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1.3二次函数的性质
一、二次函数y=ax2（a≠0）与y=ax2+c(a≠0)的图象及性质（复习图像，分析性质，数形结合）
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质
二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：
函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值
y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 x>0时，y随x增大而增大； x<0时，y随x增大而减小. 当x=0时，y最小=0
y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 x>0时，y随x增大而减小； x<0时，y随x增大而增大. 当x=0时，y最大=0
2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质
关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：
函数
图象
开口方向 向上 向下
顶点坐标 (0，c) (0，c)
对称轴 y轴 y轴
函数变化 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.
最大（小）值 当时， 当时，
二、二次函数与的图象与性质
1.函数的图象与性质
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
2.函数的图象与性质
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
三、二次函数的图象与性质
1.二次函数图象与性质
函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 直线 直线
顶点坐标
增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值，
四、求二次函数的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．
要点：如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
一、单选题
1．已知抛物线的开口向下，顶点坐标为，那么该抛物线有（ ）
A．最小值－3 B．最大值－3 C．最小值2 D．最大值2
2．点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法中正确的是（ ）
A．在函数中，当时y有最大值0
B．在函数中，当时y随x的增大而减小
C．抛物线，，中，抛物线的开口最小
D．不论a取何值，的顶点都是坐标原点
4．对于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．其最小值为2 B．其图象与y轴没有公共点
C．当时，y随x的增大而减小 D．其图象的对称轴是y轴
5．对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞-1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知二次函数，则有（ ）
A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大
C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大
7．已知二次函数，当时，，当时，，则当时，y的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．小明在研究抛物线（为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（ ）
A．无论取何实数，的值都小于0
B．该抛物线的顶点始终在直线上
C．当时，随的增大而增大，则
D．该抛物线上有两点，，若，，则
9．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，若a＞0，则下列结论错误的是（ ）
A．当x＞2时，y随着x的增大而增大
B．（a＋c）2＝b2
C．若A（x1，m）、B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1＋x2时，y＝c
D．若方程a（x＋1）（5﹣x）＝﹣1的两根为x1、x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜5＜x2
10．如图，抛物线与抛物线交于点，且它们分别与轴交于点、．过点作轴的平行线，分别与两抛物线交于点、，则以下结论：
①无论取何值，总是负数；
②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当时，随着的增大，的值先增大后减小；
④四边形为正方形．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③
二、填空题
11．已知二次函数，如果随的增大而增大，那么的取值范围是__________．
12．若点、是二次函数图象上的两点，那么与的大小关系是________（填、或）．
13．已知二次函数y＝2x2+bx，当x＞1时，y随x增大而增大，则b的取值范围为______．
14．已知抛物线y＝a（x+）2+k（a＞0），点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）是图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是_____（用“＜”连接）．
15．已知关于x的二次函数，当1≤x≤3时，函数有最小值2h，则h的值为___________．
16．已知关于x的二次函数y=mx2-2x+1，当时，y的值随x的增大而减小，则m的取值范围为________．
17．二次函数在范围内的最大值为___．
18．如图，二次函数的图像过点(-1，0)，对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c<3b；③8a+7b+2c>0；④若点A(-3，)、点B()、点C()在该函数图像上，则：⑤若方程的两根为，且，则其中正确的结论有__________． (只填序号)
三、解答题
19．函数为二次函数，
（1）若其函数图象开口向上，求函数的解析式；
（2）若当时，y随x的增大而减小，求函数的解析式．
20．如图，抛物线y＝﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于点(0，3)．
（1）m的值为________；
（2）当x满足________时，y的值随x值的增大而减小；
（3）当x满足________时，抛物线在x轴上方；
（4）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是________．
21．已知函数y＝3（x－4）2－27．
（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？
（3）当x取何值时，函数取得最值？并求出最值．
22．抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=kx+m的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）指出b，b2﹣4ac，a﹣b+c的符号；
（2）若y1＜0，指出x的取值范围；
（3）若y1＞y2，指出x的取值范围．
23．已知抛物线，当时，有最大值，且抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围；
（3）求抛物线与y轴的交点坐标．
24．已知抛物线的图象如图所示，它与轴的一个交点的坐标为，与轴的交点坐标为．
（1）求抛物线的解析式及与轴的另一个交点的坐标；
（2）根据图象回答：当取何值时，？
（3）在抛物线的对称轴上有一动点，求的值最小时的点的坐标．
25．已知二次函数y＝ax2﹣bx+3（a≠0）的图象过点A(2，3)，交y轴于点B．
（1）求点B的坐标及二次函数图象的对称轴；
（2）若抛物线最高点的纵坐标为4，求二次函数的表达式；
（3）已知点(m，y1)，(n，y2)在函数图象上且0＜m＜n＜1，试比较y1和y2的大小．
26．在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点．
（1）求出抛物线的顶点坐标；
（2）定义新函数：当时，；当时，，记其图为G，点和点是图象G上的点．若时，总有，请求出k的取值范围．
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1.3二次函数的性质
一、二次函数y=ax2（a≠0）与y=ax2+c(a≠0)的图象及性质（复习图像，分析性质，数形结合）
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质
二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：
函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值
y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 x>0时，y随x增大而增大； x<0时，y随x增大而减小. 当x=0时，y最小=0
y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 x>0时，y随x增大而减小； x<0时，y随x增大而增大. 当x=0时，y最大=0
2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质
关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：
函数
图象
开口方向 向上 向下
顶点坐标 (0，c) (0，c)
对称轴 y轴 y轴
函数变化 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.
