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2022-2023八年级数学上册夯基课课练
2.4 等腰三角形的判定定理
一、单选题
1．下列图形中，一定是等边三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据等边三角形的判定可得，含有60°的等腰三角形是等边三角形，据此即可求解．
【详解】
解：∵含有60°的等腰三角形是等边三角形，A、B、C、D都是等腰三角形，只有B选项有一个内角是60°，则B选项是等边三角形，
故选B
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定，掌握“含有60°的等腰三角形是等边三角形”是解题的关键．
2．在中，，则AB的值是（ ）
A．12 B．8 C．6 D．3
【答案】C
【分析】根据等边三角形的判定与性质即可求出AB的值．
【详解】
解：∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴等腰是等边三角形，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质，掌握等边三角形的判定与性质是解题关键．
3．已知分式有意义且值为零（a，b，c均为正实数），若以a，b，c的值为三条线段的长构造三角形，则此三角形一定为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据分式有意义的条件和分式的值为0得出a-c≠0且a(b-c)+b(c-b)=0，再求出即可．
【详解】
解：∵分式有意义，
∴，
∴，
∵值为零，
∴，
∴，
解得：a=b或b=c，
∴三角形一定为等腰三角形，
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，分式的值为0，等腰三角形的判定和等边三角形的判定等知识点，能求出a、b、c的关系式是解此题的关键．
4．如图，△ABC是等边三角形，且AD=BE=CF，则△DEF是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
【答案】A
【分析】由题意可知，可知DE=DF=EF，所以为等边三角形．
【详解】
解：∵是等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∵AD=BE=CF，
∴AB-AD=AC-CF=BC-BE，
∴BD=AF=CE，
在和中，
∴（SAS），
同理，
则，
∴DE=DF=EF，
∴为等边三角形．
故选：A．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质，解题的关键是证明．
5．如图，是等边三角形，，若，，则的周长为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质以及平行线的性质可以确定是等边三角形，结合已知条件得出等边三角形边长，根据周长公式求解即可．
【详解】
解：是等边三角形，
，
，
，∠AED=∠C=60°，
是等边三角形，
，
，，
，
的周长为，
故选：C．
【点睛】
本题考查等边三角形周长，涉及到等边三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握相关性质及判定是解决问题的关键．
6．下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ）
A．三边都相等的三角形 B．三个角都相等的三角形
C．有一个角等于的三角形 D．有两个角等于的三角形
【答案】C
【分析】根据等边三角形的定义和判定定理，即可解答．
【详解】
解：A、三边都相等的三角形是等边三角形，正确，故本选项不符合题意；
B、三个角都相等的三角形三边都相等，故此三角形是等边三角形，正确，故本选项不符合题意；
C、有一个角等于的三角形，不一定是等边三角形，错误，故本选项符合题意；
D、有两个角是60°的三角形，那么第三个角也是60°，故是等边三角形，正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定，解决本题的关键是熟记等边三角形的定义和判定定理．
7．如图，在中，AB＝AC，∠A＝20°，点D为AC边上的一点，∠DBC＝50°，点E为AB上一点，∠ECB＝20°，则∠BDE的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】A
【分析】先根据等腰三角形的性质求出，再由三角形内角和定理得，可得BC=DC，再由三角形内角和定理求出 得EC=BC，可求出，从而可得结论．
【详解】
解：∵，
∴∠
在△中，∠
∵∠，
∴∠
∵
∴，
∴，
∴BC=DC
∵
∴∠
∴，
∴EC=BC，
∴EC=DC
∵
∴
∴是等边三角形，
∴∠EDC=60°，
∴
故选A
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形 内角和定理，等边三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
8．如图，△ABC中，cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．点M、N运动（ ）s后，可得到等边三角形△AMN．
A．4 B．6 C．8 D．不能确定
【答案】A
【分析】设点，运动秒时，得到等边三角形，表示出，的长，根据 ，只要，三角形就是等边三角形．
【详解】
解：设点，运动秒时，得到等边三角形，如图所示，则，，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
即，
解得，
∴点，运动秒时，得到等边三角形．
故选：
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，根据题意分析出时得到等边三角形是解题的关键．
9．如图，在中，＝，＝，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以点，为圆心画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（ ）
①是的平分线 ；②＝；③是等腰三角形 ；④点到直线的距离等于的长度．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本作图可判断AD平分∠BAC，则可对①进行判断；再计算出∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°，则可对②③进行判断；然后根据角平分线的性质对④进行判断．
【详解】
解：∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
由作法得AD平分∠BAC，所以①正确；
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°，
∴∠ADC=90°-∠CAD=60°，所以②正确；
∠BAD=∠B，
∴是等腰三角形，所以③正确；
∵AD为角平分线，
∴点D到AC的距离等于点D到AB的距离，
而点D到直线AC的距离等于CD的长度，
∴点D到直线AB的距离等于CD的长度，所以④正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平行线的性质定理．
10．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列结论：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．
【详解】
∵∠B、∠C的角平分线交于点F，
∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，
设∠DBF＝∠CBF＝α，∠ECF＝∠BCF＝β，
