GB
∵由（1）得GA＝GB＝1
∴∠GBA＝∠BAD＝22.5°，GC＝GB＝1
∴∠BGD＝∠CGD＝∠3＋∠1＝22.5°＋22.5°＝45°
∴∠BGC＝90°
∴S△BGC＝BG·GC＝×1×1＝．
【点睛】
本题考查尺规作图——作已知线段的垂直平分线以及等腰三角形的性质，利用交轨法作图是解决问题的关键．
28．阅读并填空：如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，且AD＝AE，说明BD＝CE的理由．
解：因为AB＝AC，
所以 ；（等边对等角）
因为 ，（已知）
所以∠AED＝∠ADE；（等边对等角）
因为∠AED＝∠EAC＋∠C，
∠ADE＝∠BAD＋∠B，（ ）
所以∠BAD＝∠EAC；（等式性质）
在△ABD与△ACE中，
所以△ABD≌△ACE（A．S．A）
所以 ．（全等三角形的对应边相等）
【答案】∠B＝∠C，AD＝AE，；三角形外角的性质，BD＝CE
【分析】先证明△ABD≌△ACD，根据全等三角形的性质可得BE=CD，即可得答案．
【详解】
解：因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C；（等边对等角）
因为 AD＝AE，（已知）
所以∠AED＝∠ADE；（等边对等角）
因为∠AED＝∠EAC+∠C，
∠ADE＝∠BAD+∠B，（ 三角形外角的性质）
所以∠BAD＝∠EAC；（等式性质）
在△ABD与△ACE中，
，
所以△ABD≌△ACE（ASA）
所以 BD＝CE．（全等三角形的对应边相等）．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键．
29．已知：如图，在△ABC中，点D，E是边BC上的两点，且AB＝BE，AC＝CD．
(1)若∠BAC＝90°，求∠DAE的度数；
(2)若∠BAC＝120°，直接写出∠DAE的度数；
(3)设∠BAC＝α，∠DAE＝β，猜想α与β的之间数量关系（不需证明）．
【答案】(1)45°； (2)30°； (3)α+2β＝180°．
【分析】（1）根据等腰三角形性质得出∠BAE＝∠BEA，∠CAD＝∠CDA，根据三角形内角和定理得出∠B＝180°﹣2∠BAE①，∠C＝180°﹣2∠CAD②，①+②得出∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD），求出2∠DAE＝180°﹣∠BAC，代入求出即可；
（2）由∠DAE＝（180°﹣∠BAC）解答；
（3）同（1），根据等腰三角形性质得出∠BAE＝∠BEA，∠CAD＝∠CDA，根据三角形内角和定理得出∠B＝180°﹣2∠BAE①，∠C＝180°﹣2∠CAD②，①+②得出∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD），求出2∠DAE＝180°﹣∠BAC，代入求出即可．
【详解】
(1)
解：（1）∵BE＝BA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴∠B＝180°﹣2∠BAE，①
∵CD＝CA，
∴∠CAD＝∠CDA，
∴∠C＝180°﹣2∠CAD，②
①+②得：∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD）
∴180°﹣∠BAC＝360°﹣2[（∠BAD+∠DAE）+（∠DAE+∠CAE）]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2[（∠BAD+∠DAE+∠CAD）+∠DAE]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2（∠BAC+∠DAE），
∴2∠DAE＝180°﹣∠BAC．
∵∠BAC＝90°，
∴2∠DAE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠DAE＝45°；
(2)
由（1）知，∠DAE＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣120°）＝30°；
(3)
∵BE＝BA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴∠B＝180°﹣2∠BAE，①
∵CD＝CA，
∴∠CAD＝∠CDA，
∴∠C＝180°﹣2∠CAD，②
①+②得：∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD）
∴180°﹣∠BAC＝360°﹣2[（∠BAD+∠DAE）+（∠DAE+∠CAE）]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2[（∠BAD+∠DAE+∠CAD）+∠DAE]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2（∠BAC+∠DAE），
∴2∠DAE＝180°﹣∠BAC．
∵∠BAC＝α，
∴2β＝180°﹣α，
∴α+2β＝180°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，关键是推出2∠DAE＝180°﹣∠BAC．
30．已知M是等边△ABC的边BC上的点．
(1)如图①，过点M作MN∥CA，交AB于点N，求证：BM = BN；
(2)如图②，连接AM，过点M作∠AMH = 60°，MH与∠ACB的邻补角的平分线交于点H，过点H作HD⊥BC，交BC延长线于点D．
（ⅰ）求证：MA = MH；
（ⅱ）直接写出CB，CM，CD之间的数量关系式．
【答案】(1)见详解 (2)（ⅰ）见详解；（ⅱ）BC CM 2CD
【分析】（1）根据平行线的性质和等边三角形的性质可得∠BMN=∠C=60°，∠BNM=∠B=60°，在根据等角对等边可得MB=BN；
（2）（ⅰ）过M点作交AB于N，然后证明△AMN≌△MHC，再根据全等三角形的性质可得MA=MH； （ⅱ）过M点作MG⊥AB于G，再证明△BMG≌△CHD可得CD=BG，因为BM=2CD可得BC=MC+2CD．
【详解】
(1)
证明：∵，
∴∠BMN=∠C=60°，∠BNM=∠B=60°，
∴∠BMN=∠BNM，
∴BM=BN；
(2)
（ⅰ）证明：如图2，过M点作交AB于N，
则BM=BN，∠ANM=120°
∵AB=BC，
∴AN=MC，
∵CH是∠ACB外角平分线，所以∠ACH=60°，
∴∠MCH=∠ACB+∠ACH=120°，
又∵∠NMC=120°，∠AMH=60°，
∴∠HMC+∠AMN=60° ，
又∵∠NAM+∠AMN=∠BNM=60°，
∴∠HMC=∠MAN，
在△ANM和△MCH中
∵ ，
∴△AMN≌△MHC（ASA），
∴MA=MH；
（ⅱ）CB=CM+2CD；理由如下：
证明：如图2，过M点作MG⊥AB于G，
∵△AMN≌△MHC，
∴MN=HC，
∵△BMN为等边三角形，MG⊥AB
∴MN=MB，BM=2BG，
∴HC=BM，
在△BMG和△CHD中
，
∴△BMG≌△CHD（AAS），
∴CD=BG，
∴BM=2CD，
所以BC=MC+2CD．