最大（小）值 当时， 当时，
二、二次函数与的图象与性质
1.函数的图象与性质
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
2.函数的图象与性质
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
三、二次函数的图象与性质
1.二次函数图象与性质
函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 直线 直线
顶点坐标
增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值，
四、求二次函数的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．
要点：如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
一、单选题
1．已知抛物线的开口向下，顶点坐标为，那么该抛物线有（ ）
A．最小值－3 B．最大值－3 C．最小值2 D．最大值2
【答案】D
【提示】
根据抛物线开口向下和其顶点坐标为，可直接做出判断．
【解答】
∵抛物线开口向下，其顶点坐标为，
∴该抛物线有最大值2，
故选：D．
【点睛】
本题考查了求二次函数最大值的方法，解答本题的关键是熟练掌握求二次函数最大值的3种方法，分别为：第一种可由图像直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
2．点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】
求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性和增减性判断即可．
【解答】
解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∵，
∴时，随的增大而增大，
∵的对称点为，且，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质等知识点的理解和掌握，熟练运用二次函数的性质进行推理是解决本题的关键．
3．下列说法中正确的是（ ）
A．在函数中，当时y有最大值0
B．在函数中，当时y随x的增大而减小
C．抛物线，，中，抛物线的开口最小
D．不论a取何值，的顶点都是坐标原点
【答案】C
【提示】
直接利用y=ax2（a≠0）图象的性质分别分析得出答案．
【解答】
A 由函数的解析式y＝2x2，可知抛物线顶点坐标在原点，开口方向向上，故当x=0时y有最小值0，故A错误；
B 由函数的解析式y＝2x2，可知其对称轴为y轴，对称轴的左边（x＜0），y随x增大而减小，对称轴的右边（x＞0），y随x增大而增大，故B错误；
C 根据二次函数的性质，可知系数a决定开口方向和开口大小，且a的绝对值越大，函数图象开口越小，可知抛物线y＝2x2的开口最小，故C正确；
D 不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2 (a≠0)的顶点都是坐标原点，故D错误
故选：C
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是明确y=ax2（a≠0）的图像的特点．
4．对于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．其最小值为2 B．其图象与y轴没有公共点
C．当时，y随x的增大而减小 D．其图象的对称轴是y轴
【答案】B
【提示】
根据二次函数的图像与性质即可判断．
【解答】
A选项，已知二次函数的图象开口向上，故二次函数有最小值为2，正确；
B选项，其图象与y轴交于点，错误；
C、D选项，其图象的对称轴为y轴，开口方向向上，所以当时，y随x的增大而减小，C、D选项正确．
故选B．
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知的图像与性质．
5．对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞-1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【提示】
直接根据二次函数的性质进行解答即可．
【解答】
解：①∵a=﹣＜0，
∴抛物线的开口向下，正确；
②对称轴为直线x=﹣1，故本小题错误；
③顶点坐标为（﹣1，3），正确；
④∵x＞﹣1时，y随x的增大而减小；
综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数的几种形式的基本性质是解本题的关键．
6．已知二次函数，则有（ ）
A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大
C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大
【答案】D
【提示】
根据抛物线顶点式解析式特征，结合抛物线图象的性质，开口向上的抛物线，在对称轴的右边，随的增大而增大，据此解题即可．
【解答】
抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为
根据抛物线图象的性质，当时，随的增大而增大
A、B、D都不正确，
D正确
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