∵，
∴∠DFB＝∠CBF＝α，∠EFC＝∠BCF＝β，
∴∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，
∴DB＝DF，EF＝EC，
∴△BDF与△CEF为等腰三角形，
∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE，
△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝AD＋AE＋BD＋CE＝AB＋AC，
∵只有当△ABC是等腰三角形时，△ADE是等腰三角形，且BF＝CF，
∴②③正确，①④不正确，
∵∠A＝80°，
∴∠FBC＋∠FCB＝＝50°，
∴∠BFC＝180°－50°＝130°，故⑤正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．
二、填空题
11．已知a，b，c是△ABC的三边的长，且满足2a2+b2+c2-2a（b+c）=0，则△ABC的形状为________________ 三角形．
【答案】等边
【分析】运用完全平方公式将等式化简，可求a=b=c，则△ABC是等边三角形．
【详解】
解：∵2a2+b2+c2-2a（b+c）=0，
∴（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）=0，
∴（a-b）2+（a-c）2=0，
∴a-b=0且a-c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC的形状为等边三角形．
故答案为：等边．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式解决问题是本题的关键．
12．已知BD是△ABC的角平分线，E是边AB上一点，DE∥BC，如果DE＝5，那么BE＝_____．
【答案】5
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠EDB＝∠DBC，由等量代换得到∠EDB＝∠EBD，根据等腰三角形的判定得到DE＝BE，即可得到BE的值．
【详解】
解：根据题意，画出如下图形：
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠BDE＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴△BDE为等腰三角形，
∴BE＝DE＝5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质证得∠EDB＝∠EBD是解题的关键．
13．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，若△ABD的周长比△BCD的周长多1厘米，则BD=_____．
【答案】1厘米
【分析】先根据题意找出题目中线段的等量关系，再根据等量关系求出BD值即可．
【详解】
解：∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ABC=72°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AD=BD，
∵∠BDC=180°-72°-36°=72°，
∴△BCD是等腰三角形，
∴BD=BC，
∵△ABD的周长比△BCD的周长多1厘米，
∴AB+AD+BD-BC-BD-CD=AB-DC=1(厘米)，
∴AB-DC=AD-DC=AD=BD=1(厘米)，
故答案为：1厘米．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的知识，要牢记等腰三角形的判定和性质：等角对等边，等边对等角以及三线合一，这都是中考必考内容．
14．如图，点C、D在线段AB的同侧，，，，M是AB的中点，，则CD长的最大值是______．
【答案】25
【解析】作点A关于CM的对称点，点B关于DM的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题；
【详解】
作点A关于CM的对称点，点B关于DM的对称点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴CD的最大值为25．
故答案是25．
【点睛】
本题主要考查了了翻折变换，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识点，解题的关键是利用两点之间线段最短解决问题．
15．如图，是等边三角形，D是的中点，点E在的延长线上，点F在上，，若，则的值为____________．
【答案】7.5
【分析】取AB的中点G，连接DG，则可得△AGD是等边三角形，易证明△GDF≌△CDE，从而即可求得结果．
【详解】
取AB的中点G，连接DG，如图．
∴
∵D是AC的中点，
∴AD=CD=2.5，
∵△ABC是等边三角形，AB=5，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，，
∴AG=AD=2.5，
∴△AGD是等边三角形，
∴AD=DG=CD，∠AGD =∠ADG=60°，
∴∠DGF=∠DCE=∠GDC=120°，
∵∠EDF=120°，
∴∠GDF+∠FDC=∠FDC+∠CDE,
∴∠GDF=∠CDE，
在△GDF与△CDE中
,
∴△GDF≌△CDE．
∴FG=CE，
∴BF+CE=BF+FG=BG=2.5，
∴BE+BF=BC+CE+BF=5+2.5=7.5
故答案为：7.5．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造两个全等三角形是本题的难点与关键．
16．如图，直线a，b交于点O，∠α=40°，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，且始终位于直线a的上方，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB=_________°．
【答案】40或70或100
【分析】根据△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：①当OB=AB时，②当OA=AB时，③当OA=OB时，分别求得符合的点B，即可得解．
【详解】
解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：
①当OB1=AB1时，∠OAB=∠α=40°；
②当OA=AB2时，∠OAB=180°-2×40°=100°；
③当OA=OB3时，∠OAB=∠OBA=（180°-40°）=70°；
故答案为：40或70或100．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
17．如图，在中，点D、E分别、上的点，与交于点O．给出下列三个条件：①；②；③．利用其中两个条件可以证明是等腰三角形，这两个条件可以是____________．
【答案】①③或②③
【解析】
【分析】
根据全等三角形和等腰三角形的性质分析，即可得到答案．
【详解】
当、时
在和中
∴
∴，
∵，
∴
在和中
∴
∴是等腰三角形，即①③可以证明是等腰三角形；
当、时
在和中
∴
∴，，
∵，
∴
在和中
∴
∴是等腰三角形，即②③可以证明是等腰三角形；
故答案为：①③或②③．
【点睛】
本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解．
18．在△ABC中，，点P和点O分别是边AC和BC上的两个动点，分别连结BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠ABC的度数可以是_________．
【答案】80°或100°
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质，分情况讨论即可.
