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1.2.1 二次函数的图像（1）
一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象
用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.
因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.
2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法
用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.
要点：二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
二、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象
1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象
（1）
（2）
2.二次函数与之间的关系；（上加下减）.
的图象向上（c＞0）或向下（c＜0）平移│c│个单位得到的图象.
要点：
抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．
函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．
抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．
三、函数与函数的图象
1.函数的图象
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴
向上 x=h
向下 x=h
2.函数的图象
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴
向上 x=h
向下 x=h
要点：
二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．
四、二次函数的平移
1.平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2.平移规律：
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
一、单选题
1．抛物线的顶点坐标是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】
根据抛物线的解析式得出顶点坐标即可．
【解答】
解：抛物线的顶点坐标是（2，0），
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．二次函数的顶点式为，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为(，)．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标．
【解答】
解：∵y=-2x2-1，
∴该抛物线的顶点坐标为（0，-1），
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次和函数的性质解答．
3．如果抛物线开口向下，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
由抛物线的开口向下可得不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】
解：∵抛物线开口向下，
∴，
∴．
故选择：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是牢记“时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．”
4．如果二次函数图象的形状与的形状相同，且顶点坐标是，那么这个函数的解析式为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【提示】
根据二次函数图象的形状与的形状相同，可得到所求函数解析式的二次项系数为 ，再根据顶点坐标是，即可求解．
【解答】
解：∵二次函数图象的形状与的形状相同，即二次项系数 相同，
∴所求函数解析式的二次项系数为 ，
∵顶点坐标是，
∴这个函数的解析式为或，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，根据题意得到二次项系数 相同是解题的关键．
5．拋物线①y＝3x2，②y＝x2-2，③y＝x2+3x-1的开口大小从大到小的顺序是（ ）
A．①②③ B．②③① C．②①③ D．③②①
【答案】B
【提示】
根据二次函数的大小进行判断即可；
【解答】
由题可知几个函数a的大小关系为：，
根据越小，开口越大，
可知开口从大到小依次为②③①；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象开口大小的判断，准确判断是解题的关键．
6．下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线的顶点是原点 B．抛物线的开口向下
C．抛物线的开口向上 D．抛物线的顶点是抛物线的最低点
【答案】A
【提示】
根据二次函数的性质直接作出选择．
【解答】
解：A.抛物线的顶点是原点，正确；
B.抛物线的开口不确定，因为a不知是正是负；
C.抛物线的开口不确定，因为a不知是正是负；
D.抛物线的顶点不确定，因为a不知是正是负，
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握顶点坐标，对称轴以及开口方向等知识，此题难度不大．
7．抛物线可以由抛物线平移得到，下列平移正确的是（ ）
A．先向左平移3个单位长度，然后向上平移1个单位
B．先向左平移3个单位长度，然后向下平移1个单位
C．先向右平移3个单位长度，然后向上平移1个单位
D．先向右平移3个单位长度，然后向下平移1个单位
【答案】B
【提示】
抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．
【解答】
解：抛物线的顶点为(0,0)，抛物线的顶点为(-3,-1)，抛物线向左平移3个单位长度，然后向下平移1个单位得到抛物线．
故选：B．
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数图象平移问题，解答是最简单的方法是确定平移前后抛物线顶点，从而确定平移方向．
8．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】
根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．
【解答】
解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；
当a＞0，c＜0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，故C选项错误；
当a＜0，c＞0时，二次函数开口向下，一次函数经过一、二、四象限，故A选项错误，D选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．
9．已知抛物线，顶点为D，将C沿水平方向向右（或向左）平移m个单位，得到抛物线，顶点为，C与相交于点Q，若，则m等于（ ）
A． B． C．﹣2或 D．﹣4或
【答案】A
【提示】
先表示出平移后的函数为，得到，，求出Q点的横坐标为：，代入求得，再根据等腰直角三角形的性质得到，解出m即可求解.
【解答】
抛物线沿水平方向向右（或向左）平移m个单位得到
∴，，
∴Q点的横坐标为：，
代入求得，
若，则是等边三角形，
∴，
由勾股定理得，，
解得，
故选A．
【点睛】
此题主要考查二次函数与几何，解题的关键是熟知二次函数的性质及直角三角形的性质.
