(共28张PPT)
2.3 一元二次方程的应用(2)
浙教版 八年级下
新知导入
列方程解应用题有哪些步骤？
理解问题:审题;找出题中的有关的量;
找出所涉及的基本数量关系;
制订计划:找出本题中作为列方程直接依据的相等关系;
设元(分直接和间接设);用代数式表示有关的量.
执行计划:列方程(关键);解方程(可稍简);
回顾:检验方程的根是否解答正确及是否符合实际意义(细节处)
并作答.
包装盒是同学们非常熟悉的，手工课上，老师给同学发下一张长４０厘米，宽２５厘米的长方形硬纸片，要求做一个无盖纸盒，请问你该如何做？(可以有余料)
40cm
25cm
新知讲解
思考
请问：
１、同学做的纸盒大小都相同吗？
与什么有关？
为什么会产生不同呢？
2、若确定小正方形边长为５厘米，你还能
计算哪些量？
典例精析
例1 如图甲，有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图乙的无盖纸盒。若纸盒的底面积是450cm2，则纸盒的高是多少？
40
25
单位：cm
甲
乙
新知讲解
思考回答下列问题：
（1）若设纸盒的高为x，那么裁去的四个正方形的边长为多少？
（2）底面的长和宽能否用含x的代数式表示？
（3）你能找出题中的等量关系吗？你怎样列方程？
（4）请每位同学自己检验两根，发现什么？
40
25
单位：cm
x
新知讲解
分析：设纸盒的高为x（cm），那么裁去的四个小正方形的边长也为x（cm），这样就可以用关于x的代数式表示纸盒底面长方形的长和宽，根据纸盒的底面积是450cm2，就可以列出方程。
40
25
单位：cm
x
新知讲解
40
25
单位：cm
x
解：设纸盒的高为x（cm），则纸盒底面长方形的长和宽分别为（40-2x）cm，（25-2x）cm
由题意得（40－2x)(25 -2x)=450
化简整理得2x -65x+275=0
解这个方程，得
x1=5，x2=27.5(不合题意，舍去)
答：纸盒的高为5cm
试一试
取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形，并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒。要使包装盒的容积为200cm3（纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少cm？
设长为5x，宽为2x，得：
5（5x-10）（2x-10）=200
合作学习
一轮船（C）以30 km/h的速度由西向东航行在途中接到台风警报,台风中心正以20 km/h的速度由南向北移动,已知距台风中心200 km的区域(包括边界)都属于受台风影响区,当轮船接到台风警报时,测BC=500km,BA=300km.
北
东
C
B
200km
500km
A
（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？你采用什么方法来判断？
（2）如果你认为轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经多少时间就进入台风影响区？
新知讲解
北
东
C
B
200km
500km
A
【思考】①假设经过t小时，轮船和台风中心分别在C1 ,B1的位置。
你能求出AC1和AB1的距离吗？
C1
B1
因为BC=500 km,BA=300 km,
所以由勾股定理可知AC=400 km。
经过t小时
AC1=(400-30t)km；
AB1=(300-20t)km
新知讲解
北
东
C
B
200km
500km
A
【思考】②运用数形结合的方法寻找等量关系，并列出方程。
C1
B1
根据△AB1C1是直角三角形得：B1C12=AC12+AB12
当船与台风影响区接触时B1C1符合什么条件？
B1C1=200 km
所以列出等量关系：
(400-30t)2+(300-20t)2=2002
新知讲解
解方程：(400-30t)2+(300-20t)2=2002
整理方程得:13t2-360×t+2100=0
利用公式法b2－4ac=3602-4×13×2100=20400＞0
∴方程有解，故轮船会进入台风影响区。
新知讲解
解方程：(400-30t)2+(300-20t)2=2002
整理方程得:13t2-360×t+2100=0
∵轮船从点C运动到点A的时间为
∴t=19.34h不符合题意，∴t=8.35h
答：从接到警报开始，经8.35h就进入台风影响区。
讨论
如果把船速改为10 km/h,结果将怎样
北
东
C
B
200km
500km
A
解:设当轮船接到台风警报后,经过t小时,则令：
(400-10t)2+(300-20t)2=2002
化简，得：t2-40t+420=0
由于此方程无实数根
∴轮船继续航行不会受到台风的影响。
课堂练习
1．如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的长方形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是( )
A．(32－2x)(20－x)＝570
B．32x＋2×20x＝32×20－570
C．(32－x)(20－x)＝32×20－570
D．32x＋2×20x－2x2＝570
A
课堂练习
2．如图，在宽为20米、长为32米的长方形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽应为( )
A．5米 B．3米 C．2米 D．2米或5米
C
课堂练习
3．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块是面积为20 m2的长方形空地，则原正方形空地的边长是________m.
7
课堂练习
4．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s，则经过__________秒后，P，Q两点之间相距25 cm.
