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2.3 一元二次方程的应用(1)
浙教版 八年级下
复习回顾
问题1：一元二次方程的解法有哪些？
问题2：列一元一次方程解应用题的步骤是什么？
①因式分解法
②开平方法
③配方法
④公式法
④解方程
②设未知数
③列方程
①审题
⑤检验
⑥作答
常见的几个量有：进价，售价，利润，利润率.
利润=售价-进价
利润=利润率x进价
利润率= ×100%
我们学过的有关销售利润问题中常见的量有哪些？它们之间有怎样的数量关系？
数量关系：
新知讲解
典例精析
例1 某花圃用花盆培育某种花苗,经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.当每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆每增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株
从题目中你能发现什么信息？
从题目中你能得到什么数量关系？
新知讲解
分析: 本题涉及的主要数量有每盆的花苗株数，平均单株盈利，每盆花苗的盈利。主要数量关系有：
平均单株盈利×株数=每盆盈利;
平均单株盈利=3-0.5×每盆增加的株数.
新知讲解
（1）若每盆增加1株，此时每盆花苗有（3+____）株，
平均单株盈利为（3－0.5×____）元
（2）若每盆增加2株，此时每盆花苗有（3+____）株，
平均单株盈利为（3－0.5×____）元
（3）若每盆增加x株，此时每盆花苗有（3+____）株，
平均单株盈利为（3－0.5×____）元
（4）每盆盈利=____________×________________
根据题意填空。
1
1
2
2
x
x
(x+3)
(3-0.5x)
新知讲解
解:设每盆花苗增加的株数为x株,则每盆花苗有（x+3）株,平均单株盈利为（3-0.5x）元.由题意得
(x+3)(3-0.5x)=10
化简，整理，得 x2-3x+2=0
解这个方程，得:x1=1，x2=2
经检验，x1=1,x2=2都是方程的解，且符合题意.
答:要使每盆的盈利达到10元,每盆应植入4株或5株.
想一想
列一元二次方程解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题相同吗？列一元二次方程解应用题时，你认为有哪些地方更需引起注意？
列一元二次方程解应用题时，应该注意求出来的根是否满足题意.
列一元二次方程解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题相同。
归纳总结
列方程解应用题的步骤有:
审
设
列
解
即审题，找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系.
设元，包括设直接未知数或间接未知数，以及用未知数字母的代数式表示其他相关量.
根据等量关系列出方程.
解方程.
验
检验根的准确性及是否符合实际意义.
典例精析
例2 根据图中的统计图，求2009年到2011年，我国风电新增装机容量的平均年增长率(精确到0.1 % ).
典例精析
思考回答下列几个问题。
（1）增长率与什么有关系？
（2）年平均增长率怎么算？
（3）x的正负性有什么意义？
增长率与时间相关. 弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长率.
a(1+x)n =b（等量关系）
当x>0时表增长，当x<0时表示下降.
a为变化前的量
b为变化后的量
n为变化的期数
典例精析
解：设2009年到2011年，我国风电新增装机容量的平均年增长率为x.
由题意可以列出方程1380（1+x）2=2066
解这个方程，得
答：从2009年到2011年我国风电新增装机容量的平均年增长率
约为22.4%.
1.将进货单价为40元/个的商品按50元/个出售时,每月可售出500个.经市场调查发现,该商品每个每涨价1元,其月销量就减少10个,为了每月赚8000元,则每个应涨价多少元 设每个应涨价x元,依据题意可列方程为 ( )
A.(50-40+x)(500-10x)=8000
B.(40+x)(500-10x)=8000
C.(50+x)(500-10x)=8000
D.(50-40+x)(500-x)=8000
课堂练习
A
课堂练习
2．某市2017年年底自然保护区覆盖率为8%,经过两年努力,该市2019年年底自然保护区覆盖率达到9%,求该市这两年自然保护区覆盖率的年平均增长率.设年平均增长率为x,可列方程为 ( )
A.9%(1-x)2=8% B.8%(1-x)2=9%
C.9%(1+x)2=8% D.8%(1+x)2=9%
C
3.为迎接世合赛，绍兴市政府加大了绿化的力度，从2月份开始到4月份，绿化面积增加了44%，则平均每个月的绿化增长率为________．
4.从空中投下的炸弹速度会越来越快，其下落的高度h(m)与时间t(s)间的关系式为h＝at2，若a取近似值10 m/s2，则从2 000 m的空中投下的炸弹落至地面目标，大约需要的时间为________．
20%
20 s
课堂练习
5.某商场销售一批鞋子,平均每天可售出20双,每双盈利50元.为了扩大销售,增加盈利,商场决定采取降价措施,经调查发现:每双鞋子每降价1元,商场平均每天可多售出2双.