10．在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣x的图象上有三点（x1，m）、（x2，m）、（x3，m），则x1+x2+x3的结果是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【提示】
根据二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征即可求得结果．
【解答】
解：如图，在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣x的图象上有三点A（x1，m）、B（x2，m）、C（x3，m），
∵y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）
∴抛物线的对称轴为直线x＝m+1，
∴＝m+1，
∴x2+x3＝2m+2，
∵A（x1，m）在直线y＝﹣x上，
∴m＝﹣x1，
∴x1＝﹣2m，
∴x1+x2+x3＝﹣2m+2m+2＝2，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合思想画出函数图形．
二、填空题
11．抛物线的顶点坐标为____________________，对称轴为____________________；抛物线的顶点坐标为____________________，对称轴为____________________；抛物线的顶点坐标为____________________，对称轴为____________________．
【答案】 y轴 (0，c) y轴 (m，0) 直线
【提示】
根据抛物线的解析式得出顶点坐标和对称轴即可．
【解答】
解：抛物线的顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴；
抛物线的顶点坐标为(0，c)，对称轴为y轴；
抛物线的顶点坐标为(m，0)，对称轴为直线x=m．
故答案为：(0，0)，y轴；(0，c)，y轴；(m，0)，直线x=m．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．二次函数的顶点式为，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为(，) ．
12．把抛物线向左平移3个单位长度，就得到抛物线__________，抛物线是由抛物线向________平移_______个单位长度得到的，抛物线可以由抛物线向________平移________个单位长度得到．
【答案】 右 3 左 3
【提示】
根据二次函数的平移方法即可求解．
【解答】
抛物线向左平移3个单位长度，就得到抛物线，抛物线是由抛物线向右平移3个单位长度得到的，抛物线可以由抛物线向左平移3个单位长度得到．
故答案为：；右；3；左；3．
【点睛】
此题主要考查二次函数的平移，解题的关键是熟知平移的方法．
13．已知抛物线的对称轴是直线x=4，则m=_____．
【答案】4
【提示】
根据抛物线的性质确定对称轴，结合已知即可求解．
【解答】
解：抛物线对称轴是直线x=m，
∵抛物线的对称轴是直线x=4，
∴m=4．
故答案为：4
【点睛】
本题考查了抛物线的性质，熟知抛物线的对称轴为直线x=h是解题关键．
14．若二次函数y＝a（x＋h）2＋k的图象经过(－3，0)，(5，0)两点，则h的值为________．
【答案】－1
【提示】
根据题目给出的二次函数的顶点式，-h应该是二次函数图象对称轴的横坐标，在根据(-3,0)和(5,0)这两个点求出对称轴的横坐标，可以求出h．
【解答】
∵二次函数与x轴交于(-3,0)和(5,0)
∴它的对称轴应该是x=1
根据二次函数顶点式，-h=1，∴h=-1．
故答案为：-1
【点睛】
本题考查二次函数顶点式的图象和性质，需要注意这题不要把两个点坐标带入函数解析式去求h，应该用顶点式的性质来求．
15．已知二次函数的图象开口向下，则直线不经过的象限是第______象限．
【答案】四
【提示】
根据二次函数的图像求出a的取值，再根据一次函数的图像与性质即可求解．
【解答】
∵二次函数的图象开口向下，
∴．
又∵直线，
直线经过第一、二、三象限，即不经过第四象限．
故答案为：四．
【点睛】
此题主要考查二次函数与一次函数综合，解题的关键是熟知其图像与性质．
16．如果抛物线的最高点是坐标轴的原点，那么的取值范围是__________．
【答案】
【提示】
根据函数图像有最高点可得出开口向下，即可得出答案；
【解答】
∵抛物线的最高点是坐标轴的原点，
∴抛物线开口向下，
∴m+1＜0，
∴．
故答案是．
【点睛】
本题主要考查了根据二次函数的开口方向求参数，准确分析判断是解题的关键．
17．在平面坐标系中，已知二次函数的图像与 轴交点为，与轴交点为，为坐标原点，则的面积是______.