【详解】
解：∵，BP和PQ把△ABC分割成三个三角形都是等腰三角形，
∴△ABP是等边三角形，
∴∠APB=∠ABP=60°，
∴∠BPC=120°，
令∠CBP=x°，
①当QB=QP，CP=CQ时，∠CBP=∠BPQ=x°，
∴∠CQP=∠CPQ=2x°
∵∠BPQ+∠CPQ=∠BPC
∴2x+x=120°
解得x=40°
∴∠ABC=∠ABP+∠CBP=60°+40°=100°
②当QB=QP，QP=QC时，∠CBP=∠BPQ=x°
∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=2x°
∴∠QPC=90°- x°
∵∠BPQ+∠CPQ=90°- x+ x=90°=∠BPC
又∠BPC=120°
∴不符合题意，舍去
③当QB=QP，PC=PQ时，∠CBP=∠BPQ=x°，
∴∠CQP=∠C=2x°
∴∠CPQ=180°-4x
∵∠BPQ+∠CPQ=∠BPC
∴x+180°-4x=120°
解得x=20°
∴∠ABC=∠ABP+∠CBP=60°+20°=80°
④当BP=BQ，PQ=PC时，∠BPQ=90°-x
∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=90°+x
又∠CQP=∠C=90°+x
∴∠CPQ=180°-2（90°+x）=-x，不符合题意，舍去
⑤当BP=BQ，QP=QC时，∠BPQ=90°-x
∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=90°+x
∴∠QPC=45°-x
∵∠BPQ+∠CPQ=∠BPC
∴90°-x+45°-x=120°
解得x=20°
∴∠ABC=∠ABP+∠CBP=60°+20°=80°
⑥当BQ=BP，CP=CQ时，∠BPQ=90°-x
∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=90°+x
∵∠BPC=∠BPQ+∠CPQ=90°-x+90°+x=180°
C，P，B三点共线，不符合题意，舍去
⑦当PB=PQ，CP=CQ时，∠BPQ=180°-2x
∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=180°-x
∴∠QPC=180°- x
∵∠BPQ+∠CPQ=180°-2x+180°- x=∠BPC
又∠BPC=120°
∴180°-2x+180°- x=120°
解得x=80°
∵∠A+∠ABC=60°+60°+80°=200°＞180°，
∴不成立，舍去
⑧当PB=PQ，PC=PQ时，∠BPQ=180°-2x
∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=180°-x
∴∠QPC= 2x-180°
∵∠BPQ+∠CPQ=180°-2x+ 2x-180°=0°=∠BPC
又∠BPC=120°
∴不符合题意，舍去
⑨当PB=PQ，QC=QP时，∠BPQ=180°-2x
∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=180°-x
∴∠QPC=x
∵∠BPQ+∠CPQ=180°-2x+x=120°
解得x=40°
∴∠ABC=∠ABP+∠CBP=60°+40°=100°
综上可知，∠ABC的度数可以是80°或100°
故答案为：80°或100°.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，分情况讨论是本题的难点.