7．已知二次函数，当时，，当时，，则当时，y的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】
根据二次函数的图像与性质得到a+c与4a+c的取值，再求出当时，，求出m,n,代入即可求解．
【解答】
由当时，，得．
由当时，，得．
当时，，得
解得
∴，，
故．
∴．
故选A．
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据题意求出a+c与4a+c的取值．
8．小明在研究抛物线（为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（ ）
A．无论取何实数，的值都小于0
B．该抛物线的顶点始终在直线上
C．当时，随的增大而增大，则
D．该抛物线上有两点，，若，，则
【答案】D
【提示】
根据抛物线的解析式的性质，对每个选项进行分析即可．
【解答】
A、由函数表达式的性质可得，抛物线的顶点坐标为（h，-h+1），抛物线的最大值为-h+1，若h<1，则y>0，故A项错误；
B、由题可得出抛物线的顶点坐标为（h，-h+1），
当x=h时，代入y=x-1得，故B项错误；
C、由题意得，抛物线在x=h左侧时，随的增大而增大，
∴，故C项错误；
D、∵x12h，
∴x1在x=h左侧且更靠近x=h，
∵在中，x离x=h越近，y值越大，
∴y1>y2，故D项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握知识点，灵活运用是解题关键．
9．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，若a＞0，则下列结论错误的是（ ）
A．当x＞2时，y随着x的增大而增大
B．（a＋c）2＝b2
C．若A（x1，m）、B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1＋x2时，y＝c
D．若方程a（x＋1）（5﹣x）＝﹣1的两根为x1、x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜5＜x2
【答案】D
【提示】
根据二次函数的性质即可判断A；根据对称轴得到b＝﹣4a，经过点（﹣1，0）得到c＝﹣5a，从而求得a+c＝﹣4a，即可判断B；由抛物线的对称性得到，结合x＝x1+x2，即可判断C；利用二次函数与一元二次方程的关系即可判断D．
【解答】
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c中，a＞0，对称轴为直线x＝2，
∴当x＞2时，y随着x的增大而增大，故A正确；
∵﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，即a+4a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴a+c＝﹣4a，
∴（a+c）2＝b2，故B正确；
∵A（x1，m）、B（x2，m）是抛物线上的两点，
∴抛物线对称轴，
∴2x＝x1+x2，
∵x＝x1+x2，
∴2x＝x，
∴x＝0，
∴此时，y＝ax2+bx+c＝c，故C正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，图象与x轴交于（﹣1，0），
∴抛物线x轴的另一个交点是（5，0），
∴抛物线与直线y＝﹣1的交点横坐标x1＞﹣1，x2＜5，如图，
∴方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣1的两根为x1和x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜5，故D错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．如图，抛物线与抛物线交于点，且它们分别与轴交于点、．过点作轴的平行线，分别与两抛物线交于点、，则以下结论：
①无论取何值，总是负数；
②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当时，随着的增大，的值先增大后减小；
④四边形为正方形．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③
【答案】B
【提示】
①根据非负数的相反数或者直接由图像判断即可；②先求抛物线的解析式，再根据抛物线的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断②；③先根据题意得出时，观察图像可知，然后计算，进而根据一次函数的性质即可判断；④分别计算出的坐标，根据正方形的判定定理进行判断即可．
【解答】
①，
，
，
无论取何值，总是负数，
故①正确；
②抛物线与抛物线交于点，
，
即，
解得，
抛物线，
抛物线的顶点，抛物线的顶点为，
将向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为，
即将抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位可得到抛物线，
故②正确；
③，
将代入抛物线，
解得，
，
将代入抛物线，
解得，
，
，从图像可知抛物线的图像在抛物线图像的上方，
当，随着的增大，的值减小，
故③不正确；
④设与轴交于点，
，
，
由③可知
，，
，，
当时，，
即，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是正方形，
故④正确，