【答案】1
【提示】
已知函数解析式，可求出点A、B的坐标，再由三角形的面积公式直接解答；
【解答】
解：由已知函数解析式得点A坐标为（1,0）；
由=2x2-4x+2得点B坐标为（0，2），
所以中边OA=1，OB=2；
则的面积＝.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与坐标轴的交点问题．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而进行计算．
18．已知二次函数（a为常数）．
（1）若，则二次函数的顶点坐标为___________；
（2）当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当时，二次函数的图象，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是___________．
【答案】
【提示】
本题给出的是二次函数的顶点式，可以推出二次函数的顶点坐标为（2a，a-1），第一小问直接把a=2代入顶点坐标即可，第二小问要进行等量变换，具体见详解．
【解答】
①由题目所给二次函数顶点式可知，二次函数的顶点坐标为（2a，a-1），当a=2时，二次函数顶点坐标为（4，1）；
②设顶点坐标为（x，y），则x=2a，可知，a=，则y=a-1=．
故答案为．
【点睛】
本题考查了根据二次函数的顶点式直接写出顶点坐标，第二问需要用等量变换，消掉a，得到y关于x的关系式．
三、解答题
19．在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．你能说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线有什么关系？
【答案】画图见解析；抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0）；抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，2），抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，－2）；抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k）；当k＞0时，抛物线可由抛物线向上平移k个单位长度得到；当k＜0时，抛物线可由抛物线向下平移｜k｜个单位长度得到的．
【提示】
首先利用取值，描点，连线的方法画出二次函数的图像，再根据函数图像得出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，通过观察函数图像即可得到它们之间的关系．
【解答】
解：如图所示，即为三者的函数图像：
由函数图像可知：函数的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；
函数的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，2）；
函数的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，-2）；
由此可知，抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，k），由此可知当k＞0时，抛物线可由抛物线向上平移k个单位长度得到；当k＜0时，抛物线可由抛物线向下平移｜k｜个单位长度得到的．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图像的性质，画二次函数图像，二次函数图像的平移，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
20．说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）开口向上，对称轴是直线x＝－3，顶点坐标是（－3，5）；（2）开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，－2）；（3）开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，7）；（4）开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是（－2，－6）．
【提示】
根据的符号直接判断开口方向，根据顶点式直接写出对称轴和顶点坐标．
【解答】
（1），开口向上，对称轴是直线x＝－3，顶点坐标是（－3，5）；
（2），开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，－2）；
（3），开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，7）；
（4），开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是（－2，－6）．
【点睛】
本题考查了二次函数顶点式的性质，理解二次函数的性质是解题的关键．
21．（1）在同一直角坐标系中，画出函数与的图象．填写下列表格．
x … 0 1 2 3 4 …
… …
… …
（2）观察（1）中所画的图象，回答下面的问题：
①抛物线的开口向_______，对称轴是直线______，顶点坐标为______；
②抛物线的开口向______，对称轴是直线_______，顶点坐标为______．
【答案】（1）列表、画图见解析；（2）①下 ；②下 ．
【提示】
（1）利用列表、描点、连线画出两函数图象；
（2）根据图象得到两抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．
【解答】
（1）列表：
x … 0 1 2 3 4 …
… 0 … …
… … 0 1.5 2 1.5 0 …
画图：
（2）①故抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为（0，0）；
②抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为（1，2）；
故答案为：①下，， ； ②下，， ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，掌握利用列表、描点、连线画二次函数的图象是解题的关键．
22．把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数的图象
（1）求a，h，k的值；
（2）指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）当时，求函数y的取值范围．
【答案】（1）；（2）向上，；（3）
【提示】
（1）利用逆向思维的方法求解：把二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到二次函数的图象，然后利用顶点的平移情况确定原二次函数解析式，然后写出a、h、k的值；
（2）根据二次函数的性质求解；
（3）根据二次函数的函数与增减性，结合端点函数值即可求解．
【解答】
解：（1）二次函数的图象的顶点坐标为（ 1，3），把点（ 1，3）先向右平移3单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为（2， 1），
所以原二次函数的解析式为
所以；
（2）二次函数，即的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2， 1）．
（3）∵函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2， 1）
∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，
∴当x=2时，y的最小值为-1，
∵x=1时，；x=5时，
∴当时，求函数y的取值范围为．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．
23．已知，如图，直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，抛物线y=a（x﹣h）2的顶点为P（1，0），直线l与抛物线的交点为M．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）若S△AMP=3，求抛物线的解析式．
【答案】（1）y=﹣x+4；（2）y=2（x﹣1）2．
【提示】
(1)根据交点坐标先求直线l的函数解析式（2）抛物线的顶点坐标已知，设交点M的坐标，再根据S△AMP=3求出M的坐标，最后求出解析式.
