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1.2.2 二次函数的图像（2）
一、二次函数与之间的相互关系
1.顶点式化成一般式
从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
2.一般式化成顶点式
．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
要点：
1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
二、二次函数的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与坐标轴的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
要点：
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
三、二次函数的图象
1.二次函数图象与性质
函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 直线 直线
顶点坐标
2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目字母 字母的符号 图象的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧
c c=0 图象过原点
c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0 与x轴有两个交点
b2-4ac＜0 与x轴没有交点
一、单选题
1．二次函数的顶点和对称轴分别是 （ ）
A．，直线x=1 B．，直线x=4
C．，直线 D．，直线
【答案】C
【提示】
将二次函数的一般式配方为顶点式，可求顶点坐标及对称轴．
【解答】
解：,
∴抛物线的顶点坐标为（-1，4），对称轴为x=-1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k的顶点坐标是（h，k），对称轴为x=h．
2．抛物线y=ax2+bx+c经过点(3，0)和(2，﹣3)，且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（ ）
A．y=﹣x2﹣2x﹣3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3
【答案】B
【提示】
把已知两点坐标代入抛物线解析式，再由对称轴公式列出关系式，联立求出a，b，c的值，即可确定出解析式．
【解答】
解：把(3，0)与(2， 3)代入抛物线解析式得：
，
由直线x=1为对称轴，得到=1，即b= 2a，
代入方程组得：，
解得：a=1，b= 2，c= 3，
则抛物线解析式为y=x2 2x 3，
故选：B．
【点睛】
此题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数对称轴，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及二次函数对称轴公式．
3．如果抛物线的顶点关于原点对称点的坐标是（-1，-3），那么m的值是（ ）
A．5 B．－3 C．－9 D．－1
【答案】A
【提示】
根据已知条件“抛物线y＝2x2 4x＋m的顶点关于原点对称点的坐标是（ 1， 3）”求得顶点坐标是（1，3）；然后由顶点坐标公式（，）列出关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【解答】
∵抛物线y＝2x2 4x＋m的顶点关于原点对称点的坐标是（ 1， 3），
∴抛物线y＝2x2 4x＋m的顶点坐标是（1，3），
∴3＝，
解得，m＝5；
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、关于原点对称的点的坐标．在求二次函数图象的顶点坐标时，要熟练掌握顶点坐标公式（，）．
4．若点，是二次函数图像上的两点，则此二次函数的对称轴是（ ）
A．直线x=-1 B．直线
C．直线x=1 D．直线
【答案】C
【提示】
根据抛物线的对称性，当两点纵坐标相等时，对称轴即为两点横坐标的平均数．
【解答】
∵点（-1，3）和点（3，3）的纵坐标都为3，
∴抛物线的对称轴为x=，
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．
5．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【提示】
先配方为顶点式，根据左加右减，上加下减的方法平移即可；
【解答】
解：将抛物线先向左平移3个单位得，再向上平移5个单位得；
故选D．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象的平移，准确计算是解题的关键．
6．函数y＝ax＋1与y＝ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【提示】
假设其中一个图象正确，然后根据图象得到系数的取值范围，然后根据系数的取值范围确定另一个图象的位置，看是否和图象相符即可求解．
【解答】
解：A、根据一次函数图象知道a＜0，与y轴的交点不是（0，1），故选项错误；
B、根据二次函数的图象知道a＜0，同时与y轴的交点是（0，1），但是根据一次函数的图象知道a＞0，故选项错误；
C、根据图象知道两个函数图象与y轴的交点坐标为（0，1），同时也知道a＞0，故选项正确；
D、根据一次函数图象知道a＜0，根据二次函数的图象知道a＞0，故选项错误．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象、一次函数的图象与系数的关系，首先根据一次函数的图象得到系数的取值范围，然后利用系数的取值范围确定函数图象的大致位置即可求解．
7．若抛物线：与抛物线：关于直线对称，则，值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【提示】
分别求出由抛物线与抛物线的对称轴，根据关于直线对称列出关于m的方程求出m，再找到抛物线与y轴的交点，由点关于直线对称的点，把代入抛物线，故可求出n的值．
【解答】
由抛物线：可知抛物线的对称轴为直线，交轴于点，抛物线：的对称轴为直线，
∵抛物线：与抛物线：关于直线对称，
∴，解得.