综上所述，正确的有①②④，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，解题的关键是综合运用以上知识．
二、填空题
11．已知二次函数，如果随的增大而增大，那么的取值范围是__________．
【答案】
【提示】
由于抛物线y=2x2-1的对称轴是y轴，所以当x≥0时，y随x的增大而增大．
【解答】
解：∵抛物线y=2x2-1中a=2＞0，
∴二次函数图象开口向上，且对称轴是y轴，
∴当x≥0时，y随x的增大而增大．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了抛物线y=ax2+b的性质：①图象是一条抛物线；②开口方向与a有关；③对称轴是y轴；④顶点（0，b）．
12．若点、是二次函数图象上的两点，那么与的大小关系是________（填、或）．
【答案】
【提示】
分别将、代入计算即可判断大小关系．
【解答】
解：将代入，得：
，
将代入，得：
，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，将图象上的点的坐标代入函数关系计算是解决本题的关键．
13．已知二次函数y＝2x2+bx，当x＞1时，y随x增大而增大，则b的取值范围为______．
【答案】b≥﹣4
【提示】
先表示出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性列出不等式求解即可．
【解答】
解：二次函数y＝2x2+bx对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∵a＝2＞0，x＞1时，y随x增大而增大，
∴﹣≤1，
解得b≥﹣4．
故答案为：b≥﹣4．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图像的性质与二次函数的对称轴，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的增减性．
14．已知抛物线y＝a（x+）2+k（a＞0），点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）是图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是_____（用“＜”连接）．
【答案】y2＜y3＜y1
【提示】
根据题目中的抛物线的解析式可以得到该抛物线的对称轴、开口方向，从而可以判断出y1、y2、y3的大小关系，本题得以解决．
【解答】
解：∵抛物线y＝a（x+）2+k（a＞0），
该函数开口向上，对称轴是直线x＝﹣，
当x＞﹣时，y随x的增大而增大，
当x＜﹣时，y随x的增大而减小，
∵|﹣4﹣（﹣）|＝3.5，|﹣2﹣（﹣）|＝1.5，|2﹣（﹣）|＝2.5，
点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）是图象上的三个点，
∴y2＜y3＜y1，
故答案为：y2＜y3＜y1．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
15．已知关于x的二次函数，当1≤x≤3时，函数有最小值2h，则h的值为___________．
【答案】或6
【提示】
依据二次函数的增减性分1≤h≤3、h<1、h>3三种情况，由函数的最小值列出关于h的方程，解之可得．
【解答】
∵中a=1>0，
∴当xh时，y随x的增大而增大；
①若1≤h≤3，
则当x=h时，函数取得最小值3，
即2h=3，
解得：h=；
②若h<1，则在1≤x≤3范围内，x=1时，函数取得最小值2h，
即
解得：h=2；(舍去)
③若h>3，则在1≤x≤3范围内，x=3时，函数取得最小值2h，
即
解得：h=6,h=2(舍去)；
故答案为:或6.
【点睛】
本题考查二次函数的图像和性质，因为对称轴的位置不确定，所以分类讨论.
16．已知关于x的二次函数y=mx2-2x+1，当时，y的值随x的增大而减小，则m的取值范围为________．
【答案】0＜m≤5
【提示】
根据对称轴的左侧的增减性，可得m＞0，根据增减性，可得对称轴大于或等于，可得答案．
【解答】
解：由当x＜时，y的值随x的增大而减小可知，抛物线开口向上，m＞0，
且对称轴，
解得m≤5，
故答案为：0＜m≤5．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的增减性得出抛物线的开口方向且是解题的关键．
17．二次函数在范围内的最大值为___．
【答案】36
【提示】
把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
【解答】
解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
离对称轴越远函数值越大，
∵离对称轴的距离远，
当时，有最大值为：，
故答案为：36．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．
18．如图，二次函数的图像过点(-1，0)，对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c<3b；③8a+7b+2c>0；④若点A(-3，)、点B()、点C()在该函数图像上，则：⑤若方程的两根为，且，则其中正确的结论有__________． (只填序号)
【答案】①②③⑤
【提示】
根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【解答】
解：①由对称轴可知：x＝ ＝2，