三、解答题
19．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，并分别平分∠ABC、∠DCB，且．求证：．
【答案】见详解
【分析】根据角平分线的定义和等角对等边求出∠ABD＝∠ACD，OB＝OC，然后证明△ABO≌△DCO即可．
【详解】
证明：∵对角线AC、BD分别平分∠ABC、∠DCB，
∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠ACB，
∵，
∴OB＝OC，∠ABD＝∠ACD，
在△ABO和△DCO中，，
∴△ABO≌△DCO（ASA），
∴．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，等角对等边，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握基础知识是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BE=CF，BD=CE．
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A=60°时，求∠EDF的度数；
【答案】(1)见详解 (2)∠EDF=60°．
【分析】（1）根据AB=AC可得∠B=∠C，即可求证△BDE≌△CEF，即可解题；
（2）根据全等三角形的性质得到∠CEF=∠BDE，于是得到∠DEF=∠B，推出△ABC是等边三角形，即可得到结论．
【详解】
(1)
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
(2)
解：∵∠DEC=∠B+∠BDE，
即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，
∵△BDE≌△CEF，
∴∠CEF=∠BDE，
∴∠DEF=∠B，
又∵在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠EDF=60°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
21．已知，如图，延长ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D，E，F，得到DEF为等边三角形．求证：
(1)AEFCDE；
(2)ABC为等边三角形．
【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解
【分析】（1）关键是证出CE＝AF，可由AE＝AB，AC＝BF，两两相加可得．再结合已知条件可证出AEFCDE．
（2）有（1）中的全等关系，可得出∠AFE＝∠CED，再结合△DEF是等边三角形，可知∠DEF＝60°，从而得出∠BAC＝60°，同理可得∠ACB＝60°，那么∠ABC＝60°．因而ABC是等边三角形．
【详解】
(1)
证明：∵BF＝AC，AB＝AE（已知），
∴FA＝EC，
∵△DEF是等边三角形（已知），
∴EF＝DE（等边三角形的性质）．
又∵AE＝CD（已知），
∴AEFCDE（SSS）．
(2)
证明：由AEFCDE，得∠FEA＝∠EDC，
∵∠BCA＝∠EDC+∠DEC＝∠FEA+∠DEC＝∠DEF（等量代换），
DEF是等边三角形（已知），
∴∠DEF＝60°（等边三角形的性质），
∴∠BCA＝60°（等量代换），
由AEFCDE，得∠EFA＝∠DEC，
∵∠DEC+∠FEC＝60°，
∴∠EFA+∠FEC＝60°，
又∠BAC是AEF的外角，
∴∠BAC＝∠EFA+∠FEC＝60°，
∴ABC中，AB＝BC（等角对等边）．
∴ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定和性质，，解题的关键是知道三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和，以及等边三角形的判定．
22．如图，点E是等边△ABC外一点，点D是BC边上一点，AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，连接ED，EC．
(1)试说明△ADC与△BEC全等的理由；
(2)试判断△DCE的形状，并说明理由．
【答案】(1)见详解 (2)等边三角形，理由见详解
【分析】（1）由等边三角形的性质得出AC＝BC，∠ACB＝60°，由SAS证明△ADC≌△BEC即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠ACD＝∠BCE＝60°，DC＝EC，即可得出结论．
【详解】
(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC（SAS）；
(2)
△DCE是等边三角形；理由如下：
∵△ADC≌△BEC，
∴∠ACD＝∠BCE＝60°，DC＝EC，
即△DCE是等腰三角形，
∴△DCE是等边三角形．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定定理、直角三角形的性质，熟记等边三角形的判定是解题的关键．
23．如图，已知，作的平分线OC，将直角尺DEMN如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P．
(1)猜想是 三角形；
(2)请将猜想到的结论进行证明．
【答案】(1)等腰 (2)见详解
【分析】（1）通过观察三角形三边长度和形状进行猜想；
（2）根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可证明．
【详解】
(1)
解：猜想△DOP是等腰三角形；
故答案为：等腰．
(2)
证明：∵OC平分∠AOB，
∴∠DOP=∠BOP，
∵DN∥EM，
∴∠DPO=∠BOP，
∴∠DOP=∠DPO，
∴OD=PD，即△DOP是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定定理：等角对等边．
24．如图，中，，．
(1)尺规作图：作的平分线，交于点P（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)判断是否为等腰三角形，并说明理由．
【答案】(1)见详解 (2)是等腰三角形，理由见详解
【分析】（1）以B为圆心，以任意长为半径画弧交AB、AC于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点的距离的一半为半径画弧，交于一点，过点B和这点作射线交AC与点P即可；
（2）由∠A＝36°，求出∠ABC=72°，进而求出∠PBC，从而求出∠BPC的度数，根据等角对等边即可证明结论．
