(共30张PPT)
3.3 标准差和方差
浙教版 八年级下
复习回顾
平均数、中位数和众数的异同点：
1.平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量；
2.平均数、众数和中位数都有单位；
3.平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广；
4.中位数不受个别偏大或偏小数据的影响 ；
5.众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据.
新知导入
如果要选拔射击手参加射击比赛，应该挑选测试成绩中曾达到最好成绩的选手，还是成绩最稳定的选手呢？
新知讲解
选谁去参加比赛呢？
我们先来算一算甲和乙命中环数的平均数吧！
甲、乙两人的测试成绩统计如下：
新知讲解
（1）请分别计算两名射手的平均成绩；
答：这两名射手的平均成绩分别是8环。
咦？平均数一样耶！那怎么比较两人成绩的好坏呢？
大家可以看出甲的成绩和乙的成绩起伏变化似乎不相同.
我们来画折线图直观地比较一下
甲、乙两人的测试成绩统计如下：
新知讲解
新知讲解
0
1
2
2
3
4
5
4
6
8
10
成绩（环）
甲
乙
射击次序
（2） 请根据这两名射击手的成绩在下图中画出折线统计图；
新知讲解
（3）现要挑选一名射击手参加比赛，若你是教练，你认为挑选哪一位比较合适？为什么？(各小组讨论)
甲、乙两人的平均成绩相同，但是甲每次的射击成绩都均数8，而乙每次的射击成绩偏离平均数较大. 评价数据的稳定性时，我们通常将各数据偏离平均数的波动程度作为指标。
新知讲解
甲射击成绩与平均成绩的偏差的和：
乙射击成绩与平均成绩的偏差的和：
（7-8）+（8-8）+（8-8）+（8-8）+（9-8）=0
（10-8）+（6-8）+（10-8）+（6-8）+（8-8）=0
直接计算射击成绩与平均成绩偏差的和，发现它们是一样的.
新知讲解
②计算甲、乙两人每次射击成绩与平均成绩的偏差的平方和
甲射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：
(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＝2；
乙射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：
(10－8)2＋(6－8)2＋(10－8)2＋(6－8)2＋(8－8)2＝16
你发现了甲乙的区别了吗？
上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？
——与射击次数有关！
用各偏差平方和的平均数来衡量数据的稳定性.
归纳总结
一般地，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数
叫做这组数据的方差.
归纳总结
方差的意义
方差用来衡量一组数据的波动大小(即这组数据偏离平均数的大小).
方差越大，数据的波动越大,越不稳定；
方差越小，数据的波动越小,越稳定.
【说明】
1.方差是衡量数据稳定性的一个统计量；
2.方差的单位是所给数据单位的平方.
思考
求方差的步骤是什么？
再求差
然后平方
最后再平均
求平均
新知讲解
所以甲的成绩比乙的成绩稳定，应该选择甲去参加比赛。
甲的方差：
(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＝0.4
乙的方差：
(10－8)2＋(6－8)2＋(10－8)2＋(6－8)2＋(8－8)2＝3.2
甲的方差<乙的方差
新知讲解
【例】为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中抽出10株苗，测得苗高如下(单位:cm):
甲: 12 13 14 15 10 16 13 11 15 11
乙: 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16
问：哪种小麦长得比较整齐
新知讲解
(12+13+14+15+10+16+13+11+15+11)=13(cm);
(11+16+17+14+13+19+6+8+10+16)=13(cm);
解：
新知讲解
因为S2甲新知讲解
数据的单位与方差的单位一致吗？
不一致，方差的单位是数据单位的平方.
为了使单位一致，可用方差的算术平方根来表示，并把它叫做标准差.
特殊地：如果方差与标准差都为0，说明数据没有偏差，即每个数都一样.
归纳总结
1.方差主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标.
2.在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小.
3.标准差实际是方差的一个变形，只是方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同.
课堂练习
1.样本方差的作用是（ ）
A.表示总体的平均水平 B.表示样本的平均水平
C.准确表示总体的波动大小 D.表示样本的波动大小,从而估计总体的波动大小
D
2.人数相同的八年级（1）、（2）两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差下：， , ，则成绩较为稳定的班级是（ ）
A.甲班 B.乙班 C.两班成绩一样稳定 D.无法确定
B
课堂练习
3.小凯同学参加数学竞赛训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示，则他这五次成绩的方差 为 .
100
课堂练习
4.在样本方差的计算公式 中， 数字10 表示___________ ，数字20表示 _______.
样本容量
平均数
5.五个数1，3，a，5，8的平均数是4，则a =_____，这五个数的方差_____.
3
5.6
拓展提高
6．为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取5株麦苗，测得苗高(单位：cm)如下：
甲：6，8，9，9，8； 乙：10，7，7，7，9.
(1)分别计算两种小麦的平均苗高；
拓展提高
甲：6，8，9，9，8； 乙：10，7，7，7，9.