【解答】
（1）设一次函数解析式为y=kx+b，
把A（4，0），B（0，4）分别代入解析式得
解得
解析式为y=﹣x+4．
（2）设M点的坐标为（m，n），
∵S△AMP=3，
∴（4﹣1）n=3，
解得，n=2，
把M（m，2）代入为2=﹣m+4得，m=2，
M（2，2），
∵抛物线y=a（x﹣h）2的顶点为P（1，0），
可得y=a（x﹣1）2，
把M（2，2）代入y=a（x﹣1）2得，2=a（2﹣1）2，解得a=2，函数解析式为y=2（x﹣1）2．
【点睛】
此题重点考察学生对函数解析式的理解，熟练解析式的求法是解题的关键.
24．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是，过点A作轴，垂足为B，连接，抛物线经过点A，与x轴正半轴交于点C．
（1）求c的值；
（2）将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在的内部（不包括的边界），求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【提示】
（1）将点A的坐标代入抛物线解析式，即可求解；
（2）函数的对称轴为，顶点坐标为(-1，4)，求得直线AO的函数表达式为：，当时，，即可求解．
【解答】
（1）将点A的坐标代入抛物线解析式，得：
，
解得；
（2）由（1）知抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为(-1，4)，
∵点A的坐标是，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，．
∵平移后得到的抛物线顶点落在的内部（不包括的边界），
∴，即．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数求一次函数的解析式，图形的平移等，注意利用数形结合思想解决问题．
25．如图，二次函数的图象与x轴相交于A，C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，点D为线段上一点（不与点O，C重合），以为边向上作正方形，连接，设点D的横坐标为m．
（1）当时，______，
当时，_______，
当时，________；
（2）根据（1）中的结果，猜想的大小，并证明你的猜想；
（3）当时，在坐标平面内有一点P，其横坐标为n，当以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出m与n满足的关系式．
【答案】（1）；8；；（2）．证明见解析；（3）当以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形时，m与n满足的关系式有和．
【提示】
（1）令，解得，求出点A的坐标为，令，求出点B的坐标为，再表示出D,E的坐标，再根据k,m的值代入求出坐标，再利用割补法即可求解面积；
（2）把k,m当做常数，利用割补法即可求出；
（3）根据，求出，再根据平行四边形的性质分三种情况讨论即可求解．
【解答】
（1）令，
解得，
∴点A的坐标为．
令，则，
∴点B的坐标为．
∵点D的横坐标为m，
∴点E的坐标为，点D的坐标为．
当时，，
；
当时，，
；
当时，，
．
故答案为；8；．
（2）．证明：由（1）知，
．
（3）设点P的坐标为．
∵，∴．
当以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形时，分三种情况：
①当为对角线时，令对角线的交点为M，如图（1）所示．
∵四边形为平行四边形，
∴点M平分，点M平分．
∵，
∴，
即．
②当为对边，且点P在点E的左侧时，延长，过点P作延长线于点N，如图（2）所示．
∵四边形为平行四边形，
∴，且，
∵，
∴，即．
③当为对边，且点P在点E的右侧时，延长，过点P作于点N，如图（3）所示．
∵四边形为平行四边形，
∴，且，
∴．
∵．
∴，
即．
综上可知：当以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形时，m与n满足的关系式有和．
【点睛】
此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、平行四边形的性质．
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1.2.1 二次函数的图像（1）
一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象
用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.
因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.