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线，熟练掌握证明三角形全等的方法．
试卷第1页，共3页
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2022-2023八年级数学上册夯基课课练
2.3 等腰三角形的性质定理
一、单选题
1．以下判断中错误的是（ ）
A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线
B．有一内角为的等腰三角形是等边三角形
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合
2．下列直线不是等边三角形的对称轴的是（ ）
A．三条中位线所在的直线 B．三条高所在的直线
C．三条中线所在的直线 D．三条角平分线所在的直线
3．顶角为60°的等腰三角形的两底角平分线所夹的锐角的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
4．如图，△ABC是等边三角形，，若，则∠2的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点是的垂直平分线与边的交点，作于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将一块等边三角板与直尺叠放在一起，且等边三角板的一个顶点在直尺的一边上，则当∠2＝81°时，∠1的度数为（ ）
A．40° B．39° C．41° D．60°
7．如图，在中，，，为边的中点，平分，交于点，交于点，则的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
8．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
9．如图，△ABC、△DEF和△GMN都是等边三角形，且点E、M在线段AC上，点G在线段EF上，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．90° B．120° C．150° D．180°
10．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则的度数为（ ）
A．72 B．68 C．75 D．80
11．在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，E为AC的中点，P为AD上一动点，若AD=12，则PC+PE的最小值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
12．如图，已知是边长为4的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，动点、分别在边、上，且，则的周长是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
13．如图．，点，，，，在射线上，点，，，在射线上．，，，均为等边三角形，若，则的边长为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在△AOB和△DOC中，，，，．连接AC、BD交于点M，连接OM．下列结论：①，②；③OM平分∠AOD；④MO平分∠BMC．其中正确的结论个数有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
15．如图，在中，D、E是BC的三等分点，是等边三角形，则______度．
16．如图，CD是等边△ABC的中线，，垂足为点E．若DE的长度为3cm，则点D到BC的距离为_________cm．
17．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，且顶角，则的大小为_______．
18．如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝50°，则∠DEF的度数是_____．
19．如图，点为等边外一点，，，点，分别在和上，且，，，则的边长为______．
20．如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD=1，AC=3，△OCD周长的最小值是___________．
21．如图，已知，O是等边内任意一点． ， ，且，，则_______________．
22．如图，△ABC中，∠BAC＞∠B，∠C＝70°，将△ABC折叠，使得点B与点A重合，折痕PD分别交AB、BC于点D、P，当△APC中有两个角相等时，∠B的度数为______．
23．如图，点C为线段AE上一点，在AE同侧分别作正三角形ABC和CDE，AD分别与BC、BE交于点P、O，BE与CD交于点Q，以下结论：①；②AD＝BE；③∠AOB＝50°；④AP＝BQ．其中结论正确的有_______（把你认为正确的序号都填上）．
三、解答题
24．如图，△是等边三角形， 在直线上，．求证： ．
25．如图，△ABC中，已知AB＝AC，BC平分∠ABD．
(1)求证：；
(2)若∠A＝100°，求∠1的度数．
26．如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P．
(1)求证：△ABE≌△CAD；
(2)求∠BPD的度数．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
(1)在AD上求作点G，使得GA＝GB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接GC，若AG＝1，∠BAC＝45°，求△BGC的面积．
28．阅读并填空：如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，且AD＝AE，说明BD＝CE的理由．
解：因为AB＝AC，
所以 ；（等边对等角）
因为 ，（已知）
所以∠AED＝∠ADE；（等边对等角）
因为∠AED＝∠EAC＋∠C，
∠ADE＝∠BAD＋∠B，（ ）
所以∠BAD＝∠EAC；（等式性质）
在△ABD与△ACE中，
所以△ABD≌△ACE（A．S．A）
所以 ．（全等三角形的对应边相等）
29．已知：如图，在△ABC中，点D，E是边BC上的两点，且AB＝BE，AC＝CD．
(1)若∠BAC＝90°，求∠DAE的度数；
(2)若∠BAC＝120°，直接写出∠DAE的度数；
(3)设∠BAC＝α，∠DAE＝β，猜想α与β的之间数量关系（不需证明）．
30．已知M是等边△ABC的边BC上的点．
(1)如图①，过点M作MN∥CA，交AB于点N，求证：BM = BN；
(2)如图②，连接AM，过点M作∠AMH = 60°，MH与∠ACB的邻补角的平分线交于点H，过点H作HD⊥BC，交BC延长线于点D．
（ⅰ）求证：MA = MH；
（ⅱ）直接写出CB，CM，CD之间的数量关系式．
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