(1)若每双鞋子降价20元,则商场平均每天可售出多少双鞋子
(2)若商场每天要盈利1750元,且让顾客得到尽可能多的实惠,每双鞋子应降价多少元
课堂练习
解:(1)若每双鞋子降价20元,
则商场平均每天可多售出2×20=40(双).
20+40=60(双).
答:若每双鞋子降价20元,则商场平均每天可售出60双鞋子.
(2)设每双鞋子应降价x元.由题意,得(50-x)(20+2x)=1750,
整理,得x2-40x+375=0, 解得x1=15,x2=25.
∵让顾客得到尽可能多的实惠,
∴x=25.
答:每双鞋子应降价25元.
拓展提高
6.水果批发市场有一种高档水果，如果每千克盈利(毛利润)10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克．
(1)若以每千克能盈利18元的单价出售，问每天的总毛利润为多少元？
(2)现市场要保证每天总毛利润6 000元，同时又要使顾客得到实惠，则每千克应涨价多少元？
(3)现需按毛利润的10%缴纳各种税费，人工费每日按销售量每千克支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5 100元，则每千克应涨价多少元？
拓展提高
解：(1)设每千克盈利x元，可售y千克，则y＝500－20(x－10)＝－20x＋700，
当x＝18时，y＝340，则每天的毛利润为18×340＝6 120元；
(2)由题意得x(－20x＋700)＝6 000，解得x1＝20，x2＝15，
∵要使顾客得到实惠，应选x＝15，∴每千克应涨价15－10＝5元；
(3)由题意得x(－20x＋700)－10%x(－20x＋700)－0.9(－20x＋700)－102＝5 100，
解得x1＝x2＝18，则每千克应涨价18－10＝8元．
中考链接
7.【中考·抚顺】某公司今年销售一种产品，1月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同，设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为( )
A．10(1＋x)2＝36.4
B．10＋10(1＋x)2＝36.4
C．10＋10(1＋x)＋10(1＋2x)＝36.4
D．10＋10(1＋x)＋10(1＋x)2＝36.4
D
课堂总结
本节课你学到了什么？
列一元二次方程解应用题的基本步骤：
(1)审题：理解题意，分清有哪些已知量、未知量
(2)设元（未知数）。
(3)寻找相等关系，列方程。
(4)解方程
(5)检验根的准确性及是否符合实际意义。
(6)作答
板书设计
2.3 一元二次方程的应用(1)
1.一元二次方程解应用题.
2.列一元二次方程解应用题的步骤.
3.经过两年的年平均变化率x与原量a和现量b之间的关系是：
a(1+x)2 =b（等量关系）.
作业布置
课本 P41 练习题
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2.3.1 一元二次方程的应用教学设计
课题 2.3.1 一元二次方程的应用 单元 2 学科 数学 年级 八
学习 目标 1. 会分析实际应用问题中的数量关系，找出等量关系，并列一元二次方程解应用题. 2. 联系实际，经历“问题情境-----建立模型------求解-------解释与应用”的过程，培养学生化实际问题为数学问题的能力及分析问题、解决问题的能力.
重点 列一元二次方程解应用题..