∵点关于直线对称的点，在抛物线：上，
∴把点代入得，
解得，
故选D．
【点睛】
此题主要考查二次函数的对称性，解题的关键是熟知二次函数对称轴的求解方法、函数对称性的应用．
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：
x －1 0 1 2 3
y 5 1 －1 －1 1
则该二次函数图象的对称轴为( )A．y轴 B．直线x＝ C．直线x＝2 D．直线x＝
【答案】D
【提示】
由于x取1、2时函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可；
【解答】
∵x=1和2时的函数值都是-1，
∴二次函数的对称轴为；
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，准确计算是解题的关键．
9．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于（﹣1，0），（ ）
A．若c＞0，则对称轴在y轴右侧 B．若c＞0，则对称轴在y轴左侧
C．若c＜0，则对称轴在y轴右侧 D．若c＜0，则对称轴在y轴左侧
【答案】D
【提示】
将图象与x轴交代入函数关系式得出系数b与c的关系式，用含c的代数式表示出对称轴，再判断选项即可．
【解答】
解：将点（﹣1，0）代入函数关系式得，
0＝﹣1﹣b+c，
即b＝c﹣1，
又∵对称轴x（c﹣1），
当c＞0时，对称轴x（c﹣1），无法判断正负；
当c＜0时，对称轴x（c﹣1），
故对称轴在y轴的左侧，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
10．如图二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A(2，0)，B(6，0)，下列说法正确的是（ ）
A．b2﹣4ac＜0 B．4a﹣2b+c＜0 C．c＜0 D．对称轴是直线x＝4
【答案】D
【提示】
根据抛物线与x轴的交点即可判断A；由x＝﹣2时，y＞0，即可判断B；抛物线与y轴的交点即可判断C，根据对称性求得对称轴即可判断D．
【解答】
解：A、∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故错误；
B、当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故错误；
C、抛物线交y轴的正半轴，则c＞0，故错误；
D、∵次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（2，0），B（6，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝4，故正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．
二、填空题
11．二次函数的开口___________，对称轴是______________，顶点是_________________．
【答案】 向上 直线x=-1 （-1，-1）
【提示】
把题目中给的二次函数的一般式化为顶点式，然后根据顶点式性质写出开口方向、对称轴和顶点坐标．
【解答】
解：，
∵，∴开口向上，
对称轴：直线，
顶点坐标：．
故答案是：向上；直线；．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是化一般式为顶点式，然后写出函数的性质．
12．二次函数图像的顶点坐标是__________________．
【答案】
【提示】
由二次函数的交点式：可得对称轴为： 从而可得函数的顶点坐标．
【解答】
解：由得：
图像与x轴的交点是（-2，0）（4，0），
对称轴是直线
当x=1时，，
所以：函数的顶点坐标为：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是二次函数的顶点坐标，掌握求解二次函数的顶点坐标是解题的关键．
13．已知抛物线的解析式，抛物线与抛物线关于x轴对称，求抛物线的解析式为______．
【答案】y＝ 2x2＋4x 5．
【提示】
利用关于x轴对称的点的坐标为横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．
【解答】
解：抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即 y＝2x2 4x＋5，
因此所求抛物线C2的解析式是y＝ 2x2＋4x 5．
故答案为：y＝ 2x2＋4x 5
【点睛】
此题考查了二次函数的性质，利用轴对称变换的特点可以解答．
14．已知函数，它的顶点坐标为与交于点，则的函数解析式分别为________．
【答案】，．
【提示】
根据已知设出抛物线的解析式y＝a（x＋3）2 2，把（1，6）代入即可求得a的值，即可求得y1的函数解析式；把（1，6）代入y2＝2x＋m即可求得m的值，即可求得y2的函数解析式．
【解答】
解：根据题意，设抛物线的解析式y＝a（x＋3）2 2，
∵抛物线经过点（1，6），
∴6＝a（1＋3）2 2，解得a＝，
∴抛物线的解析式为y1＝（x＋3）2 2．
把（1，6）代入y2＝2x＋m得6＝2×1＋m，解得m＝4，
∴y2的函数解析式为y2＝2x＋4．
【点睛】
本题考查了待定系数法求抛物线的解析式和直线的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
15．已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
… …
… …
则代数式的值是______．
【答案】5
【提示】
观察表格可知：二次函数的对称轴为x=1，故得到当x=-1时，y的值与x=3时相等，则x＝ 1时，y＝-5，x＝1时，y＝ 1，可得a b＋c＝-5，a＋b＋c＝ 1，代入故可求解．
【解答】
解：观察表格可知：x=0与x=2时函数值相等，
∴二次函数的对称轴为x=1，
∴当x=-1时，y的值与x=3时相等
∴x＝ 1时，y＝-5，x＝1时，y＝ 1，
∴a b＋c＝-5，a＋b＋c＝ 1，
∴（a＋b＋c）（a b＋c）的值为5，
故答案为5．
【点睛】
本题考查二次函数图象上的点的特征、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③b﹣2a=0；其中正确结论是_____（填序号）．