10
拓展提高
5.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝3 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发．几秒钟后，P，Q间的距离等于cm
拓展提高
解：设x s后，PQ＝4cm，
则BP＝6－x，BQ＝2x.
∴(6－x)2＋(2x)2＝(4 )2，
解得x1＝0.4，x2＝2(不合题意，舍去)．
答：0.4 s后，P，Q间的距离等于4cm；
中考链接
6.（中考 襄阳）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？
中考链接
解：设小路的宽应为xm，
根据题意得：（16-2x）（9-x）=112，
解得：x1=1，x2=16．
∵16＞9，
∴x=16不符合题意，舍去，
∴x=1．
答：小路的宽应为1m．
课堂总结
这节课你学到了什么？
列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、找、列、解、答。
需要特别注意的是，在列一元二次方程解应用题时，由于所的的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求。
板书设计
2.3 一元二次方程的应用(2)
1.列一元二次方程解决面积问题
2.列一元二次方程解决动点问题
作业布置
课本 P43 练习题
谢谢
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2.3.2 一元二次方程的应用教学设计
课题 2.3.2 一元二次方程的应用 单元 2 学科 数学 年级 八
学习 目标 1．继续探索一元二次方程的实际应用，进一步体验到列一元二次方程解应用题的应用价值； 2．进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能。
重点 继续探索一元二次方程的应用.
难点 “合作学习”的问题较为复杂，计算量大是本节教学的难点。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 列方程解应用题有哪些步骤？ 由学生举手回答 巩固原有知识后，引导学生寻找新方法
讲授新课 包装盒是同学们非常熟悉的，手工课上，老师给同学发下一张长４０厘米，宽２５厘米的长方形硬纸片，要求做一个无盖纸盒，请问你该如何做？(可以有余料) 请问： 同学做的纸盒大小都相同吗？ 为什么会产生不同呢？与什么有关？ 2、若确定小正方形边长为５厘米，你还能 计算哪些量？ 例1 如图甲，有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图乙的无盖纸盒。若纸盒的底面积是450cm2，则纸盒的高是多少？ 思考回答下列问题： （1）若设纸盒的高为x，那么裁去的四个正方形的边长为多少？ （2）底面的长和宽能否用含x的代数式表示？ （3）你能找出题中的等量关系吗？你怎样列方程？ （4）请每位同学自己检验两根，发现什么？ 解：设纸盒的高为x（cm），则纸盒底面长方形的长和宽分别为（40-2x）cm，（25-2x）cm 由题意得（40－2x)(25 -2x)=450 化简整理得2x -65x+275=0 解这个方程，得 x1=5，x2=27.5(不合题意，舍去) 答：纸盒的高为5cm 合作学习： 一轮船（C）以30 km/h的速度由西向东航行在途中接到台风警报,台风中心正以20 km/h的速度由南向北移动,已知距台风中心200 km的区域(包括边界)都属于受台风影响区,当轮船接到台风警报时,测BC=500km,BA=300km. （1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？你采用什么方法来判断？ （2）如果你认为轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经多少时间就进入台风影响区？ （3）如果把航速改为10 Km/h，结果怎样？ 提示：（1）若以接到台风警报开始，经t时轮船到达C1，台风中心到达B1，那么船是否受到台风影响与什么有关系？ （2）当B1C1符合什么条件时，船会受到台风的影响？ （3）你能用关于t的代数式表示B1C1两点之间的距离吗？ （4）你能用一元二次方程表示船开始受台风影响的条件吗？ 学生以学习小组为单位，分组合作、交流讨论 引导学生找出等量关系，列方程解决问题 学生根据提示，自主解答 依靠学生感性认识的积累，让学生自己去分析，从而变“学会”为“会学”，使学生真正成为学习的主人，而不是知识的奴隶 采用学生先自主解答，然后小组交流，从而得出结果，通过自己解答，提高学生自主探索的能力 将数学知识运用到实际应用中，在分析问题的过程中，体验数学的乐趣。
课堂练习 1．如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的长方形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是( ) A．(32－2x)(20－x)＝570 B．32x＋2×20x＝32×20－570 C．(32－x)(20－x)＝32×20－570 D．32x＋2×20x－2x2＝570 2．如图，在宽为20米、长为32米的长方形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽应为( ) A．5米 B．3米 C．2米 D．2米或5米 3．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块是面积为20 m2的长方形空地，则原正方形空地的边长是________m. 4．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s，则经过__________秒后，P，Q两点之间相距25 cm. 5.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝3 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发．几秒钟后，P，Q间的距离等于cm 6.（中考 襄阳）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？ 学生自主解答，老师订正答案 课堂测试，检验学习结果
课堂小结 列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、找、列、解、答。 需要特别注意的是，在列一元二次方程解应用题时，由于所的的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求。 学生自由回答 梳理和巩固知识
板书 2.3 一元二次方程的应用(2) 1.列一元二次方程解决面积问题 2.列一元二次方程解决动点问题
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