难点 寻找等量关系列方程
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 问题1：一元二次方程的解法有哪些？ 问题2：列一元一次方程解应用题的步骤是什么？ 由学生举手回答 巩固原有知识后，引导学生寻找新方法
讲授新课 我们学过的有关销售利润问题中常见的量有哪些？它们之间有怎样的数量关系？ 常见的几个量有：进价，售价，利润，利润率. 数量关系： 利润=售价-进价 利润=利润率x进价 利润率= ×100% 例1 某花圃用花盆培育某种花苗,经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.当每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆每增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株 从题目中你能发现什么信息？ 从题目中你能得到什么数量关系？ 为了让学生能比较清楚地理解题目中的数量关系，设置以下问题： （1）若每盆增加1株，此时每盆花苗有（3+____）株，平均单株盈利为（3－0.5×____）元 （2）若每盆增加2株，此时每盆花苗有（3+____）株，平均单株盈利为（3－0.5×____）元 （3）若每盆增加x株，此时每盆花苗有（3+____）株，平均单株盈利为（3－0.5×____）元 （4）每盆盈利=____________×________________ 然后引导学生完成例1 列一元二次方程解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题相同吗？列一元二次方程解应用题时，你认为有哪些地方更需引起注意？ 列一元二次方程解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题相同。 列一元二次方程解应用题时，应该注意求出来的根是否满足题意. 列方程解应用题的步骤有: 审，设，列，解，验 例2 根据图中的统计图，求2009年到2011年，我国风电新增装机容量的平均年增长率(精确到0.1 % ). 思考回答下列几个问题。 （1）增长率与什么有关系 （2）年平均增长率怎么算？ （3）x的正负性有什么意义？ 学生以学习小组为单位，分组合作、交流讨论 引导学生总结列一元二次方程的步骤。 学生根据提示，自主解答 依靠学生感性认识的积累，让学生自己去分析，从而变“学会”为“会学”，使学生真正成为学习的主人，而不是知识的奴隶 采用学生先自主解答，然后小组交流，从而得出结果，通过自己解答，提高学生自主探索的能力 让学生自己归纳并给出公式，只有他们自己发现的才是最有用的，也让学生体验成功的喜悦，进一步激发学习兴趣
课堂练习 1.将进货单价为40元/个的商品按50元/个出售时,每月可售出500个.经市场调查发现,该商品每个每涨价1元,其月销量就减少10个,为了每月赚8000元,则每个应涨价多少元 设每个应涨价x元,依据题意可列方程为 ( ) A.(50-40+x)(500-10x)=8000 B.(40+x)(500-10x)=8000 C.(50+x)(500-10x)=8000 D.(50-40+x)(500-x)=8000 2．某市2017年年底自然保护区覆盖率为8%,经过两年努力,该市2019年年底自然保护区覆盖率达到9%,求该市这两年自然保护区覆盖率的年平均增长率.设年平均增长率为x,可列方程为 ( ) A.9%(1-x)2=8% B.8%(1-x)2=9% C.9%(1+x)2=8% D.8%(1+x)2=9% 3.为迎接世合赛，绍兴市政府加大了绿化的力度，从2月份开始到4月份，绿化面积增加了44%，则平均每个月的绿化增长率为________． 4.从空中投下的炸弹速度会越来越快，其下落的高度h(m)与时间t(s)间的关系式为h＝at2，若a取近似值10 m/s2，则从2 000 m的空中投下的炸弹落至地面目标，大约需要的时间为________． 5.某商场销售一批鞋子,平均每天可售出20双,每双盈利50元.为了扩大销售,增加盈利,商场决定采取降价措施,经调查发现:每双鞋子每降价1元,商场平均每天可多售出2双. (1)若每双鞋子降价20元,则商场平均每天可售出多少双鞋子 (2)若商场每天要盈利1750元,且让顾客得到尽可能多的实惠,每双鞋子应降价多少元 6.水果批发市场有一种高档水果，如果每千克盈利(毛利润)10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克． (1)若以每千克能盈利18元的单价出售，问每天的总毛利润为多少元？ (2)现市场要保证每天总毛利润6 000元，同时又要使顾客得到实惠，则每千克应涨价多少元？ (3)现需按毛利润的10%缴纳各种税费，人工费每日按销售量每千克支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5 100元，则每千克应涨价多少元？ 7.【中考·抚顺】某公司今年销售一种产品，1月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同，设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为( ) A．10(1＋x)2＝36.4 B．10＋10(1＋x)2＝36.4 C．10＋10(1＋x)＋10(1＋2x)＝36.4 D．10＋10(1＋x)＋10(1＋x)2＝36.4 学生自主解答，老师订正答案 课堂测试，检验学习结果
课堂小结 列一元二次方程解应用题的基本步骤： (1)审题：理解题意，分清有哪些已知量、未知量 (2)设元（未知数）。 (3)寻找相等关系，列方程。 (4)解方程 (5)检验根的准确性及是否符合实际意义。 (6)作答 学生自由回答 梳理和巩固知识
板书 2.3 一元二次方程的应用(1) 1.一元二次方程解应用题. 2.列一元二次方程解应用题的步骤. 3.经过两年的年平均变化率x与原量a和现量b之间的关系是： a(1+x)2 =b（等量关系）.
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