【答案】①③
【提示】
由图可知，二次函数开口向下，a＜0，与x轴两个交点△＞0，对称轴x＝﹣1，据此求解即可．
【解答】
解：①由图可知，
与x轴两个交点，
△=b2﹣4ac＞0，
即4ac﹣b2＜0，
∴①正确；
②函数对称轴x=﹣1，与x轴的一个交点在0至1之间，则另一个交点在-2至-3之间，
∴当x=﹣2或x=0时，y＞0，
即y=4a-2b+c＞0，
即4a+c＞2b，
∴②错误；
③对称轴x=-1，
即b=2a，即b-2a=0，
∴③正确；
故答案为：①③．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系问题是解答本题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，如果抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后恰好能同时经过O、A、B三点，那么a+b+c＝_____．
【答案】
【提示】
根据等腰直角三角形的性质求得A（4，0），B（2，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，然后把O、A、B的坐标代入，根据待定系数法即可求得a、b、c的值，进而即可求得a+b+c的值．
【解答】
解：∵等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，
∴A（4，0），B（2，﹣2），
抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，
∵平移后恰好能同时经过O、A、B三点，
∴，
解得，
∴a+b+c2+4，
故答案为．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，二次函数的图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键．
18．如图，抛物线与y轴交于点A，点B是这条抛物线上的另一点，且轴，以为边向下作等边，则点C到抛物线顶点的距离是________．
【答案】
【提示】
首先求出抛物线的对称轴和顶点，求出点A和点B的坐标，根据等边三角形的性质得到点C的坐标，结合顶点坐标可得结果．
【解答】
解：作CD⊥AB，垂足为D，
∵，
∴开口向上，对称轴为直线x=3，顶点为（3，k-9），
∵当x=0时，y=k，
∴A（0，k），
∵AB∥x轴，
∴A、B关于对称轴对称，
∴B（6，k），
∴AB=6，
∵△ABC为等边三角形，
∴AD=AB=3，CD=AD=，
∴C（3，），
∵顶点为（3，k-9），
∴点C到顶点的距离为：=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，等边三角形的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB的长是关键．
三、解答题
19．求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
【答案】二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是．
【提示】
利用配方法把二次函数解析式配成顶点式，然后利用二次函数的性质求解．
【解答】
解：把二次函数的右边配方，得
．
因此，二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质中的顶点坐标及对称轴的确定方法，解题的关键是对二次函数的一般形式化为顶点式．
20．先确定下列拋物线的开口方向、对称轴和顶点，再描点画图：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）抛物线y＝－3x2＋12x－3的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是（2，9），画图见解析；（2）抛物线y＝4x2－24x＋26的开口向上，对称轴为直线x＝3，顶点坐标是（3，－10），画图见解析；（3）抛物线y＝2x2＋8x－6的开口向上，对称轴为直线x＝－2，顶点坐标是（－2，－14），画图见解析；（4）抛物线y＝x2－2x－1的开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是（2，－3），画图见解析．
【提示】
（1）根据如果抛物线，那么其对称轴为，顶点坐标为，如果a＞0开口向上，a＜0开口向下进行求解，最后画出函数图像即可；
（2）根据如果抛物线，那么其对称轴为，顶点坐标为，如果a＞0开口向上，a＜0开口向下进行求解，最后画出函数图像即可；
（3）根据如果抛物线，那么其对称轴为，顶点坐标为，如果a＞0开口向上，a＜0开口向下进行求解，最后画出函数图像即可；
（4）根据如果抛物线，那么其对称轴为，顶点坐标为，如果a＞0开口向上，a＜0开口向下进行求解，最后画出函数图像即可．
【解答】
解：（1）∵抛物线解析式为
∴a＝－3，b＝12，c＝－3，
∴－＝－＝2，＝＝9，
∴抛物线y＝－3x2＋12x－3的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是（2，9），
函数图像如下所示：
（2）∵抛物线解析式为：，
∴a＝4，b＝－24，c＝26，
∴－＝－＝3，＝＝－10，
∴抛物线y＝4x2－24x＋26的开口向上，对称轴为直线x＝3，顶点坐标是（3，－10），
函数图像如下所示：
（3）∵抛物线解析式为：，
∴a＝2，b＝8，c＝－6，
∴－＝－＝－2，＝＝－14，
∴抛物线y＝2x2＋8x－6的开口向上，对称轴为直线x＝－2，顶点坐标是（－2，－14），函数图像如下所示：
（4）∵抛物线解析式为：，
∴a＝，b＝－2，c＝－1，
∴－＝－＝2，＝＝－3，
∴抛物线y＝x2－2x－1的开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是（2，－3），
函数图像如下所示：
【点睛】
本题主要考查了二次函数的开口方向，二次函数的对称轴，顶点坐标，画二次函数图像，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