∴4a＋b＝0，故①正确；
②由图可知：x＝ 3时，y＜0，
∴9a 3b＋c＜0，
即9a＋c＜3b，故②正确；
③令x＝ 1，y＝0，
∴a b＋c＝0，
∵b＝ 4a，
∴c＝ 5a，
∴8a＋7b＋2c
＝8a 28a 10a
＝ 30a
由开口可知：a＜0，
∴8a＋7b＋2c＝ 30a＞0，故③正确；
④由抛物线的对称性可知：点C关于直线x＝2的对称点为（，y3），
∵ 3＜ ＜，
∴y1＜y2＜y3
故④错误；
⑤由题意可知：（ 1，0）关于直线x＝2的对称点为（5，0），
∴二次函数y＝ax2＋bx＋c＝a（x＋1）（x 5），
令y＝ 3，
∴直线y＝ 3与抛物线y＝a（x＋1）（x 5）的交点的横坐标分别为x1，x2，
∴x1＜ 1＜5＜x2
故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
【点睛】
本题考查二次函数的图象，解题的关键是正确理解二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中等题型．
三、解答题
19．函数为二次函数，
（1）若其函数图象开口向上，求函数的解析式；
（2）若当时，y随x的增大而减小，求函数的解析式．
【答案】（1）；（2）
【提示】
（1）根据自变量的最高次数为2列出方程，求出的值，由图象开口向上，求得的取值，进而即可求得解析式．
（2）根据自变量的最高次数为2列出方程，求出的值，由当x≥0时，随的增大而减小，求得的取值，进而即可求得解析式．
【解答】
解：∵函数为二次函数，
∴m2﹣3m﹣2＝2，m-2不为0，
整理得，m2﹣3m﹣4＝0，
解得，m1＝4，m2＝﹣1．
（1）∵其函数图象开口向上，
∴m﹣2＞0，
解得m＞2，
∴m＝4．
∴函数关系式为y＝2x2；
（2）∵当x≥0时，y随x的增大而减小，
∴m﹣2＜0，
∴m＜2，
∴m＝﹣1，
∴函数关系式为y＝﹣3x2．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，二次函数的性质以及二次函数的图象，二次函数的二次项系数不等于0是解题的关键．
20．如图，抛物线y＝﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于点(0，3)．
（1）m的值为________；
（2）当x满足________时，y的值随x值的增大而减小；
（3）当x满足________时，抛物线在x轴上方；
（4）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是________．
【答案】（1）3；（2）x＞1；（3）-1＜x＜3；（4）-5≤y≤4
【提示】
根据函数的图象和性质即可求解．
【解答】
解：（1）将（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m得，3＝m，
故答案为3；
（2）m＝3时，抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
函数的对称轴为直线x＝＝1，
∵﹣1＜0，故抛物线开口向下，
当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
故答案为x＞1；
（3）令y＝﹣x2+2x+3，解得x＝﹣1或3，
从图象看，当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方；
故答案为﹣1＜x＜3；
（4）当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣5，
而抛物线的顶点坐标为（1，4），
故当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是﹣5≤y≤4，
故答案为﹣5≤y≤4．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像与性质及系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质及系数的关系是解题的关键．
21．已知函数y＝3（x－4）2－27．
（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？
（3）当x取何值时，函数取得最值？并求出最值．
【答案】（1）开口向上，对称轴为直线x＝4，顶点(4，－27)；（2）x＞4；x＜4；（3）x＝4时，函数y取得最小值，最小值为－27
【提示】
（1）根据顶点式的特点即可求解；
（2）根据对称轴即可求解；
（3）根据函数的顶点坐标及函数图象即可求解．
【解答】
解：（1）开口向上，对称轴为直线x＝4，顶点坐标为(4，－27)．
（2）当x＞4时，y随x的增大而增大；当x＜4时，y随x的增大而减小．
（3）当x＝4时，函数y取得最小值，最小值为－27．
【点睛】
此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数顶点式．
22．抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=kx+m的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）指出b，b2﹣4ac，a﹣b+c的符号；
（2）若y1＜0，指出x的取值范围；
（3）若y1＞y2，指出x的取值范围．
【答案】（1）b＜0，b2﹣4ac＞0，a﹣b+c＞0；（2）1＜x＜4；（3）x＜1或x＞5．
【提示】