2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法
用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.
要点：二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
二、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象
1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象
（1）
（2）
2.二次函数与之间的关系；（上加下减）.
的图象向上（c＞0）或向下（c＜0）平移│c│个单位得到的图象.
要点：
抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．
函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．
抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．
三、函数与函数的图象
1.函数的图象
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴
向上 x=h
向下 x=h
2.函数的图象
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴
向上 x=h
向下 x=h
要点：
二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．
四、二次函数的平移
1.平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2.平移规律：
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
一、单选题
1．抛物线的顶点坐标是（ ）．
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．如果抛物线开口向下，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．如果二次函数图象的形状与的形状相同，且顶点坐标是，那么这个函数的解析式为（ ）
A． B．或
C． D．或
5．拋物线①y＝3x2，②y＝x2-2，③y＝x2+3x-1的开口大小从大到小的顺序是（ ）
A．①②③ B．②③① C．②①③ D．③②①
6．下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线的顶点是原点 B．抛物线的开口向下
C．抛物线的开口向上 D．抛物线的顶点是抛物线的最低点
7．抛物线可以由抛物线平移得到，下列平移正确的是（ ）
A．先向左平移3个单位长度，然后向上平移1个单位
B．先向左平移3个单位长度，然后向下平移1个单位
C．先向右平移3个单位长度，然后向上平移1个单位
D．先向右平移3个单位长度，然后向下平移1个单位
8．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
9．已知抛物线，顶点为D，将C沿水平方向向右（或向左）平移m个单位，得到抛物线，顶点为，C与相交于点Q，若，则m等于（ ）
A． B． C．﹣2或 D．﹣4或
10．在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣x的图象上有三点（x1，m）、（x2，m）、（x3，m），则x1+x2+x3的结果是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
二、填空题
11．抛物线的顶点坐标为____________________，对称轴为____________________；抛物线的顶点坐标为____________________，对称轴为____________________；抛物线的顶点坐标为____________________，对称轴为____________________．
12．把抛物线向左平移3个单位长度，就得到抛物线__________，抛物线是由抛物线向________平移_______个单位长度得到的，抛物线可以由抛物线向________平移________个单位长度得到．
13．已知抛物线的对称轴是直线x=4，则m=_____．
14．若二次函数y＝a（x＋h）2＋k的图象经过(－3，0)，(5，0)两点，则h的值为________．
15．已知二次函数的图象开口向下，则直线不经过的象限是第______象限．
16．如果抛物线的最高点是坐标轴的原点，那么的取值范围是__________．
17．在平面坐标系中，已知二次函数的图像与 轴交点为，与轴交点为，为坐标原点，则的面积是______.
18．已知二次函数（a为常数）．
（1）若，则二次函数的顶点坐标为___________；
（2）当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当时，二次函数的图象，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是___________．
三、解答题
19．在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．你能说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线有什么关系？
20．说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
21．（1）在同一直角坐标系中，画出函数与的图象．填写下列表格．
x … 0 1 2 3 4 …
… …
… …
（2）观察（1）中所画的图象，回答下面的问题：
①抛物线的开口向_______，对称轴是直线______，顶点坐标为______；
②抛物线的开口向______，对称轴是直线_______，顶点坐标为______．
22．把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数的图象
（1）求a，h，k的值；
（2）指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）当时，求函数y的取值范围．
23．已知，如图，直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，抛物线y=a（x﹣h）2的顶点为P（1，0），直线l与抛物线的交点为M．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）若S△AMP=3，求抛物线的解析式．
24．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是，过点A作轴，垂足为B，连接，抛物线经过点A，与x轴正半轴交于点C．
（1）求c的值；
（2）将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在的内部（不包括的边界），求m的取值范围．
25．如图，二次函数的图象与x轴相交于A，C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，点D为线段上一点（不与点O，C重合），以为边向上作正方形，连接，设点D的横坐标为m．
（1）当时，______，
当时，_______，
当时，________；
（2）根据（1）中的结果，猜想的大小，并证明你的猜想；
（3）当时，在坐标平面内有一点P，其横坐标为n，当以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出m与n满足的关系式．
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