21．已知如图，抛物线与x轴相交于两点，，与y轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点是抛物线上的一点，求出m的值，并求出此时的面积．
【答案】（1）y＝x2 4x＋3；（2）；S△ABD＝
【提示】
（1）将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，从而确定该二次函数的解析式；
（2）将D点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出m的值；以AB为底，D点纵坐标的绝对值为高，即可求出△ABD的面积．
【解答】
解：（1）A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式得
，
解之得，
∴y＝x2 4x＋3；
（2）∵是抛物线y＝x2 4x＋3上的点，代入得；
∴S△ABD＝．
【点睛】
此题主要考查了二次函数解析式的确定以及三角形面积求法，解题的关键是熟知待定系数法的运用．
22．如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC的周长最小，求点P的坐标．
【答案】P(1，－2)．
【提示】
根据“将军饮马”问题，将A点沿对称轴对称至B点，连接BC，与对称轴交点即为所求P点，从而结合图形性质求解即可．
【解答】
如下左图，点A与点B对称，连结BC，那么在△PBC中，PB＋PC总是大于BC的．
如下右图，当点P落在BC上时，PB＋PC最小，因此PA＋PC最小，△PAC的周长也最小．
由y＝x2－2x－3，令y=0，解得：x=-1或3，
∴A（-1,0），B（3,0），对称轴为直线x=1，
∴可知OB＝OC＝3，OD＝1，∠OBC=45°，
∴DB＝DP＝2，
∴P(1，－2)．
【点睛】
本题考查二次函数的对称性以及最短路径问题，理解常见的求最短路径的模型是解题关键．
23．如图,二次函数经过点和点,与轴交于点．
求抛物线的解析式;
为轴右侧抛物线上一点,是否存在点,使若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由．
【答案】(1) ；(2) 存在，D（1，3）或（2，3）或（5，-3）
【提示】
（1）利用待定系数法将点A和点B的坐标代入，求出a和b的值即可；
（2）求出△ABC的面积，根据求出△ABD的面积，得出△ABD中AB边上的高，从而分点D在x轴上方和x轴下方分别求出点D的坐标.
【解答】
解：（1）把点和点代入中,
得，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）存在，，
理由是：∵A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∴，
∵，
∴，
在△ABD中，∵AB=5，
∴AB边上的高，即点D到x轴的距离为3，
∵抛物线表达式为，
若点D的纵坐标为3，令y=3，
解得x=1或2，
∴点D的坐标为（1，3）或（2，3）；
若点D的纵坐标为-3，令y=-3，
解得x=5或-2（舍），
∴点D的坐标为（5，-3）.
综上：存在，使得.
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数上点的坐标，解题的关键是注意分类讨论思想的运用.
24．如图，抛物线F：的顶点为P，抛物线：与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．
（1）当a = 1，b=－2，c = 3时，求点C的坐标(直接写出答案)；
（2）若a、b、c满足了，
①求b：b′的值；
②探究四边形OABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）C（3，0）；（2）①2：3；②矩形，理由见解析
【提示】
（1）由于抛物线F′由抛物线F平移所得，开口方向和开口大小都无变化，因此a＝a′＝1；由于两条抛物线都与y轴交于A点，那么c＝c′＝3．然后可根据抛物线F的坐标求出其顶点坐标，即可得出D点的坐标，然后将D的坐标代入抛物线F′中，即可求出抛物线F′的解析式，进而可求出C点的坐标．
（2）①与（1）的方法类似，在求出D的坐标后，将D的坐标代入抛物线F′中，即可得出关于b，b′的关系式即可得出b，b′的比例关系．
②探究四边形OABC的形状，无非是平行四边形，菱形，矩形这几种．那么首先要证的是四边形OABC是个平行四边形，已知了OABC，只需看A，B的纵坐标是否相等，即OA是否与BC的长相等．根据抛物线F的解析式可求出P点的坐标，然后用待定系数法可求出OP所在直线的解析式．进而可求出抛物线F与直线OP的交点B的坐标，然后判断B的纵坐标是否与A点相同，如果相同，则四边形OABC是矩形（∠AOC＝90°），如果B，A点的纵坐标不相等，那么四边形AOCB是个直角梯形．
【解答】
解：（1） ∵a = 1，b=－2，c = 3
∴=
∴P（1，2）
∵过点P作PD⊥x轴于点D，
∴D（1，0）
由于抛物线F′由抛物线F平移所得，开口方向和开口大小都无变化，因此a＝a′＝1；由于两条抛物线都与y轴交于A点，那么c＝c′＝3．
∴抛物线F′：，
代入D（1，0）得0=1+b’+3
解得b’=-4
∴=
∴点C的坐标为（3，0）；
（2）①抛物线，令x=0，则y=c，
∴A点坐标（0，c）．
∵，
∴，
∴点P的坐标为（，）．
∵PD⊥x轴于D，∴点D的坐标为（，0）．
根据题意，得a=a′，c= c′，
∴抛物线F′的解析式为．
又∵抛物线F′经过点D（，0），
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴b:b′=．
②由①得，抛物线F′为．
令y=0，则．
∴．
∵点D的横坐标为
∴点C的坐标为（，0）．
设直线OP的解析式为．
∵点P的坐标为（），
∴，
∴，
∴．
∵点B是抛物线F与直线OP的交点，
∴．
∴．
∵点P的横坐标为，
∴点B的横坐标为．
把代入，得．
∴点B的坐标为．
∴BCOA，ABOC．（或BCOA，BC =OA），
∴四边形OABC是平行四边形．
又∵∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形．
【点睛】
本题着重考查了待定系数法求二次函数的性质、函数的平移变换、探究矩形的构成情况等重要知识点．