【详解】
(1)
解：如图所示：即为所求；
(2)
解：是等腰三角形，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）÷2＝72°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC＝36°，
∴∠BPC＝180°-∠ACB-∠PBC=72°，
∴∠BCP=∠BPC=72°，
∴BP=BC，
∴是等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，角平分线的定义，角平分线的尺规作图，解此题的关键是能正确画图和求出∠BPC的度数．
25．阅读材料：若，求m、n的值．
解：∵，
∴
∴，而，，
∴且，
∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则a=______；b=______．
(2)已知△ABC的三边a，b，c满足=0，关于此三角形的形状的以下命题：①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形．其中所有正确命题的序号为______．
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且，求△ABC的周长．
【答案】(1)2，0 (2)①②③④ (3)7
【分析】（1）已知等式利用完全平方公式化简后，再利用非负数的性质求出a与b的值即可；（2）已知等式变形并利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出，进行判断即可．（3）已知等式变形并利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出a，b的值，进而确定出三角形周长．
【详解】
(1)
已知等式整理得：
解得：a=2，b=0；
故答案为2；0；
(2)
∵
①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形，都正确；
故答案为①②③④；
(3)
∵
∴
∴
则a-1=0，b-3=0，解得：a=1，b=3，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
则△ABC的周长为1+3+3=7．
【点睛】
本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断，关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．
26．已知：如图，在中，，，，垂足分别为D、E，与交于点O．
发现：与有何数量关系？并说明理由；
探索：判断的形状，并说明理由；
拓展：连接并延长，交于点F，请你直接写出一条关于的结论．
【答案】发现：BD=CE，理由见详解；
探索：△BOC是等腰三角形，理由见详解；
拓展：AF⊥BC，理由见详解（或者AF平分∠BAC，证明过程同AF⊥BC的证明过程）
【分析】（1）利用AAS定理证明，即可得BD=CE；
（2）结合“发现”中已经证得，可知∠DBC=∠ECB，即有有OC=OB，即△BOC是等腰三角形；
（3）在“探索”中已经证得BO=CO，即根据AB=AC，AO=AO，得，则有∠EAO=∠DAO，再结合AB=AC，AF=AF，得，即有∠AFB=∠AFC=90°，即可得AF⊥BC．
【详解】
发现：BD=CE，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠CEB=∠BDC=90°，
又有BC=CB，
∴，
∴BD=CE，
得证；
探索：△BOC是等腰三角形，理由如下：
在“发现”中已经证得，
∴∠DBC=∠ECB，
∴有OC=OB，即△BOC是等腰三角形，
得证；
拓展：AF⊥BC，
理由如下：
如图：
在“探索”中已经证得BO=CO，
又∵AB=AC，AO=AO，
∴，
∴∠EAO=∠DAO，
∴AF平分∠BAC，
又∵AB=AC，AF=AF，
∴，
∴∠AFB=∠AFC=90°，
∴AF⊥BC．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识，掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．
27．在中，，，将一块足够大的直角三角尺（、∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角，斜边PN交AC于点．
(1)当时，求的度数：
(2)在点P的滑动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若不可以，请说明理由；若可以，求出夹角的大小．
【答案】(1)∠AND=45° (2)当α＝45°或α＝90°或α＝0°时，△PCD是等腰三角形
【分析】（1）根据等腰三角形性质求出∠A=∠B=，利用三角形外角性质得出∠CPA=∠PCB+∠B=45°，然后求出∠DPA=∠CPA-∠CPD=45°-30°=15，再利用外角性质求解决可；
（2）△PCD的形状可以是等腰三角形．由题意知∠PCA＝120°－α，∠CPD＝30°．分三种情况①若PC＝PD，则∠PCD＝∠PDC．②若PD＝CD，则∠PCD＝∠CPD＝30°，③若PC＝CD，则∠CDP＝∠CPD＝30°即可求解．
【详解】
(1)
解：在中，∵，
∴∠A=∠B=，
∵，∠CPA为△CPB的外角，
∴∠CPA=∠PCB+∠B=45°，
∵∠CPD=30°，
∴∠DPA=∠CPA-∠CPD=45°-30°=15，
∴∠AND=∠A+∠DPA=30°+15°=45°，
(2)
解：△PCD的形状可以是等腰三角形．
由题意知∠PCA＝120°－α，∠CPD＝30°．
①若PC＝PD，则∠PCD＝∠PDC．
∴∠PCD＝（180°－∠MPN）＝（180°－30°）＝75°，
即120°－α＝75°，
解得α＝45°．
②若PD＝CD，则∠PCD＝∠CPD＝30°，
即120°－α＝30°，
解得α＝90°；
③若PC＝CD，则∠CDP＝∠CPD＝30°．
∴∠PCD＝180°－2×30°＝120°，
即120°－α＝120°，
解得α＝0°，
此时点P与点B重合，点D和点A重合．
综合上述，当α＝45°或α＝90°或α＝0°时，△PCD是等腰三角形，
即α的大小是45°或90°或0°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形性质和判定平行线性质的应用，三角形外角性质，三角形内角和，注意要进行分类讨论．
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2022-2023八年级数学上册夯基课课练