(2)哪种小麦的长势比较整齐？为什么？
中考链接
7.（中考 徐州）已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1＋2，3x2＋2，3x3＋2，3x4＋2，3x5＋2的平均数和方差分别是________．
8和3
课堂总结
1. 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，通常用S2 表示，即
2.标准差
这节课你学到了什么？
板书设计
1、什么是方差。
2、什么是标准差。
3、求方差的一般步骤。
3.3 标准差和方差
作业布置
课本 P67 练习题
谢谢
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3.3方差与标准差教学设计
课题 3.3方差与标准差 单元 3 学科 数学 年级 八
学习 目标 掌握方差、标准差的概念，会求出一组数据的方差与标准差； 能结合具体情境体会平均数、方差和标准差三者的区别，能初步选择恰当的数据代表对数据作出自己的正确评判.
重点 掌握方差、标准差的概念
难点 选择恰当的数据代表对数据作出自己的正确评判。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 平均数、中位数和众数的异同点： （1）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量； （2）平均数、众数和中位数都有单位； （3）平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广； （4）中位数不受个别偏大或偏小数据的影响 ； （5）众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据。 学生思考回答 学生回顾知识，为学习方差奠定基础
讲授新课 思考： 选拔射击手参加比赛时，我们应该挑选测试成绩中曾达到最好成绩的选手，还是成绩最稳定的选手？ 甲、乙两名射击手的测试成绩统计如下： (1)甲、乙两名射击手的极差分别是多少？ (2)请分别计算两名射击手的平均成绩； (3)请分别计算两名射击手的成绩与平均数的差（即偏差）。 (4)甲、乙两人成绩的偏差的平均数是多少？ (5)现要挑选一名射击手参加比赛，若你是教练，你能根据偏差的平均数挑选射击手参加比赛吗？为什么？ 选谁去参加比赛呢？
我们先来算一算甲和乙命中环数的平均数吧！ 咦？平均数一样耶！那怎么比较两人成绩的好坏呢？
我们来画折线图直观地比较一下
甲、乙两人的平均成绩相同，但是甲每次的射击成绩都均数8，而乙每次的射击成绩偏离平均数较大. 在评价数据的稳定性是，我们通常将各数据偏离平均数的波动程度作为指标。
直接计算射击成绩与平均成绩偏差的和，发现它们是一样的。
现在我们计算一下甲、乙两人每次射击成绩与平均成绩的偏差的平方和.
你发现了甲乙的区别了吗？ 上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？ ——与射击次数有关！ 用各偏差平方和的平均数来衡量数据的稳定性 一般地，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差. 例: 为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中抽出10
株苗，测得苗高如下(单位:cm):
甲: 12 13 14 15 10 16 13 11 15 11
乙: 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16
问哪种小麦长得比较整齐
数据的单位与方差的单位一致吗？ 不一致，方差的单位是数据单位的平方。
为了使单位一致，可用方差的算术平方根：
来表示，并把它叫做标准差.
特殊的：如果方差与标准差为零，说明数据
都没有偏差，即每个数都一样 。 学生讨论，思考，解答，老师巡视 学生合作交流后得出结论 学生自主思考，解答问题 从一个学生认为可以很容易解决的问题入手，不停的制造矛盾，而且矛盾是确实客观存在和可接受的。但即便如此，设计的问题还要让学生看得到解决的希望，数据的变化要有特点：即：水平的差距是能让学生显而易见看得到的。 让学生发现问题、探求规律，再从理论角度加以验证，经历从特殊到一般（观察、分析--归纳、猜想--验证）的科学探究过程，培养学生严谨科学的求学态度。 让学生练习利用方差就可解决此问题，体会方差的作用。
课堂练习 1.样本方差的作用是（ ） A.表示总体的平均水平 B.表示样本的平均水平 C.准确表示总体的波动大小 D.表示样本的波动大小,从而估计总体的波动大小 2.人数相同的八年级（1）、（2）两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差下：， , ，则成绩较为稳定的班级是（ ） A.甲班 B.乙班 C.两班成绩一样稳定 D.无法确定 3.小凯同学参加数学竞赛训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示，则他这五次成绩的方差 为 . A．7，7 B．8，7.5 C．7，7.5 D．8，6 4.在样本方差的计算公式 中， 数字10 表示___________ ，数字20表示 _______. 5.五个数1，3，a，5，8的平均数是4，则a =_____，这五个数的方差_____. 6．为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取5株麦苗，测得苗高(单位：cm)如下： 甲：6，8，9，9，8； 乙：10，7，7，7，9. (1)分别计算两种小麦的平均苗高； 甲：6，8，9，9，8； 乙：10，7，7，7，9. (2)哪种小麦的长势比较整齐？为什么？ 7.（中考 徐州）已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1＋2，3x2＋2，3x3＋2，3x4＋2，3x5＋2的平均数和方差分别是________． 学生自主解答，老师订正答案 课堂测试，检验学习结果
课堂小结 1. 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，通常用S2 表示，即 2.标准差 学生自由回答 梳理和巩固知识
板书 3.3 标准差和方差 1、什么是方差。 2、什么是标准差。 3、求方差的一般步骤。
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