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1.2.2 二次函数的图像（2）
一、二次函数与之间的相互关系
1.顶点式化成一般式
从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
2.一般式化成顶点式
．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
要点：
1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
二、二次函数的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与坐标轴的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
要点：
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
三、二次函数的图象
1.二次函数图象与性质
函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 直线 直线
顶点坐标
2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目字母 字母的符号 图象的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧
c c=0 图象过原点
c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0 与x轴有两个交点
b2-4ac＜0 与x轴没有交点
一、单选题
1．二次函数的顶点和对称轴分别是 （ ）
A．，直线x=1 B．，直线x=4
C．，直线 D．，直线
2．抛物线y=ax2+bx+c经过点(3，0)和(2，﹣3)，且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（ ）
A．y=﹣x2﹣2x﹣3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3
3．如果抛物线的顶点关于原点对称点的坐标是（-1，-3），那么m的值是（ ）
A．5 B．－3 C．－9 D．－1
4．若点，是二次函数图像上的两点，则此二次函数的对称轴是（ ）
A．直线x=-1 B．直线
C．直线x=1 D．直线
5．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
6．函数y＝ax＋1与y＝ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．若抛物线：与抛物线：关于直线对称，则，值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：
x －1 0 1 2 3
y 5 1 －1 －1 1
则该二次函数图象的对称轴为( )
A．y轴 B．直线x＝ C．直线x＝2 D．直线x＝
9．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于（﹣1，0），（ ）
A．若c＞0，则对称轴在y轴右侧 B．若c＞0，则对称轴在y轴左侧
C．若c＜0，则对称轴在y轴右侧 D．若c＜0，则对称轴在y轴左侧
10．如图二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A(2，0)，B(6，0)，下列说法正确的是（ ）
A．b2﹣4ac＜0 B．4a﹣2b+c＜0 C．c＜0 D．对称轴是直线x＝4
二、填空题
11．二次函数的开口___________，对称轴是______________，顶点是_________________．
12．二次函数图像的顶点坐标是__________________．
13．已知抛物线的解析式，抛物线与抛物线关于x轴对称，求抛物线的解析式为______．
14．已知函数，它的顶点坐标为与交于点，则的函数解析式分别为________．
15．已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
… …
… …
则代数式的值是______．
16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③b﹣2a=0；其中正确结论是_____（填序号）．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，如果抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后恰好能同时经过O、A、B三点，那么a+b+c＝_____．
18．如图，抛物线与y轴交于点A，点B是这条抛物线上的另一点，且轴，以为边向下作等边，则点C到抛物线顶点的距离是________．
三、解答题
19．求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
20．先确定下列拋物线的开口方向、对称轴和顶点，再描点画图：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
21．已知如图，抛物线与x轴相交于两点，，与y轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点是抛物线上的一点，求出m的值，并求出此时的面积．
22．如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC的周长最小，求点P的坐标．
23．如图,二次函数经过点和点,与轴交于点．
求抛物线的解析式;
为轴右侧抛物线上一点,是否存在点,使若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由．
24．如图，抛物线F：的顶点为P，抛物线：与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．
（1）当a = 1，b=－2，c = 3时，求点C的坐标(直接写出答案)；
（2）若a、b、c满足了，
①求b：b′的值；
②探究四边形OABC的形状，并说明理由．
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