2.4 等腰三角形的判定定理
一、单选题
1．下列图形中，一定是等边三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在中，，则AB的值是（ ）
A．12 B．8 C．6 D．3
3．已知分式有意义且值为零（a，b，c均为正实数），若以a，b，c的值为三条线段的长构造三角形，则此三角形一定为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．如图，△ABC是等边三角形，且AD=BE=CF，则△DEF是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
5．如图，是等边三角形，，若，，则的周长为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
6．下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ）
A．三边都相等的三角形 B．三个角都相等的三角形
C．有一个角等于的三角形 D．有两个角等于的三角形
7．如图，在中，AB＝AC，∠A＝20°，点D为AC边上的一点，∠DBC＝50°，点E为AB上一点，∠ECB＝20°，则∠BDE的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
8．如图，△ABC中，cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．点M、N运动（ ）s后，可得到等边三角形△AMN．
A．4 B．6 C．8 D．不能确定
9．如图，在中，＝，＝，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以点，为圆心画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（ ）
①是的平分线 ；②＝；③是等腰三角形 ；④点到直线的距离等于的长度．
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列结论：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．已知a，b，c是△ABC的三边的长，且满足2a2+b2+c2-2a（b+c）=0，则△ABC的形状为________________ 三角形．
12．已知BD是△ABC的角平分线，E是边AB上一点，DE∥BC，如果DE＝5，那么BE＝_____．
13．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，若△ABD的周长比△BCD的周长多1厘米，则BD=_____．
14．如图，点C、D在线段AB的同侧，，，，M是AB的中点，，则CD长的最大值是______．
15．如图，是等边三角形，D是的中点，点E在的延长线上，点F在上，，若，则的值为____________．
16．如图，直线a，b交于点O，∠α=40°，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，且始终位于直线a的上方，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB=_________°．
17．如图，在中，点D、E分别、上的点，与交于点O．给出下列三个条件：①；②；③．利用其中两个条件可以证明是等腰三角形，这两个条件可以是____________．
18．在△ABC中，，点P和点O分别是边AC和BC上的两个动点，分别连结BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠ABC的度数可以是_________．
三、解答题
19．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，并分别平分∠ABC、∠DCB，且．求证：．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BE=CF，BD=CE．
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A=60°时，求∠EDF的度数；
21．已知，如图，延长ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D，E，F，得到DEF为等边三角形．求证：
(1)AEFCDE；
(2)ABC为等边三角形．
22．如图，点E是等边△ABC外一点，点D是BC边上一点，AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，连接ED，EC．
(1)试说明△ADC与△BEC全等的理由；
(2)试判断△DCE的形状，并说明理由．
23．如图，已知，作的平分线OC，将直角尺DEMN如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P．
(1)猜想是 三角形；
(2)请将猜想到的结论进行证明．
24．如图，中，，．
(1)尺规作图：作的平分线，交于点P（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)判断是否为等腰三角形，并说明理由．
25．阅读材料：若，求m、n的值．
解：∵，
∴
∴，而，，
∴且，
∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则a=______；b=______．
(2)已知△ABC的三边a，b，c满足=0，关于此三角形的形状的以下命题：①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形．其中所有正确命题的序号为______．
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且，求△ABC的周长．
26．已知：如图，在中，，，，垂足分别为D、E，与交于点O．
发现：与有何数量关系？并说明理由；
探索：判断的形状，并说明理由；
拓展：连接并延长，交于点F，请你直接写出一条关于的结论．
27．在中，，，将一块足够大的直角三角尺（、∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角，斜边PN交AC于点．
(1)当时，求的度数：
(2)在点P的滑动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若不可以，请说明理由；若可以，求出夹角的大小．
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