（1）根据二次函数开口向上a＞0，﹣＞0，得出b的符号，再利用二次函数与坐标轴的交点个数得出b2﹣4ac符号，再利用x=﹣1时求出a﹣b+c的符号；
（2）根据图象即可得出y1=ax2+bx+c小于0的解集；
（3）利用两函数图象结合自变量的取值范围得出函数大小关系．
【解答】
解：（1）∵二次函数开口向上a＞0，﹣＞0，得出b＜0，
∴b＜0，
∵二次函数与坐标轴的交点个数为2，
∴b2﹣4ac＞0，
∵x=﹣1时，y=a﹣b+c，结合图象可知，
∴a﹣b+c＞0；
（2）结合图象可知，
当1＜x＜4 时，y1＜0；
（3）结合图象可知，
当x＜1或x＞5时，y1＞y2．
【点睛】
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系以及一次函数的图象性质，结合图象比较函数的大小关系是初中阶段难点，同学们应重点掌握．
23．已知抛物线，当时，有最大值，且抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围；
（3）求抛物线与y轴的交点坐标．
【答案】（1）；（2）x的取值范围为；（3）抛物线与y轴的交点坐标为．
【提示】
（1）根据题意可设抛物线的解析式为，把点代入即可求解；
（2）根据函数的对称轴即可求解；
（3）令x=0，即可求解．
【解答】
（1）∵抛物线，当时，有最大值，
∴抛物线的解析式为．
∵抛物线过点，∴，∴．
∴此抛物线的解析式．
（2）∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大．
∴x的取值范围为．
（3）当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为．
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知对称轴的应用．
24．已知抛物线的图象如图所示，它与轴的一个交点的坐标为，与轴的交点坐标为．
（1）求抛物线的解析式及与轴的另一个交点的坐标；
（2）根据图象回答：当取何值时，？
（3）在抛物线的对称轴上有一动点，求的值最小时的点的坐标．
【答案】（1），；（2）＜＜；（3）
【提示】
（1）把代入：，利用待定系数法求解，再求解点的坐标即可得到答案；
（2）由，可得抛物线的图像在轴的下方，结合图像可得的取值范围，从而可得答案；
（3）由关于抛物线的对称轴对称，可得与对称轴的交点满足最小，从而可得答案．
【解答】
解：（1）把代入：，
，
解得：
所以抛物线的解析式为：，
由
（2） 抛物线与轴交于 ，
抛物线的图像在轴的下方，
结合图像可得：＜＜
（3）∵
∴对称轴是直线x=1． 如图，当A、B、P三点共线时，PA+PB的值最小，
此时点P是对称轴与x轴的交点，即P（1，0）．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用轴对称的性质求解两条线段和的最小值，利用抛物线的图像解一元二次不等式，掌握以上知识是解题的关键．
25．已知二次函数y＝ax2﹣bx+3（a≠0）的图象过点A(2，3)，交y轴于点B．
（1）求点B的坐标及二次函数图象的对称轴；
（2）若抛物线最高点的纵坐标为4，求二次函数的表达式；
（3）已知点(m，y1)，(n，y2)在函数图象上且0＜m＜n＜1，试比较y1和y2的大小．
【答案】（1）；（2）；（3）当时，，当时，．
【提示】
（1）将将代入解析式即可求得点的坐标，将点的坐标代入，即可求得对称轴；
（2）根据（1）的结论可得顶点坐标，设顶点式，将点的坐标代入，求得即可求得解析式；
（3）分类讨论，根据开口方向及二次函数图像与性质即可比较y1和y2的大小．
【解答】
（1）交y轴于点B，
将代入，解得，
，
过，
，
即，
；
（2）对称轴为，
若抛物线最高点的纵坐标为4，
则顶点坐标为：，
设二次函数的表达式为，
将代入，
解得，
，
即；
（3）分情况讨论，当时，抛物线的开口朝上，在对称轴的左侧是随的增加而减小，
点(m，y1)，(n，y2)在函数图象上，且，
，
当时，抛物线的开口朝下，在对称轴的左侧是随的增加而增大，
点(m，y1)，(n，y2)在函数图象上，且，
，
综上所述，当时，，当时，．
【点睛】
本题考查了二次函数图像与性质，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数图像与性质是解题的关键．
26．在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点．
（1）求出抛物线的顶点坐标；
（2）定义新函数：当时，；当时，，记其图为G，点和点是图象G上的点．若时，总有，请求出k的取值范围．
【答案】（1）（1，）；（2）；
【提示】
（1）把二次函数化为顶点式，即可求出定点坐标．
（2）根据题意，利用二次函数的性质，得到，然后建立新函数，当时，；则有当时，；当时，，即可求出k的取值范围．
【解答】
解：（1）∵抛物线，
∴，
∴顶点坐标为（1，）；
（2）根据题意可知，
∵若时，总有，即，
∴新函数的函数值随x的增大而减小，
∵的对称轴是，
∴，即点M在对称轴的左侧或对称轴上；
∵点是交点，
∴当时，有，
∴的解是；
设，则当时，；
∵，
当时，，
∴当时，，
解得：；
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，以及一次函数的性质，解题的关键是掌握所学的函数的性质，以及掌握单调函数与x轴交点前后的函数值肯定是一正一负．
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