(共22张PPT)
2.4 一元二次方程根与系数的关系
浙教版 八年级下
情境导入
把一元二次方程x -2015x+1024=0的两个根表示成,,请用3秒算出两根之和,以及两根之积
新知讲解
先解下列方程，然后计算这些方程的两根之和与两根之积：
(1)x2-12x+11=0 (2)x2-9=0 (3)4x2+20x+25=0
方程 两个根 两根之和 两根之积
x1 x2 x1+x2 x1·x2
x2-12x+11=0
x2-9=0
4x2+20x+25=0
1
11
12
11
3
-3
0
-9
-5
新知讲解
猜想：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根
为 ，则
思考：你能证明这个猜想吗？
新知讲解
证明：设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的两个根为x1，x2
新知讲解
归纳总结
一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1， x2，那么
【特别强调】满足上述关系的前提条件：b2-4ac≥0.
韦达定理
把一元二次方程x -2015x+1024=0的两个根表示成,,请用3秒算出两根之和,以及两根之积
你能行吗？
练一练
新知讲解
例1 设x1，x2是一元二次方程5x2-7x-3=0的两个根，
求 x12+x22和的值.
解：有一元二次方程的根与系数的关系，得
∴
∴
总结归纳
【点睛】求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
新知讲解
例2 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是，1写出这个方程.
解 设这个方程为3x2+bx+c=0，由一元二次方程根与系数的关系，得
所以这个一元二次方程是3x2-4x+1=0.
拓展延伸
（1）根与系数的关系是在a≠0，b2－4ac≥0的前提下提出的
（2）一元二次方程根与系数的关系还有两个重要推论。
推论1：若方程x2+px+q=0的两根为x1，x2，则有x1+x2=-p
x1·x2=q
推论2：以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
x2+（x1+x2）x+x1·x2=0
课堂练习
1.一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是 ( )
A．4 B．－4 C．3 D．－3
D
2.若关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为 ( )
A. m＝－2 B. m＝3
C. m＝3或m＝－2 D. m＝－3或m＝2
C
课堂练习
3. 方程的两根和为4，积为-3，则a= ，b= .
4.已知x1，x2是关于x的方程x2－(a＋b)x＋ab－1＝0的两个实数根，有下列结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12＋x22＜a2＋b2.其中正确的是______(填序号).
①②
8
3
课堂练习
5.已知关于x的方程x2－mx－3＝0的两实数根为x1，x2(x1＞x2)，若x1＋x2＝2，求x1，x2的值．
解：∵x1＋x2＝2，∴m＝2.
∴原方程为x2－2x－3＝0，
即(x－3)(x＋1)＝0，
解得x1＝3，x2＝－1.
拓展提高
6.若12＜m＜60(m为整数)，且关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2＝0的两个根都为整数，求m的值.
∵Δ＝b2－4ac＝[－2(m＋1)]2－4m2＝8m＋4＝4(2m＋1)，
∴2m＋1是完全平方数.
∵12＜m＜60，∴25＜2m＋1＜121.
又∵2m＋1是奇数，
∴2m＋1＝49或81，
解得m＝24或40.
当m＝24时，方程的两个根分别为32和18；
当m＝40时，方程的两个根分别为32和50.
故m＝24或40.
中考链接
7.（中考 广东）已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，下列结论错误的是（ ）
A．x1≠x2 B．x12-2x1=0 C．x1+x2=2 D．x1 x2=2
D
课堂总结
2．应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即当且仅当b2－4ac≥0 时，才能应用根与系数的关系.
1．一元二次方程根与系数的关系是什么？
这节课你学到了什么？
如果x1，x2是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根，那么
x1+x2= ，x1·x2=
板书设计
2.4 一元二次方程根与系数的关系
1.如果x1，x2是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根，那么
x1+x2= ，x1·x2=
作业布置
课本 P47 练习题
谢谢
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2.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计
课题 2.4一元二次方程的根与系数的关系 单元 1 学科 数学 年级 八
学习 目标 1.经历一元二次方程根与系数关系的发现过程，培养学生善于观察、思考、归纳、概括的能力； 2.理解一元二次方程根与系数关系及其证明过程，培养学生逻辑推理能力及严谨的学习态度； 3.会应用一元二次方程根与系数关系求含两根的代数式的值；构造满足某种条件的一元二次方程，培养学生的转化、类比等知识迁移能力。
重点 一元二次方程根与系数关系及其应用
难点 一元二次方程根与系数关系的证明及应用定理解决相关问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 把一元二次方程x -2015x+1024=0的两个根表示成,,请用3秒算出两根之和,以及两根之积 学生思考回答 提出问题，学生思考，引起学生探讨的兴趣
讲授新课 先解下列方程，然后计算这些方程的两根之和与两根之积： (1)x2-12x+11=0 (2)x2-9=0 (3)4x2+20x+25=0 猜想：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为 ，则 验证定理：根据上面探究得出的规律，我们猜想：设和是方程的两个根，则 ， 。 能不能运用我们以前学过的知识证明一下？ 例1 设x1，x2是一元二次方程5x2-7x-3=0的两个根， 求 x12+x22和的值. 解：有一元二次方程的根与系数的关系，得 ∴ ∴ 例2 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是，1写出这个方程. 解 设这个方程为3x2+bx+c=0，由一元二次方程根与系数的关系，得=-，解得b=-4 ，解得c=1 所以这个一元二次方程是3x2-4x+1=0. 找学生代表回答问题 学生合作交流后得出定理 观察 思考 练习 部分学生板演 学生自主思考，解答问题 让学生通过计算、对比、归纳，感性地得出一元二次方程的根与系数关系的一般规律，培养学生发现问题，探求规律的良好学习习惯。 让学生发现问题、探求规律，再从理论角度加以验证，经历从特殊到一般（观察、分析--归纳、猜想--验证）的科学探究过程，培养学生严谨科学的求学态度。 通过求关于一元二次方程的两根 ， 的代数式的值，让学生进一步熟悉根与系数关系，让学生通过观察找出代数式与 、 之间的联系，运用整体代换的数学思想简化运算。 利用待定系数法确定满足某种条件的方程，学生在求解过程中可能出现不同解法，使学生体会到应用根与系数构造方程解题的灵活性和简便性
课堂练习 1.一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是 ( ) A．4 B．－4 C．3 D．－3 2.若关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为 ( ) A. m＝－2 B. m＝3 C. m＝3或m＝－2 D. m＝－3或m＝2 3. 方程的两根和为4，积为-3，则a= ，b= . 4.已知x1，x2是关于x的方程x2－(a＋b)x＋ab－1＝0的两个实数根，有下列结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12＋x22＜a2＋b2.其中正确的是______(填序号). 5.已知关于x的方程x2－mx－3＝0的两实数根为x1，x2(x1＞x2)，若x1＋x2＝2，求x1，x2的值． 6.若12＜m＜60(m为整数)，且关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2＝0的两个根都为整数，求m的值. 7.（中考 广东）已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，下列结论错误的是（ ） A．x1≠x2 B．x12-2x1=0 C．x1+x2=2 D．x1 x2=2 学生自主解答，老师订正答案 巩固和运用二次根式的两个性质
课堂小结 一元二次方程根与系数的关系是什么？ 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为 ，则 2．应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即当且仅当b2－4ac≥0 时，才能应用根与系数的关系. 学生自由回答 梳理和巩固知识
板书 2.4 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为 ，则
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